湖南省三湘名校、五市十校教研教改共同体2022届高三上学期第一次大联考 数学 含解析

这是一份湖南省三湘名校、五市十校教研教改共同体2022届高三上学期第一次大联考 数学 含解析，共15页。试卷主要包含了命题范围，给出8个函数等内容，欢迎下载使用。

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2022届高三第一次大联考
数学
注意事项：
1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
3.考试结束后，将本试题卷和答题卡一并交回。
4.命题范围：侧重函数与导数、三角函数、平面向量、数列、立体几何共占80%，其他占20%。
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合A＝{0，1，2}，B＝{x|(x－1)(x－4)≤0}，则A∩B＝
A.1，2 B.{1，2} C.2 D.{2}
2.已知f(x)＝x3＋(a－1)x2＋x＋1没有极值，则实数a的取值范围是
A.[0，1] B.(－∞，0]∪[1，＋∞) C.[0，2] D.(－∞，0]∪[2，＋∞)
3.已知向量m＝(3，5)，n＝(9，7)，则
A.m⊥n B.m//n C.m//(m＋n) D.(2m－n)⊥(m＋n)
4.已知0<θ<，设a＝sinθ，b＝cosθ，c＝tanθ，则a，b，c的大小关系是
A.a>b>c B.b>a>c C.b>c>a D.c>a>b
5.已知实数a，b，c满足a＋b＋c＝0，则“a>b>c”是“函数f(x)＝ax2＋bx＋c有两个零点”的
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
6.已知f(x)是R上的奇函数，f(1＋x)＝f(1－x)，当x1，x2∈[0，1]，且x1≠x2时，>0，则当－3≤x≤1时，不等式xf(x)>0的解集为
A.[－1，0)∪(0，1] B.[－3，－2)∪(0，1] C.(－2，－1)∪(0，1] D.(－2，0)∪(0，1]
7.已知球O的半径为2，三棱锥P－ABC四个顶点都在球O上，球心O在平面ABC内，△ABC是正三角形，则三棱锥P－ABC的最大体积为
A.3 B.2 C. D.3
8.如图是古筝鸣箱俯视图，鸣箱有多根弦，每根弦下有一只弦码，弦码又叫雁柱，用于调节音高和传振。右图是根据左图绘制的古筝弦及其弦码简易直观图。在直观图中，每根弦都垂直于x轴，左边第一根弦在y轴上，相邻两根弦间的距离为1，弦码所在的曲线(又称为雁柱曲线)方程为y＝1.1x，第n(n∈N，第0根弦表示与y轴重合的弦)根弦分别与雁柱曲线和直线l：y＝x＋1交于点An(xn，yn)和Bn(x'n，y'n)，则
参考数据：1.122＝8.14

A.814 B.900 C.914 D.1000
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
9.给出8个函数：①y＝2x，②y＝()x，③y＝log2x，④y＝log0.5x，⑤y＝x2，⑥y＝，⑦y＝sinx，⑧y＝tanx。下列说法正确的是
A.定义域是R的函数共有6个 B.偶函数只有1个
C.图象都不经过第三象限的函数共有6个 D.满足f(x＋2π)＝f(x)的函数只有2个
10.已知函数y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0，|φ|<)的部分图象如图，将该函数的图象向x轴负方向平移个单位，再把所得曲线上点的横坐标变为原来2倍(纵坐标不变)，得到函数f(x)的图象。下列结论正确的是

A.当≤x≤时，f(x)的取值范围是[－1，2]
B.f(－)＝
C.曲线y＝f(x)的对称轴是x＝kπ＋(k∈Z)
D.若|x1－x2|<，则|f(x1)－f(x2)|<4
11.已知数列{an}各项均是正数，a4，a6是方程x2－4x＋a＝0(0 A.若{an}是等差数列，则数列{an}前9项和为18
B.若{an}是等差数列，则数列{an}的公差为2
C.若{an}是等比数列，{an}公比为q，a＝1，则q4－14q2＋1＝0
D.若{an}是等比数列，则a3＋a7的最小值为2
12.已知两个完全一样的四棱锥，它们的侧棱长都等于，底面都是边长为2的正方形。下列结论成立的是
A.将这两个四棱锥的底面完全重合，在得到的八面体中，有6对平行棱
B.将这两个四棱锥的底面完全重合，得到的八面体的所有顶点都在半径为的球上
C.将这两个四棱锥的一个侧面完全重合，得到的几何体共有7个面
D.将这两个四棱锥的一个侧面完全重合，这两个四棱锥的底面互相垂直
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.设E，F，G，H分别是正方体ABCD－A1B1C1D1的棱AD，DD1，B1C1，C1D1的中点，则异面直线EF，GH所成的角等于 。
14.已知点P(－2，0)，AB是圆x2＋y2＝1的直径，则＝ 。
15.已知函数f(x)＝，函数g(x)＝f(x)－a有四个不同零点，这四个零点之积的取值范围是 。
16.如图是2021年9月17日13：34神州十二号返回舱(图中C)接近地面的场景。伞面是表面积为1200m2的半球面(不含底面圆)，伞顶B与返回舱底端C的距离为半球半径的5倍，直线BC与水平地面垂直于D，D和观测点A在同一水平线上。在A测得点B的仰角∠(DAB＝30°，且BC的视角∠BAC满足sin∠BAC＝，则此时返回舱底端离地面距离CD＝ 。(π＝3.14，sin∠ACB＝，计算过程中，球半径四舍五入保留整数，长度单位：m)。

四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17.(10分)
在①a＋c＝13，②b＝7，③a＋b＋c＝20三个条件中选一个填在下面试题的横线上，并完成试题(如果多选，以选①评分)。
已知△ABC的角A，B，C的对边长分别为a，b，c，ccosA－2bcosB＋acosC＝0。
(1)求角B；
(2)若 ，c>a，，求sinA。
18.(12分)
已知Sn是数列{an}的前n项和，且Sn＋1＝Sn－－，a1＝－1。
(1)求证：{2nSn＋2n}是等差数列；
(2)若{an}中，只有三项满足λ≤an，求实数λ的取值范围。
19.(12分)
随着应用型芯片不断使用7nm，甚至5nm技术，软件升级加快，电子产品更新换代周期在缩小。某手机专卖店对本店一直专卖的A，B两款手机进行跟踪调查。随机抽取了几年前本店同期售出的两款手机各20台，它们的使用时间(单位：年)如下表：

(1)在这40台手机中，A，B两款手机各随机抽取一台，将频率视为概率，求这两台手机使用时间都不超过4年的概率；
(2)在这40台使用时间超过3年的手机中随机抽取3台，这3台手机中使用4年的台数为X，求X的分布列和数学期望E(X)。
20.(12分)
如图，已知E是平面ABCD外一点，，，AB⊥AD，AB⊥AE。

(1)四点C，D，E，F在同一平面内吗？说明理由；
(2)若∠DAE＝，AB＝BC＝2BF，求平面AFC与平面BCE所成锐二面角的余弦值。
21.(12分)
如图，已知F是椭圆C1：的左焦点，A是C1的上顶点，直线AF与C1的另一个交点为B，点C与B关于y轴对称。|FB|＋|FC|＝2，C1的离心率为。

(1)求椭圆C1的方程；
(2)二次曲线C2：y＝tx2经过P(－1，2)，直线l//AB与C2相交于M，N不同两点，P∉l，直线PM，PN的斜率分别为k1，k2。求k1＋k2的值。
22.(12分)
已知函数f(x)＝xln(x＋1)－ax2(a∈R)，g(x)＝ln(x＋1)＋－2x。
(1)求函数g(x)的单调区间； (2)讨论函数f(x)的极值点个数。
数学参考答案
1．【答案】B
【命题意图】考查集合的表示法，集合的基本运算．考查数学运算数学核心素养．
【解析】集合，∴．
2．【答案】C
【命题意图】考查导数，函数极值，二次函数、一元二次方程、一元二次不等式的关系．考查数学运算数学核心素养．
【解析】由得，根据题意得，解得．
3．【答案】D
【命题意图】考查等差数列，平面向量，向量运算，平面向量的平行与垂直．考查数学运算数学核心素养．
【解析】由条件得，，
∴，，故选D．
4．【答案】C
【命题意图】考查简单不等式，三角函数的单调性与最值．考查数学运算，逻辑推理等数学核心素养．
【解析】∵，∴，又函数在区间上单调递减，，函数在区间上单调递增，
，∴，即，故选C．
5．【答案】A
【命题意图】考查充要条件，不等式性质，函数零点，二次函数零点存在条件．考查数学运算，逻辑推理等数学核心素养．
【解析】一方面，若，，则，．∴，∴函数有两个零点，∴“”是“函数有两个零点”的充分条件．另一方面，若，，，则函数有两个零点，但不满足，即“”不是“函数有两个零点”的必要条件．
6．【答案】D
【命题意图】考查抽象函数，函数的奇偶性、对称性、周期性，不等式解集．考查数学运算，逻辑推理，直观想象等数学核心素养．
【解析】∵当，且时，，∴在区间上是增函数．∵是上的奇函数，∴，且在区间上是增函数．∴当时，，当时，．∵，∴的图象关于直线对称，∴，且在区间上是减函数．又
，∴，即函数的周期为．∴是区间上的减函数，且．综上所述，不等式的解集为．
7．【答案】B
【命题意图】考查球，多面体体积．考查直观想象，数学运算等数学核心素养．
【解析】由于球的半径为，是正三角形，所以，∴，∴三棱锥的最大体积为．
8．【答案】C
【命题意图】考查一次函数，指数函数，等差数列，等比数列，数列错位相减求和，数学文化．考查数学运算，直观想象，数学建模等数学核心素养．
【解析】由条件可得，∴
，得
．∵
，∴．
9．【答案】BCD
【命题意图】考查函数的定义域、单调性、奇偶性、周期性、值域等基本性质，初等函数，分类讨论思想．考查数学运算，直观想象，逻辑推理等数学核心素养．
【解析】这个函数中定义域均为的函数是，共个，∴A错误．只有是偶函数，∴B正确．这个函数的图象不经过第三象限，这两个函数图象都经过第三象限，∴C正确．这个函数中，满足的函数只有，故D正确．
10．【答案】AD
【命题意图】考查函数图象变换，正弦型函数图象性质，三角函数诱导公式．考查数学抽象，数学运算，直观想象，逻辑推理等数学核心素养．
【解析】由图可知，，，∴．，由于，∴．∴函数的解析式是．根据题意，．∴当时，的取值范围是，A正确．
，∴B错误．函数的对称轴是，∴C错误．∵的最小正周期为，∴D正确．
11．【答案】AC
【命题意图】考查等差等比数列及其简单性质，公差，公比．考查数学运算，逻辑推理等数学核心素养．
【解析】由条件得，．
如果是等差数列，则，，∴，所以A正确．又
，∴数列公差满足，故B错误．
如果是等比数列，由得，∴，∴，即，∴，故C正确．由条件，与是确定的（与有关），数列是确定数列，∴与是确定值，不存在最小的问题，∴D错误．（或由已知得，由于，所以，即数列的比公不为，∴，∴在不等式中，等号不成立，故D错误．）
12．【答案】ACD
【命题意图】考查空间想象能力，空间点、线、面的位置关系，分类讨论思想．考查直观想象，逻辑推理等数学核心素养．









图二






图一

【解析】将这两个四棱锥的底面完全重合，得到如图一的几何体，其中平行的棱分别是，，，，，．∴A正确．如果这个几何体所有顶点都在一个球上，则点，到平面的距离与正方形对角线的一半都等于球的半径．设的中点为，则平面，由于，∴，又，∴，∴B错误．将这两个四棱锥的一个侧面完全重合，得到如图二的几何体．分别设四棱锥的底面正方形的边与的中点为，，分别连接，，
．∵，∴，∴．∵，
，∴．∴，即．，是平面内两条相交直线，∴平面．同理，平面．∴平面与平面重合．∴共有平面，平面，平面，平面，平面，平面，平面个平面．∴C正确．由上可知，是二面角的平面角，且，即二面角等于．∴二面角等于，∴二面角为直二面角，∴平面平面．∴D正确．
13．【答案】
【命题意图】考查空间直线的位置关系，异面直线所成角．考查直观想象数学核心素养．
【解析】分别设棱，，的中点为，，，则是正三角形，且，，∴等于异面直线与所成的角，大小为．
14．【答案】
【命题意图】考查圆，平面向量，向量的数量积，向量的坐标表示，向量的基本运算．考查直观想象，数学运算，逻辑推理等数学核心素养．
x
y
O
2
1
1
3





【解析】设，则，且．又，，∴．
15．【答案】
【命题意图】考查分段函数，定义域，对数的性质，轴称性，函数的值域，数形结合思想．考查直观想象数学核心素养．
【解析】函数的零点，就是曲线与直线交点的横坐标，如图所示．不妨设四个零点从小大到依次为，，，，则，∴．又
，∵，∴的取值范围是．所以，这四个零点积的取值范围是．
16．【答案】
【命题意图】考查球的表面积，解三角形．考查数学运算，直观想象，逻辑推理等数学核心素养．
【解析】设半球半径为，则，∴，∴．在中，由正弦定理得，∴，．
17．【命题意图】考查三角简单的恒等变换，正余定理在解三角形中的应用，内积．考查逻辑推理和数学运算等数学核心素养．
【解析】（1）∵，
∴在中，由正弦定理得，， ………………2分
∴．…………………………………………………………………………3分
∵，，是的内角，∴，
∴，
所以，．…………………………………………………………………………………………5分
（2）选择①．
∵，∴，即，∴． ………………………………6分
∵，∴，． …………………………………………………………………………7分
在中，由余弦定理得，．………8分
在中，由正弦定理得，． ………………………………………10分
（2）选择②．
∵，∴，即，∴．………………………………6分
在中，由余弦定理得，，
∴． …………………………………………………………………………………………8分
∵，∴．
在中，由正弦定理得，． ………………………………………10分
（2）选择③．
∵，∴，即，∴． ………………………………6分
在中，由余弦定理得，
，
∴． …………………………………………………………………………………………8分
∵，∴．
在中，由正弦定理得，． ………………………………………10分
18．【命题意图】考查等差数列，数列前项和与通项的关系，数列的单调性，数列的最大项，恒成立．考查逻辑推理和数学运算等数学核心素养．
【解析】（1）证明：∵，
∴，
∴．………………………………………………………………4分
∵，……………………………………………………………………………5分
所以，是以为首项，以为公差的等差数列．………………………………………6分
（2） 由（1）可知，，
∴． ……………………………………………………………………………………7分
当时，，
∵，所以，的通项公式为．…………………………………………………8分
∴，，，，，．
当时，，即，也就是说，数列从第项起，是递减数列．
所以，实数的取值范围是．………………………………………………………………12分
19．【命题意图】考查古典概型，独立事件发生的概率，互斥事件概率，分布列，数学期望．考查数学建模和数学运算等数学核心素养．
【解析】（1）设“抽取的一台A款手机的使用时间不超过年”，“抽取的一台B款手机的使用时间不超过年”，“这两台手机使用时间都不超过年”，则事件、相互独立，且．
由表可知，，………………………………………………………4分
∴，
即这两台手机使用时间都不超过年的概率为．…………………………………………………6分
（2）这台手机中使用时间超过年的有台，从中随机抽取台，共有种不同结果，其中使用年的手机台．…………………………………………………………………………………7分
∴．
∴，，
，．
∴的分布列为：

0
1
2
3







…………………………………………………………10分



∴. ………………………………………………12分











20．【命题意图】考查空间点线面之间的位置关系，线线、线面、面面平行及垂直的性质和判定．考查二面角，坐标法解决几何问题．考查数学直观，逻辑推理等数学核心素养．
【解析】（1）分别设线段，的中点分别为，，分别连接，，．…………………………………………1分
∴．
∵，，
∴，，
∴四边形和四边形都是平行四边形．…………3分
∴，，，，
∴，，即四边形是平行四边形，……………………………………5分
∴，∴．
所以，四点，，，在同一平面内． ………………………………………………………6分
（2）∵，，与是平面内两相交直线，
∴平面.
分别以直线,为轴和轴，以过点垂直于平面的直线为轴，建立如图所示的空间直线坐标系． ……………………………………………………………………………7分
设，由于，，所以，，，，．………………………………………………………………………8分
∴，，，．…………………9分
设和分别是平面和平面的一个法向量，则 ，，，，
∴
不妨取，得，，，
∴．
所以，平面与平面所成锐二面角的余弦值为． ………………………………12分
21．【命题意图】考查椭圆，抛物线，圆锥曲线与直线的位置关系，斜率，直线方程．考查数形结合思想，转化化归思想，函数方程思想．考查数学运算，逻辑推理，数学抽象等数学核心素养．
【解析】（1）设椭圆的右焦点为，由于，关于轴对称，∴.
∵，∴,∴．…………………………………2分
∵椭圆离心率为，∴，∴．…………………………………………………3分
∴． ……………………………………………………………………………………4分
所以，椭圆的方程为．…………………………………………………………………5分
x
y
O
F
A
B
C
P
M
N
（2）由（1）得，，∴直线的斜率为．
∵，∴可设直线的方程为．………7分
∵二次曲线：经过，∴，即二次曲线的方程为．……………………………………………………8分
设，．由方程组得
．
∴，．………………………………10分
又，，
所以，．……………………………………………12分

22．【命题意图】考查导数及其应用，极值，函数的零点，函数单调性．考查分类讨论思想，数形结合思想，转化化归思想，函数方程思想．考查数学运算，逻辑推理，数学抽象等数学核心素养．
【解析】（1）∵，∴，且
．…………………………………………………………3分
当时，，是增函数；当时，，是减函数． ……4分
所以，函数的增区间是，减区间是． …………………………………………5分
（2）函数定义域为．
，∴ ．……………………………6分
①当时，，是单调增函数．
∵，∴若，则，是单调减函数；若，则，是单调增函数．
∴函数有唯一的极值点，而且是极小值点． ………………………………………………………7分
②当时，由（1）知，，即，是定义域内的减函数，没有极值点．………………………………………………………………………………8分
③当，且时，由于，，所以，有唯一零点，设为，若，则，是单调增函数；若，则，是单调减函数．
∴．
∵，∴，，∴当时，，当时，．
∴．
设，则．当时，，函数单调递减；当时，，函数单调递增．
∴．∴．
∵若,当时，，∴．又
，，∴，∴在区间上有唯一零点，该零点为函数的极小值点．由于，为函数的极大值点；若，曲线与直线在第一象限有且只有一个交点，设交点横坐标为，当时，，即
，∴在上存在唯一零点，该零点为函数的极大值点．由于，此时为函数的极小值点．所以有两个极值点． ……………………………………11分
综上所述，当时，函数有一个极值点；当时，函数没有极值点，当且时，函数有两个极值点．…………………………………………………………………12分