4一元一次方程及解法精讲精练-2020-2021学年七年级数学上学期期末复习【试卷】

4一元一次方程及解法精讲精练
【目标导航】

【知识梳理】
1. 一元一次方程的定义
只含有一个未知数（元），且未知数的次数是1，方程两边都是整式，这样的方程叫一元一次方程．
2. 一元一次方程的解
定义：使一元一次方程左右两边相等的未知数的值叫做一元一次方程的解．
把方程的解代入原方程，等式左右两边相等．
3.等式的性质
性质1、等式两边加同一个数（或式子）结果仍得等式；
性质2、等式两边乘同一个数或除以一个不为零的数，结果仍得等式．
4.解一元一次方程的一般步骤：
(1) 去分母：在方程两边都乘以各分母的最小公倍数（不含分母的项也要乘）；
(2) 去括号：一般先去小括号，再去中括号，最后去大括号；
(3) 移项：把方程中含有未知数的项都移到方程的一边；
(4) 合并同类项：把含有未知数的项系数进行运算，把已知项进行运运算；
(5) 系数化为1：在方程两边都除以未知数的系数a，得到方程的解。
【典例剖析】
【考点1】一元一次方程的有关定义
【例1】（2019秋•浠水县校级期末模拟）若（m﹣4）x2|m|﹣7﹣4m＝0是关于x的一元一次方程，求m2﹣2m+1994的值．
【变式1.1】（2020秋•南岗区校级期中）下列方程是一元一次方程的是（　　）
A．2x﹣5＝y B．3x＝6 C．x2﹣5x+6＝0 D．x+1x=2
【变式1.2】（2019秋•忠县校级期末）已知kx4k﹣5+5＝3k是关于x的一元一次方程，求k的值并解方程．
【变式1.3】（2019秋•合川区校级期末模拟）如果方程（m﹣1）x+2＝0是关于x的一元一次方程，那么m的取值范围是 　．
【考点2】一元一次方程的解
【例2】（2019秋•东湖区期末）若关于x的方程12mx-53=12（x-43）有负整数解，求整数m的值．
【变式2.1】（2019秋•嘉祥县期末）若关于m的方程2m+b＝m﹣1的解是﹣4，则b的值为（　　）
A．﹣3 B．3 C．﹣5 D．﹣13
【变式2.3】（2019秋•曲阳县期末）一系列方程，第1个方程是x+x2=3，解为x＝2；第2个方程是x2+x3=5，解为x＝6；第3个方程是x3+x4=7，解为x＝12；…根据规律第10个方程是　x10+x11=21　，解为　 　．
【变式2.4】（2017秋•汉阳区校级期中）已知一组数列：11，12，22，12，13，23，33，23，13，14，24，34，44，34，24，14，⋯，记第一个数为a1，第二个数为a2，…，第n个数为an，若an是方程15(1-x)=16(x+1)的解，则n＝　 　．
【考点3】等式的性质
【例3】利用等式的性质解下列方程：
（1）2x+3＝11；
（2）34x﹣1=12x+3；
（3）12x﹣1＝6；
（4）﹣3x﹣1＝5﹣6x．
【变式3.1】（2020春•射洪市期末）设■，●，▲分别表示三种不同的物体，如图所示，前两架天平保持平衡，如果要使第三架天平也平衡，那么以下方案不正确的是（　　）

A． B．
C． D．
【变式3.2】（2019秋•南岗区期末）比a的3倍大5的数等于a的4倍用等式表示为　 　．
【变式3.3】利用等式的性质解下列方程：
（1）x+25＝95；
（2）x﹣12＝﹣4；
（3）0.3x＝12；
（4）23x=-3．
【考点4】一元一次方程的解法——移项
【例4】（2019秋•嘉祥县期末）2x﹣1与﹣x+2互为相反数，那么x的值是　 　．
【变式4.1】下列方程变形中，属于移项的是（　　）
A．由3x＝﹣2，得x=-23 B．由x2=3，得x＝6
C．由5x﹣10＝0，得5x＝10 D．2+3x＝0，得3x+2＝0
【变式4.2】（2019秋•禅城区期末）当代数式2x﹣2与3+x的值相等时，x＝　 　．
【变式4.3】老师在黑板上出了一道解方程的题2（x+3）﹣3（x﹣1）＝5（1﹣x），小明马上举手，要求到黑板上做，他是这样做的：解：去括号，得2x+3﹣3x﹣3＝5﹣5x，①
合并，得﹣x＝5﹣5x，②
移项，得﹣x+5x＝5，③
合并同类项，得4x＝5，④
两边都除以4，得x=45，⑤
小明对于解一元一次方程的一般步骤他都知道，却没有掌握好，因此解题时出现了错误．请你指出他的错误，并细心地解方程．
【考点5】一元一次方程的解法——去括号
【例5】解方程：
（1）（3x﹣1）﹣3（2x﹣5）﹣（x+3）+9＝0；
（2）x+[2-12（x﹣4）]＝2x+3；
（3）2x-12[x-12（x﹣1）]=23（x﹣1）；
（4）3（x﹣1）-13（x﹣1）＝2（x﹣1）-12（x+1）．
【变式5.1】解方程：
（1）6（13x﹣1）＝3x+7；
（2）3x﹣（4x﹣5）＝7；
（3）5（2﹣x）＝﹣（2x﹣7）；
（4）3（x﹣1）﹣（x+3）＝2（2x﹣5）；
（5）4﹣x＝2﹣3（2﹣x）；
（6）5x﹣（2﹣x）＝1．
【变式5.2】若代数式x-13（x﹣1）与代数式2-15（2x+1）的值相等，则x＝　 　．
【考点6】一元一次方程的解法——去分母
【例6】解下列方程：
（1）13(x-1)-12(2x+1)=0
（2）x﹣2[x﹣4（x﹣1）]﹣8＝﹣2
（3）34(43x+1)=1
（4）12(x+1)+1=16-13(x+1)．
【变式6.1】（20199秋•台安县期末）已知x-42与25互为倒数，则x等于　 　．
【变式6.2】（2018秋•岐山县期末）老师在黑板上出了一道解方程的题：2x-13=1-x-24，小明马上举起了手，要求到黑板上去做，他是这样做的：4（2x﹣1）＝1﹣3（x+2），①
8x﹣4＝1﹣3x﹣6，②
8x+3x＝1﹣6+4，③
11x＝﹣1，④
x=-111．⑤
老师说：小明解一元一次方程的一般步骤都掌握了，但解题时有一步做错了．请你指出他错在第　 　步（填编号），然后再细心地解下面的方程，相信你一定能做对．
（1）5（x+8）＝6（2x﹣7）+5
（2）3a-14-1=5a-76
【变式6.3】解方程：
（1）x-x-12=2-x+23；
（2）2x-12=2-x-45；
（3）5x+13=1-2x-16；
（4）5x+13-2x-16=1；
（5）1-3x6+2x+13=1-x+518；
（6）15（3x﹣1）﹣2=110（3x+2）-12（2x﹣3）．
【考点7】含小数的一元一次方程
【例7】解方程：
（1）0.1-2x0.3=1+x0.15；
（2）x+80.2-x-30.5=1.2-x+165；
（3）0.3x-0.50.3+1.5=0.5+0.4x0.6；
（4）3+0.2x0.2-0.2+0.03x0.01=0.75．
【变式7.1】（2020秋•南岗区校级月考）将方程x0.3=1+1.2-0.3x0.2中分母化为整数，正确的是（　　）
A．10x3=10+12-3x2 B．x3=10+1.2-0.3x0.2
C．10x3=1+12-3x2 D．x3=1+1.2-0.3x2
【变式7.2】解下列方程：
（1）4﹣x＝3（2﹣x）
（2）x+12-2-3x2=1
（3）2-x-56=x-x+13
（4）2x0.3-1.6-3x0.6=31x+83．
【考点8】同解方程问题
【例8】（2019秋•东湖区期末）已知关于x的方程3[x﹣2（x-a3）]＝4x和3x+a4-1-5x8=1有相同的解，求这个解．
【变式8.1】（2020•邢台二模）已知关于x的方程5x﹣2＝3x+16的解与方程4a+1＝4（x+a）﹣5a的解相同，则a＝　 　；若[m]表示不大于m的最大整数，那么[a2-1]＝　 ．
【变式8.2】（2019秋•河东区期末）若方程2x+1＝﹣3和2-a-x3=0的解相同，则a的值是 ．
【变式8.3】（2016秋•罗湖区校级期末）已知关于x的方程3[x﹣2（x-a3）]＝4x和3x+a12-1-5x8=1有相同的解，求a的值和这个解是什么？
【考点9】由实问题抽象出一元一次方程
【例9】（2018秋•东城区期末）《九章算术》是中国传统数学最重要的著作，奠定了中国传统数学的基本框架．《九章算术》采用问题集的形式，全书共收集了246个问题，分为九章，其中的第八章叫“方程”章，方程一词就源于这里．《九章算术》中记载：“今有共买物，人出八，盈三；人出七，不足四．问人数、物价各几何？”
译文：“几个人一起去购买物品，如果每人出8钱，那么剩余3钱；如果每人出7钱，那么差4钱．问有多少人，物品的价格是多少”？
设有x人，可列方程为　 　．
【变式9.1】（2015秋•赵县期末）有一位旅客携带了30kg重的行李从上海乘飞机去北京，按民航总局规定：旅客最多可免费携带20kg重的行李，超重部分每千克按飞机票价格1.5%购买行李票，现该旅客购买了180元的行李票，则飞机票价格应是多少元？
【变式9.2】某车间有26名工人，每人每天生产螺栓12个或螺母18个，设有x名工人生产螺栓，其他工人生产螺母，每天生产的螺栓和螺母按1：2配套，则可列一个关于x的方程为　 　．
【变式9.3】根据下列题意，列出方程：
（1）已知长方形的周长是36cm，长比宽的2倍多3cm，求长方形的长与宽各是多少？
（2）毕业在即，九年级某班为纪念师生情谊，班委决定花800元班费买两种不同单价的留念册，分别给50位同学和10位任课老师每人一本留作纪念．其中送给任课老师的留念册的单价比给同学的单价多8元．请问这两种不同留念册的单价分别为多少元？
【考点10】有关方程的新定义问题
【例10】（2019秋•邗江区校级期末）用“⊗”规定一种新运算：对于任意有理数a和b，规定a⊗b＝ab2+2ab+a．
如1⊗3＝1×32+2×1×3+1＝16．
（1）求2⊗（﹣1）的值；
（2）若（a﹣1）⊗3＝32，求a的值；
（3）若m＝2⊗x，n＝（14x）⊗3（其中x为有理数），试比较m、n的大小．
【变式10.1】（2019•茅箭区模拟）已知一种运算满足：x※y＝2xy+1；x★y＝x+2y﹣1，例如：2※3＝2×2×3+1＝13；2★3＝2+2×3﹣1＝7．若a※（4★5）的值为﹣51，则a的值为　 　．
【变式10.2】（2018秋•荔城区期末）阅读下面“将无限循环小数化为分数”材料，并解决相应问题：
我们知道分数13写为小数形式即为0.3⋅，反之，无限循环小数0.3⋅写成分数形式即13．一般地，任何一个无限循环小数都可以写成分数形式吗？如果可以，应怎样写呢？
【发现】先以无限循环小数0.7⋅为例进行讨论．
设0.7⋅=x，由0.7⋅=0.777…可知，10x＝7.777…，即10x﹣x＝7．解方程，得x=79．于是0.7⋅=79，
【类比探究】再以无限循环小数0.73⋅⋅为例，做进一步的讨论．
无限循环小数0.73⋅⋅=0.737373…，它的循环节有两位，类比上面的讨论可以想到如下做法．
设0.73⋅⋅=x，由0.73⋅⋅=0.737373…可知，100x＝73.7373…，所以100x﹣x＝73．解方程，得x=7399，于是得0.73⋅⋅=7399
【解决问题】
（1）请你把无限小数0.4⋅写成分数形式，即0.4⋅=　 ；
（2）请你把无限小数0.75⋅⋅写成分数形式，即0.75⋅⋅=　 ；
（3）根据以上过程比较0.9⋅与1的大小关系，并说明你的理由．
【变式10.3】（2018秋•阜宁县期末）设a，b，c，d为有理数，现规定一种新的运算：abcd=ad﹣bc，当2x43x-23=10时，求代数式2（x﹣2）﹣3（x+1）的值．



【典例剖析】
【考点1】一元一次方程的有关定义
【例1】（2019秋•浠水县校级期末模拟）若（m﹣4）x2|m|﹣7﹣4m＝0是关于x的一元一次方程，求m2﹣2m+1994的值．
【分析】只含有一个未知数（元），且未知数的次数是1，这样的方程叫一元一次方程．
【解析】∵（m﹣4）x2|m|﹣7﹣4m＝0是关于x的一元一次方程，
∴m﹣4≠0且2|m|﹣7＝1，
解得：m＝﹣4，
∴原式＝16+8+1994＝2018．
【变式1.1】（2020秋•南岗区校级期中）下列方程是一元一次方程的是（　　）
A．2x﹣5＝y B．3x＝6 C．x2﹣5x+6＝0 D．x+1x=2
【分析】根据一元一次方程的定义解答即可．
【解析】A、2x﹣5＝y是二元一次方程，故此选项不符合题意；
B、3x＝6是一元一次方程，故此选项符合题意；
C、x2﹣5x+6＝0是一元二次方程，故此选项不符合题意；
D、x+1x=2是分式方程，故此选项不符合题意．
故选：B．
【变式1.2】（2019秋•忠县校级期末）已知kx4k﹣5+5＝3k是关于x的一元一次方程，求k的值并解方程．
【分析】明确一元一次方程的定义，即可得4k﹣5＝1，即可求得k的值，解方程即可．
【解析】∵kx4k﹣5+5＝3k是关于x的一元一次方程，
∴4k﹣5＝1，k=32，
原方程为32x+5=92，
化简得：32x=-12，
解得x=-13．
【变式1.3】（2019秋•合川区校级期末模拟）如果方程（m﹣1）x+2＝0是关于x的一元一次方程，那么m的取值范围是　m≠1　．
【分析】由一元一次方程的定义可知m﹣1≠0，从而可求得m的范围．
【解析】∵方程（m﹣1）x+2＝0是关于x的一元一次方程，
∴m﹣1≠0．
解得：m≠1．
故答案为：m≠1．
【考点2】一元一次方程的解
【例2】（2019秋•东湖区期末）若关于x的方程12mx-53=12（x-43）有负整数解，求整数m的值．
【分析】根据关于x的方程12mx-53=12（x-43）有负整数解，用含m的式子表示出x，再求整数m的值即可．
【解析】因为关于x的方程12mx-53=12（x-43）有负整数解，
所以解方程，得
x=2m-1，
所以m﹣1＜0，
所以m＜1，
所以整数m的值为：0，﹣1．
【变式2.1】（2019秋•嘉祥县期末）若关于m的方程2m+b＝m﹣1的解是﹣4，则b的值为（　　）
A．﹣3 B．3 C．﹣5 D．﹣13
【分析】把m＝﹣4代入方程2m+b＝m﹣1，即可求得b的值．
【解析】把m＝﹣4代入方程2m+b＝m﹣1，得
﹣8+b＝﹣4﹣1
解得b＝3．
则b的值为3．
故选：B．
【变式2.3】（2019秋•曲阳县期末）一系列方程，第1个方程是x+x2=3，解为x＝2；第2个方程是x2+x3=5，解为x＝6；第3个方程是x3+x4=7，解为x＝12；…根据规律第10个方程是　x10+x11=21　，解为　x＝110　．
【分析】观察这一系列方程可发现规律，第n个方程为xn+x(n+1)=2n+1，解为n（n+1）．然后将10代入即可得到答案．
【解析】第1个方程是x+x2=3，解为x＝2×1＝2；
第2个方程是x2+x3=5，解为x＝2×3＝6；
第3个方程是x3+x4=7，解为x＝3×4＝12；
…
可以发现，第n个方程为xn+x(n+1)=2n+1
解为n（n+1）．
∴第10个方程是 x10+x11=21，
解为：x＝10×11＝110．
故答案为：x10+x11=21；x＝110．
【变式2.4】（2017秋•汉阳区校级期中）已知一组数列：11，12，22，12，13，23，33，23，13，14，24，34，44，34，24，14，⋯，记第一个数为a1，第二个数为a2，…，第n个数为an，若an是方程15(1-x)=16(x+1)的解，则n＝　101或121　．
【分析】先求出求出方程15(1-x)=16(x+1)的解，得出n为11组，再给数列分组，从中找出规律每组的个数有2n﹣1，即可求解．
【解析】将方程15(1-x)=16(x+1)去分母得：6（1﹣x）＝5（x+1），
移项，并合并同类项得：1＝11x，
解得x=111，
∵an是方程15(1-x)=16(x+1)的解，
∴an=111，则n为11组第一个数，
由数列可发现规律：11为1组，12、22、12为1组…每组的个数为2n﹣1，
n＝1+3+…+19+1
＝（1+19）×10÷2+1
＝100+1
＝101，
或n＝1+3+…+21
＝（1+21）×11÷2
＝121．
故答案为：101或121．
【考点3】等式的性质
【例3】利用等式的性质解下列方程：
（1）2x+3＝11；
（2）34x﹣1=12x+3；
（3）12x﹣1＝6；
（4）﹣3x﹣1＝5﹣6x．
【分析】（1）利用等式的性质1变形为：2x＝8，然后利用等式的性质2得到x＝4；
（2）利用等式的性质1得到：14x=4，然后利用等式的性质2可得到x＝16；
（3）利用等式的性质1得到12x=7，然后利用等式的性质2可得到x＝14；
（4）利用等式的性质1得到3x＝6，然后利用等式的性质2可得到x＝2．
【解析】（1）等式两边同时减3得：2x＝8，等式两边同时除以2得x＝4；
（2）等式两边同时减12x再加1得：14x=4，等式两边同时乘以4得x＝16；
（3）等式两边同时加1得：12x=7，等式两边同时乘以2得x＝14；
（4）等式两边同时加上6x+1得：3x＝6，等式两边同时除以3得x＝2．
【变式3.1】（2020春•射洪市期末）设■，●，▲分别表示三种不同的物体，如图所示，前两架天平保持平衡，如果要使第三架天平也平衡，那么以下方案不正确的是（　　）

A． B．
C． D．
【分析】根据第一个天平可得2●＝▲+■，根据第二个天平可得●+▲＝■，可得出答案．
【解析】根据图示可得：
2●＝▲+■①，
●+▲＝■②，
由①②可得●＝2▲，■＝3▲，
则■+●＝5▲＝2●+▲＝●+3▲．
故选：A．
【变式3.2】（2019秋•南岗区期末）比a的3倍大5的数等于a的4倍用等式表示为　3a+5＝4a　．
【分析】根据题意a的3倍表示为3a，即得出3a+5，同理a的4倍表示为4a，再用等号连接即可．
【解析】根据题意得：3a+5＝4a．
故答案为：3a+5＝4a．
【变式3.3】利用等式的性质解下列方程：
（1）x+25＝95；
（2）x﹣12＝﹣4；
（3）0.3x＝12；
（4）23x=-3．
【分析】等式的两个基本性质分别是：等式的两边同时加上或减去同一个数，等式的大小不变；等式的两边同时乘上同一个数或除以同一个不为0的数，等式的大小不变；据此解答．
【解析】（1）方程两边同时减去25得：
x+25﹣25＝95﹣25，
解得x＝70；
（2）方程两边同时加上12得
x﹣12+12＝﹣4+12，
解得：x＝8；
（3）方程两边同时除以0.3得
0.3x÷0.3＝12÷0.3，
解得：x＝40；
（4）方程两边同时乘以32得：
23x×32=-3×32，
解得：x=-92．
【考点4】一元一次方程的解法——移项
【例4】（2019秋•嘉祥县期末）2x﹣1与﹣x+2互为相反数，那么x的值是　﹣1　．
【分析】利用相反数的性质列出方程，求出方程的解即可得到x的值．
【解析】根据题意得：2x﹣1﹣x+2＝0，
移项合并得：x＝﹣1，
故答案为：﹣1
【变式4.1】下列方程变形中，属于移项的是（　　）
A．由3x＝﹣2，得x=-23 B．由x2=3，得x＝6
C．由5x﹣10＝0，得5x＝10 D．2+3x＝0，得3x+2＝0
【分析】利用等式的基本性质，以及移项法则判断即可．
【解析】A、由3x＝﹣2，得x=-23，不合题意；
B、由x2=3，得x＝6，不合题意；
C、由5x﹣10＝0，得5x＝10，符合题意；
D、由2+3x＝0，得3x+2＝0，不合题意，
故选：C．
【变式4.2】（2019秋•禅城区期末）当代数式2x﹣2与3+x的值相等时，x＝　5　．
【分析】根据题意列出方程，求出方程的解即可得到x的值．
【解析】根据题意得：2x﹣2＝3+x，
移项合并得：x＝5，
故答案为：5．
【变式4.3】老师在黑板上出了一道解方程的题2（x+3）﹣3（x﹣1）＝5（1﹣x），小明马上举手，要求到黑板上做，他是这样做的：解：去括号，得2x+3﹣3x﹣3＝5﹣5x，①
合并，得﹣x＝5﹣5x，②
移项，得﹣x+5x＝5，③
合并同类项，得4x＝5，④
两边都除以4，得x=45，⑤
小明对于解一元一次方程的一般步骤他都知道，却没有掌握好，因此解题时出现了错误．请你指出他的错误，并细心地解方程．
【分析】先去括号，再移项，合并同类项，把x的系数化为1即可．
【解析】第①步去括号有误．
正确解法：去括号得，2x+6﹣3x+3＝5﹣5x，
移项得，2x﹣3x+5x＝5﹣3﹣6，
合并同类项得，4x＝﹣4，
把x的系数化为1得，x＝﹣1．
【考点5】一元一次方程的解法——去括号
【例5】解方程：
（1）（3x﹣1）﹣3（2x﹣5）﹣（x+3）+9＝0；
（2）x+[2-12（x﹣4）]＝2x+3；
（3）2x-12[x-12（x﹣1）]=23（x﹣1）；
（4）3（x﹣1）-13（x﹣1）＝2（x﹣1）-12（x+1）．
【分析】（1）去括号，移项，合并同类项，系数化为1，即可得到答案；
（2）去括号，移项，合并同类项，系数化为1，即可得到答案；
（3）去括号，去分母，移项，合并同类项，系数化为1，即可得到答案；
（4）去分母，移项，合并同类项，去括号，移项，合并同类项，系数化为1，即可得到答案．
【解析】（1）（3x﹣1）﹣3（2x﹣5）﹣（x+3）+9＝0，
去括号得：3x﹣1﹣6x+15﹣x﹣3+9＝0，
移项得：3x﹣6x﹣x＝1﹣15+3﹣9，
合并同类项得：﹣4x＝﹣20，
系数化为1得：x＝5．
（2）x+[2-12（x﹣4）]＝2x+3，
去括号得：x+2-12x+2＝2x+3，
移项得：x-12x-2x＝3﹣2﹣2，
合并同类项得：-32x＝﹣1，
系数化为1得：x=23．
（3）2x-12[x-12（x﹣1）]=23（x﹣1），
去括号得：2x-12x+14x-14=23x-23，
去分母得：24x﹣6x+3x﹣3＝8x﹣8，
移项得：24x﹣6x+3x﹣8x＝﹣8+3，
合并同类项得：13x＝﹣5，
系数化为1得：x=-513．
（4）3（x﹣1）-13（x﹣1）＝2（x﹣1）-12（x+1），
去分母得：18（x﹣1）﹣2（x﹣1）＝12（x﹣1）﹣3（x+1），
移项得：4（x﹣1）＝﹣3（x+1），
去括号得：4x﹣4＝﹣3x﹣3，
合并同类项得：4x+3x＝﹣3+4，
系数化为1得：x=17．
【变式5.1】解方程：
（1）6（13x﹣1）＝3x+7；
（2）3x﹣（4x﹣5）＝7；
（3）5（2﹣x）＝﹣（2x﹣7）；
（4）3（x﹣1）﹣（x+3）＝2（2x﹣5）；
（5）4﹣x＝2﹣3（2﹣x）；
（6）5x﹣（2﹣x）＝1．
【分析】（1）先去括号、移项得到2x﹣3x＝7+6，然后合并后把x的系数化为1即可；
（2）先去括号，再移项合并即可，然后合并后把x的系数化为1即可；
（3）先去括号、移项得到﹣5x+2x＝7﹣10，然后合并后把x的系数化为1即可；
（4）先去括号、移项得到3x﹣x﹣4x＝﹣10+6，然后合并后把x的系数化为1即可；
（5）先去括号、移项得到﹣x﹣3x＝2﹣6﹣4，然后合并后把x的系数化为1即可；
（6）先去括号、移项得到6x＝3，然后把x的系数化为1即可．
【解析】（1）2x﹣6＝3x+7，
2x﹣3x＝7+6，
﹣x＝13，
所以x＝﹣13；
（2）3x﹣4x+5＝7，
﹣x＝2，
所以x＝﹣2；
（3）10﹣5x＝﹣2x+7，
﹣5x+2x＝7﹣10，
﹣3x＝﹣3，
所以x＝1；
（4）3x﹣3﹣x﹣3＝4x﹣10，
3x﹣x﹣4x＝﹣10+6，
﹣2x＝﹣4，
所以x＝2；
（5）4﹣x＝2﹣6+3x，
﹣x﹣3x＝2﹣6﹣4，
﹣4x＝﹣8，
所以x＝2；
（6）5x﹣2+x＝1，
6x＝3，
所以x=12；
【变式5.2】若代数式x-13（x﹣1）与代数式2-15（2x+1）的值相等，则x＝　118　．
【分析】根据题意列出方程x-13（x﹣1）＝2-15（2x+1），求出方程的解即可得到x的值．
【解析】根据题意得：x-13（x﹣1）＝2-15（2x+1），
15x﹣5（x﹣1）＝30﹣3（2x+1），
15x﹣5x+5＝30﹣6x﹣3，
15x﹣5x+6x＝30﹣3﹣5，
16x＝22，
x=118．
故答案为：118．
【考点6】一元一次方程的解法——去分母
【例6】解下列方程：
（1）13(x-1)-12(2x+1)=0
（2）x﹣2[x﹣4（x﹣1）]﹣8＝﹣2
（3）34(43x+1)=1
（4）12(x+1)+1=16-13(x+1)．
【分析】先去括号、移项，再合并同类项，最后化系数为1，从而得到方程的解．
【解析】（1）13(x-1)-12(2x+1)=0，
13x-13-x-12=0，
-23x=56，
x=-54；
（2）x﹣2[x﹣4（x﹣1）]﹣8＝﹣2，
x﹣2[x﹣4x+4]﹣8＝﹣2，
x﹣2x+8x﹣8﹣8＝﹣2，
7x＝14，
x＝2；
（3）34(43x+1)=1，
x+34=1，
x=14；
（4）12(x+1)+1=16-13(x+1)
12x+12+1=16-13x-13，
56x=-106，
x＝﹣2．
【变式6.1】（2019秋•台安县期末）已知x-42与25互为倒数，则x等于　9　．
【分析】根据互为倒数的两数之积为1可列出方程，从而解得x的值．
【解析】∵x-42与25互为倒数，
∴x-42×25=1，
解得：x＝9．
故填9．
【变式6.2】（2018秋•岐山县期末）老师在黑板上出了一道解方程的题：2x-13=1-x-24，小明马上举起了手，要求到黑板上去做，他是这样做的：4（2x﹣1）＝1﹣3（x+2），①
8x﹣4＝1﹣3x﹣6，②
8x+3x＝1﹣6+4，③
11x＝﹣1，④
x=-111．⑤
老师说：小明解一元一次方程的一般步骤都掌握了，但解题时有一步做错了．请你指出他错在第　①　步（填编号），然后再细心地解下面的方程，相信你一定能做对．
（1）5（x+8）＝6（2x﹣7）+5
（2）3a-14-1=5a-76
【分析】根据小明的第一步去分母时，没有分母的项1漏乘12了；得出这是一个带分母的方程，所以要先去分母，方程两边要同乘以分母的最小公倍数6，变形可得3（x+1）﹣2（2﹣3x）＝6，然后去括号，移项、合并同类项、化系数为1解方程即可．
（1）去括号，移项、合并同类项、化系数为1解方程即可．
（2）去分母，去括号，移项、合并同类项、化系数为1解方程即可．
【解析】他错在第①步．
（1）5（x+8）＝6（2x﹣7）+5，
去括号得：5x+40＝12x﹣42+5，
移项得：5x﹣12x＝﹣42+5﹣40，
合并同类项得：﹣7x＝﹣77，
把x的系数化为1得：x＝11；
（2）3a-14-1=5a-76，
去分母得：3（3a﹣1）﹣12＝2（5a﹣7），
去括号得：9a﹣3﹣12＝10a﹣14，
移项得：9a﹣10a＝﹣14+3+12，
合并同类项得：﹣a＝1，
把a的系数化为1得：a＝﹣1．
故答案为：①．
【变式6.3】解方程：
（1）x-x-12=2-x+23；
（2）2x-12=2-x-45；
（3）5x+13=1-2x-16；
（4）5x+13-2x-16=1；
（5）1-3x6+2x+13=1-x+518；
（6）15（3x﹣1）﹣2=110（3x+2）-12（2x﹣3）．
【分析】（1）去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为1，即可得到答案；
（2）去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为1，即可得到答案；
（3）去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为1，即可得到答案；
（4）去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为1，即可得到答案；
（5）去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为1，即可得到答案；
（6）去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为1，即可得到答案．
【解析】（1）x-x-12=2-x+23，
去分母得：6x﹣3（x﹣1）＝12﹣2（x+2），
去括号得：6x﹣3x+3＝12﹣2x﹣4，
移项得：6x﹣3x+2x＝12﹣4﹣3，
合并同类项得：5x＝5，
系数化为1得：x＝1．
（2）2x-12=2-x-45，
去分母得：5（2x﹣1）＝20﹣2（x﹣4），
去括号得：10x﹣5＝20﹣2x+8，
移项得：10x+2x＝20+8+5，
合并同类项得：12x＝33，
系数化为1得：x=3312．
（3）5x+13=1-2x-16，
去分母得：2（5x+1）＝6﹣（2x﹣1），
去括号得：10x+2＝6﹣2x+1，
移项得：10x+2x＝6+1﹣2，
合并同类项得：12x＝5，
系数化为1得：x=512．
（4）5x+13-2x-16=1，
去分母得：2（5x+1）﹣（2x﹣1）＝6，
去括号得：10x+2﹣2x+1＝6，
移项得：10x﹣2x＝6﹣2﹣1，
合并同类项得：8x＝3，
系数化为1得：x=38．
（5）1-3x6+2x+13=1-x+518，
去分母得：3（1﹣3x）+6（2x+1）＝18﹣（x+5），
去括号得：3﹣9x+12x+6＝18﹣x﹣5，
移项得：﹣9x+12x+x＝18﹣5﹣3﹣6，
合并同类项得：4x＝4，
系数化为1得：x＝1．
（6）15（3x﹣1）﹣2=110（3x+2）-12（2x﹣3），
去分母得：2（3x﹣1）﹣20＝（3x+2）﹣5（2x﹣3），
去括号得：6x﹣2﹣20＝3x+2﹣10x+15，
移项得：6x﹣3x+10x＝2+15+2+20，
合并同类项得：13x＝39，
系数化为1得：x＝3．
【考点7】含小数的一元一次方程
【例7】解方程：
（1）0.1-2x0.3=1+x0.15；
（2）x+80.2-x-30.5=1.2-x+165；
（3）0.3x-0.50.3+1.5=0.5+0.4x0.6；
（4）3+0.2x0.2-0.2+0.03x0.01=0.75．
【分析】（1）方程整理后，去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为1，即可得到答案．
（2）方程整理后，去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为1，即可得到答案．
（3）方程整理后，去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为1，即可得到答案．
（4）方程整理后，去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为1，即可得到答案．
【解析】（1）0.1-2x0.3=1+x0.15，
整理得：1-20x3=1+100x15，
去分母得：5（1﹣20x）＝15+100x，
去括号得：5﹣100x＝15+100x，
移项得：﹣100x﹣100x＝15﹣5，
合并同类项得：﹣200x＝10，
系数化为1得：x=-120．

（2）x+80.2-x-30.5=1.2-x+165，
整理得：10x+802-10x-305=65-x+165，
去分母得：5（10x+80）﹣2（10x﹣30）＝12﹣2（x+16），
去括号得：50x+400﹣20x+60＝12﹣2x﹣32，
移项得：50x﹣20x+2x＝12﹣32﹣400﹣60，
合并同类项得：32x＝﹣480，
系数化为1得：x＝﹣15．

（3）0.3x-0.50.3+1.5=0.5+0.4x0.6，
整理得：3x-53+32=5+4x6，
去分母得：2（3x﹣5）+9＝（5+4x），
去括号得：6x﹣10+9＝5+4x，
移项得：6x﹣4x＝5+10﹣9，
合并同类项得：x＝3；

（4）3+0.2x0.2-0.2+0.03x0.01=0.75．
整理得：30+2x2-（20+3x）=34
去分母得：2（30+2x）﹣4（20+3x）＝3，
去括号得：60+4x﹣80﹣12x＝3，
移项得：4x﹣12x＝3﹣60+80，
合并同类项得：﹣8x＝23，
系数化为1得：x=-238．
【变式7.1】（2020秋•南岗区校级月考）将方程x0.3=1+1.2-0.3x0.2中分母化为整数，正确的是（　　）
A．10x3=10+12-3x2 B．x3=10+1.2-0.3x0.2
C．10x3=1+12-3x2 D．x3=1+1.2-0.3x2
【分析】方程各项分子分母扩大相应的倍数，使其小数化为整数得到结果，即可作出判断．
【解析】方程整理得：10x3=1+12-3x2．
故选：C．
【变式7.2】解下列方程：
（1）4﹣x＝3（2﹣x）
（2）x+12-2-3x2=1
（3）2-x-56=x-x+13
（4）2x0.3-1.6-3x0.6=31x+83．
【分析】（1）方程去括号，移项合并，将x系数化为1，即可求出解；
（2）方程去分母，去括号，移项合并，将x系数化为1，即可求出解；
（3）方程去分母，去括号，移项合并，将x系数化为1，即可求出解；
（4）方程去分母，去括号，移项合并，将x系数化为1，即可求出解．
【解析】（1）去括号得：4﹣x＝6﹣3x，
移项合并得：2x＝2，
解得：x＝1；
（2）去分母得：x+1﹣2+3x＝2，
移项合并得：4x＝3，
解得：x＝0.75；
（3）去分母得：12﹣x+5＝6x﹣2x﹣2，
移项合并得：5x＝19，
解得：x=195；
（4）方程变形得：20x3-16-30x6=31x+83，
去分母得：40x﹣16+30x＝62x+16，
移项合并得：8x＝32，
解得：x＝4．
【考点8】同解方程问题
【例8】（2019秋•东湖区期末）已知关于x的方程3[x﹣2（x-a3）]＝4x和3x+a4-1-5x8=1有相同的解，求这个解．
【分析】根据题意分别用含a的式子表示出两个方程的解，再求出a的值，进而可得结果．
【解析】因为关于x的方程3[x﹣2（x-a3）]＝4x和3x+a4-1-5x8=1有相同的解，
所以3[x﹣2（x-a3）]＝4x的解为：
x=2a7，
3x+a4-1-5x8=1的解为：
x=9-2a11，
所以2a7=9-2a11，
解得a=74，
将a=74代入第二个方程，
2（3x+a）﹣（1﹣5x）＝8，
11x＝9﹣2a，
11x＝9﹣2×74，
解得x=12．
【变式8.1】（2020•邢台二模）已知关于x的方程5x﹣2＝3x+16的解与方程4a+1＝4（x+a）﹣5a的解相同，则a＝　7　；若[m]表示不大于m的最大整数，那么[a2-1]＝　2　．
【分析】先解方程5x﹣2＝3x+16，得x＝9，将x＝9代入4a+1＝4（x+a）﹣5a，求出a的值，代入a的值进而可得结果．
【解析】解方程5x﹣2＝3x+16，得x＝9，
将x＝9代入4a+1＝4（x+a）﹣5a，
得a＝7，
所以[72-1]=2．
故答案为：7；2．
【变式8.2】（2019秋•河东区期末）若方程2x+1＝﹣3和2-a-x3=0的解相同，则a的值是　4　．
【分析】先求出2x+1＝﹣3的解，代入2-a-x3=0，可得关于a的方程，解出即可．
【解析】2x+1＝﹣3，
解得：x＝﹣2，
将x＝﹣2代入2-a-x3=0，得：2-a+23=0，
解得：a＝4．
故答案为：4．
【变式8.3】（2016秋•罗湖区校级期末）已知关于x的方程3[x﹣2（x-a3）]＝4x和3x+a12-1-5x8=1有相同的解，求a的值和这个解是什么？
【分析】分别解出两方程的解，两解相等，就得到关于a的方程，从而可以求出a的值．
【解析】由3[x﹣2（x-a3）]＝4x，得x=2a7．分）
由3x+a12-1-5x8=1，得x=27-2a21．）
因为它们的解相同，所以2a7=27-2a21．
所以a=278．
所以x=27×278=2728．
【考点9】由实问题抽象出一元一次方程
【例9】（2018秋•东城区期末）《九章算术》是中国传统数学最重要的著作，奠定了中国传统数学的基本框架．《九章算术》采用问题集的形式，全书共收集了246个问题，分为九章，其中的第八章叫“方程”章，方程一词就源于这里．《九章算术》中记载：“今有共买物，人出八，盈三；人出七，不足四．问人数、物价各几何？”
译文：“几个人一起去购买物品，如果每人出8钱，那么剩余3钱；如果每人出7钱，那么差4钱．问有多少人，物品的价格是多少”？
设有x人，可列方程为　8x﹣3＝7x+4　．
【分析】根据译文：“几个人一起去购买物品，如果每人出8钱，那么剩余3钱；如果每人出7钱，那么差4钱．问有多少人，物品的价格是多少”？可知若设有x人，可列出相应的方程，从而本题得以解决．
【解析】由题意可得，
设有x人，可列方程为：8x﹣3＝7x+4．
故答案为：8x﹣3＝7x+4．
【变式9.1】（2015秋•赵县期末）有一位旅客携带了30kg重的行李从上海乘飞机去北京，按民航总局规定：旅客最多可免费携带20kg重的行李，超重部分每千克按飞机票价格1.5%购买行李票，现该旅客购买了180元的行李票，则飞机票价格应是多少元？
【分析】设飞机票价格应是x元，根据该旅客购买了180元的行李票，列方程求解．
【解析】设飞机票价格应是x元，
由题意得：（30﹣20）×1.5% x＝180，
解之得：x＝1200，
答：飞机票价格应是1200元．
【变式9.2】某车间有26名工人，每人每天生产螺栓12个或螺母18个，设有x名工人生产螺栓，其他工人生产螺母，每天生产的螺栓和螺母按1：2配套，则可列一个关于x的方程为　2×12x＝18（26﹣x）　．
【分析】设分配x名工人生产螺栓，则（26﹣x）名生产螺母，根据每天生产的螺栓和螺母按1：2配套，可得出方程．
【解析】设分配x名工人生产螺栓，则（26﹣x）名生产螺母，
∵要使每天生产的螺栓和螺母按1：2配套，每人每天能生产螺栓12个或螺母18个，
∴可得2×12x＝18（26﹣x）．
故答案为：2×12x＝18（26﹣x）．
【变式9.3】根据下列题意，列出方程：
（1）已知长方形的周长是36cm，长比宽的2倍多3cm，求长方形的长与宽各是多少？
（2）毕业在即，九年级某班为纪念师生情谊，班委决定花800元班费买两种不同单价的留念册，分别给50位同学和10位任课老师每人一本留作纪念．其中送给任课老师的留念册的单价比给同学的单价多8元．请问这两种不同留念册的单价分别为多少元？
【分析】（1）根据长方形的周长公式可得：长方形的长＝周长÷2﹣宽，据此计算即可解答．
（2）设送给老师的单价是x元，送给同学的是每本（x﹣8）元，根据班委决定花800元班费买两种不同单价的留念册，分别给50位同学和10位任课教师每人一本作纪念，其中送给任课教师的留念册单价比给同学的单价多8元可列出方程求解．
【解析】（1）设宽为x，则长为（2x+3）cm，根据题意得：2（x+2x+3）＝36；
（2）设送给老师的单价为x元，则送给同学的是每本（x﹣8）元，
根据题意得：10x+50（x﹣8）＝800．
【考点10】有关方程的新定义问题
【例10】（2019秋•邗江区校级期末）用“⊗”规定一种新运算：对于任意有理数a和b，规定a⊗b＝ab2+2ab+a．
如1⊗3＝1×32+2×1×3+1＝16．
（1）求2⊗（﹣1）的值；
（2）若（a﹣1）⊗3＝32，求a的值；
（3）若m＝2⊗x，n＝（14x）⊗3（其中x为有理数），试比较m、n的大小．
【分析】（1）根据“⊗”规定一种新运算：对于任意有理数a和b，规定a⊗b＝ab2+2ab+a即可求解；
（2）根据“⊗”规定一种新运算：对于任意有理数a和b，规定a⊗b＝ab2+2ab+a列出方程即可求解；
（3）根据“⊗”规定一种新运算：对于任意有理数a和b，规定a⊗b＝ab2+2ab+a分别表示m和n，进行比较即可．
【解析】（1）2⊗（﹣1）
＝2×（﹣1）2+2×2×（﹣1）+2
＝2﹣4+2
＝0；
答：2⊗（﹣1）的值为0；
（2）（a﹣1）⊗3＝32
（a﹣1）×32+2（a﹣1）×3+（a﹣1）＝32
9a﹣9+6a﹣6+a﹣1＝32
16a＝48
解得a＝3
答：a的值为3；
（3）∵m＝2⊗x，n＝（14x）⊗3
∴m﹣n＝（2x2+4x+2）﹣（94x+32x+14x）
＝2x2+2≥2＞0，
∴m＞n．
【变式10.1】（2019•茅箭区模拟）已知一种运算满足：x※y＝2xy+1；x★y＝x+2y﹣1，例如：2※3＝2×2×3+1＝13；2★3＝2+2×3﹣1＝7．若a※（4★5）的值为﹣51，则a的值为　﹣2　．
【分析】根据“x※y＝2xy+1；x★y＝x+2y﹣1”，求出4★5的值，再代入a※（4★5）中，得到关于a的一元一次方程，解之即可．
【解析】根据题意得：
4★5＝4+2×5﹣1＝13，
a※（4★5）＝a※13＝2a×13+1＝﹣51，
即26a+1＝﹣51，
解得：a＝﹣2，
故答案为：﹣2．
【变式10.2】（2018秋•荔城区期末）阅读下面“将无限循环小数化为分数”材料，并解决相应问题：
我们知道分数13写为小数形式即为0.3⋅，反之，无限循环小数0.3⋅写成分数形式即13．一般地，任何一个无限循环小数都可以写成分数形式吗？如果可以，应怎样写呢？
【发现】先以无限循环小数0.7⋅为例进行讨论．
设0.7⋅=x，由0.7⋅=0.777…可知，10x＝7.777…，即10x﹣x＝7．解方程，得x=79．于是0.7⋅=79，
【类比探究】再以无限循环小数0.73⋅⋅为例，做进一步的讨论．
无限循环小数0.73⋅⋅=0.737373…，它的循环节有两位，类比上面的讨论可以想到如下做法．
设0.73⋅⋅=x，由0.73⋅⋅=0.737373…可知，100x＝73.7373…，所以100x﹣x＝73．解方程，得x=7399，于是得0.73⋅⋅=7399
【解决问题】
（1）请你把无限小数0.4⋅写成分数形式，即0.4⋅=　49　；
（2）请你把无限小数0.75⋅⋅写成分数形式，即0.75⋅⋅=　2533　；
（3）根据以上过程比较0.9⋅与1的大小关系，并说明你的理由．
【分析】（1）根据题意设0.4⋅=x，由0.4⋅=0.444…可知，10x﹣x的值，进而求出即可；
（2）根据题意设0.75⋅⋅=x，由0.75⋅⋅=0.7575…可知，100x﹣x的值，进而求出即可；
（3）根据题意设0.9⋅=x，由0.9⋅=0.999…可知，10x﹣x的值，进而求出即可．
【解析】（1）设0.4⋅=x，由0.4⋅=0.444…可知，10x﹣x＝4.4⋅-0.4⋅=4，
即10x﹣x＝4．
解得x=49．
于是，得0.4⋅=49．
故答案为：49．

（2）设0.75⋅⋅=x，由0.75⋅⋅=0.7575…可知，100x﹣x＝75．
75.75⋅⋅-0.75⋅⋅=75，
即100x﹣x＝75．
解得x=2533．
于是，得0.75⋅⋅=2533．
故答案为：2533．

（3）设0.9⋅=x，由0.9⋅=0.999…可知，10x﹣x＝9.9⋅-0.9⋅=9，
即10x﹣x＝9．
解得x＝1．
于是，得0.9⋅=1．
【变式10.3】（2018秋•阜宁县期末）设a，b，c，d为有理数，现规定一种新的运算：abcd=ad﹣bc，当2x43x-23=10时，求代数式2（x﹣2）﹣3（x+1）的值．
【分析】利用题中的新定义运算方法求出x的值，代入原式计算即可得到结果．
【解析】根据题中的新定义运算方法得：6x﹣4（3x﹣2）＝10，
去括号得：6x﹣12x+8＝10，
解得：x=-13，
∴2（x﹣2）﹣3（x+1）
＝2x﹣4﹣3x﹣3
＝﹣x﹣7
＝﹣（-13）﹣7
=-203．
∴代数式2（x﹣2）﹣3（x+1）的值是-203．