2021奉新县一中高三上学期第一次月考数学（理）试题含答案

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这是一份2021奉新县一中高三上学期第一次月考数学（理）试题含答案，共10页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
奉新一中2021届高三上学期第一次月考数学（理）试卷一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题意.）1.集合A＝{－4，2a－1，a2}，B＝{9，a－5，1－a}，若A∩B＝{9}，则a＝(　　)A．－3 B．3或－3 C．3 D．3或－3或52.f(x)与g(x)是定义在R上的两个可导函数，若f(x)，g(x)满足，则f(x)与g(x)满足(　　)A．f(x)＝g(x) B．f(x)＝g(x)＝0 C．f(x)－g(x)为常数函数 D．f(x)＋g(x)为常数函数3.如图，阴影部分的面积是(　　)A．2 B．－2 C. D.4.已知圆O：与y轴正半轴的交点为，点沿圆O顺时针运动弧长达到点N，以X轴的正半轴为始边，ON为终边的角记为，则（）A． B． C． D. 5.已知命题p：∃x∈R，，命题q：∀x∈(0，π)，sinx＋>2，则下列判断正确的是(　　)A．p∨q是假命题 B．p∧q是真命题C．p∧(q)是真命题 D．p∨(q)是假命题6.现有四个函数①y＝x·sinx，②y＝x·cosx，③y＝x·|cosx|，④y＝x·2x的部分图像如下，但顺序被打乱，则按照图像从左到右的顺序，对应的函数序号正确的一组是(　　)A．①④②③　　 B．①④③② C．④①②③ D．③④②①7.曲线y＝－在点M(，0)处的切线的斜率为(　　)A．－ B. C．－ D.8.已知函数f(x)满足f(x＋1)＋f(－x＋1)＝2，下列四个选项一定正确的是( 　)A．f(x－1)＋1是偶函数 B．f(x－1)－1是奇函数C．f(x＋1)－1是奇函数 D．f(x＋1)＋1是偶函数 9.函数f (x)＝3sinx－logx的零点的个数是(　　)A．2 B．3 C．4 D．510.已知tanα，tanβ是方程＋3x＋4＝0的两根．若α，β∈(－，)，则α＋β＝(　　)A. B.或－π C．－或π D．－π11.[x]表示不超过x的最大整数，已知函数f(x)＝|x|－[x]，有下列结论：①f(x)的定义域为R； ②f(x)的值域为[0，1]； ③f(x)是偶函数；④f(x)不是周期函数； ⑤f(x)的单调增区间为(k，k＋1)(k∈N)．其中正确的个数是(　　)A．3 B．2 C．1 D．012.若函数在区间(1,2]上不单调，则实数a的取值范围是A． B． C． D．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.）13.函数f(x)＝ln(－2x－3)的单调递减区间为______________14.若α，β均为锐角且cos α＝，cos(α＋β)＝－，则＝__________ ＝______________16.若函数f(x)＝＋b＋cx＋d在区间[－1,2]上是减函数，则2b＋c的最大值为_______________三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出证明过程或演算步骤.）17.（本题满分10分）已知p：，q：(m>0)，若¬p是¬q的必要不充分条件，求实数m的取值范围． 18.（本题满分12分）已知函数f(x)＝－x2＋2ax＋1－a在0x1时有最大值2，求a的值． 19.（本题满分12分）设a为实数，函数f(x)＝－x3＋3x＋a.(1)求f(x)的极值；(2)是否存在实数a，使得方程f(x)＝0恰好有两个实数根？若存在，求出实数a的值；若不存在，请说明理由． 20.（本题满分12分）已知函数的周期为，其图象上的一个最高点为.（1）求函数的解析式（2）当时，求函数的最值及相应的值 21.（本题满分12分）已知函数f(x)＝aex－ln x－1.(1)设x＝2是f(x)的极值点，求f(x)的单调区间；(2)证明：当a时，f(x)0. 22.（本题满分12分）已知函数f(x)＝xln x，g(x) ＝.(1)求f(x)的最小值；(2)对任意x∈(0，＋∞)，f(x)g(x)都有恒成立，求实数a的取值范围；(3)证明：对一切x∈(0，＋∞)，都有ln x>－成立．
2021届高三上学期第一次月考数学（理）答案一、选择题（本大题共12小题，每小题5分）ACDBC ABCDD AC二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.）13.(－∞，－1) 14. 15.2 16.-9三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出证明过程或演算步骤.）17.（本题满分10分）已知p：，q：(m>0)，若¬p是¬q的必要不充分条件，求实数m的取值范围．[解析]　∵“¬p是¬q必要不充分条件”的等价命题是：p是q的充分不必要条件．设p：A＝{x|－2≤x≤10}，q：B＝{x|1－m≤x≤1＋m，m>0}．∵p是q的充分不必要条件，∴AB.∴(两个等号不能同时取到)，∴m≥9.18. （本题满分12分）已知函数f(x)＝－x2＋2ax＋1－a在0≤x≤1时有最大值2，求a的值．[解析]　当对称轴x＝a<0时，如图1所示．当x＝0时，y有最大值，ymax＝f(0)＝1－a.∴1－a＝2，即a＝－1，且满足a<0，∴a＝－1.图1　　　　　　　　　图2当0≤a≤1时，如图2所示．即当x＝a时，y有最大值，ymax＝f(a)＝－a2＋2a2＋1－a＝a2－a＋1.∴a2－a＋1＝2，解得a＝.∵0≤a≤1，∴a＝舍去．当a>1，如图3所示．图3由图可知，当x＝1时y有最大值，ymax＝f(1)＝2a－a＝2，∴a＝2，且满足a>1，∴a＝2.综上可知，a的值为－1或2.19.（本题满分12分）设a为实数，函数f(x)＝－x3＋3x＋a.(1)求f(x)的极值；(2)是否存在实数a，使得方程f(x)＝0恰好有两个实数根？若存在，求出实数a的值；若不存在，请说明理由．解：(1)f′(x)＝－3x2＋3，令f′(x)＝0，得x＝－1或x＝1.∵当x∈(－∞，－1)时，f′(x)<0；当x∈(－1,1)时，f′(x)>0；当x∈(1，＋∞)时，f′(x)<0.∴f(x)的极小值为f(－1)＝a－2，极大值为f(1)＝a＋2.(2)∵f(x)在(－∞，－1)上单调递减，且当x→－∞时，f(x)→＋∞；f(x)在(1，＋∞)上单调递减，且当x→＋∞时，f(x)→－∞，而a＋2>a－2，即函数的极大值大于极小值．∴当极大值等于0时，极小值小于0，此时曲线f(x)与x轴恰好有两个交点，即方程f(x)＝0恰好有两个实数根，如图1所示．∴a＋2＝0，即a＝－2.当极小值等于0时，极大值大于0，此时曲线f(x)与x轴恰有两个交点，即方程f(x)＝0恰好有两个实数根，如图2所示．∴a－2＝0，即a＝2.综上所述，当a＝2或a＝－2时，方程f(x)＝0恰好有两个实数根．20.（本题满分12分）已知函数的周期为，其图象上的一个最高点为.（1）求函数的解析式（2）当时，求函数的最值及相应的值21.（本题满分12分）已知函数f(x)＝aex－ln x－1.(1)设x＝2是f(x)的极值点，求f(x)的单调区间；(2)证明：当a≥时，f(x)≥0.(1)解：f(x)的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝aex－.由题设知，f′(2)＝0，所以a＝.从而f(x)＝ex－ln x－1，f′(x)＝ex－.当0<x<2时，f′(x)<0；当x>2时，f′(x)>0.所以f(x)在(0,2)上单调递减，在(2，＋∞)上单调递增．(2)证明：当a≥时，f(x)≥－ln x－1.设g(x)＝－ln x－1，则g′(x)＝－.当0<x<1时，g′(x)<0；当x>1时，g′(x)>0.所以x＝1是g(x)的最小值点．故当x>0时，g(x)≥g(1)＝0.因此，当a≥时，f(x)≥0.22.（本题满分12分）已知函数f(x)＝xln x，g(x) ＝.(1)求f(x)的最小值；(2)对任意x∈(0，＋∞)，f(x)≥g(x)都有恒成立，求实数a的取值范围；(3)证明：对一切x∈(0，＋∞)，都有ln x>－成立．(1)解：由题意，得f′(x)＝ln x＋1，令f′(x)＝0，∴x＝.∵当x∈时，f′(x)<0，∴f(x)在上单调递减；∵当x∈时，f′(x)>0，∴f(x)在上单调递增．∴函数f(x)的最小值为f＝－.(2)解：∵x>0，∴问题等价于a≤＝2ln x＋x＋在x∈(0，＋∞)上恒成立，记t(x)＝2ln x＋x＋，则a≤[t(x)]min，∵t′(x)＝＋1－＝，令t′(x)＝0，得x＝1或x＝－3(舍)．∵x∈(0,1)时，t′(x)<0，∴函数t(x)在(0,1)上单调递减；∵x∈(1，＋∞)时，t′(x)>0，∴函数t(x)在(1，＋∞)上单调递增．∴[t(x)]min＝t(1)＝4，即a≤4，即实数a的取值范围为(－∞，4]．(3)证明：问题等价于证明xln x>－，x∈(0，＋∞)，由(1)知，f(x)＝xln x的最小值f＝－，设φ(x)＝－，x∈(0，＋∞)，则φ′(x)＝，令φ′(x)＝0，得x＝1.∵x∈(0,1)时，φ′(x)>0，∴函数φ(x)在(0,1)上单调递增；∵x∈(1，＋∞)时，φ′(x)<0，∴函数φ(x)在(1，＋∞)上单调递减．∴[φ(x)]max＝φ(1)＝－，因此xln x≥－≥－.又两个等号不能同时取得，∴xln x>－，即对一切x∈(0，＋∞)，都有ln x>－成立．