【精品】七年级上册 人教版 数学 第一册 一元一次方程应用题综合1

专题： 一元一次方程的应用

【知识点1】一元一次方程的应用之配套问题

在现实生活中，常见到一些配套组合问题，如螺钉与螺母的配套，盒身和盒底的配套，上衣与裤子的配套等，它的特点是“几个A配几个B”或“某个部件由几个A和几个B组成”等，解决此类问题的方法是抓住配套比，设出未知数，然后根据配套比列出方程，通过解方程解决问题

典型例题：

例1：某车间有26名工人，每人每天可以生产800个螺钉或1000个螺母，1个螺钉需要配2个螺母，为使每天生产的螺钉和螺母刚好配套．设安排x名工人生产螺钉，则下面所列方程正确的是（   ）

A．2×1000（26﹣x）=800x        B．1000（13﹣x）=800x

C．1000（26﹣x）=2×800x        D．1000（26﹣x）=800x[来源:学科网]

例2：某车间22名工人生产螺母和螺钉，每人每天平均生产螺钉1200个或螺母2000个，，一个螺钉要配两个螺母，为了使每天生产的产品刚好配套，应该分配多少名工人生产螺钉，多少米工人生产螺母？

巩固练习1：某车间100名工人生产螺母和螺钉，每人每天平均生产螺钉18个或螺母24个，，一个螺钉要配两个螺母，为了使每天生产的产品刚好配套，应该分配多少名工人生产螺钉，多少米工人生产螺母？

2某车间有工人85人，平均每人每天可以加工大齿轮8个或小齿轮10个，又知1个大齿轮和三个小齿轮配为一套，问应如何安排劳力使生产的产品刚好成套？

配套与物质分配问题

例 用白铁皮做罐头盒，每张铁皮可制盒身25个，或制盒底40个，一个盒身与两个盒底配成一套.现在有36张白铁皮，用多少张制盒身，多少张制盒底，可使盒身与盒底正好配套？

 解： 

巩固练习：1一张方桌由1个桌面、4条桌腿组成，如果1立方米木料可以在方桌的桌面50个或做桌腿300条，现有5立方米木料，那么用多少立方米木料做桌面、多少立方米木料做桌腿，做出的桌面和桌腿，恰好配成方桌？能配成多少方桌？

即时巩固：

1．包装厂有42名工人，每人平均每天可以生产圆形铁片120片或长方形铁片80片。为了每天生产的产品刚好制成一个个密封的圆桶，应该分配多少名工人生产圆形铁片，多少名工人生产长方形铁片？

设应分配x名工人生产长方形铁片，（42-x）名工人生产圆形铁片，则下列所列方程正确的是（    ）

A．120x=2×80（42-x）     B．80x=120（42-x）       C．2×80x=120（42-x）     D．

2．某队有55人，每人每天平均挖土2.5方或运土3方，为合理安排劳力，使挖出的土及时运走，应如何分配挖土和运土人数？

【知识点2】一元一次方程的应用之工程问题

1.                 基本量：工作量，工作时间，工作效率
2.                 基本数量关系：工作总量=工作效率×工作时间
3.                 合作的效率=各单独做的效率的和
4.                 工程问题常用等量关系：先做的量+后做的量=完成量

注意：当题中工作总量未给出具体数量，常设工作总量为“1”，即完成某项任务的各工作量的和＝总工作量＝1.

典型例题：

例2：两个工程队共同参与一项筑路工程，甲队单独施工1个月完成总工程的，这时增加了乙队，两队共同工作了半个月，总工程全部完成.哪个队的施工速度快？

即时巩固：

1．一项工程甲单独做要20小时，乙单独做要12小时。现在先由甲单独做5小时，然后乙加入进来合做。完成整个工程一共需要多少小时？若设一共需要x小时，则所列的方程为                       。

2．某水池有甲进水管和乙出水管，已知单开甲注满水池需6小时，单开乙管放完全池水需要9小时，当同时开放甲、乙两管时需要多少小时水池水量达全池的，则所列的方程为                       。

3.：有一批零件加工任务，甲单独做40h完成，乙单独做30h完成，甲做了几小时后另有任务，剩下的任务由乙单独完成，乙比甲多做了2h，求甲做了几小时？

4.一项工作，甲单独完成需15小时完成，乙单独完成需要10天完成，若甲先做若干天后乙接着做，共用12天完成，问甲做了多少天？

5.有一个蓄水池，装有甲、乙、丙三个进水管，单独开甲管，6 分钟可注满空水池；单独开乙管，12 分钟可注满空水池；单独开丙管，18 分钟可注满空水池，如果甲、乙、 丙三管齐开，需几分钟可注满空水池？

6. 水池有一个进水管，6小时可注满空池，池底有一个出水管，8小时可放完满池的水，如果同时打开进水管和出水管，那么多少小时可以把空池注满？

7.某地下管道由甲队单独铺设需要3天完成，乙队单独铺设要5天完成，甲队铺设了的工作量后，为了加快进度，乙队加入，从另一端铺设，问管道铺好，乙队做了多少天？

8.某工人原计划用26天生产一批零件,工作两天后,因改变了操作方法，每天比原来多生产5个零件，结果提前4天完成任务,问原来每天生产多少个零件?这批零件有多少个?

9.某制衣厂接受一批服装订货任务，按计划天数进行生产，如果每天平均生产20套服装，就比订货任务少生产100套；如果每天生产23套服装，就可超过订货任务20套，问这批服装的订货任务是多少套？原计划多少天完成？

10一项工程，甲单独完成需要9天，乙单独完成需12天，丙单独完成要15天，若甲、丙先做3天后，甲因故离开，由乙接替甲的工作，问还需多少天能完成这项工程的？

11．元代朱世杰所著的《算学启蒙》里有这样一道题：“良马日行二百四十里，驽马日行一百五十里，驽马先行一十二日，问良马几日追及之？”请你回答：良马________天可以追上驽马．

12.自行车轮胎安装在前轮上行驶5000千米后报废,若安装在后轮上只能行驶3000千米.如果要行驶尽可能多的路程,当自行车行驶一定路程后用前后轮胎调换的方法,则安装在自行车上的轮胎最多可以行驶多少千米?

【知识点3】一元一次方程的应用之行程问题

                  行程问题——画图分析法（线段图） 解此类题的关键是抓住甲、乙两物体的时间关系或所走的路程关系，一般情况下问题就能迎刃而解。并且还常常借助画草图来分析，理解行程问题。 

                  行程问题中的三个基本量及其关系：  路程＝速度×时间   时间＝路程÷速度    速度＝路程÷时间

    温馨提醒：当速度已知，设时间，列路程等式；设路程，列时间等式是我们的解题策略。

                   1、甲、乙二人相向相遇问题

       ⑴甲走的路程＋乙走的路程＝总路程   [来源:学+科+网Z+X+X+K]

       ⑵二人所用的时间相等或有提前量

                  2、甲、乙二人中，慢者所行路程或时间有提前量的同向追及问题

      ⑴甲走的路程－乙走的路程＝提前量 

      ⑵二人所用的时间相等或有提前量

                  3、行船问题与飞机飞行问题 

        ⑴ 顺水速度＝静水速度＋水流速度                    

        ⑵ 逆水速度＝静水速度－水流速度

                  4.  考虑车长的过桥或通过山洞隧道问题          

      将每辆车的车头或车尾看作一个人的行驶问题去分析，一切就一目了然。

典型例题：

例3：A、B两地相距600千米，一列慢车从A地开出，每小时行驶80千米，一列快车从B地开出，每小时行驶120千米，两车同时开出．

（1）若相向而行，出发后多少小时相遇？

（2）若相背而行，多少小时后，两车相距800千米？

（3）若两车同向而行，快车在慢车后面，多少小时后，快车追上慢车？

（4）若两车同向而行，慢车在快车后面，多少小时后，两车相距760千米？

（5）若相向而行，当出发多少小时后辆车相距100千米？

（6）若同向而行，当出发多少小时后辆车相距100千米？

即时巩固：

1. 已知某一铁路桥长1000米，现有一列火车从桥上通过，小亮和小芳从不同的角度进行了观察：小亮：火车从开始上桥到完全通过共用1分钟。小芳：整个火车完全在桥上的时间为40秒钟．请根据以上信息，求出火车的长度和火车的速度．

2.轮船沿江从A港顺流行驶到B港，比从B港返回A港少用3小时，若船速为26千米/时，水速为2千米/时，求A港和B港相距多少千米．设A港和B港相距x千米．根据题意，可列出的方程是（    ）

A．           B．   [来            源:学   网]C．        D．

3.一艘轮船航行于两地之间,顺水要用3小时,逆水要用4小时,已知船在静水中的速度是50千米/小时,求水流的速度.

4..船顺水航行24千米,又返回共用2小时20分.如顺水航行8千米,逆水行18千米,则需要1 小时20分.问静水速度和水流速度?

5.. 一艘船航行于 A,B 两个码头之间，顺水航行需要 2 个小时，逆水航行需要 4 个小时，已 知水流速度是 4 千米/时，求这两个码头之间的距离。

6.汽车上坡时每小时走28千米，下坡时每小时走35千米，去时，下坡比上坡路的2倍还少14千米，原路返回比去时多用12分钟，求去时上、下坡路程各多少千米？

7．A，B两地相距100千米，甲从A地出发10千米后，乙从B地开始前往A地，4小时后相遇，若甲的速度是乙的速度的.设甲的速度为x千米/时，则下列方程正确的是(　　)

A．100－4x＝4×x＋10     B．100＋10＝4(x＋x)

C．4x＋4×x＋10＝100     D．4(x＋x)＋10＝100

8．学校到县城有28千米，除乘公共汽车外，还需步行一段路程，公共汽车的速度为36千米/时，步行的速度为4千米/时，全程共需1小时，求步行和乘车所用时间各是多少？设步行所用时间为x小时，列方程得(　　)

A．36x＋4(1－x)＝28    B.＋＝28     C．36(1－x)＋4x＝28    D．36＋4＝

9．一个通讯员骑摩托车要在规定的时间内把文件送到．他骑摩托车的速度是每小时36千米，结果早到20分钟，若每小时30千米，就迟到12分钟，求规定的时间是多少？这段路程是多少？

【知识点4】一元一次方程的应用之利润问题

                  销售的盈亏问题，涉及盈利、亏损、保本（既不盈利也不亏本）三个方面，一般商家在销售活动中，总是要追求利益的，即要获得利润。

                  1、利润是指商品售价与商品成本（进价）的差。 即:利润=售价-进价

       2、利润率是指利润与进价的比，即:

典型例题：

例：某商场销售的一款空调机每台的标价是3270元，在一次促销活动中，按标价的八折销售，仍可盈利9%．

（1）求这款空调每台的进价？（）．

（2）在这次促销活动中，商场销售了这款空调机100台，问盈利多少元？

即时巩固：

1.   一件衣服先按成本提高50%标价，再以8折（标价的80%）出售，结果获利28元，那么这件衣服的成本是      元．

2.某种高端品牌的家用电器，若按标价打八折销售该电器一件，则可获利润500元，其利润率为20%．现如果按同一标价打九折销售该电器一件，那么获得的纯利润为（     ）

A．562.5元        B．875元              C．550元           D．750元

列出方程:                                     

例：某商品的售价为每件900元，为了参加市场竞争，商店按售价的9折在让利40元销售，此时仍可获利10%，求此商品的进价是多少元？

巩固练习：1某商店购进一批运动服，每件售价120元，可获利20%，这种运动服每件的进价是______元

2一商店把某种品牌的羊毛衫按标价的八折出售，仍可获利20%，若该品牌的羊毛衫的进价每价是100元，则标价是每件多少元？

3：某商场为了减少库存积压，以每件120元的价格出售两件夹克上衣，，其中一件盈利20%，另一件亏损20%，在这次买卖中商场是盈利还是亏损，或是不盈不亏？

4某种商品因换季准备打折出售，如果按定价七五折出售将赔25元，而按照定价九五折出售将赚20元，问：这种商品的定价是多少元？

5国庆长假期间，某商场决定开展促销活动，某件衣服标价132元，如果以九折降价出售，还可以获利10%，这这件衣服的进价是多少元？如果打八五折销售，会赔本吗？

6某商品的进价是500元，标价为750元，商店要求以利润率不低于5％的售价打折出售，售货员最低可以打____折出售此商品.

7.某商贩在一次买卖中，同时卖出两件上衣，每件都以135元出售，若按成本计算，其中一件赢利25%，另一件亏本25%，在这次买卖中，该商贩（      ）.

（A）不赔不赚    （B）赚9元   （C）赔18元      （D）赚18元

8一件衣服标价132元，若以9折降价出售，仍可获利10%，则这件衣服的进价是（      ）.

 （A）106元    （B）105元     （C）118元      （D）108元

9某商店卖出两件衣服，每件60元，其中一件赚25%，另一件亏25%，那么这两件衣服卖出后，商店是 (        )

1. 不赚不亏      B.赚8元       C.亏8元       D. 赚8元

10某商品每件标价为150元，若按标价打8折后，再降价10元销售，仍获利10%，则该商品每件的进价为　   　元．

【知识点5】一元一次方程的应用之分段计费问题

                  主要特点是在不同阶段要用不同标准进行计算

                  电话计费问题，复印收费问题，燃气费，租赁，医保，水费，出租车计费问题，电费收取问题，支付邮费，商店销售，个人所得税，高速公路通行费[来源:学科网]

典型例题：

例5：小明所在城市的“阶梯水价”收费办法是：每户用水不超过5吨，每吨水费x元；超过5吨，每吨加收2元，小明家今年5月份用水9吨，共交水费为44元，根据题意列出关于x的方程正确的是（  ）

A．5x+4（x+2）=44           B．5x+4（x﹣2）=44

C．9（x+2）=44              D．9（x+2）﹣4×2=44

即时巩固：[来源:Z*xx*k.Com]

1.我市某景区原定门票售价为50元/人．为发展旅游经济，风景区决定采取优惠售票方法吸引游客，优惠方法如下表：

（1）某旅游团共有20名游客，若在节假日到该景区旅游，则需购票款为    元．

（2）市青年旅行社某导游于5月1日（节假日）和5月20日（非节假日）分别带A团和B团都到该景区旅游，已知A、B两个游团合计游客人数为50名，两团共付购票款2000元，则A、B两个旅游团各有游客多少名？

2．某品牌汽车生产厂为了占领市场提高销售量，对经销商采取销售奖励活动，在2015年10月前奖励办法以下表计算奖励金额，2015年10月后以新奖励办法执行．某经销商在新奖励办法出台前一个月共售出某品牌汽车的A型和B型共413台，新奖励办法出台后的第一个月售出这两种型号的汽车共510台，其中A型和B型汽车的销售量分别比新奖励办法出台前一个月增长25％和20％．2015年10月前奖励办法：

（1）在新办法出台前一个月，该经销商共获得奖励金额多少元？

（2）在新办法出台前一个月，该经销商销售的A型和B型汽车分别为多少台？

（3）若A型汽车每台售价为10万元，B型汽车每台售价为12万元．新奖励办法是：每销售一台A型汽车按每台汽车售价的给予奖励，每销售一台B型汽车按每台汽车售价的给予奖励．新奖励办法出台后的第二个月，A型汽车的销售量比出台后的第一个月增加了； 而B型汽车受到某问题零件召回的影响，销售量比出台后的第一个月减少了，新奖励办法出台后的第二个月该经销商共获得的奖励金额355680元，求的值．

3.为加强公民节水意识，合理利用水资源，某市采用如下水费计费方式：

某用户4月用水12.5 m3，应收水费多少元？

如果该用户3、4月份共用水15 m3(4月比3月多)，共交水费44元，则该用户3、4月份各用水多少m3？

4.公园门票价格规定如下表：

某校初一（1）、（2）两个班共104人去游公园，其中（1）班人数较少，不足50人。经估算，如果两个班都以班为单位购票，则一共应付1240元，问：

（1）       两班各有多少学生？

（2）如果两班联合起来，作为一个团体购票，可省多少钱？

（3）如果初一（1）班单独组织去游公园，作为组织者的你将如何购票才最省钱？

【知识点6】一元一次方程的应用之方案设计问题

典型例题：

例6：一家游泳馆6﹣8月出售夏季会员证，每张会员证80元，只限本人使用，凭证购入场券每张1元，不凭证购入场券每张3元，试讨论并回答：

（1）什么情况下，购会员证与不购会员证付钱一样多？

（2）什么情况下，购会员证比不购会员证更合算？

（3）什么情况下，不购会员证比购会员证更合算？

即时巩固：

1．张新和李明到图书城去买书，请你根据他们的对话内容（如图），求出李明上次所买书籍的原价．

2. 某超市为了回馈广大新老客户，元旦期间决定实行优惠活动．

优惠一：非会员购物所有商品价格可获九折优惠；

优惠二：交纳200元会费成为该超市的一员，所有商品价格可优惠八折优惠．

（1）若用x（元）表示商品价格，请你用含x的式子分别表示两种购物优惠后所花的钱数；

（2）当商品价格是多少元时，两种优惠后所花钱数相同；

（3）若某人计划在该超市购买价格为2700元的一台电脑，请分析选择那种优惠更省钱？

3.某蔬菜公司的一种绿色蔬菜，若在市场上直接销售，每吨利润为1000元，经粗加工后销售，每吨利润可达4500元，经精加工后销售，每吨利润涨至7500元，当地一家公司收购这种蔬菜140吨，该公司的加工生产能力是： 如果对蔬菜进行粗加工，每天可加工16吨，如果进行精加工，每天可加工6吨，但两种加工方式不能同时进行，受季度等条件限制，公司必须在15天将这批蔬菜全部销售或加工完毕，为此公司研制了三种可行方案：

方案一：将蔬菜全部进行粗加工．

方案二：尽可能多地对蔬菜进行精加工，没来得及进行加工的蔬菜，在市场上直接销售．

方案三：将部分蔬菜进行精加工，其余蔬菜进行粗加工，并恰好15天完成．

 你认为哪种方案获利最多？为什么？

4.某家电商场计划用9万元从生产厂家购进50台电视机．已知该厂家生产3种不同型号的电视机，出厂价分别为A种每台1500元，B种每台2100元，C种每台2500元．

（1）若家电商场同时购进两种不同型号的电视机共50台，用去9万元，请你研究一下商场的进货方案．

（2）若商场销售一台A种电视机可获利150元，销售一台B种电视机可获利200元，销售一台C种电视机可获利250元，在同时购进两种不同型号的电视机方案中，为了使销售时获利最多，你选择哪种方案？

5..小刚为书房买灯.现有两种灯可供选购，其中一种是9瓦的节能灯，售价为49元/盏，另一种是40瓦的白炽灯，售价为18元/盏.假设两种灯的照明效果一样，使用寿命都可以达到2800小时.已知小刚家所在地的电价是每千瓦时0.5元.

 (1).设照明时间是x小时，请用含x的代数式分别表示用一盏节能灯和用一盏白炽灯的费用.（费用=灯的售价+电费）

 (2).小刚想在这种灯中选购两盏.假定照明时间是3000小时，使用寿命都是2800小时.请你设计一种费用最低的选灯照明方案，并说明理由.

6.某市根据地方实际情况，决定从2012年5月1日起对居民生活用水试行“阶梯水价”收费，具体收费标准见下表：

2013年7月份，该市甲户居民用水9立方米，交水费18元；乙户居民用水36立方米，交水费76元。

（1）求上表中a与b的值；

（2）当某户居民月用水量为x立方米时，请用含x的式子表示应付水费；

（3）试行“阶梯水价”收费以后，该市某户居民月用水多少立方米时，其当月的平均水价每立方米恰好2.15元？