江西省奉新县第一中学2021届高三上学期第四次月考 数学（理）(含答案) 试卷

奉新一中2021届高三上学期第四次月考数学（理）试卷2020.11一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题意.）1．已知集合，，则A．   B．    C．     D． 2．已知复数满足，则在复平面内复数表示的点位于A．第一象限       B．第二象限        C．第三象限     D．第四象限3．已知p：x＋y≠－2，q：x，y不都是－1，则p是q的(　　)A．充分不必要条件    B．必要不充分条件C．充要条件          D．既不充分也不必要条件4．某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积为(　　)A．　　      B．           C．　　    　 D．15．函数在上的大致图象是6．高斯是德国著名的数学家，享有“数学王子”的称号，用其名字命名的“高斯函数”为：设x∈R，用[x]表示不超过x的最大整数，则y＝[x]称为高斯函数。例如：[－2.1]＝－3，[3.1]＝3，已知函数f (x)＝，则函数y＝的值域为(　　)A．           B．(0,2]           C．{0,1,2}          D．{0,1,2,3}7．用数学归纳法证明“（）”时，由的假设证明时，不等式左边需增加的项数为（    ）A．             B．          C．             D． 8．已知函数f (x)＝如果对任意的n∈N*，定义fn(x)＝，那么f 2 020(2)的值为(　　)A．0           B．1           C．2           D．39．设是正实数，且，则下列不等式正确的是A．     B．      C．      D．10．已知函数，且的图象在上只有一个最高点和一个最低点，则下列说法中一定错误的是A．的最小正周期为 B．的图象关于中心对称C．的图象关于对称 D．在上单调递增11．在四边形中，，，则A．1 B． C．7 D．1212．设A，B，C，D是同一个球面上的四点，△ABC是斜边长为6的等腰直角三角形，若三棱锥D－ABC体积的最大值为27，则该球的表面积为(　　)A．36π             B．64π              C．100π             D．144π13．设集合A＝{x|2a＋1≤x≤3a－5}，B＝{x|3≤x≤22}。若A⊆(A∩B)，则实数a的取值范围为________14．若球与棱长为2的正方体的各棱相切，求该球的表面积__________ 15．已知数列{}的前n项和Sn＝2n＋1(n∈)，则＝__________16． 若一元二次方程mx2－(m＋1)x＋3＝0的两个实根都大于－1，则m的取值范围____  17．（10分）(1).求不等式0的解集(2).设变量x，y满足约束条件求目标函数z＝4x＋2y的最大值     18．（12分）Sn为数列{an}的前n项和，已知an>0，an2＋2an＝4Sn＋3.(1)求{an}的通项公式；(2)设bn＝，求数列{bn}的前n项和．     19．（12分）如图所示，在四棱锥P－ABCD中，四边形ABCD为矩形，△PAD为等腰三角形，∠APD＝90°，平面PAD⊥平面ABCD，且AB＝1，AD＝2，E，F分别为PC，BD的中点．(1)证明：EF∥平面PAD；(2)证明：平面PDC⊥平面PAD；(3)求四棱锥P—ABCD的体积．  20．（12分）在中，角的对边分别是，的面积为，已知.（1）求角；（2）若的周长为12，求的最大值.     21．（12分）如图，在多面体ABCDEFG中，面ABCD为正方形，面ABFE和面ADGE为全等的矩形，且均与面ABCD垂直．(1)求证：平面BDE∥平面CFG；(2)若直线AE和平面BDE所成角的正弦值为，求二面角A－FG－C的余弦值．   22．（12分）函数f(x)＝xln x－kx.(1)讨论f(x)的单调性；(2)当x∈(1，＋∞)时，若>－(k－1)恒成立，求实数k的取值范围．
参考答案1．B 【解析】因为，，所以.故选B．2．D 【解析】由，得，则，在复平面内复数表示的点是，位于第四象限.故选D．3．因为p：x＋y≠－2，q：x，y不都是－1，所以p：x＋y＝－2， q：x＝－1，且y＝－1。因为q⇒p，但pq，所以q是p的充分不必要条件，即p是q的充分不必要条件。故选A。答案　A4．答案　A解析　由三视图可得该几何体的直观图为三棱锥A－BCD，将其放在长方体中如图所示，其中BD＝CD＝1，CD⊥BD，三棱锥的高为1，所以三棱锥的体积为××1×1×1＝.故选A. 5．D 【解析】，所以函数是奇函数，其图象关于原点对称，排除B．当时，，故排除A．当时，，故排除C．因此选D．6．【解析】　因为f (x)＝＝＝＋，2x＋1>0，所以0<<1，所以<＋<3，即<f (x)<3，所以y＝[]的值域为{0,1,2}。故选C。【答案】　C7．C8．解析　因为f 1(2)＝f (2)＝1，f 2(2)＝f (1)＝0，f 3(2)＝f (0)＝2。所以f n(2)的值具有周期性，且周期为3，所以f 2 020(2)＝f 3×673+1(2)＝f 1(2)＝1。故选B。答案　B9．C 【解析】设，由于是正实数，所以，，，，，，由于，所以，，，于是，由于，所以，，，于是，即，因此.故选C．10．D 【解析】由题意，，令，则当时，，因为的图象在上只有一个最高点和一个最低点，所以，解得，又因为，所以或4，设函数的最小正周期为，则①当时，，；由，下同，得，所以的图象的对称中心为；由，得的图象的对称轴为；由，得，故函数的单调递增区间为．②当时，，；由，下同，得，所以的图象的对称中心为；由，得的图象的对称轴为；由，得，故函数的单调递增区间为．综上，对比选项可知，选项D一定错误，故选D．11．B 【解析】.故选B．12．【解析】　如图所示，因为△ABC是斜边BC长为6的等腰直角三角形，则当D位于直径的端点时，三棱锥D－ABC的体积取得最大值27。设球心为O，过点A作AE⊥BC，垂足为E，易知当三棱锥的体积取得最大值时，D，O，E三点共线，连接并延长DE，交球面于点F 。由AB＝AC，AB⊥AC，BC＝6，可得斜边BC上的高AE＝3，AB＝AC＝3，由××3×3×DE＝27，解得DE＝9，连接AF ，在△ADF 中，易知EF ＝＝1。所以球O的直径为DE＋EF ＝10，则球O的半径为×10＝5。所以该球的表面积为4π×52＝100π。故选C。【答案】　C13．解析　由A⊆(A∩B)，得A⊆B，则①当A＝∅时，2a＋1>3a－5，解得a<6；②当A≠∅时，解得6≤a≤9。综上可知，使A⊆(A∩B)成立的实数a的取值范围为(－∞，9]。答案　(－∞，9]14．15．解析　当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝2n＋1；当n＝1时，a1＝S1＝4≠2×1＋1。因此an＝答案　16．答案　m<－2或m≥5＋2解析　由题意得应满足解得：m<－2或m≥5＋2.17.(1).[答案]　(－2，－1)∪(2，＋∞)[解析]　该题考查分式不等式的求解．原不等式变形为0，用穿根法，∴不等式的解集为(－2，－1)∪【2，＋∞)．(2).[解析]　本题考查了用线性规划知识求函数的最值．首先绘制不等式组表示的平面区域(如图所示)当直线4x＋2y＝z过直线y＝1与直线x＋y－3＝0的交点(2,1)时，目标函数z＝4x＋2y取得最大值10.18．答案　(1)an＝2n＋1　(2)Tn＝解析　(1)由an2＋2an＝4Sn＋3，可知an＋12＋2an＋1＝4Sn＋1＋3.可得an＋12－an2＋2(an＋1－an)＝4an＋1，即2(an＋1＋an)＝an＋12－an2＝(an＋1＋an)(an＋1－an)．由于an>0，可得an＋1－an＝2.又a12＋2a1＝4a1＋3，解得a1＝－1(舍去)或a1＝3.所以{an}是首项为3，公差为2的等差数列，通项公式为an＝2n＋1.(2)由an＝2n＋1可知bn＝＝＝(－)．设数列{bn}的前n项和为Tn，则Tn＝b1＋b2＋…＋bn＝[(－)＋(－)＋…＋(－)]＝.19．（12分）答案　解析　(1)如图所示，连接AC.∵四边形ABCD为矩形且F是BD的中点，∴F也是AC的中点．又E是PC的中点，EF∥AP，∵EF⊄平面PAD，PA⊂平面PAD，∴EF∥平面PAD.(2)证明：∵面PAD⊥平面ABCD，CD⊥AD，平面PAD∩平面ABCD＝AD，∴CD⊥平面PAD.∵CD⊂平面PDC，∴平面PDC⊥平面PAD.(3)取AD的中点为O.连接PO.∵平面PAD⊥平面ABCD，△PAD为等腰直角三角形，∴PO⊥平面ABCD，即PO为四棱锥P—ABCD的高．∵AD＝2，∴PO＝1.又AB＝1，∴四棱锥P—ABCD的体积V＝PO·AB·AD＝.20．（12分）【解析】（1）由，及，得，即，由正弦定理，得，（3分）又，所以，又，所以，即，，因为，所以，.（6分）（2）方法一：由余弦定理，得即，又的周长为，则，因此，即，，当且仅当时取等号.（8分）设，则，，又，则，根据，所以，即，因此由，得，则当时，取得最大值，即取得最大值，（10分）又的面积为，因此的面积的最大值为.（12分）方法二：的面积为，当且仅当时取等号，（8分）又，则当时，为等边三角形，又的周长为12，则，（10分）故.（12分）21.(1)证明：∵四边形ABCD为正方形，四边形ADGE为矩形，∴BC∥EG，且BC＝EG.∴四边形BCGE为平行四边形，∴BE∥CG.又∵BE⊄平面CFG，CG⊂平面CFG，∴BE∥平面CFG.同理DE∥平面CFG.又∵BE，DE为平面BDE内的两条相交直线，∴平面BDE∥平面CFG.(2)解：∵四边形ABFE为矩形，∴AE⊥AB，又平面ABFE⊥平面ABCD，且平面ABFE∩平面ABCD＝AB，∴AE⊥平面ABCD.又ABCD为正方形，∴AB，AD，AE两两垂直．建立如图所示的空间直角坐标系．设AB＝1，AE＝a(a>0)，则A(0,0,0)，B(1,0,0)，D(0,1,0)，E(0,0，a)．故＝(0,0，a)，＝(－1,1,0)，＝(－1,0，a)．设平面BDE的法向量为n＝(x1，y1，z1)，则有即令z1＝1，则x1＝y1＝a，∴n＝(a，a,1)．∵直线AE和平面BDE所成角的正弦值为，∴＝|cos〈n，〉|，即＝(a>0)，解得a＝2.∴n＝(2,2,1)，＝(1,0,2)，＝(0,1,2)．设平面AFG的法向量为m＝(x2，y2，z2)，则有即令z2＝－1，则x2＝y2＝2，∴m＝(2,2，－1)．∵平面BDE∥平面CFG，∴平面CFG的一个法向量也为n＝(2,2,1)．设二面角A－FG－C的大小为θ，则|cos θ|＝|cos〈n，m〉|＝＝.又二面角A－FG－C为锐角，故其余弦值为.22.解：(1)f(x)的定义域为(0，＋∞)．f′(x)＝ln x＋1－k，令f′(x)＝0，x＝ek－1.由f′(x)<0，得x∈(0，ek－1)，故f(x)在(0，ek－1)上单调递减；由f′(x)>0，得x∈(ek－1，＋∞)，故f(x)在(ek－1，＋∞)上单调递增．综上，f(x)在(0，ek－1)上单调递减；在(ek－1，＋∞)上单调递增．(2)∵>－(k－1)，∴ln x－k>－(k－1)，当x>1时，>－(k－1)恒成立等价于(x－1－k)ln x－(x－1)>0.设g(x)＝(x－1－k)ln x－(x－1)，则g′(x)＝ln x＋(x－1－k)·－1＝ln x＋.由于x>1，ln x>0，当－1－k≥0，即k≤－1时，g′(x)>0，则y＝g(x)在(1，＋∞)上单调递增，g(x)>g(1)＝0恒成立．当－1－k<0时，即k>－1时，设h(x)＝g′(x)，则h′(x)＝＋>0.则y＝g′(x)为(1，＋∞)上的单调递增函数，又g′(1)＝－1－k<0，即g(x)在(1，＋∞)上存在x0，使得g′(x0)＝0，当x∈(1，x0)时，g(x)单调递减；当x∈(x0，＋∞)时，g(x)单调递增．则g(x0)<g(1)＝0，不合题意，舍去．综上所述，实数k的取值范围是(－∞，－1]．（2）另解：此题可参变分离得到，利用洛贝达法则可得