五年级思维专项训练20 数的整除(原卷+解析版)全国通用

五年级思维训练20   数的整除                               

1、是2008的倍数．a=    .

2、在六位数的三个方框里分别填人数字，使得该数能被15整除，这样的六位数中最小的是       。

3、1234567891011121314…20082009除以9，商的个位数字是      。[

4、将自然数1、2、3、…依次写下去组成一个数：12345678910111213…，如果写到某个自然数时，所组成的数恰好第一次被72整除，那么这个自然数是多少？

5、是99的倍数，是101的倍数,那么“学”+ “而”+“思”+“杯”等于    。

6、如果一个至少两位的自然数N满足下列性质：在N的前面任意添加一些数字，使得到 的新的数字和为N，但无论如何添加，这样得到的新数一定不能被N整除，则称N为“破坏数”那么最小的“破坏数”是            。

7、0～6这7个数字能组成许多个没有重复数字的7位数，其中有些是55的倍数，最大的一个数是           。                                                   

8、用数字0、1、2、3、4、5、6、7、8、9拼成一个十位数．要求前1位数能被2整除，前2位数能被3整除，……，前9位数能被10整除．已知最高位数为8.这个十位数是    。                 

9、一个10位数，如果数位上的各位数字各不相同，那么称为“十全数”，已知一个十全数能被1，2，3，…，18整除，并且它的前四位是4876，那么，这个十全数是    ．                   

10、包含0,1,2,3,4,5,6,7,8,9十个数字的十位数称为“十全数”，如果某个“十全数”同时满足下列要求：                                                       （1）它能分别被1，2，3，4，5，6，7，8，9，10，11，12整除；                           

（2）它与2004的和能被13整除；                                                         那么这些“十全数”中最小的是    。

11、六位数中，不同的字母表示不同的数字，且满足A，，，,，依次能被2,3,5,7,11,13整除．则的最小值是    ；已知当取得最大值时c -0，F=6，那么的最大值是    .[

]

12、有7张卡片，上面分别写着1、2、3、4、5、6、7这七个数字，从这七张卡片中选出若干张卡排成一个尽可能大的多位数，并且使这个多位数能被组成它的所有数整除，求这个多位数．

13、 a，b，c，d各代表一个不同的非零数字，如果是13的倍数，是11的倍数，是9的倍数，是7的倍数，那么是

14、已知n是一个三位数，且(n+1)(n+2)（n+3）可被7整除．请问满足上述条件的n共多少个？

15、有一个由1、2、3、4、5组成的无重复数字的五位数．从左起删除第1个数字成为一个四位数时，此四位数是1的倍数；从左起删除第2个数字成为一个四位数时，此四位数是2的倍数；从左起删除第3个数字成为一个四位数时，此四位数是3的倍数；从左起删除第4个数字成为一个四位数时，此四位数是4的倍数；从左起删除第5个数字成为一个四位数时，此整数是5的倍数．请写出2个这样的五位数：                        。

16、六位自然数，1082口口能被12整除，末两位数有    种情况。

17、一个七位数能同时被2、3、4、5、6、7、8、9整除，则x+y+z=          。

18、有15位同学，每位同学都有编号，他们是1号到15号．1号同学写了一个自然数，2号说：“这个数能被2整除”，3号说：“这个数能被3整除”……依次下去，每位同学都说，这个数能被他的编号数整数，1号作了一一验证，只有编号相邻的两位同学说得不对，其余同学都对，问：

    (l)说得不对的两位同学，他们的编号是哪两个连续自然数？

(2)如果告诉你，1号同学写的数是五位数，请求出这个数．（写出解题过程）

19、 使得10n-1是63的倍数的最小正整数n是          。

20、 在1,2,3，…，1995这1995个数中找出所有满足下面条件的数a来：(1995+a)能整除1995×a．

21、已知两位自然数“虎威”能被它的数字之积整除，求出“虎威”代表的两位数，

22、将数字4、5、6、7、8、9各使用一次，组成一个被667整除的6位数，那么，这个6位数除以667的结果是

23、多位数能被11整除，n的最小值是        。

24、如果在三个整数中，任意两个整数的和除以另一个整数所得的商都是整数，那么这三个商的和的最大值是      。

25、有n个大于10的连续正整数，它们的各位数码和都不可以被5整除．请问n的最大值是什么？

五年级思维训练20   数的整除

参考答案

1、是2008的倍数．a=    .

【答案】9

【分析】2008是8的倍数，则也是8的倍数，所以是8的倍数，a只能是1、5或 9．经试除可知a=9时满足题目要求，所以a=9．

2、在六位数的三个方框里分别填人数字，使得该数能被15整除，这样的六位数中最小的是       。

【答案】302010

【分析】要想使六位数最小，则三个方框里的数字应最小，最小为302010，满足被3、5整，3和5互质，所以302010能被15整除，所以六位数中最小的是302010.

3、1234567891011121314…20082009除以9，商的个位数字是      。

【答案】4

【分析】一个数除以9的余数，等于它的各个数位上的数字和除以9的余数，所以这个数除以9的余数即1+2+3+…+2009除以9的余数．1+2 +3+…+2009=2010×2009÷2≡3×2÷2≡3(mod 9)，即该多位数除以9余3，则商的个位数字乘以9所得积的个位为9-3=6，所以商的个位数字为4．

4、将自然数1、2、3、…依次写下去组成一个数：12345678910111213…，如果写到某个自然数时，所组成的数恰好第一次被72整除，那么这个自然数是多少？

【答案】36

【分析】方法一：能被72整除，则一定能被8和9整除．所以数字和应为9的倍数，且末三位为8的倍数，经试验可知最小写到36时，数字和一定是9的倍数，而536是8的倍数，所组成的数能被72整除．所以这个自然数为36.

    方法二：假设满足条件的数是n，则1+2+3+…+n=能被9整除，因此n或n+1是9的倍数，且n是偶数，所以n=8，18，26，36，…经检验n= 36.

5、是99的倍数，是101的倍数,那么“学”+ “而”+“思”+“杯”等于    。

【答案】22

【分析】因为99和101互质，所以原数是9999的倍数，因此9999 |，所以9999｜(2+0116+× 4+2011+6000)，即9999｜（× 4+8129），因为8129被4除余1，9999被4除余3，所以×4+8129=9999 ×3，所以= 5467，数字和为22.

6、如果一个至少两位的自然数N满足下列性质：在N的前面任意添加一些数字，使得到 的新的数字和为N，但无论如何添加，这样得到的新数一定不能被N整除，则称N为“破坏数”那么最小的“破坏数”是            。

【答案】11

【分析】最小的两位数为10，但是如果在10的前面任意添加数字，得到的新数肯定都能被10整除，所以10不是“破坏数”；

  除了10之外，最小的两位数是11．在11前面添加一些数字，得到新数的数字和为11，是一个奇数，由于两数的和差有相同的奇偶性，则奇数位数字和与偶数位数字和之差也是奇数，不可能为O，因此新数一定不能被11整除，所以11是“破坏数”．即最小的“破坏数”为11．

7、0～6这7个数字能组成许多个没有重复数字的7位数，其中有些是55的倍数，最大的一个数是           。

【答案】6431205

【分析】这个七位数是55的倍数，所以是5和11的倍数．是5的倍数，个位只能是O或5；

是11的倍数，奇数位数字和与偶数位数字和之差应为11的倍数（包括O），由于各位数字和为21，是奇数，所以差只能为11. (21-11)÷2=5，要想最大，首位应为6，所以奇数位数字和为21-5=16，偶数位数字和为5．第二位最大只能为4,5=4+1+0,0在偶数位，因此个位为5，所以这个数为6431205.

8、用数字0、1、2、3、4、5、6、7、8、9拼成一个十位数．要求前1位数能被2整除，前2位数能被3整除，……，前9位数能被10整除．已知最高位数为8.这个十位数是    。

【答案】8165432709

【分析】由前9位数能被10整除，可知第九位数字为0，前四位能被5整除，可知第四位数字为5，前8位数能被9整除，即前八位数字和为9的倍数，而所有数字本身就是9的倍数，所以第十位数字只能是9，前两位数能被3整除，故第二位数字只能是1、4或7，如果第二位数字是4，则找不到前三位数能被4整除，故第二位数字只能是1或7，则第三位数字只能是2或6，结合前五位能被6整除知只能是前五位87654或81654，前七位数字能被8整除，知第七位数字是2．由前6位数字能被7整除，经试验唯一可能是816543，故7必在第八位上，故这个数应为8165432709．

9、一个10位数，如果数位上的各位数字各不相同，那么称为“十全数”，已知一个十全数能被1，2，3，…，18整除，并且它的前四位是4876，那么，这个十全数是    ．

【答案】4876391520   

【分析】被10整除可以确定末位为O，并且能被4整除，所以十位数为偶数，而0、4、6、8已经用过，所以十位为2．这个数能被11整除，所以奇数位数字和与偶数位数字和的差应为11的倍数，所以剩余的1、3、5、9应将5、9填在奇数位，1、3填在偶数位．因此有如下四种可能：

4876153920、4876351920、 4876391520、 4876193520，利用17来检验，易得，这个十全数为4876391520.

10、包含0,1,2,3,4,5,6,7,8,9十个数字的十位数称为“十全数”，如果某个“十全数”同时满足下列要求：

（1）它能分别被1，2，3，4，5，6，7，8，9，10，11，12整除；

（2）它与2004的和能被13整除；                                                         那么这些“十全数”中最小的是    。

【答案】1234759680   

【分析】“十全数”如果它能被7 、8、9、10、11整除，那么它就能分别被1、2、3、4、5、6、7、8、9、10 、11、12整除．

    (1)因为“十全数”要被10整除，所以个位必是O。

    (2)数字0～9的和是45，所以不管数字如何排列，这个数一定能被9整除。

(3)这个数要能被11整除，奇数位上的数字之和与偶数位上的数字之和的差就要能被11整除．因为和是45，所以这个差也一定是奇数（想一想为什么)，所以只能是11．根据和差问题可求出奇数位上的数字之和与偶数位上的数字之和分别是(45—11)÷2=17，(45+11)÷2=28.

为了让数最小我们可以让前四位为1234，这时“十全数”的形式为1234口口口口口0．

    那么奇数位上的数字2+4+口十口+0=17，口十口=11，只能是5+6=11，为了让数最小，我们让百位上的数字是6，万位上的数字是5． 1234口5口6口0这时构成的能被11整除的最小的“十全数”为1234758690.

    (4)因为1234758690的末三位不是8的倍数，所以1234758690也不是8的倍数，我们调换一下8和9的位置把数变为1234759680，这个数是8的倍数．

    (5)经验证1234759680这个数能被7整除，并且与2004的和也能被13整除，所以满足条件的最小“十全数”是1234759680.

11、六位数中，不同的字母表示不同的数字，且满足A，，，,，依次能被2,3,5,7,11,13整除．则的最小值是    ；已知当取得最大值时c -0，F=6，那么的最大值是    .

【答案】210769;840736

【分析】(1)求的最小值：A最小为2，最小为21，最小为210，最小为2107，最小为21076。此时由210760÷13=16212…4可知ABCDEF最小为210769.

    (2)再求的最大值：为使最大，高位上的数应尽可能大．由于A能被2整除，所以A最大为8；当A为8时，由于能被3整除，最大可能为87．若为87，则为870.若为870，由能被7整除可知可为8701(8708因有重复数字被排除)，此时由

能被11整除可知E只能为0，此时也有重复数字，不合题意，

所以B不能为7，B最大为4．当B为4时，为840.若为840，则只能为8407，此时由能被11整除可知E只能为3，此时

为84073.而840736能被13整除，也就是说840736是满足条件的最大值

12、有7张卡片，上面分别写着1、2、3、4、5、6、7这七个数字，从这七张卡片中选出若干张卡排成一个尽可能大的多位数，并且使这个多位数能被组成它的所有数整除，求这个多位数．

【答案】73416

【分析】要想这个多位数尽可能大，选出的数要尽可能多．如果这个数是七位数，选出的数中肯定有5，那么这个数要能被5整除，个位只能是5，那么这个数肯定不能被2、4、6整除，所以不能选2、4、6，矛盾．如果这个数是六位数，除了5之外都要选出来，但是1+2+3+4+6+7=23，这个六位数肯定不能被3整除，所以3也不能选，矛盾．如果这个数是五位数，5不能选，如果没有选3，那么6也不能选，所以肯定选了3，由能被3整除的判定，只有1+3+4+6+7=21满足条件，所以这个五位数是由1、3、4、6、7构成．五位数能被4整除，那么末两位能被4整除，只能是16、36或64.如果末两位是16：最大的74316不能被7整除，次大的73416能被7整除。如果末两位是36：最大的74136不能被7整除，之后的数小于73416.如果末两位是64：最大的73164小于73416.综上所述，这个多位数是73416.

13、 a，b，c，d各代表一个不同的非零数字，如果是13的倍数，是11的倍数，是9的倍数，是7的倍数，那么是             .

【答案】3861

【分析】由于是9的倍数，说明其各位数字之和能被9整除；所以也是9的倍数；

由于是11的倍数，那么其奇位数字之和与偶位数字之和的差能被11整除，也就是a+c与b+d的差能被11整除，所以是11的倍数；又根据题意，是13的倍数，那么是9、11、13的公倍数，也就是[9,11, 13]=1287的倍数，又是四位数，可能为1287 、2574、3861、5148、6435、7722、9009，其中7722和9009出现重复数字，可以排除，由于是7的倍数，说明 -d是7的倍数，对1287、2574、3861、5148、6435，一一进行检验，发现只有3861满足这一点，所以是3861.

14、已知n是一个三位数，且(n+1)(n+2)（n+3）可被7整除．请问满足上述条件的n共多少个？

【答案】386个

【分析】所有7k一1，7k一2,7k一3形式的n均是符合要求的，7的倍数中最小的三位数为 105，最大的三位数为994，三位数中7的倍数有(994 -105)÷7+1=128（个），因此7k -l，7k - 2,7k -3也各有128个，同时1001-3,1001 -2也满足条件，所以n有128 × 3+2=386(个)．

15、有一个由1、2、3、4、5组成的无重复数字的五位数．从左起删除第1个数字成为一个四位数时，此四位数是1的倍数；从左起删除第2个数字成为一个四位数时，此四位数是2的倍数；从左起删除第3个数字成为一个四位数时，此四位数是3的倍数；从左起删除第4个数字成为一个四位数时，此四位数是4的倍数；从左起删除第5个数字成为一个四位数时，此整数是5的倍数．请写出2个这样的五位数：                        。

【答案】41352;14352

【分析】设这个数为，从左起删除第2个数字形成的四位数是2的倍数，所以e是偶数，可取2或4；从左起删除第3个数字形成的四位数是3的倍数，3 | (a+b+d+e)，又 3 | (1+2+3+4+5)，所以c=3；从左起删除第4个数字形成的四位数是4的倍数，所以4 | 3e，则e=2；从左起删除第5个数字形成的四位数是5的倍数，所以d=5．综上可确定=352，这样的五位数为41352或14352.

16、六位自然数，1082口口能被12整除，末两位数有    种情况。

【答案】8

【分析】试除法：108299÷12=9024……11，99 - 11= 88、88 - 12=76、76 - 12=64 、64 - 12=52、52-12=40、40-12= 28、28-12=16、16 -12= 04共8种情况．

17、一个七位数能同时被2、3、4、5、6、7、8、9整除，则x+y+z=          。

【答案】12

【分析】试除法：[2，3，4，5，6，7，8，9]=2520，2058000÷2520=816……1680,所以这个七位数为 2058000 + (2520 - 1680)  =  2058840,

则x+y+z = 8+4+0 = 12.

18、有15位同学，每位同学都有编号，他们是1号到15号．1号同学写了一个自然数，2号说：“这个数能被2整除”，3号说：“这个数能被3整除”……依次下去，每位同学都说，这个数能被他的编号数整数，1号作了一一验证，只有编号相邻的两位同学说得不对，其余同学都对，问：

    (l)说得不对的两位同学，他们的编号是哪两个连续自然数？

(2)如果告诉你，1号同学写的数是五位数，请求出这个数．（写出解题过程）

【答案】(1)编号为8和9；(2)60060

【分析】(1)首先可以断定编号是2、3、4、5、6、7号的同学说的一定都对．不然，其中说得不对的编号乘以2后所有编号也将说得不对，这样就与“只有编号相邻的两位同学说得不对”不符合，因此，这个数能被2、3、4、5、6、7都整除．其次利用整除性质可知这个数也能被2×5、3×4、2×7都整除，即编号为10 、12 、14的同

学说得也对．从中断定编号11、13、15的同学说得也对，不然，说得不对的编号不是连续的两个自然数．现在我们可以断定说得不对的两个同学的编号只能是8和9。

    (2)这个数是2、3、4、5、6、7、10、11、12、13 、14、15的公倍数，由于上述十二个数的最小公倍数是[2,3,4,5,6,7,10,11,12,13 ,14,15]=22×3×5×7×11 × 13=60060.因为60060是一个五位数，而十二个数的其他公倍数均不是五位数，所以1号同学写的数就是60060.

19、 使得10n-1是63的倍数的最小正整数n是          。

【答案】6

【分析】63=9×7，10n一1肯定是9的倍数，所以只要考虑7的倍数就可以了．考虑到111111是7的倍数，106 －1=999999，所以最小的n是6。

20、 在1,2,3，…，1995这1995个数中找出所有满足下面条件的数a来：(1995+a)能整除1995×a．

【答案】1254、532、798、1330、210、1680

【分析】1995－=是自然数，即1995+a是1995×1995的约数．因为1995×1995=32×52 ×72×192，它在1995与2×1995之间（不包括1995）的约数即1995 +a的值：32×192 =3249,7×192=2527,3×72×19=2793, 52×7×19=3325,32×5×72=2205，3×52×72=3675，于是a的值有6个，即1254、532、798、1330、210、1680.

21、已知两位自然数“虎威”能被它的数字之积整除，求出“虎威”代表的两位数，

【答案】11、12、15、24、36

【分析】设这个两位数为,ab｜10a+b设10a+b=kab，其中k是整数，则b=×a，由于a、b均为整数，所以是整数，则ka-1为10的约数，只有1、2、5、10．所以k=2、3、6或11.

    当ka=2时，6不是一位数，所以无符合题意的解；

    当ka=3时，b=5a，所以只能a=1，k=3，此时b=5，ab=15；

    当ka=6时，b=2a，可能a=1、k=6;a=2、k=3或a=3、k=2，分别得为12、24、36；

    当ka=11时，b=a，只能a=1、k=11，得为11.

    综上，符合题意的两位数有11、12、15、24、36.

22、将数字4、5、6、7、8、9各使用一次，组成一个被667整除的6位数，那么，这个6位数除以667的结果是

【答案】1434

【分析】注意到4+5+6+7+8+9=39是3的倍数，因此这个6位数一定被3整除．继而，这个六位数一定是667×3=2001的倍数，设这个六位数为，显然除以2001的结果是一个三位数，且这个三位数一定是．于是，=2×．由百位数字知，a= 9，

d=4．接着由个位数字知，c一6，f=8．从而，可以确定=956，=478，=956478.因此，÷667=956478÷667=1434.

    综上所述，这个6位数除以667的结果是1434.

23、多位数能被11整除，n的最小值是        。

【答案】3

【分析】一个数能被11整除，那么这个数的奇数位的数字和与偶数位的数字和之差是11的倍数，多位数736的奇数位的数字和与偶数位的数字和之差是(6+7+2n)-（3+9n）=10 - 7n，或(3+9n) = (6+7+2n)=7n - 10，那么n的最小值是3．

24、如果在三个整数中，任意两个整数的和除以另一个整数所得的商都是整数，那么这三个商的和的最大值是      。

【答案】8   

    【分析】设这三个整数分别为a、b、c，且a≥b≥c，则根据题意，三个商的和为++

由于a｜b+c，且b+c≤2a，所以有：b= c-a或b+c=a

(1)当b=c=a时，++=6

(2)当b+c=a时，

++=1++=1+1+++1=3+2(+)

①若此时b=c，则++=3+2×2=7

若此时b>c，由于b︱a+c,即b︱b+2c,

从而b︱2c，因此，b能而且只能等于2c

此时有：b=2c，a=b+c=3c

++=++=8

通过比较可知：这三个商的和的最大值是8

25、有n个大于10的连续正整数，它们的各位数码和都不可以被5整除．请问n的最大值是什么？

【答案】8

【分析】个位数字只能是0~9，这些整数数码和的个位数字在0~4之间最多只能出现4个，否则必定有一个各位数字之和是5的倍数；同理，连续变化的个位数字在5~9之间最多只能出现4个，否则必定有一个各位数字之和是5的倍数，于是连续的n个数一定不会多于8个。另外556、557、558、559、560、561、562、563这八个数的各位数字之和依次是16、17、18、19、11、12、13、14均不是5的倍数，所以符合要求的n最大是8.