五年级思维专项训练22 带余除法(原卷+解析版)全国通用

五年级思维训练22    带余除法1、2008÷a=b......6,a,b均为自然数。a有（    ）种不同的取值。   2、11+22+33+44+55+66+77+88+99除以3的余数是几？为什么？   3、将从1开始到103的连续奇数依次写成一个多位数：A=1357910111315171921...99101103,则数A共有（     ）位数，数A除以9的余数是（    ）。   4、定义：1！=1，2！=1×2，3！=1×2×3，n!=1×2×3×......×n,则2011！+10除以2012的余数为（     ）。   5、已知a=20082008....2008，问a除以13所得的余数是（      ）            2008个2008   6、用1、9、8、8这四个数字能排成几个被11除余8的四位数？    7、在两位数10、11、、、、98、99中，将每个被7除余2的数的个位与十位之间添加一个小数点，其余的数不变。问：经过这样改变后，所有数的和是多少？   8、10个自然数，和为100，分别除以3，若用去尾法，10个商的和为30；若用四舍五入法，10个商的和为34.则10个数中被3除余1的数有（      ）。   9、小明心理想了一个正整数，并且求出了它分别被14和21除后所得的余数，已知这两个余数的和是33，则该整数被42除的余数是（        ）。   10、学校运动会开幕式的旗手排成一行，首先从左向右1到3循环报数，最右端的旗手报2；然后从右往左1至4循环报数，最左端的棋手报3，两次都报1的旗手共12人，那么开幕式共有旗手多少人？    11、一个除法算式的被除数、除数、商与余数都是自然数，并且除数与商相等，若被除数是365，则除数是（       ），余数是（      ）。  12、数1275除以一个三位数，余数是150，则这个三位数是（          ）。  13、在大于2009的自然数中，被57除后，商与余数相等的数共有（        ）个。   14、一个自然数被8除余1，所得的商被8除也余1，再把第二次所得的商被8除后7，最后得到一个商是a(短除式图1）．又知这个自然数被17除余4，所得的商被17除余15，最后得一个商是a的2倍(见短除式图2).求这个自然数．8  所求的自然数…余1                  17 所求的自然数…余4  8    第一次商…余1                   17 第一次商…余15   8    第二次商…余7                            2a        a                                        图1                                           图215、一个自然数除以8得到的商加上这个数除以9的余数，其和是13．求所有满足条件的自然数．   16、奶奶告诉小明：“2006年共有53个星期日．”聪明的小明立刻告诉奶奶：2007年的元旦一定是 A.星期一           B.星期二    C.星期六    D．星期日   17、2007年4月15日（星期日）是第5届小学“希望杯”全国数学邀请赛举行第2试的日子，那么这天以后的第2007+4×15天是星期（        ）。    18、如下图所示，一只蚂蚱站在1号位置上，它第1次跳1步，到达2号位置；第2次跳2步，到达4号位置；第3次跳3步，到达1号位置，…第n次时跳n步，当蚂蚱沿着顺时针跳了100次时到达（     ）号位置。 19、有三个自然数a、b、c，已知b除以a，得商3余3;c除以a，得商9余11．则c除以b，得到的余数是（         ）。    20、2007×2007×…×2007(2008个2007)的个位数字是（            ）。    21、 2011X2011×...×2011的末两位数是（         ）。          20ll个2011  22、有如下图所示的十二张扑克牌，2点、6点、10点各四张，你能从中选出七张牌，使上面点数之和恰等于52吗？说明理由．   2    2     2    2     6    6     6    6    10   10   10    10 23、三个连续三位数的和能够被13整除，且这三个数中最大的数被9除余4，那么符合条件的三个数中最小的数的最大值是（       ）     24、有9张卡片如下图所示，其中5张上所写的数已知，还有4张不知具体数，，但已知它们都是整数，且都是4的倍数，这4张上所写的数的和为400.现有4个学生，每人从9张中取走2张，当他们把取来的2张卡片上的数相加时发现和都相等，则剩下的那张卡片上的数是：（       ）。  25、1---2009之间同时被3、5、7除都余2的数有（      ）个。   26、有一堆水果糖，如果按8块一份来分，最后剩下2块；如果按9块一份来分，最后剩下3块；如果按10块一份来分，最后剩下4块，这堆糖至少有（      ）块。  27、有一个数，除以3余数是2，除以4余数是1.问这个数除以12余数是几？  28、红星小学组织学生划船，若乘坐大船，除1条船坐6人外，其余每船均坐17人；若乘坐小船，则除1条船坐2人外，其余每船均坐10人。如果学生的人数超过100、不到200，那么学生共有（      ）人。  29、智慧老人到小明的年级访问，小明说他们年级共一百多名同学，老人请同学们按三人一行排队，结果多出一人，按五人一行排队，结果多出二人，按7人一行排队，结果多出一人，老人说我知道你们年级的人数应该是（       ）人。   30、三个数：23、51、72，各除以大于1的同一个自然数，得到同一个余数，则这个除数是（        ）。  31、一个数被7除，余数是3，该数的3倍被7除，余数是（      ）。  32、M,N为非零自然数，且2007M+2008N被7除。M+N的最小值为（      ）。   33、某个自然数除以2余1，除以3余2，除以4余1，除以5也余1.则这个数最小是（     ）。  34、有一列数：1，3，9，25，69，189，517，....其中第一个数是1，第二个数是3，从第三个数起每个数恰好是前面两个数之和的2倍再加上1，那么这列数中的第2008个数除以6，得到的余数是（      ）。   35、求1---2001的所有自然数中，有多少个整数x使2x与x2被7除余数相同。   五年级思维训练22    带余除法参考答案1、2008÷a=b......6,a,b均为自然数。a有（    ）种不同的取值。【分析】由2008÷a=b......6可知，ab+6=2008,ab=2002,又因为2002=2×7×11×13，而且a>6.所以a的取值有：24-2=14（种)2、11+22+33+44+55+66+77+88+99除以3的余数是几？为什么？【分析】33、66、99除以3，余数是0，所以只须看表达式11+22+44+55+77+88除以3的余数，根据余数的和等于和的余数，那么余数为1+1+1+2+1+1=7，7÷3=2.....1.所以答案是1.3、将从1开始到103的连续奇数依次写成一个多位数：A=1357910111315171921...99101103,则数A共有（     ）位数，数A除以9的余数是（    ）。【分析】一位的奇数有5个，两位的奇数有45个，再加两个三位奇数，所以A是一个5+2×45+3×2=101（位）数。从1开始的连续奇数被9除余数依次为1，3，5，7，0，2，4，6，8，1，3，5，7，0，2，4，6，8，...,从1开始，每周期为9个数的循环。因为（1+3+5+7+9+2+4+6+8)被9除余数为0，从1--89恰为5个周期，所以这101位数A被9除的余数为1+3+5+7+0+2+4被9除的余数，等于4.答案：101，44、定义：1！=1，2！=1×2，3！=1×2×3，n!=1×2×3×......×n,则2011！+10除以2012的余数为（     ）。【分析】2011！中包含2与1006，所以2011！是2012的倍数，那么余数为10.5、已知a=20082008....2008，问a除以13所得的余数是（      ）            2008个2008【分析】2008除以13余6，10000除以13余3，所以20082008除以13余6×3+6-13=11，200820082008除以13余11×3+6-39=0，即200820082008是13的倍数，而2008除以3余1，所以a除以13 的余数与2008除以13的余数相同，为6.6、用1、9、8、8这四个数字能排成几个被11除余8的四位数？【分析】按照除以11余数的特征，这个四位数的奇数位数字与偶数位数字和的差为8，把8、9放在奇数位，1、8放在偶数位，排列顺序2×2=4（种）7、在两位数10、11、、、、98、99中，将每个被7除余2的数的个位与十位之间添加一个小数点，其余的数不变。问：经过这样改变后，所有数的和是多少？【分析】原来的总和是：10+11+12+...+98+99=4905,被7除余2的两位数是7×2+2=16，7×3+2=23，...,7×13+2=93共12个数，这些数按题中要求添加小数点后都成为了原来的十分之1，因此这一操作使总和减少了（16+23+...+93）×（1-）=588.6所以经过改变后，所有数的和是4905-588.6=4316.48、10个自然数，和为100，分别除以3，若用去尾法，10个商的和为30；若用四舍五入法，10个商的和为34.则10个数中被3除余1的数有（      ）。【分析】由题意，“用去尾法，10个商的和为30;用四舍五入法，10个商的和为34”可知，10个数中除以3余2的数有34- 30 -4（个），又知道10个自然数的和为100，设除以3余1的数有x个，那么根据用去尾法后10个商的和与10个自然数的和，可得关系式：+=一30，解得x=2．9、小明心理想了一个正整数，并且求出了它分别被14和21除后所得的余数，已知这两个余数的和是33，则该整数被42除的余数是（        ）。【分析】该整数除以14余数不大于13，除以21余数不大于20，所以这两个余数的和不大于33，而由题有这两个余数的和恰好是33，所以该整数除以14余数是13，除以21余数是20.这个数加上1就是14和21的倍数，而[14，21]一42，所以这个数可以表示成42k -l的形式，被42除的余数是41．10、学校运动会开幕式的旗手排成一行，首先从左向右1到3循环报数，最右端的旗手报2；然后从右往左1至4循环报数，最左端的棋手报3，两次都报1的旗手共12人，那么开幕式共有旗手多少人？【分析】因为3和4的最小公倍数是12，从左至右每12人两次报数的情况重复一次．从左至右前12人两次报数的情况是  第一次报数：1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3 第二次报数： 3 2 1 4 3 2 1 4 3 2 1 4 则旗手一共有12×12 -1=143（人）．11、一个除法算式的被除数、除数、商与余数都是自然数，并且除数与商相等，若被除数是365，则除数是（       ），余数是（      ）。【分析】因为被除数=除数×商十余数，其中除数=商，被除数= 365，所以365=除数×除数十余数，即365可写成两个相同的数的乘积与余数之和，并且要满足余数小于除数，经试算知，除数是19，余数是4．12、数1275除以一个三位数，余数是150，则这个三位数是（          ）。【分析】因为除数×商=被除数一余数=1257-150=1107.所以1107应是除数的整数倍，将1107分解质因数，得1107=3×3×3×41.而除数应大于150，并且是三位数，可知符合条件的 1107的约数只有3×3×41 =369，所以这个三位数是369.13、在大于2009的自然数中，被57除后，商与余数相等的数共有（        ）个。 【分析】根据题意，设这样的数除以57所得的商和余数都为n（a<57），则这个数为57×a+a=58a．所以58a>2009，得到a>2009÷58=34，由于a为整数，所以n至少为35．又由于 a<57，所以a最大为56，则a可以为35、36、37、…、56.由于每一个a的值就对应一个满足条件的数，所以所求的满足条件的数共有56-35+1=22（个）．14、一个自然数被8除余1，所得的商被8除也余1，再把第二次所得的商被8除后7，最后得到一个商是a(短除式图1）．又知这个自然数被17除余4，所得的商被17除余15，最后得一个商是a的2倍(见短除式图2).求这个自然数．8  所求的自然数…余1                  17 所求的自然数…余4  8    第一次商…余1                   17 第一次商…余15   8    第二次商…余7                            2a        a                                        图1                                           图2【分析】先求a，依题意[（8a+7)×8+1]×8+1=(17×2a+15)×17+4,整理得512a+457=578a+259.66a=198,所以a=3，于是原数=[（8a+7)×8+1]×8+1=1993. 15、一个自然数除以8得到的商加上这个数除以9的余数，其和是13．求所有满足条件的自然数．【分析】　【分析】设这个数为n，n除以8所得的商为q，n除以9所得的余数为r。于是r≤8，因为q＋r＝13，所以5≤q≤13。　　当q＝5时，r＝8，n＝5×8＋4＝44；　　当q＝6时，r＝7，n＝6×8＋4＝52；　　当q＝7时，r＝6，n＝7×8＋4＝60；　　当q＝8时，r＝5，n＝8×8＋4＝68；　　当q＝9时，r＝4，n＝9×8＋4＝76；　　当q＝10时，r＝3，n＝10×8＋4＝84；当q＝11时，r＝2，n＝11×8＋4＝92；当q＝12时，r＝1，n＝12×8＋4＝100；　　当q＝13时，r＝0，n＝13×8＋4＝108。　　满足条件的自然数共有9个：44，52，60，68，76，84，92，100，10816、奶奶告诉小明：“2006年共有53个星期日．”聪明的小明立刻告诉奶奶：2007年的元旦一定是 A.星期一           B.星期二    C.星期六    D．星期日 【分析】2006年有365天，365=7×52+1，又已知2006年有53个星期天，只能元旦是星期天，且12月31日也是星期日，所以2007年的元旦是星期一。17、2007年4月15日（星期日）是第5届小学“希望杯”全国数学邀请赛举行第2试的日子，那么这天以后的第2007+4×15天是星期（        ）。【分析】计算星期属于余数问题，也就是考虑被7 除的余数。因为2002被7整除，所以2007被7除余5；又因为15被7余1，所以2007+4×15被7除的余数是：5+4×1=9，9被7除余2，所以是星期日过后2天，是星期二。18、如下图所示，一只蚂蚱站在1号位置上，它第1次跳1步，到达2号位置；第2次跳2步，到达4号位置；第3次跳3步，到达1号位置，…第n次时跳n步，当蚂蚱沿着顺时针跳了100次时到达（     ）号位置。【分析】共跳了1+2+3+…+100=5050次，蚂蚱开始站在了1号位置上，当它跳了1步的时候，到了2号位置；跳了3步的时候，到了4号位置，跳了6步的时候，到了7号位置，那它跳了100次，也就是跳了5050步的时候，就应该在5051号位置上。    5051/6=841...5，所以最后应是到达5号位置。　　5050÷6=841…4，　　从1开始跳4次到达5号位置。19、有三个自然数a、b、c，已知b除以a，得商3余3;c除以a，得商9余11．则c除以b，得到的余数是（         ）。【分析】b=3a+3  c=9a+11  c=(9a+9)+2=3b+2,所以余数是2.20、2007×2007×…×2007(2008个2007)的个位数字是（            ）。【分析】每4个2007相乘个位为1，2008是4的倍数，所以乘积的个位数字还是1.21、 2011X2011×...×2011的末两位数是（         ）。          20ll个2011【分析】乘积的末两位是由乘数的末两位决定。11×11=121，11×21=231，31×11=341，41×11=451...,81×11=891,91×11=1001,观察可知，随着乘数的增加，乘积的末两位出现循环：11，21，31，...，91，01，11，21，31，...每10个2011相乘，乘积的末两位数循环出现1次， 因为2011÷10=201……1．所以，2011X 2011×…×2011的末两位数是11．                                              20ll个2011  25、有如下图所示的十二张扑克牌，2点、6点、10点各四张，你能从中选出七张牌，使上面点数之和恰等于52吗？说明理由．   2    2     2    2     6    6     6    6    10   10   10    10【答案】不能【分析】因为每张牌除以4的余数均为2，7张牌除以4的余数仍为2，而52是4的倍数，矛盾，所以不能选出这样的7张牌26、三个连续三位数的和能够被13整除，且这三个数中最大的数被9除余4，那么符合条件的三个数中最小的数的最大值是（       ）【答案】974【分析】三个连续三位数，最大的数被9除余4，则中间数被9除余3，最小数被9除余2，所以这三个数的和是9的倍数，又能被13整除，所以这个和能被9×13=117整除，三个三位数和小于3000，3000÷117=25--…75，所以和最大为3000-75=2925，则中间数为2925÷3=975．所以最小数的最大值为974.27、有9张卡片如下图所示，其中5张上所写的数已知，还有4张不知具体数，，但已知它们都是整数，且都是4的倍数，这4张上所写的数的和为400.现有4个学生，每人从9张中取走2张，当他们把取来的2张卡片上的数相加时发现和都相等，则剩下的那张卡片上的数是：（       ）。【答案】21【分析】已知的五张卡片上的数除以4的余数都是l，因此每个学生所取得的两张卡片上的数的和应该是4的倍数加1．若剩下的是21，则每个学生抽得的数之和是(400+29+61+109+141)÷4=185，185÷4—46……1，符合要求；若剩下的是29，此时计算求得每个学生的数和是183，不合要求；若剩下的是61，则每个学生的数和是175，不合要求；若剩下的是109，每个学生的数和是163，不合要求；若剩下的是141，每个学生的数和是155，不合要求．综上，最后剩下的是21．25、1---2009之间同时被3、5、7除都余2的数有（      ）个。【答案】20【分析】1～2009之间同时被3、5、7除都余2的数肯定具有[3，5，7]k+2 =105k+2的形式，(2009-2)÷105—19……12，所以有2、107、…、105×19+2 =1997，共20个这样的数.26、有一堆水果糖，如果按8块一份来分，最后剩下2块；如果按9块一份来分，最后剩下3块；如果按10块一份来分，最后剩下4块，这堆糖至少有（      ）块。【答案】354【分析】这堆水果糖的总数被8除余2，被9除余3，被10除余4．如果增加6块就刚好是8、9、10的公倍数，又8、9、10的最小公倍数是360.所以这堆水果糖至少有360-6=354（块）．27、有一个数，除以3余数是2，除以4余数是1.问这个数除以12余数是几？【答案】5【分析】满足条件的最小值是5，那么所有满足条件的数肯定具有[3，4]k+5=12k+5的形式，除以12 -定是余5的．28、红星小学组织学生划船，若乘坐大船，除1条船坐6人外，其余每船均坐17人；若乘坐小船，则除1条船坐2人外，其余每船均坐10人。如果学生的人数超过100、不到200，那么学生共有（      ）人。【答案】142【分析】除1条船坐6人外，其余每船均坐17人，说明总人数可以表示成17m+6的形式；除1条船坐2人外，其余每船均坐10人，说明总人数可以表示成10n+2的形式；那么有17m+6=10n+2，化简得17m+4=10n，经分析m的个位只能是8．又学生的人数超过100、不到200，所以m=8，学生的人数是17×8+6=142. 29、智慧老人到小明的年级访问，小明说他们年级共一百多名同学，老人请同学们按三人一行排队，结果多出一人，按五人一行排队，结果多出二人，按7人一行排队，结果多出一人，老人说我知道你们年级的人数应该是（       ）人。【答案】127【分析】根据条件，该数除以3余1，除以5余2，除以7余1，逐级满足法，令该数为n，       则a÷3-----.1①        a÷5-----.2②        a÷7------1③符合条件①的有1，4，7，10，13，l6…．    同时满足①、②的最小值为7，以后a=7+15m均满足①、②；    现在来看(7+15m)除以7余1，则15m除以7余1，则m最小取1，符合，最小的符合的数为a=22.以后每隔[3，5，7]=105即符合，由于该年级有100多名学生，为22+105 =127.30、三个数：23、51、72，各除以大于1的同一个自然数，得到同一个余数，则这个除数是（        ）。【答案】7【分析】51-23=28，72 - 51= 21，(28，21) =7，所以这个除数是7．31、一个数被7除，余数是3，该数的3倍被7除，余数是（      ）。【答案】2【分析】余数是3×3÷7的余数，为2．32、M,N为非零自然数，且2007M+2008N被7除。M+N的最小值为（      ）。【答案】5【分析】2007除以7的余数是5，2008除以7的余数是6，所以5M+6N能被7整除，经试算，M+N最小值为3+2=5．33、某个自然数除以2余1，除以3余2，除以4余1，除以5也余1.则这个数最小是（     ）。【答案】41【分析】这个自然数除以2、4、5都余1,[2，4，5]=20，所以这个数应满足1+20n，同时除以3余2，所以最小是41.34、有一列数：1，3，9，25，69，189，517，....其中第一个数是1，第二个数是3，从第三个数起每个数恰好是前面两个数之和的2倍再加上1，那么这列数中的第2008个数除以6，得到的余数是（      ）。【答案】1【分析】这列数除以6的余数有以下规律：1，3，3，1，3，3，1，3，3，…，因为2008÷3=669……1．所以第2008个数除以6余1．35、求1---2001的所有自然数中，有多少个整数x使2x与x2被7除余数相同。【答案】574【分析】首先看2x÷7的余数、X2÷7的余数与x的关系：    可见，2x÷7的余数3个一循环，X2÷7的余数7个一循环，3和7的最小公倍数为21，2001÷21=95……6，每21个数中，余数相同的有6个，前6个中余数相同的有4个，所以，共有95×6+4=574（个）．    为什么会出现余数的循环呢？下面我们来证明(1)2n+3÷7与2n÷7同余，(2)(m+7)2÷7与m2÷7同余．    (1)2n+3÷7=2n×8÷7=2n×(7+1)÷7=2n+2n÷7，从而2n+3÷7与2n÷7同余．    (2) (m+7)2÷7= (m2+14m+49)÷7=m2÷7+2m+7，从而(m+7)2÷7与m2÷7同余．