江西省南昌市第二中学2021届高三上学期第四次考试 数学（文）(含答案)
展开南昌二中2021届上学期高三第四次考试
数学（文）试卷
一､选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．已知集合A＝{x｜lg（x－2）＜1}，集合B＝{x｜－2x－3＜0}，则AB等于（ ）
A．（2，12） B．（一l，12） C．（一l，3） D．（2，3）
2．已知复数z在复平面内对应的点的坐标为(－1，2)，则复数的虚部为 （ ）
A.－3 B.3 C. D.
3．若命题：，则为 （ ）
A． B． C． D．
4. 已知等比数列中，，数列是等差数列，且，则 （ ）
A. 18 B. 9 C. 16 D. 81
5．已知变量，满足约束条件则的最大值为 （ ）
A．2 B．3 C．4 D．6
6．已知是两条不同的直线, 是两个不同的平面,给出下列命题：
①若,,则； ②若,,且,则；
③若,,则； ④若,,且,则．
其中正确命题的序号是 （ ）
A．①④ B．②④ C．②③ D．①③
7. 若，求： （ ）
A． B． C． D．
8．设向量a＝(a,1)，b＝(1，b)(ab≠0)，若a⊥b，则直线b2x＋y＝0与直线x－a2y＝0的位置关系是( )
A．平行 B．相交且垂直 C．相交但不垂直 D．重合
9．《周髀算经》是中国古代重要的数学著作，其记载的“日月历法”曰：“阴阳之数，日月之法，十九岁为一章， 四章为一部，部七十六岁，二十部为一遂，遂千百五二十岁，生数皆终，万物复苏，天以更元作纪历”，某老年公寓住有20位老人，他们的年龄（都为正整数）之和恰好为一遂，其中年长者己是奔百之龄（年龄介于90至100），其余19人的年龄依次相差一岁，则年长者的年龄为 （ ）
A．94 B．95
C．96 D．98
10．某三棱锥的三视图如下图所示，则该三棱锥的四个面中，面积
最大的面的面积是 （ ）
A．2 B． C．1 D．
11．已知,,若不等式恒成立,则的最大值为 （ ）
A．10 B．9 C．8 D．7
12.定义在R上的连续函数，导函数为。若对任意不等于－1的实数，均有成立,且,则下列命题中一定成立的是 ( )
A. B. C. D.
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。把答案填在题中的横线上。
13．已知A(1，2)，B(2，5)，＝(－2，－4)，则cos<，>＝ 。
14．若直线与曲线有公共点，则实数的取值范围是 。
15. 公元前6世纪，古希腊的毕达哥拉斯学派通过研究正五边形和正十边形的作图，发现了黄金分割值约为，这一数值也可以表示为．若，则________．
16.已知数列的前项和为，若对于任意，当时，不等式恒成立，则实数的取值范围为__________ .
三、解答题：本大题共6小题，共70分。解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤。
17. (10分)已知函数．
（1）求不等式的解集；
（2）记函数，且的最大值为，若，求证：．
18．(12分)在中,,,分别为内角,,的对边，且．
（1）求角的大小；
（2）若，求的最大值．
19. (12分)已知是数列的前项和，且.
（1）求数列的通项公式；
（2）设，数列的前项和为，求证：.
- （12分）如图， 是边长为2的正三角形， 平面, 分别为的中点， 为线段 上的一个动点．
(Ⅰ)当为线段中点时，证明：平面；
(Ⅱ)判断三棱锥的体积是否为定值？
21.(12分)
【平行班做】已知圆心为C的圆，满足下列条件：圆心C位于x轴正半轴上，与直线相切，且被y轴截得的弦长为，圆C的面积小于13．
（Ⅰ）求圆C的标准方程；
（Ⅱ）设过点M(0，3)的直线l与圆C交于不同的两点A，B，以OA，OB为邻边作平行四边形OADB.
是否存在这样的直线l，使得直线OD与MC恰好平行？如果存在，求出l的方程；如果不存在，请说明理由．
【实验班做】已知椭圆C：过点，且离心率为
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）若过原点的直线与椭圆C交于P、Q两点，且在直线上存在点M，使得△MPQ为等边三角形，求直线的方程．
22．(12分)已知函数 .
（Ⅰ）求函数的单调区间；
（Ⅱ）若存在，使成立，求整数的最小值.
高三第四次考试数学（文）参考答案
一．选择题：BBCAD CABBD BB
二．填空题：
13. ； 14. ； 15. 16.
三．解答题
17解：（1）由得，解得
不等式的解集为．
（2）
当且仅当时等号成立，，
．
当且仅当，即时等号成立．
18【解析】（1）因为，
利用正弦定理可得，，
即，因为，
所以，即，
因为，所以，，因为，所以.
（2）由（1）及余弦定理可得，，即，
所以，当且仅当时等号成立，
所以的最大值为.
19.【解析】（1）∵，∴，∴，
∴，即， 令得：，即，
是首项为，公比为的等比数列，∴.
（2）∵，∴，
∴
，∴
20、解：(I)∵在中， 分别为的中点，
∴. ∵平面平面,
∴,∴,
在正中， 为线段中点， ,∴,
又∵, ∴ 平面.
(II)三棱锥的体积是定值.理由如下：
∵ 平面,∴平面，
所以直线AD上的点到平面BEF的距离都相等 …8分
∵ 又平面ABD且,∴ …11分
∴三棱锥的体积为.
21【平行班】【解析】（Ⅰ）设圆C：，由题意知解得或
又，圆C的标准方程为：
（Ⅱ）当斜率不存在时，直线为：不满足题意。
当斜率存在时，设直线l：，A，B，又l与圆C相交于不同的两点，
联立消去得：
解得或
又，
假设，则，
解得，假设不成立，不存在这样的直线。
【实验班】【详解】（Ⅰ）由题解得a=,b=,c=,椭圆C的方程为
（Ⅱ）由题，当的斜率k=0时，此时PQ=4 直线与y轴的交点（0，满足题意；
当的斜率k0时，设直线与椭圆联立得=8,,设P（）,则Q（）,,又PQ的垂直平分线方程为由，解得,,, ∵为等边三角形即解得k=0(舍去)，k=,直线的方程为y=
综上可知，直线的方程为y=0或y=
22【解析】（1）由题意可知，，，
方程对应的，
当，即时，当时，，∴在上单调递减；
当时，方程的两根为，且 ，
此时，在上，函数单调递增，
在上，函数单调递减；
当时,,, 此时当，单调递增，
当时，，单调递减；
综上：当时,,单调递增,当时,单调递减；
当时，在上单调递增，
在上单调递减；当时，在上单调递减；
（2）原式等价于，即存在，使成立．
设，，则， 设，
则，∴在上单调递增．
又，根据零点存在性定理，可知在上有唯一零点，设该零点为， 则，且，即，
∴
由题意可知，又，，
∴的最小值为.
