五年级思维专项训练11 几何计数(原卷+解析版)全国通用
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1．如右图所示，把一个正方体切去8个小角，那么这个新的立方体图形有____条棱。
2．下图中的每个小方格都是面积为1的正方形，面积为2的长方形有_____个。
3．如下图所示，有两张形状、大小完全相同的直角三角形纸片（同一个直角三角形的两条直角边不相等）。把两个三角形相等的边靠在一起（两张纸片不重叠），可以拼出若干种图形，其中，形状不同的四边形有_____种。
4．下图是由16个小正方形组成的大正方形，则在这个图中，共有_____个由小正方形组成的长方形（包括正方形）中包含“”。
5．下图中有_____个三角形。
6．如下图所示，两条线上有6个点。试求出以6个点中任意3点为顶点构成的三角形一共有几个。
7.将4个小正方体拼在一起（正方体与正方体拼接的两个面要完全重合），共有_____种不同的拼法。（旋转后相同算同一种拼法）
8.如下图所示，在正方形的7个点中取4个格点作为顶点的四边形中，正方形有______个，取其中3个格点组成的等腰三角形有_______个。
9．下图是由9个点组成的，那么以图中4个点为顶点的正方形有_____个，以图中3个点为顶点的三角形有______个。
10．一块木板上有13枚钉子（如左下图）。用橡皮筋套住其中的几枚钉子，可以构成三角形，正方形，梯形，等等（如右下图）。请回答：可以构成多少个正方形？
11．下图是半个正方形，它被分成了若干个小的等腰直角三角形，图中，正方形有_____个，三角形有_____个。
12．下图中三角形的个数是______。
13．下图中共有______个三角形。
14．如下图中共有______个正方形。
15．数一数下图中共有_____个三角形。
16．以下图36个方格点钟的4个点为顶点的正方形的个数为______。
17．在下图由10个点排成的长方形中，每边上相邻亮点的距离都是1厘米。如果用其中的点连成三角形，那么面积是2平方厘米的三角形的个数是______。
A．16个 B．18个 C．20个 D．22个
18．下图中的正方形被分成9个相同的小正方形，他们一共有16个顶点（共同的顶点算一个），以其中不在一条直线上的3个点为顶点，可以构成三角形。在这些三角形中，与阴影三角形面积相等的有多少个？
19．如下图十字形钉板中（圆点代表钉子），用橡皮筋可以套出多少个不同的正方形（位置不同的正方形视为不相同，正方形的任意一边溢出钉板之外者不计）。
20．如下图所示，从立方体的8个顶点中选3个顶点，你能算出：①它们能构成多少个三角形？②这些三角形中有多少个直角三角形？③随机地取3个顶点，这3个点构成的直角三角形的可能性有多少？
21．如右图所示，每个小正三角形边长为I，小虫每步走过I，从A点出发，走4步恰好回到A点的路有______条。（途中可以回A点）
22．小杰玩多方块有些，他欲将一片如下图所示的L形三方块放置在6×10的方格表中（三方块的每个小方格与方格表中的小正方形边长都相同），且放置L形三方块时，每个小方格都与方格表的小方格对齐也不能突出方格表外，但L形三方块可以旋转。请问小杰有多少种不同的放入L形三方块的方法？
五年级思维训练11 几何计数
参考答案
1．如右图所示，把一个正方体切去8个小角，那么这个新的立方体图形有____条棱。
【答案】36
【分析】切去每个角增加3条棱，因此共有12+3×8=36条棱．
2．下图中的每个小方格都是面积为1的正方形，面积为2的长方形有_____个。
【答案】31
【分析】形如“”的有4×4=16个，形如“ ”的有3×5=15个，因此面积为2的长方形共有16+15=31（个）．
3．如下图所示，有两张形状、大小完全相同的直角三角形纸片（同一个直角三角形的两条直角边不相等）。把两个三角形相等的边靠在一起（两张纸片不重叠），可以拼出若干种图形，其中，形状不同的四边形有_____种。
【答案】B
【分析】每对直角边组合都只有一种，斜边组合有两种，所以一共4种．组合如下图所示：
4．下图是由16个小正方形组成的大正方形，则在这个图中，共有_____个由小正方形组成的长方形（包括正方形）中包含“”。
【答案】16
【分析】方法一：由边来确定，包含“★”的长方形的左边必须在“★”的左面选，右边只能在“★”的右面选，上边只能在“★”的上面选，下边只能在“★”的下面选．由乘法原理1×4×1×4=16（个）．
方法二：由对角顶点来确定，主对角线的左上顶点在“★”的左上方，右下顶点在“★”的右下方，根据乘法原理1×16=16（个）．
5．下图中有_____个三角形。
【答案】17
【分析】单块三角形：4个；两块组合的三角形：6个；三块组合的三角形：3个；四块组合的三角形：3个；七块组合的三角形：1个．
4+6+3+3+1 =17个．
6．如下图所示，两条线上有6个点。试求出以6个点中任意3点为顶点构成的三角形一共有几个。
【答案】15
【分析】排除法：排除掉3点在一条直线的所有情况， - -=15.
7．将4个小正方体拼在一起（正方体与正方体拼接的两个面要完全重合），共有_____种不同的拼法。（旋转后相同算同一种拼法）
【答案】7
【分析】最长边为4的有1种；最长边为3的有2种；最长边为2的有4种．
8．如下图所示，在正方形的7个点中取4个格点作为顶点的四边形中，正方形有______个，取其中3个格点组成的等腰三角形有_______个。
【答案】3；16
【分析】正方形有正的2个，斜的1个，共3个.
等腰三角形按大小形状分类，可得下图，因此共有10+2+4=16个．
9．下图是由9个点组成的，那么以图中4个点为顶点的正方形有_____个，以图中3个点为顶点的三角形有______个。
【答案】6，76
【分析】假设图中相邻两点距离为1，那么边长为1的正方形有4个，边长为2的正方形有1个，边长介于1与2之间的斜正方形有1个，所以共有6个正方形；图中共有=84个三角形．
其中有8组是三点共线，无法组成三角形，其它的76组可以组成76个三角形．
10．一块木板上有13枚钉子（如左下图）。用橡皮筋套住其中的几枚钉子，可以构成三角形，正方形，梯形，等等（如右下图）。请回答：可以构成多少个正方形？
【答案】11
【分析】如下图所示，可以将正方形分为四类，分别有5个、4个、1个、1个，共11个．
11．下图是半个正方形，它被分成了若干个小的等腰直角三角形，图中，正方形有_____个，三角形有_____个。
【答案】10；47
【分析】正方形10个；
三角形个数按含小三角形个数多少分类数，如下图所示：
因此三角形18+l+15+8+3+2+1=47（个）．
12．下图中三角形的个数是______。
【答案】D
【分析】最小的有19个；边长为2的有10个；边长为3的有3个，合计32个．
13．下图中共有______个三角形。
【答案】64
【分析】①如图a）中的三角形个数为(4+3+2+1)×3+4=30+4—34（个）；
②如图b），连接AB，新产生的一边在AB上的三角形中上半部分有6+3=9（个），下半部分有4个，总共有9+4=13（个）；
③如图c），连接DC，新产生的一边在DC上的三角形中上半部分有6+3=9（个），下半部分有4个，总共有9+4=13（个）；
④如图d），边同时在AB、DC上的三角形总共有4个；所以图中总共有三角形
34+13+13+4=64（个）．
14．如下图中共有______个正方形。
【答案】130
【分析】每个4×4正方形中有：边长为1的正方形有个；边长为2的正方形有个；边长为3的正方形有个；边长为4的正方形有个；总共有++ +=30（个）正方形．
现有5个4×4的正方形，它们重叠部分是4个2×2的正方形，每个2×2的正方形中有
+ =5个正方形．因此，图中正方形的个数是30×5-5×4=130．
15．数一数下图中共有_____个三角形。
【答案】90
【分析】采用对应法，图中不交于同一点的任意三条长线段唯一确定了一个三角形，因此三角形的个数就是10条线段中选3条线段的方法数减去不满足条件的选法，即 ––=120 –20 – 10=90（个）．
16．以下图36个方格点钟的4个点为顶点的正方形的个数为______。
【答案】105
【分析】这是一道“钉板”构造图形问题．图中的正方形有许多种类，我们通过仔细分析后，会发现，图中的正方形可进行如下分类并分别有（设每相邻两点之间距离为1）：
(l)边长为1，2，3，4，5的正方形分别有：，，，，个；
(2)边长为1×1，2×1，3×1，4×1的长方形对角线的正方形分别有：，，，个；
(3)边长为1×2，2×2，3×2的长方形对角线的正方形分别有：，，个；
(4)边长为1×3，2×3的长方形对角线的正方形分别有：，个；
(5)边长为1×4的长方形对角线的正方形有：个；
因此，图中正方形的个数为：
(++++)+(+++)+(++)+( +)+=105（个）．
17．在下图由10个点排成的长方形中，每边上相邻亮点的距离都是1厘米。如果用其中的点连成三角形，那么面积是2平方厘米的三角形的个数是______。
A．16个 B．18个 C．20个 D．22个
【答案】D
【分析】有两个点在同一行的三角形：2×2×4=16个，三个点分别在三行的三角形：6个，共22个．
18．下图中的正方形被分成9个相同的小正方形，他们一共有16个顶点（共同的顶点算一个），以其中不在一条直线上的3个点为顶点，可以构成三角形。在这些三角形中，与阴影三角形面积相等的有多少个？
【答案】48
【分析】设原正方形的边长是3．所求的三角形可分两种情形：
(1)三角形的一边长2，这边上的高是3，这时，长为2的边只能在原正方形的边上，这样的三角形有2×4×4=32（个）；
(2)三角形的一边长3，这边上的高是2，这时，长为3的边是原正方形的一边或平行于一边的分割线其中，与(1)重复的三角形不再算入，这样的三角形有8×2 =16（个），因此，所求的三角形共48个（包括图中开始给出的三角形）．
]19．如下图十字形钉板中（圆点代表钉子），用橡皮筋可以套出多少个不同的正方形（位置不同的正方形视为不相同，正方形的任意一边溢出钉板之外者不计）。
【答案】39
【分析】横平竖直的：1×1的有20个；2×2的有9个；斜着的：10个；共39个.
20．如下图所示，从立方体的8个顶点中选3个顶点，你能算出：①它们能构成多少个三角形？②这些三角形中有多少个直角三角形？③随机地取3个顶点，这3个点构成的直角三角形的可能性有多少？
【答案】①它们能够成56个三角形；
②这些三角形中有48个直角三角形；
③随机的取三个顶点，这三个点构成直角三角形的可能性有
【分析】①=56
②不是直角三角形的就是等边三角形，这样的等边三角形有8个，所以直角三角形有
56-8=48个．
③=
21．如右图所示，每个小正三角形边长为I，小虫每步走过I，从A点出发，走4步恰好回到A点的路有______条。（途中可以回A点）
【答案】90
【分析】从A点出发第一步有6种选择，假设第一步从A走到B，走V型的有5种；走平行四边形的有4种；第一步走到B，第三步又回到B的有6种，如下图所示：
所以共有6×(5+4+6)=90（条）．
22．小杰玩多方块有些，他欲将一片如下图所示的L形三方块放置在6×10的方格表中（三方块的每个小方格与方格表中的小正方形边长都相同），且放置L形三方块时，每个小方格都与方格表的小方格对齐也不能突出方格表外，但L形三方块可以旋转。请问小杰有多少种不同的放入L形三方块的方法？
【答案】180
【分析】可观察出在2×2的方格中L形三方块共有4种不同的放置方法．而在6×10的方格表中，共有5×9=45(个)选择2×2方格的方法，因此共有4×45=180(种)不同的方法．
