2整式的加减精讲精练-2020-2021学年七年级数学上学期期末复习【人教版】

2020-2021学年七年级数学上学期期末考试高分直通车【人教版】
专题1.2整式的加减精讲精练
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【知识梳理】
1.单项式
（1）单项式的定义：数或字母的积组成的式子叫做单项式，单独的一个数或字母也是单项式．
用字母表示的数，同一个字母在不同的式子中可以有不同的含义，相同的字母在同一个式子中表示相同的含义．
（2）单项式的系数、次数
单项式中的数字因数叫做单项式的系数，一个单项式中所有字母的指数的和叫做单项式的次数．
在判别单项式的系数时，要注意包括数字前面的符号，而形如a或-a这样的式子的系数是1或-1，不能误以为没有系数，一个单项式的次数是几，通常称这个单项式为几次单项式．
2.多项式
（1）几个单项式的和叫做多项式，每个单项式叫做多项式的项，其中不含字母的项叫做常数项．多项式中次数最高的项的次数叫做多项式的次数．
（2）多项式的组成元素的单项式，即多项式的每一项都是一个单项式，单项式的个数就是多项式的项数，如果一个多项式含有a个单项式，次数是b，那么这个多项式就叫b次a项式．
3.同类项
（1）定义：所含字母相同，并且相同字母的指数也相同，这样的项叫做同类项．
同类项中所含字母可以看成是数字、单项式、多项式等．
（2）注意事项：
①一是所含字母相同，二是相同字母的指数也相同，两者缺一不可；
②同类项与系数的大小无关；
③同类项与它们所含的字母顺序无关；
④所有常数项都是同类项．
4.合并同类项
（1）定义：把多项式中同类项合成一项，叫做合并同类项．
（2）合并同类项的法则：把同类项的系数相加，所得结果作为系数，字母和字母的指数不变．
（3）合并同类项时要注意以下三点：
①要掌握同类项的概念，会辨别同类项，并准确地掌握判断同类项的两条标准：带有相同系数的代数项；字母和字母指数；
②明确合并同类项的含义是把多项式中的同类项合并成一项，经过合并同类项，式的项数会减少，达到化简多项式的目的；
③“合并”是指同类项的系数的相加，并把得到的结果作为新的系数，要保持同类项的字母和字母的指数不变．
5.去括号
去括号法则：如果括号外的因数是正数，去括号后原括号内各项的符号与原来的符号相同；如果括号外的因数是负数，去括号后原括号内各项的符号与原来的符号相反．
【典例剖析】
【考点1】用字母表示数
【例1】（2019•齐齐哈尔校级模拟）我们知道，用字母表示的代数式是具有一般意义的，请仔细分析下列赋予3a实际意义的例子中不正确的是（　　）
A．若葡萄的价格是3元/千克，则3a表示买a千克葡萄的金额
B．若a表示一个等边三角形的边长，则3a表示这个等边三角形的周长
C．将一个小木块放在水平桌面上，若3表示小木块与桌面的接触面积，a表示桌面受到的压强，则3a表示小木块对桌面的压力
D．若3和a分别表示一个两位数中的十位数字和个位数字，则3a表示这个两位数
【变式1.1】下列各式中，符合用字母表示数书写要求的有（　　）
①212a；②ab÷c2；③m2n；④a2-b23；⑤2×（a+b）；⑥ah•2．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【变式1.2】（2020秋•东海县校级期末）我们知道，用字母表示代数式是有一般意义的．如：a可以表示数量，若每千克苹果的价格为5元，则5a表示　 　．
【变式1.3】（2019秋•秦淮区期末）一位同学在学会用字母表示数后，借助符号正确的描述了有理数的除法法则：a÷b＝a×1b（b≠0），请你用文字描述该法则　 　．
【考点2】列代数式
【例2】（2020秋•漳浦县期中）我县出租车的计价标准为：行驶路程不超过3千米收费7元，超过3千米的部分按每千米2元收费．
（1）若某人乘坐了x（x＞3）千米，则他应支付车费　 　元（用含有x的代数式表示）；
（2）一出租车公司坐落于东西向的大道边，驾驶员王师傅从公司出发，在此大道上连续接送了4批客人，行驶记录如下：（规定向东为正，向西为负，单位：千米）．
第1批
第2批
第3批
第4批
+2.1
﹣6
+2.9
﹣5
①送完第4批客人后，王师傅在公司的　 　边（填“东”或“西”），距离公司　 　千米的位置；
②若王师傅的车平均每千米耗油0.1升，则送完第4批客人后，王师傅用了多少升油？
③在整个过程中，王师傅共收到车费多少元？
【变式2.1】（2019秋•南岸区校级期末模拟）如图是2006年3月份的日历表，任意圈出一竖列上相邻的三个数，请你运用字母表示数来研究，这三个数的和不可能是（　　）

A．69 B．54 C．27 D．40
【变式2.2】（2019秋•醴陵市期末）比a的倒数小n的数表示为 ．
【变式2.3】（2020秋•合浦县期中）某餐饮店服务员小张2020年前五个月每月的奖金变化情况如下表（正数表示比前一月多的钱数，负数表示比前一月少的钱数，单位：元）：
月份
1月
2月
3月
4月
5月
钱数变化
﹣300
﹣220
﹣120
+260
+510
若2019年12月份小张的奖金为a元，
（1）用代数式表示2020年2月份小张的奖金；
（2）小张5月份所得奖金比2月份多多少？
【变式2.4】（2020秋•振兴区校级期中）某工厂第一车间有x人，第二车间人数比第一车间人数的45少20人，第三车间人数是第二车间人数的54多10人．
（1）求第二车间有多少人？（用含x的代数式表示）
（2）求第三车间有多少人？（用含x的代数式表示）
（3）如果从第二车间调出10人到第一车间，原第三车间人数比调动后的第一车间人数少几人？
【考点3】单项式的有关概念
【例3】（2019秋•利津县期中）已知（m+3）x3y|m+1|是关于x，y的七次单项式，求m2﹣3m+1的值．
【变式3.1】若-a3x|m|y是关于x、y的单项式，且系数是-59，次数是4，求代数式3a+12m的值．
【变式3.2】（2020秋•恩施市期中）小明在抄写单项式时把字母中有的指数漏掉了，抄成-45xyz，他只知道这个单项式是四次单项式，你能帮他写出这个单项式吗？这样的单项式有几个，不妨都写出来．
【变式3.3】已知单项式（m﹣2）x3yn﹣3是一个关于字母x，y的5次单项式，则m，n需满足的条件是什么？
【变式3.4】（2019秋•颍泉区校级期末）观察下列单项式：﹣x，3x2，﹣5x3，7x4，…﹣37x19，39x20，…写出第n个单项式，为了解这个问题，特提供下面的解题思路．
（1）这组单项式的系数依次为多少，绝对值规律是什么？
（2）这组单项式的次数的规律是什么？
（3）根据上面的归纳，你可以猜想出第n个单项式是什么？
（4）请你根据猜想，写出第2016个，第2017个单项式．
【考点4】多项式的有关概念
【例4】（2020秋•庆阳期中）已知多项式A＝ax4+4x2-13，B＝3xb﹣5x，若A，B两个多项式的次数相同，且最高次数项的系数互为相反数．
（1）求a，b的值；
（2）求12b2﹣3b+4b﹣5的值．
【变式4.1】（2020秋•曲阜市校级期中）下列说法正确的是（　　）
A．2x2﹣2x+35是五次三项式
B．1a不是单项式
C．-23πxy2的系数是 -23
D．﹣22xab2的次数是6
【变式4.2】（2019秋•京山市期中）化简与求值：
（1）已知多项式a2b|m|﹣2ab+b9﹣2m+3为5次多项式，求m的值；
（2）若多项式x2+2kxy+y2﹣2xy﹣k不含xy的项，求k的值．
【变式4.3】（2019秋•费县校级期中模拟）若关于x的多项式﹣5x3﹣（2m﹣1）x2+（2﹣3n）x﹣1不含二次项和一次项，求m，n的值．
【考点5】同类项
【例5】（2020秋•天河区校级期中）如果两个关于x，y的单项式﹣mxa+2y3与2nx3a﹣4y3是同类项（其中xy≠0）．
（1）求a的值．
（2）如果它们的和为零，求（2m﹣4n﹣1）2020的值．
【变式5.1】（2020秋•庐阳区校级期中）下列判断正确的是（　　）
A．2a2bc与bca2不是同类项
B．x-12是整式
C．单项式a没有系数
D．4x2﹣3y+22xy2是四次三项式
【变式5.2】（2020秋•未央区校级期中）已知5xm+2y3与14x6yn+1是同类项，则（﹣m）3+n等于　 　．
【变式5.3】若﹣am+1b3与（n+2）a2b3是同类项，且它们的和为0，求（m+n）2013．
【变式5.4】（2020秋•锦江区校级期中）已知单项式34xbya+1+1与单项式﹣5x6﹣by2是同类项，c是多项式2mn﹣5m﹣n﹣3的次数．
（1）a＝　 　，b＝　 　，c＝　 　．
（2）若关于x的二次三项式ax2+bx+c的值是3，求代数式2019﹣2x2﹣6x的值．
【考点6】合并同类项
【例6】合并同类项．
（1）6a2﹣5b2+2ab+5b2﹣6a2；
（2）-x2+2x+12x2-3x；
（3）-3ab2+12a2b+4b2a-0.5a2b；
（4）b-8a+23b-12a．
【变式6.1】合并下列多项式中的同类项：
（1）3x2+4x﹣2x2﹣x+x2﹣3x﹣1；（2）﹣a2b+2a2b；
（3）a3﹣a2b+ab2+a2b﹣2ab2+b3；（4）2a2b+3a2b-12a2b
【变式6.2】（2020秋•射洪市期中）如果关于字母x的二次三项式﹣3x2+mx﹣5+nx2﹣x+3的值与x的取值无关，求m2+2mn+n2的值．
【变式6.3】（2020秋•德城区校级期中）若﹣2amb4与5a3b2+n的和是单项式，则mn＝ 　．
【变式6.4】对于代数式2x2+7xy+3y2+x2﹣kxy+5y2，老师提出了两个问题，第一个问题是：当k为何值时，代数式中不含xy项，第二个问题是：在第一问的前提下，如果x＝2，y＝﹣1，代数式的值是多少？
（1）小明同学很快就完成了第一个问题，也请你把你的解答写在下面吧．
（2）在做第二个问题时，马小虎同学把y＝﹣1，错看成y＝1，可是他得到的最后结果却是正确的，你知道这是为什么吗？
【变式6.5】（2020秋•夏邑县期中）阅读材料：我们知道，4x﹣2x+x＝（4﹣2+1）x＝3x，类似地，若把（a+b）看成一个整体，则4（a+b）﹣2（a+b）+（a+b）＝（4﹣2+1）（a+b）＝3（a+b）．
“整体思想”是数学解题中一种非常重要的数学思想方法，它在多项式的化简与求值中应用极为广泛．
（1）把（a﹣b）2看成一个整体，合并3（a﹣b）2﹣6（a﹣b）2+2（a﹣b）2的值为　 　；
（2）已知x+2y＝3，求代数式3x+6y﹣8的值；
（3）已知xy+x＝﹣6，y﹣xy＝﹣2，求代数式2[x+（xy﹣y）2]﹣3[（xy﹣y）2﹣y]﹣xy的值．
【考点7】去括号
【例7】（2019秋•滨湖区校级期末）去括号，合并同类项
（1）﹣3（2s﹣5）+6s；
（2）3x﹣[5x﹣（12x﹣4）]；
（3）6a2﹣4ab﹣4（2a2+12ab）；
（4）﹣3（2x2﹣xy）+4（x2+xy﹣6）
【变式7.1】（2020秋•津南区期中）去括号正确的是（　　）
A．﹣（5x﹣2）＝﹣5x﹣2 B．﹣（﹣5x﹣2）＝﹣5x+2
C．﹣（﹣5x+2）＝5x﹣2 D．﹣（5x﹣2）＝5x+2
【变式7.2】先去括号，再合并同类项：
（1）（x+3）﹣（y﹣2x）+（2y﹣1）；
（2）4（x+2x2﹣5）﹣2（2x﹣x2+1）；
（3）3a+（a2﹣a﹣2）﹣（1﹣3a﹣a2）；
（4）﹣5（x2﹣3）﹣2（3x2+5）；
（5）3（ab﹣b2）﹣2（ab+3a2﹣2ab）﹣6（ab﹣b2）
【变式7.3】去括号，并合并同类项：﹣3（2x﹣y）﹣2（4x+12y）+2009．
【变式7.4】（2019秋•徐闻县期中）观察下列各式：①﹣a+b＝﹣（a﹣b）；②2﹣3x＝﹣（3x﹣2）；③5x+30＝5（x+6）；④﹣x﹣6＝﹣（x+6）．探索以上四个式子中括号的变化情况，思考它和去括号法则有什么不同？利用你探索出来的规律，解答下面的题目：
已知a2+b2＝5，1﹣b＝﹣1，求﹣1+a2+b+b2的值．
【变式7.5】观察下列各式：（1）﹣a+b＝﹣（a﹣b）；（2）2﹣3x＝﹣（3x﹣2）；（3）5x+30＝5（x+6）；（4）﹣x﹣6＝﹣（x+6）．探索以上四个式子中括号的变化情况，思考它和去括号法则有什么不同？利用你的探索出来的规律，解答下面的题目：
已知a2+b2＝5，1﹣b＝﹣2，求1+a2+b+b2的值．
【考点8】代数式求值问题
【例8】（2020秋•市中区期中）（1）已知a、b是有理數，且a3=3，a与b互为倒数，试求2a+34ab的值．
（2）|1100-199|+|1101-1100|﹣|1101-199|．
【变式8.1】（2020秋•漳浦县期中）按如图的程序计算，若开始输入的值x为正整数，当输入x＝10时，输出的值为（　　）

A．28 B．52 C．56 D．100
【变式8.2】（2020秋•成都期中）若a﹣2b＝1，则3﹣2a+4b的值是　 　．
【变式8.3】（2020秋•武昌区期中）已知ax3+bx2+cx+d＝（x﹣2）3，小明发现当x＝1时，可以得到a+b+c+d＝﹣1．
（1）﹣a+b﹣c+d＝　 　；
（2）求8a+4b+2c的值．
【变式8.4】（2020秋•安徽期中）“囧”（jiong）是一个网络流行语，像一个人脸郁闷的神情．如图所示，一张边长为16的正方形的纸片，剪去两个一样的小直角三角形和一个长方形得到一个“囧”字图案（阴影部分）．设剪去的小长方形长和宽分别为x、y，剪去的两个小直角三角形的两直角边长也分别为x、y．
（1）用含有x、y的代数式表示图中阴影部分的面积；
（2）当x＝6，y＝4时，求此时图中阴影部分的面积．

【考点9】整式的加减
【例9】先去括号，再合并同类项：
（1）（2x2﹣3x+1）+（﹣3x2+5x﹣7）；
（2）（﹣x2+3xy﹣y2）﹣（﹣x2+4xy-32y2）；
（3）（3a2b+14ab2）﹣（34ab2+a2b）；
（4）7（p3+p2﹣p﹣1）﹣2（p3+p）；
（5）﹣（13+m2n+m3）﹣（23-m2n﹣m3）．
【变式9.1】如图，有四个大小相同的小长方形和两个大小相同的大长方形按如图位置摆放，按照图中所示尺寸，求小长方形的长与宽的差．

【变式9.2】已知A＝3x3﹣2x+1，B＝3x2+2x﹣1，C＝2x3+1．
求：（1）A+B；（2）A﹣2C；（3）A﹣B﹣C．
【变式9.3】已知，一列火车上原有（6a﹣2b）人，中途下车一半人，又上车若干人，使车上共有乘客（10a﹣6b）人．
（1）问上车的乘客是多少人？
（2）当a＝200，b＝100时，上车的乘客是多少人．
【变式9.4】有理数a、b、c在数轴上的对应点如图，化简|a﹣b|+|a+b|+|c﹣a|﹣|c﹣b|．

【变式9.5】（1）-12a2bc+12cba2
（2）7ab﹣3a2b2+7+8ab2+3a2b2﹣3﹣7ab
（3）（﹣x+2x2+5）+（4x2﹣3﹣6x）
（4）（2x2-12+3x）﹣4（x﹣x2+12）
【考点10】整式的化简求值
【例10】（2020秋•滨海新区期中）（1）计算：
①a2b﹣3a2b；
②（5x2+4﹣3x2）﹣（5x+2x2+5）+6x；
③3m2﹣[5m﹣（12m﹣3）+2m2]．
（2）先化简，再求值：5（3a2b﹣ab2）﹣（ab2+3a2b+2），其中a=12，b=13．
【变式10.1】（2020秋•乾安县期中）先化简再求值：3（x2﹣2xy）﹣[3x2﹣2y+2（2xy+y）]，其中x＝﹣1，y＝2．
【变式10.2】（2020秋•铁锋区期中）已知a＝2，b＝﹣1，求2[32a2b-12（a+1）]﹣3（a2b﹣2b）﹣6（b+23）的值时，马虎同学将a＝2，b＝﹣1错抄成a＝2，b＝1，可结果还是正确的，马虎同学比较纳闷，请你帮助他揭开其中的迷雾，写出你的说明过程．
【变式10.3】（2020•新华区校级一模）小丽同学准备化简：（3x2﹣6x﹣8）﹣（x2﹣2x□6），算式中“□”是“+，﹣，×，÷”中的某一种运算符号
（1）如果“□”是“×”，请你化简：（3x2﹣6x﹣8）﹣（x2﹣2x×6）；
（2）若x2﹣2x﹣3＝0，求（3x2﹣6x﹣8）﹣（x2﹣2x﹣6）的值；
（3）当x＝1时，（3x2﹣6x﹣8）﹣（x2﹣2x□6）的结果是﹣4，请你通过计算说明“□”所代表的运算符号．
【变式10.4】（2020秋•滨海新区期中）我们知道，4a﹣3a+a＝（4﹣3+1）a＝2a，类似地，我们把（x+y）看成一个整体，则4（x+y）﹣3（x+y）+（x+y）＝（4﹣3+1）（x+y）＝2（x+y）．“整体思想”是中学数学解题中的一种重要的思想方法，它在多项式的化简与求值中应用极为广泛．
请尝试：
（1）把（m﹣n）2看成一个整体，合并2（m﹣n）2﹣4（m﹣n）2+（m﹣n）2的结果是　 　；
（2）已知x2﹣4x＝2，求3x2﹣12x-152的值；
（3）已知a﹣2b＝3，c﹣d＝3，2b﹣c＝﹣10，求（2b﹣d）﹣（2b﹣c）+（a﹣c）的值．
【变式10.5】（2019秋•兰州期末）有这样一道题：“当a＝0.35，b＝﹣0.28时，求多项式7a3﹣6a3b+3a2b+3a3+6a3b﹣3a2b﹣10a3的值．”小明说：本题中a＝0.35，b＝﹣0.28是多余的条件；小强马上反对说：这不可能，多项式中每一项都含有a和b，不给出a，b的值怎么能求出多项式的值呢？你同意哪名同学的观点？请说明理由．