江西省上高二中2021届高三上学期第四次月考 数学（理） (含答案) 试卷
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理科数学
一、单选题
1．（ ）
A．0 B． C． D．1
2．已知集合，，若，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
3．在中，角的对边为，则“”成立的必要不充分条件为（ ）
A． B．
C． D．
4．若，，，则（ ）
A． B． C． D．
5．若函数的图像关于点中心对称，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
6．已知是周期为2的奇函数，当时，，则的值为（ ）
A． B． C． D．
7．如图所示，是黎老师散步时所走的离家距离与行走时间之间的函数关系的图象，若用黑点表示黎老师家的位置，则黎老师散步行走的路线可能是（ ）
A． B．
C． D．
8．若，，则（ ）．
A． B．0 C． D．或0
9．“欲穷千里目，更上一层楼”出自唐朝诗人王之涣的《登鹳雀楼》，鹳雀楼位于今山西永济市，该楼有三层，前对中条山，下临黄河，传说常有鹳雀在此停留，故有此名．下面是复建的鹳雀楼的示意图，某位游客（身高忽略不计）从地面点看楼顶点的仰角为30°，沿直线前进79米到达点，此时看点的仰角为45°，若，则楼高约为（ ）．
A．65米 B．74米 C．83米 D．92米
10．若，为正实数，且，则的最小值为（ ）．
A． B． C．2 D．4
11．已知定义在上的函数满足①，②，③在上表达式为，则函数与函数的图像在区间上的交点个数为（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
12．已知函数，若关于的不等式恰有一个整数解，则实数的最小值是（ ）
A．-9 B．-7 C．-6 D．-4
二、填空题
13．已知________.
14．已知函数在x=1处取得极值,则__________.
15．已知实数、满足，则与之积的最大值为____________.
16．如果两个函数存在零点，分别为，，若满足，则称两个函数互为“度零点函数”.若与互为“1度零点函数”，则实数的取值范围为________.
三、解答题
17．在中，角，，的对边分别为，，，若，且.
（1）求角的值；
（2）若，且的面积为，求边上的中线的长.
18新冠肺炎疫情发生以后，口罩供不应求，某口罩厂日夜加班生产，为抗击疫情做贡献．生产口罩的固定成本为200万元，每生产万箱，需另投入成本万元，当产量不足90万箱时，；当产量不小于90万箱时，，若每箱口罩售价100元，通过市场分析，该口罩厂生产的口罩可以全部销售完．
（1）求口罩销售利润（万元）关于产量（万箱）的函数关系式；
（2）当产量为多少万箱时，该口罩生产厂在生产中所获得利润最大？
19．一副标准的三角板（如图1）中，ABC为直角，A =60°，DEF为直角，DE=EF，BC=DF，把BC与DF重合，拼成一个三棱锥（如图1），设M是AC的中点，N是BC的中点．
（1）求证：平面ABC 平面EMN；
（2）若AC = 4，二面角E - BC- A为直二面角，求直线EM与平面ABE所成们的正弦值．
20．教育部《关于进一步加强学校体育工作的若干意见》中指出：提高学生的体质健康水平应作为落实教育规划纲要和办好人民满意教育的重要任务．惠州市多所中小学校响应教育部的号召，增设了多项体育课程．为了解全市中小学生在排球和足球这两项体育运动的参与情况，在全市中小学校中随机抽取了10 所学校（记为 A、B、C、……、J ) 10所学校的参与人数统计图如下：
（1）若从这10所学校中随机选取2 所学校进行调查，求选出的2 所学校参与足球运动人数都超过40人的概率；
（2）现有一名排球教练在这10 所学校中随机选取 3 所学校进行指导，记 X 为教练选中参加排球人数在30 人以上的学校个数，求X 的分布列和数学期望．
21．已知，函数，(是自然对数的底数).
（1）讨论函数极值点的个数；
（2）若对任意的恒成立，求实数的值；
（3）在第（2）小题的条件下，，，求实数的取值范围.
选做题22．在平面直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数，）.以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.
（1）写出曲线的直角坐标方程；
（2）设点的极坐标为，直线与曲线交于两点，若，求的值.
23．已知函数.
（1）求不等式的解集；
（2）若的最小值为，且实数，满足，求的最小值.
高三第四次月考理数答案
1-12 BBDAC DDABB BC
13． 14． 15． 16．
17．（1）；（2）.
解：（1）因为，
由正弦定理边角互化得，
由于，
所以，
即，得.
又，所以，所以.
（2）由（1）知，若，故，
则，
所以，（舍）.
又在中，，
所以，
所以.
18．（1）；（2）90万箱.
（1）当时，
；
当时，，
∴，
（2）当时，，
∴当时，取最大值，最大值为1600万元；
当时，，
当且仅当，即时，取得最大值，最大值为1800万元．
综上，当产量为90万箱时，该口罩生产厂在生产中获得利润最大，最大利润为1800万元．
19．（1）证明见解析；（2）.
（1）证明：∵是的中点，是的中点，∴，∵，∴，
∵，，是的中点，∴，又，平面，
平面 ∴平面且平面，∴平面平面.
（2）由（1）可知：，，∴为二面角的平面角，
又二面角为直二面角 ∴
以，，分别为，，，建立如图空间直角坐标系，
∵，则，，，由，，则，
又，，，则，，
设为平面的一个法向量，则即令，则
∴面ABE的一个法向量.
，所以直线与平面ABE所成的角的正弦值为.
20．（1）；（2）分布列见解析，期望为.
（1）参与足球人数超过40人的学校共4所，记“选出的两所学校参与足球人数都超过40人”为事件S，
从这10所学校中随机选取2所学校，可得基本事件总数为.
随机选择2所学校共种，所以，
所以选出的两所学校参与足球人数都超过40人的概率为.
（2）参加排球人数在30人以上的学校共4所，X的所有可能取值为0，1，2，3，，，
，.
X的分布列为：
X | 0 | 1 | 2 | 3 |
|
P |
|
.所以，随机变量X的数学期望为.
21．（1）当时，没有极值点，当时，有一个极小值点；（2）；（3）.
（1）因为，所以，
当时，对，，
所以在是减函数，此时函数不存在极值，
所以函数没有极值点；
当时，，令，解得，
若，则，所以在上是减函数，
若，则，所以在上是增函数，
当时，取得极小值；
函数有且仅有一个极小值点，
所以当时，没有极值点，当时，有一个极小值点.
（2）因为对任意的恒成立.
当时，，不合题意舍去.
当时，由（1）可知当时，取得极小值；因为对任意的恒成立，
所以
又因为且，
则，可得：
（3）因为：，，即不等式在区间内有解.
设，且
所以，且
设，且
则，且在上是增函数，
所以
当时，，所以在上是增函数，
，即，所以在上是增函数，
所以，即在上恒成立.
当时，因为在是增函数，
因为，，
所以在上存在唯一零点，
当时，，在上单调递减，
从而，即，所以在上单调递减，
所以当时，，即.
所以不等式在区间内有解
综上所述，实数的取值范围为.
22．(1)；(2)或
(1)由曲线的极坐标方程为，得，
将，及
代入得，即.
(2)点的直角坐标为，所以直线经过点，
所以将代入，得.
则，解得，
因为，所以或.
23．（1）或 ；（2）.
（1）.
由，可得，或，或，
解得或或.
所以不等式的解集为或
（2）由（1）易求得，即.
所以，即.
表示点与点的距离的平方.
又点在直线上.
因为点到直线的距离，
所以的最小值为.
