五年级思维专项训练9 包含与排除(原卷+解析版)全国通用

五年级思维训练9   包含与排除

1、某山区的村落有人口2476人，全村落的人都会说普通话或广东话，调查所得，会说普通话的有1765人，会说广东话的有987人，问：会说普通话和广东话两种语言的有多少人？

2、从1到100的正整数中，不含数字1的数有多少个？

3、为了做科展，小丁观察一段期间里的天气，共写出4个数据：

（1）上午和下午共下雨7次；

（2）有5天下午未下雨；

（3）有6天上午未下雨；

（4）下午下雨的那几天，上午都未下雨。

请问在这段期间里有多少天全天未下雨？

 4、某个班的全体学生进行了短跑、游泳、篮球三个项目的测试，有4名学生在这三个项目上都没有达到优秀，其余每人至少有一个项目达到优秀，这部分学生达到优秀的项目、人数如下表：

求这个班的学生数。

5、在1～ 209这209个自然数中，与209互质的自然数共有多少个？

6、在不大于1000的自然数中，不能被3、5、7中任何一个整除的数共有多少个？

7、体育课上，60名学生面向老师站成一行，按老师口令，从左到右报数：1，2，3，…，60，然后，老师让所报的数是4的倍数的同学向后转，接着又让所报的数是5的倍数的同学身后转，然后让所报的数是6的倍数的同学向后转，现在面向老师的学生有多少人？

8、甲、乙、丙三个共解出100道数学题，每人都解出了其中60道题，现将其中只有一人能解出的题叫做难题，三人都能解出的题叫做容易题，容易题与难题相差多少题？

9、有100种食品，其中含钙的有68种，含铁的有43种，含锌的有15种，那么，其中既含钙又含铁的食品最少有      种？同时含钙、铁、锌的食品最多有      种？

10、某公司针对A,B,C三种岗位招聘了35人，其中只能上B岗位的人数等于只能上C岗位人数的2倍，而只能上A岗位的人数比能兼职别的岗位的多1人，在只能上一个岗位的人群中，有一半不能上A岗位，则招聘的35人中能兼职别的岗位的有多少人？

11、2010盏灯排成一排，开始都亮着，第一次从左边第一盏灯开始，每隔一盏灯拉一下开关（即拉左数第1，3，5，…，2009盏），第二次从右边第一盏灯开始，每隔两盏拉一下开关，第三次又从左边第一盏灯开始，每隔3盏灯拉一下开关，三次都拉到的灯有多少盏？亮着的还有多少盏？

12、某玩具城有一楼梯，大约有几十级，但肯定不到一百级。四位小朋友阿克赛、巴顿、克林、杜邦一起玩游戏。游戏开始后，若同一级台阶被踩4下，则台阶呈红色；踩3下，则呈黄色；踩2下，则呈绿色；踩1下，则呈蓝色。若四人下楼梯时，阿克赛一步下2级台阶，巴顿一步下3级台阶，克林一步下4级台阶，而杜邦的本事最大，竟然一步能下5级台阶，下来后发现，呈红色的台阶仅在最高处和最低处。现在，楼梯上呈蓝色的台阶有多少级？

13、有100人参加算术测验，从第1题到第5题共有5道题。答对每道题的人数分别是：第1题92人，第2题86人，第3题61人，第4题87题，第5题57人。这次测验规定，5道题只要做对3道题就及格，那么最少有多少人及格？

14、在一次数学竞赛中共出了A,B,C三题，在所有25个参加竞赛的学生中，每个学生至少解出一题，在没有解出A的那些学生中，解出B的人数是解出C的人数的两倍。只解出A的人数，比余下的学生中解出A的人数多1，只解出一题的学生中，有一半没有解出A，问有多少学生只解出B.

15、给你一架天平和两个砝码，这两个砝码分别重50克和100克，如果再添上3个砝码，则这5个砝码能称出的重量种类最多是多少种。（天平的左右两盘均可放砝码）

五年级思维训练9   包含与排除

参考答案

1、某山区的村落有人口2476人，全村落的人都会说普通话或广东话，调查所得，会说普通话的有1765人，会说广东话的有987人，问：会说普通话和广东话两

种语言的有多少人？

【答案】276

【分析】可以用韦恩图直观地表示本题中的数量关系，如右图所示，圆A表示会说普通话的人，圆B表示会说广东话的人。圆A与圆B的重叠区域C表示既会说普通话，又会说广东话的人，被两个圆所覆盖的区域表示全村落的人，所以会说普通话和广东话两种语言的有1765+987-2476=276

2、从1到100的正整数中，不含数字1的数有多少个？

【答案】80

【分析】方法一：个位出现数码1的有10个，十位出现数码1的有10个，百位出现数码1的有1个，其中11出现了2个1，根据容斥原理，出现数码1的有10+10+1-1=20（个），所以不出现数码1的有100-20=80（个）。

方法二：用0，2，3，…，8，9这9个数字组成两位数，例如组成的是06也就是十位数为0，可以看做一位数6，总共有99=81（个），排除00，总共有81-1=80（个）。

3、为了做科展，小丁观察一段期间里的天气，共写出4个数据：

（1）上午和下午共下雨7次；（2）有5天下午未下雨；（3）有6天上午未下雨；

（4）下午下雨的那几天，上午都未下雨。请问在这段期间里有多少天全天未下雨？

【答案】2天 

【分析】由（1）、（4）知上午或下午未下雨的为7天，因此这段期间里有（5+6-7）2=2天全天未下雨。

4、某个班的全体学生进行了短跑、游泳、篮球三个项目的测试，有4名学生在这三个项目上都没有达到优秀，其余每人至少有一个项目达到优秀，这部分学生达到优秀的项目、人数如下表：

求这个班的学生数。

【答案】39

【分析】4+17+18+15中有两项达到优秀的学生被算了2次，应当从统计中去掉1次，应当为4+17+18+15-6-6-5，但其中三项达到优秀的人，开始被算了3次，然后又被去掉3次，所以还应将这部分人数加进来，即全班人数是：4+17+18+15-6-6-5+2=39

5、在1～ 209这209个自然数中，与209互质的自然数共有多少个？

【答案】180

【分析】因为209=1119，所以与209有大于1的公因数的数，只能是11的倍数或是19的倍数。在1到209这209个自然数中，11的倍数共有19个，19的倍数共有11个，其中209作为11的倍数与19的倍数重复计数一次，所以在1到209这209个自然数中，与209素质的自然数的个数为209-19-11+1=180（个）。

6、在不大于1000的自然数中，不能被3、5、7中任何一个整除的数共有多少个？

【答案】457

【分析】在不大于1000的自然数中，能被3或5或7整除的数的个数为(10003)+(10005)+(10007)-(100015)-(100021)-(100035)+(1000105)=543

那么1000-543=457即所求。

注：（）表示为取整符号，（X）为不大于X的最大整数。

7、体育课上，60名学生面向老师站成一行，按老师口令，从左到右报数：1，2，3，…，60，然后，老师让所报的数是4的倍数的同学向后转，接着又让所报的数是5的倍数的同学身后转，然后让所报的数是6的倍数的同学向后转，现在面向老师的学生有多少人？

【答案】39

【分析】面向老师的学生就是向后转2次或0次的学生，如下图所示，A圆圈表示4的倍数的个数，B圆圈表示5的倍数的个数，C圆圈表示6的倍数的个数，D、E、F部分表示向后转两次的学生个数，G部分表示向后转3次学生的个数，[4，5]=20, [4，6]=12，[5，6]=30，[4，5，6]=60，604=15，605=12，606=10，6020=3，6012=5，6030=2，6060=1，所以向后转两次学生的个数为3+5+2-13=7（人），根据容斥原理求得向后转1次，2次，3次学生共有15+12+10-3-5-2+1=28（人），所以向后转0次的学生有60-28=32（人），所以最后面向老师的学生有32+7=39（人）。

8、甲、乙、丙三个共解出100道数学题，每人都解出了其中60道题，现将其中只有一人能解出的题叫做难题，三人都能解出的题叫做容易题，容易题与难题相差多少题？

【答案】20

【分析】方法一：设难题、中等题、容易题分别为a，b，c道，根据题意列出方程   a+2b+3c=180（1），

a+b+c=100（2）,由（2）2—（1）得，a - c=20（道）。

方法二：假设容易题与难题一样多，则对于每道题而言，平均有两个人解出：（1002—603）（3—2）=20（道）。

9、有100种食品，其中含钙的有68种，含铁的有43种，含锌的有15种，那么，其中既含钙又含铁的食品最少

有      种？同时含钙、铁、锌的食品最多有      种？

【答案】11；15

【分析】根据容斥原理，知同时含钙和铁的食品种类的最小值地68+43-100=11（种），同时含钙、铁、锌的食品种类的最大值等于含锌的食品种类，为15种。

10、某公司针对A,B,C三种岗位招聘了35人，其中只能上B岗位的人数等于只能上C岗位人数的2倍，而只能上A岗位的人数比能兼职别的岗位的多1人，在只能上一个岗位的人群中，有一半不能上A岗位，则招聘的35人中能兼职别的岗位的有多少人？

【答案】11

【分析】设只能上C岗位的有x人，那么只能上B岗位的2x人，只能上A岗位的有3x人，能兼职的岗位的人数为3x – 1人。

x+2x+3x – 1=35，解出x=4，所以3x -1=11，所以能兼职的有11人。

11、2010盏灯排成一排，开始都亮着，第一次从左边第一盏灯开始，每隔一盏灯拉一下开关（即拉左数第1，3，5，…，2009盏），第二次从右边第一盏灯开始，每隔两盏拉一下开关，第三次又从左边第一盏灯开始，每隔3盏灯拉一下开关，三次都拉到的灯有多少盏？亮着的还有多少盏？

【答案】167；1174  

【分析】（1）这些灯用1、2、3、…、2010从左到右依次编号，则第一次拉的是奇数编号的灯，第二次拉的是编号是3的倍数的灯，第三次拉的是所有除以4余1的数，那么最小的被拉3次的灯为9号，以后每隔[2，3，4]=12盏均被拉了3次，编号最大的被拉了3次的为2001，则共有（2001-9）12+1=167（盏）灯被拉3次。

（2）考虑最后还亮着的灯，最后还亮着有两种，没拉过的和只拉过两次的：

第1次拉的有：20102=1005（盏）；第2次拉的有：20103=670（盏）；第3次拉的有：（2009-1）4+1=503（盏）；第1、2次拉的为从3开始，编号公差为6的等差数列，有：（2007-3）6+1=335（盏）；第1、3次拉的有：（2009-1）4+1=503（盏）；第2、3次拉的有：（2001-9）12+1=167（盏）；第1、2、3次均拉的共有167（盏），根据容斥原理，拉过的灯共有：1005+670+503-335-503-167+167=1340（盏）；所以没有拉过的有2010-1340=670（盏）；仅拉过两次的有：335-167+503-167+167-167=168+336=504（盏）；

所以最后还亮着的灯有：670+504=1174（盏）。

12、某玩具城有一楼梯，大约有几十级，但肯定不到一百级。四位小朋友阿克赛、巴顿、克林、杜邦一起玩游戏。游戏开始后，若同一级台阶被踩4下，则台阶呈红色；踩3下，则呈黄色；踩2下，则呈绿色；踩1下，则呈蓝色。若四人下楼梯时，阿克赛一步下2级台阶，巴顿一步下3级台阶，克林一步下4级台阶，而杜邦的本事最大，竟然一步能下5级台阶，下来后发现，呈红色的台阶仅在最高处和最低处。现在，楼梯上呈蓝色的台阶有多少级？

【答案】20

【分析】显然，克林所踩的台阶都是阿克塞踩过的，所以克林的情况可以不考虑。

   因为2，3，4，5的最小公倍数是60，而60＜100，故楼梯共有60级，阿克赛的脚印落在第2，4，6，…，58，60级台阶上，但应排除2*3和2*5及其倍数的各级台阶；同时，还需要排除4的倍数的各级台阶，于是剩下第2，14，22，26，34，38，46，58共八级。

巴顿的脚印落在第3，6，9，12，…，60级台阶上，但应排除有别人踩过的台阶，剩下第3，9，21，27，33，39，51，57，共八级。

   最后再来看杜邦的情况，很明显，只有他一个人踩过的台阶是第5，25，35，55级，共四级。所以，楼梯上呈蓝色的台阶是8+8+4=20（级）。

13、有100人参加算术测验，从第1题到第5题共有5道题。答对每道题的人数分别是：第1题92人，第2题86人，第3题61人，第4题87题，第5题57人。这次测验规定，5道题只要做对3道题就及格，那么最少有多少人及格？

【答案】65

【分析】答对题数的合计是：92+86+61+87+57=383道。

   为使及格人数最少，设全员答对的题不少于2道，余下的答对题的数量不多于383-2×100=183。把这183题尽可能少分给一些人。

   从5道题都答对的最多的人数来考虑，如果答对第5题的最少人数57人都是满分的话，剩下的答对题数的合计是183-（5-2）57=12道。

再从答对4道题尽可能多的人数来考虑，答对人数第二少的第3题的61人中，有57人得满分的话，答对了4道题的最多的情况下是61-57=4人。

这时，余下的答对题数的合计是：12-（4-2）4=4道。

根据以上分析，可知及格者的最少人数是：57+4+4=65人。

所以至少有65人及格。

14、在一次数学竞赛中共出了A,B,C三题，在所有25个参加竞赛的学生中，每个学生至少解出一题，在没有解出A的那些学生中，解出B的人数是解出C的人数的两倍。只解出A的人数，比余下的学生中解出A的人数多1，只解出一题的学生中，有一半没有解出A，问有多少学生只解出B.

【答案】6人

【分析】如右图所示，设只解出A、B、C一道题的人数分别是a、b、c人，只解出两道题的人数分别是d、e、f人，同时解三道题的是g人。可列出以下方程。

a +b +c +d +e +f +g=25；

b+f=2（f+c）；

a -1=d +e +g；

a=b +c；

解得4b +c=26，由题意知b＞c，

所以可以得到唯一整数解b=6，c=2所以只解出B的有6人。

15、给你一架天平和两个砝码，这两个砝码分别重50克和100克，如果再添上3个砝码，则这5个砝码能称出的重量种类最多是多少种。（天平的左右两盘均可放砝码）

【答案】94

【分析】方法一：3个砝码最多能称出的重量为13种（例如1克、3克和9克的砝码，可称出1—13克中的所有整数克），而5个砝码最多能称出的重量为121种（例如1克、3克、9克、27克和81克的砝码）。现在已有的两个砝码中，称出50克的方法有两种，即50克的砝码本身或用100-50=50（克），所以这两个砝码在与剩下三个砝码组合时，37克～63地区这27种重量都有2种方法称量，即（50-13）克～(50+13)克中的所有整数克都有2种称量方法，所以这     5个砝码能称出的重量种类最多是121-27=94（种）。

方法二：现有的两个砝码可以称出3个不同的重量，每增加一个新砝码，要使移出的重量   多，应使新砝码的重量与原有砝码的重量及原有砝码重量的和、差均不重复，即新砝码与原有每个重量的和、差为两个新的重量值，使重量种类变为原有数量的3倍多1种，则5个砝码最多能称出：[（33+1）3+1] 3+1=94种。