初中数学人教版九年级下册第二十八章 锐角三角函数综合与测试精品单元测试达标测试

这是一份初中数学人教版九年级下册第二十八章 锐角三角函数综合与测试精品单元测试达标测试，共10页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题


1．在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=2，BC=3，那么下列各式中，正确的是( )


A．sin B=eq \f(2,3) B．cs B=eq \f(2,3) C．tan B=eq \f(2,3) D．tan B=eq \f(3,2)


2．在Rt△ABC中，∠C=90°，tan B=eq \f(\r(3),2)，BC=2eq \r(3)，则AC等于( )


A．3 B．4 C．4eq \r(3) D．6


3．如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，△ABC的三个顶点均在格点上，则tan∠ABC的值为( )





A.eq \f(3,5) B.eq \f(3,4) C.eq \f(\r(10),5) D．1


4．如图所示，在四边形ABCD中，AD∥BC，AC⊥AB，AD=CD，cs∠DCA=eq \f(4,5)，BC=10，则AB的长是( )[来源:学_科_网]





A．3 B．6 C．8 D．9


5．如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上的点，过点C作⊙O的切线交AB的延长线于点E，若∠A=30°，则sinE的值为( )





A.eq \f(1,2) B.eq \f(\r(2),2) C.eq \f(\r(3),2) D.eq \f(\r(3),3)











6．如图，沿AE折叠矩形纸片ABCD，使点D落在BC边的点F处．已知AB=8，BC=10，则tan∠EFC的值为( )





A.eq \f(3,4) B.eq \f(4,3) C.eq \f(3,5) D.eq \f(4,5)


7．如图所示，在四边形ABCD中，E，F分别是AB，AD的中点，若EF=2，BC=5，CD=3，则tan C等于( )





A.eq \f(3,4) B.eq \f(4,3) C.eq \f(3,5) D.eq \f(4,5)


8．如图，某地修建高速公路，要从B地向C地修一条隧道(B，C在同一水平面上)．为了测量B，C两地之间的距离，某工程师乘坐热气球从C地出发，垂直上升100 m到达A处，在A处观察B地的俯角为30°，则B，C两地之间的距离为( )





A．100eq \r(3) m B．50eq \r(2) m C．50eq \r(3) m D.eq \f(100,3)eq \r(3) m


9．等腰三角形一腰上的高与腰长之比是12，则等腰三角形顶角的度数为( )


A．30° B．50° C．60°或120° D．30°或150°


10．如图，在某监测点B处望见一艘正在作业的渔船在南偏西15°方向的A处，若渔船沿北偏西75°方向以40海里/小时的速度航行，航行半小时后到达C处，在C处观测到B在C的北偏东60°方向上，则B，C之间的距离为( )





A．20海里 B．10eq \r(3)海里 C．20eq \r(2)海里 D．30海里


二、填空题


11．在△ABC中，∠C=90°，AB=13，BC=5，则tanB=________．


12．计算： SKIPIF 1 < 0 －|－2＋eq \r(3)tan45°|＋(eq \r(2)－1.41)0=________.


13．如图，正方形ABCD的边长为4，点M在边DC上，M，N两点关于对角线AC所在的直线对称，若DM=1，则tan∠ADN=________.





14．已知锐角A的正弦sin A是一元二次方程2x2－7x＋3=0的根，则sin A=________．


15．如图所示，将以A为直角顶点的等腰直角三角形ABC沿直线BC平移得到△A′B′C′，使点B′与C重合，连接A′B，则tan∠A′BC′的值为________．





16．如图所示，一架梯子斜靠在墙上，若梯子底端到墙的距离AC=3米，cs∠BAC=eq \f(3,4)，则墙高BC=________米．





17．如图所示，已知正方形ABCD的边长为2，如果将线段BD绕着点B旋转后，点D落在CB的延长线上的D′处，那么tan∠BAD′等于________．





18．一次函数的图象经过点(tan 45°，tan 60°)和(－cs 60°，－6tan 30°)，则此一次函数的解析式为________．








19．如图所示，在△ABC中，∠ACB=90°，CD是AB边上的中线，AC=6，CD=5，则sin A等于________．





20．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点G，点F是CD上一点，且eq \f(CF,FD)=eq \f(1,3).连接AF并延长交⊙O于点E，连接AD，DE.若CF=2，AF=3.





下列结论：①△ADF∽△AED；②FG=2；③tan E=eq \f(\r(5),2)；④S△DEF=4eq \r(5).


其中正确的是________．


三、解答题


21．计算：(1)eq \r(2)(2cs 45°－sin 60°)＋eq \f(\r(24),4)；




















(2)sin 60°·cs 60°－tan 30°·tan 60°＋sin245°＋cs245°.























22．在△ABC中，∠C=90°.


(1)已知c=8eq \r(3)，∠A=60°，求∠B，a，b；


(2)已知a=3eq \r(6)，∠A=45°，求∠B，b，c.




















23．如图，已知▱ABCD，点E是BC边上的一点，将边AD延长至点F，使∠AFC=∠DEC.


(1)求证：四边形DECF是平行四边形；


(2)若AB=13，DF=14，tan A=eq \f(12,5)，求CF的长．

















24．如图，海上有一灯塔P，在它周围3海里处有暗礁，一艘客轮以9海里/时的速度由西向东航行，行至A点处测得P在北偏东60°方向上，继续行驶20分钟后，到达B处又测得灯塔P在北偏东45°方向上，问客轮不改变方向继续前进有无触礁危险？














25．如图，拦水坝的横断面为等腰梯形ABCD，坝顶宽BC为6 m，坝高为3.2 m，为了提高水坝的拦水能力需要将水坝加高2 m，并且保持坝顶宽度不变，迎水坡CD的坡度不变，但是背水坡的坡度由原来的1∶2变成1∶2.5(坡度是坡高与坡的水平长度的比)．求加高后的坝底HD的长为多少？




















26．【问题学习】


小芸在小组学习时问小娟这样一个问题：已知α为锐角，且sin α=eq \f(1,3)，求sin 2α的值．


小娟是这样给小芸讲解的：


如图①，在⊙O中，AB是直径，点C在⊙O上，所以∠ACB=90°. 设∠BAC=α，则sin α=eq \f(BC,AB)=eq \f(1,3).易得∠BOC=2α.设BC=x，则AB=3x，AC=2eq \r(2)x.作CD⊥AB于D，求出CD=________(用含x的式子表示)，可求得sin 2α=eq \f(CD,OC)=________.


【问题解决】已知，如图②，点M，N，P为⊙O上的三点，且∠P=β，sin β=eq \f(3,5)，求sin 2β的值．

















答 案


一、1.C


2．A 点拨：由tan B=eq \f(AC,BC)知AC=BC·tan B=2eq \r(3)×eq \f(\r(3),2)=3.


3．B


4．B 点拨：因为AD=DC，所以∠DAC=∠DCA.又因为AD∥BC，所以∠DAC=∠ACB，所以∠DCA=∠ACB.在Rt△ACB中，AC=BC·cs ∠ACB=10×eq \f(4,5)=8，则AB=eq \r(BC2－AC2)=6.


5．A 6.A


7．B 点拨：如图所示，连接BD，由三角形中位线定理得BD=2EF=2×2=4.又BC=5，CD=3，∴CD2＋BD2=BC2.∴△BDC是直角三角形，且∠BDC=90°，∴tan C=eq \f(BD,CD)=eq \f(4,3).


(第7题)


8．A


9．D 点拨：有两种情况：当顶角为锐角时，如图①，sin A=eq \f(1,2)，∠A=30°；当顶角为钝角时，如图②，sin (180°－∠BAC)=eq \f(1,2)，180°－∠BAC=30°，∠BAC=150°.


(第9题)


10．C


二、11.eq \f(12,5)


12．2＋eq \r(3) 点拨：原式=3－|－2＋eq \r(3)|＋1=4－2＋eq \r(3)=2＋eq \r(3).


13.eq \f(4,3)


14.eq \f(1,2)


15.eq \f(1,3) 点拨：如图，过A′作A′D⊥BC′于点D，设A′D=x，则B′D=x，BC=2x，BD=3x.所以tan∠A′BC′=eq \f(A′D,BD)=eq \f(x,3x)=eq \f(1,3).


(第15题)


16.eq \r(7) 点拨：由cs ∠BAC=eq \f(AC,AB)=eq \f(3,4)，知eq \f(3,AB)=eq \f(3,4)，AB=4米．


在Rt△ABC中，BC=eq \r(AB2－AC2)=eq \r(42－32)=eq \r(7)(米)．


17.eq \r(2) 点拨：由题意知BD′=BD=2eq \r(2).在Rt△ABD′中，tan ∠BAD′=eq \f(BD′,AB)=eq \f(2\r(2),2)=eq \r(2).


18．y=2eq \r(3)x－eq \r(3) 点拨：tan 45°=1，tan 60°=eq \r(3)，－cs 60°=－eq \f(1,2)，－6tan 30°=－2eq \r(3).设y=kx＋b的图象经过点(1，eq \r(3))，eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)，－2\r(3)))，则用待定系数法可求出k=2eq \r(3)，b=－eq \r(3).


19.eq \f(4,5) 点拨：∵CD是Rt△ABC斜边上的中线，∴AB=2CD=2×5=10，∴BC=eq \r(AB2－AC2)=eq \r(102－62)=8，∴sin A=eq \f(BC,AB)=eq \f(8,10)=eq \f(4,5).


20．①②④


三、21.解：(1)原式=eq \r(2)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2×\f(\r(2),2)－\f(\r(3),2)))＋eq \f(\r(6),2)


=2－eq \f(\r(6),2)＋eq \f(\r(6),2)


=2.


(2)原式=eq \f(\r(3),2)×eq \f(1,2)－eq \f(\r(3),3)×eq \r(3)＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(2),2)))eq \s\up12(2)＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(2),2)))eq \s\up12(2)[来源:]


=eq \f(\r(3),4)－1＋eq \f(1,2)＋eq \f(1,2)


=eq \f(\r(3),4).


22．解：(1)∠B=30°，a=12，b=4eq \r(3)；


(2)∠B=45°，b=3eq \r(6)，c=6eq \r(3).


23．(1)证明：∵四边形ABCD是平行四边形，


∴AD∥BC.∴∠ADE=∠DEC.


又∵∠AFC=∠DEC，∴∠AFC=∠ADE，∴DE∥FC.


∴四边形DECF是平行四边形．


(2)解：过点D作DH⊥BC于点H，如图．


(第23题)


∵四边形ABCD是平行四边形，


∴∠BCD=∠A，AB=CD=13.


又∵tan A=eq \f(12,5)=tan ∠DCH=eq \f(DH,CH)，∴DH=12，CH=5.[来源:]


∵DF=14，∴CE=14.∴EH=9.


∴DE=eq \r(92＋122)=15.∴CF=DE=15.


24．解：过P作PC⊥AB于C点，如图，


(第24题)


据题意知AB=9×eq \f(2,6)=3，∠PAB=90°－60°=30°，


∠PBC=90°－45°=45°，∠PCB=90°，∴PC=BC.


在Rt△APC中，tan 30°=eq \f(PC,AC)=eq \f(PC,AB＋BC)=eq \f(PC,3＋PC)，


即eq \f(\r(3),3)=eq \f(PC,3＋PC)，∴PC=eq \f(3\r(3)＋3,2)海里＞3海里，


∴客轮不改变方向继续前进无触礁危险．


25．解：由题意得BG=3.2 m，MN=EF=3.2＋2=5.2(m)，


ME=NF=BC=6 m．在Rt△DEF中，eq \f(EF,FD)=eq \f(1,2)，


∴FD=2EF=2×5.2=10.4(m)．在Rt△HMN中，


eq \f(MN,HN)=eq \f(1,2.5)，HN=2.5MN=13(m)．


∴HD=HN＋NF＋FD=13＋6＋10.4=29.4(m)．


∴加高后的坝底HD的长为29.4 m.


26．解：eq \f(2\r(2)x,3)；eq \f(4\r(2),9)


如图，连接NO，并延长交⊙O于点Q，连接MQ，MO，过点M作MR⊥NO于点R.


(第26题)


在⊙O中，易知∠NMQ=90°.∵∠Q=∠P=β，


∴∠MON=2∠Q=2β.


在Rt△QMN中，∵sin β=eq \f(MN,NQ)=eq \f(3,5)，∴设MN=3k，则NQ=5k，


∴MQ=eq \r(QN2－MN2)=4k，OM=eq \f(1,2)NQ=eq \f(5,2)k.


∵S△NMQ=eq \f(1,2)MN·MQ=eq \f(1,2)NQ·MR，


∴3k·4k=5k·MR.∴MR=eq \f(12,5)k.


在Rt△MRO中，sin 2β=sin ∠MOR=eq \f(MR,OM)=eq \f(\f(12,5)k,\f(5,2)k)=eq \f(24,25).