2021届江西省南昌市第二中学高三上学期第三次考试数学（文）试题（解析版）

这是一份2021届江西省南昌市第二中学高三上学期第三次考试数学（文）试题（解析版），共19页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2021届江西省南昌市第二中学高三上学期第三次考试数学（文）试题


一、单选题
1．已知集合，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】先求出集合，再运算即可.
【详解】
由得，所以，
则.
故选：C
【点睛】
本题考查集合的交集概念与运算，属于基础题.
2．若复数满足的共轭复数在复平面内对应的点位于
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】A
【解析】由求得，利用复数的除法运算法则：分子、分母同乘以分母的共轭复数，化简复数，由共轭复数的定义可得结果.
【详解】
因为数满足，
所以，
可得，
所以在复平面内对应的点位于第一象限，故选A.
【点睛】
复数是高考中的必考知识，主要考查复数的概念及复数的运算．要注意对实部、虚部的理解，掌握纯虚数、共轭复数这些重要概念，复数的运算主要考查除法运算，通过分母实数化转化为复数的乘法，运算时特别要注意多项式相乘后的化简，防止简单问题出错，造成不必要的失分.
3．设x∈R，向量＝(x，1)，＝(1，－2)，，则＝（ ）
A． B．
C． D．10
【答案】B
【解析】根据＝(x，1)，＝(1，－2)，由求得x，再利用求模公式求解.
【详解】
∵，
∴＝0，
∴x－2＝0，
∴x＝2，
∴＝(3，－1)，＝.
故选：B
【点睛】
本题主要考查平面向量的数量积运算以及模的求法，属于基础题.
4．已知，不等式，，，…，可推广为 ，则的值为(　　)
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】由题意归纳推理得到a的值即可.
【详解】
由题意，当分母的指数为1时，分子为；
当分母的指数为2时，分子为；
当分母的指数为3时，分子为；
据此归纳可得：中，的值为.
本题选择B选项.
【点睛】
归纳推理是由部分到整体、由特殊到一般的推理，由归纳推理所得的结论不一定正确，通常归纳的个体数目越多，越具有代表性，那么推广的一般性命题也会越可靠，它是一种发现一般性规律的重要方法．
5．设等差数列的前项和为若，是方程的两根，则( )
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由，是方程的两根，得，再根据等差数列的求和公式，即可求解.
【详解】
由题意，，是方程的两根，则，
所以，故选A.
【点睛】
本题主要考查了等差数列的性质，以及等差数列的求和，其中解答中熟记等差数列的性质，合理利用等差数列的求和公式，准确计算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.
6．已知函数是定义在R上的偶函数，当时，，则，，的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】首先确定函数在上单调递增，然后再利用偶函数的性质即可比较出大小.
【详解】
当时，，则，
所以在上单调递增，
由，
所以，
因为函数是定义在R上的偶函数，所以，
所以，
故选：D
【点睛】
本题考查了利用导数判断函数的单调性，利用单调性比较函数值的大小，属于基础题.
7．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）

A． B． C． D．
【答案】D
【解析】根据三视图判断出几何体的结构，由此计算出几何体的体积.
【详解】
由三视图可知，该几何体是由圆柱，挖掉半个球和一个圆锥所得，所以几何体的体积为.
故选：D.
【点睛】
本小题主要考查根据三视图还原原图，考查组合体体积的计算，考查半球、圆锥体积的计算，属于基础题.
8．“”是“函数有零点”的
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】试题分析：，由，得，且，所以函数有零点．反之，函数有零点，只需，故选A．
【考点】充分必要条件．
9．已知函数的图象在点处的切线的斜率为3，数列的前项和为，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由，求导得到，再根据函数的图象在点处的切线的斜率为3，由求解，从而得到，则，再利用裂项相消法求解.
【详解】
因为，
所以，
因为函数的图象在点处的切线的斜率为3，
所以，
解得，
所以，
数列，
所以，
.
故选：A
【点睛】
本题主要考查导数的几何意义以及数列的裂项法求和，还考查了运算求解的能力，属于中档题.
10．已知函数（，），其图象相邻两条对称轴之间的距离为，将函数的图象向左平移个单位后，得到的图象关于轴对称，那么函数的图象（ ）
A．关于点对称 B．关于点对称
C．关于直线对称 D．关于直线对称
【答案】B
【解析】先根据已知求出，再令,即得函数图象的对称中心，令，即得函数图象的对称轴方程.
【详解】
因为函数的图象相邻两条对称轴之间的距离为，
所以函数的周期为，
，，
将函数的图象向左平移个单位后，
得到函数图象，
图象关于轴对称，
，即，
又，，
令，
解得，
时，，所以的图象关于点对称.
令，
所以函数的对称轴方程为.
所以选项错误.
故选：B.
【点睛】
本题主要考查三角函数的解析式的求法，考查三角函数的图象变换，考查三角函数的图象和性质，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.
11．已知，，且.若不等式对任意实数恒成立，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】首先根据不等式恒成立求得的取值范围.然后结合“”代换的方法以及基本不等式，求得实数的取值范围.
【详解】
由于不等式对任意实数恒成立，即恒成立，而，所以①.由于，.所以，解得.
故选D.
【点睛】
本小题主要考查根据不等式恒成立问题求参数的取值范围，考查利用“1”的代换的方法和基本不等式求最值，考查化归与转化的数学思想方法，属于中档题.
12．若函数恰有三个极值点，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】因为二次函数最多有一个极值点，故先分析的部分；时，令，利用参变分离将变形为，构造新函数，判断的单调性，得出结论：最多仅有两解，因此可确定：时有两个极值点，时有一个极值点. 时，利用与有两个交点时(数形结合)，对应求出的范围；时，利用二次函数的对称轴进行分析可求出的另一个范围，两者综合即可.
【详解】
由题可知，当时，令，可化为，令，则，则函数在上单调递增，在上单调递减，的图象如图所示，所以当，即时，有两个不同的解；当，令，，解得，综上，.

【点睛】
分析极值点个数的时候，可转化为导函数为零时方程解的个数问题，这里需要注意：并不是导数值为零就一定是极值点，还需要在该点左右两侧导数值符号相异.


二、填空题
13．已知x，y满足，则目标函数的最小值是________.
【答案】6
【解析】画出不等式组表示的平面区域，平移目标函数，要最小，则直线要尽量下移，可观察出取最小值时，所过得点，代入点的坐标即可求解．
【详解】
画出不等式组表示的平面区域，如图阴影部分，做直线并平移，如图中虚线，当虚线平移到过点C时，取到最小值，求出C点坐标为（2，0），代入，得，故答案为6.

【点睛】
本题考查简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，是中档题．
14．若数列满足：，，则______.
【答案】702
【解析】由，可得，，故可得为等比数列，且，可得，可得答案.
【详解】
因为，所以，则
故为等比数列，所以，
故.
故答案为：702
【点睛】
本题主要考查数列通项与数列前n项和的关系，等比数列的定义与通项公式，考查学生的运算求解能力.
15．函数的最小值是________.
【答案】
【解析】利用两角和差余弦公式可将原函数化为，利用辅助角公式可化为；根据余弦函数的最小值可求得所求函数的最小值.
【详解】

当时，
本题正确结果：
【点睛】
本题考查三角函数最值的求解问题，关键是能够熟练应用两角和差余弦公式、辅助角公式将所求函数化为余弦型函数的形式，根据余弦函数值域求得结果.
16．已知正方体棱长为2，点是上底面内一动点，若三棱锥的外接球表面积恰为，则此时点构成的图形面积为________.
【答案】.
【解析】设三棱锥的外接球为球，分别取、的中点、，先确定球心在线段和中点的连线上，先求出球的半径的值，然后利用勾股定理求出的值，于是得出，再利用勾股定理求出点在上底面轨迹圆的半径长，最后利用圆的面积公式可求出答案．
【详解】
如图所示，设三棱锥的外接球为球，
分别取、的中点、，则点在线段上，
由于正方体的棱长为2，
则的外接圆的半径为，
设球的半径为，则，解得.
所以，，
则
而点在上底面所形成的轨迹是以为圆心的圆，
由于，所以，
因此，点所构成的图形的面积为.

【点睛】
本题考查三棱锥的外接球的相关问题，根据立体几何中的线段关系求动点的轨迹，属于中档题.

三、解答题
17．已知函数.
（1）求不等式的解集；
（2）若不等式的解集为，求的取值范围.
【答案】（1）；（2）.
【解析】（1）转化条件为，根据零点分段法分类讨论即可得解；
（2）由绝对值三角不等式可得，进而可得，即可得解.
【详解】
（1）不等式可化为，
①当时，原不等式可化为，即恒成立，符合题意；
②当时，原不等式可化为，即，
所以；
③当时，原不等式可化为，即，不合题意；
综上所述，原不等式的解集为；
（2）由题意得，
∵，
当且仅当，即时等号成立，
∴，
由题意得，解得，
∴的取值范围是.
【点睛】
本题考查了含绝对值不等式的求解及绝对值三角不等式的应用，考查了运算求解能力，属于中档题.
18．已知向量，，，其中是的内角．
（1）求角的大小；
（2）若为锐角三角形，角，，所对的边分别为，，，，，求的面积．
【答案】（1）；（2）
【解析】（1）利用两个向量垂直的坐标表示进行运算，利用降次公式和辅助角公式化简后，可求得的大小.（2）利用余弦定理求得边的长，解有两个，根据三角形为锐角三角形排除其中一个，再根据三角形的面积公式求得三角形的面积.
【详解】
（1）向量，，
，可得
，即有，，，，可得；
（2）在中，由余弦定理可得，，即为，解得或2，
若，则为最大边，且，为钝角，不合题意；
若，则为最大边，且，B为锐角，合题意，
则的面积为．
【点睛】
本小题主要考查两个向量垂直的坐标表示，考查三角函数降次公式和辅助角公式，考查余弦定理和三角形的面积公式，属于中档题.
19．如图，梯形所在的平面与等腰梯形所在的平面互相垂直，，，为的中点.，.

（1）求证：平面；
（2）求证：平面平面；
（3）求多面体的体积.
【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）
【解析】（1）证明四边形为平行四边形，推出，然后证明平面；
（2）连接FG，说明平面ABEF，推出 ，，，即可证明平面GCE，推出平面平面GCE；
（3）设，几何体是三棱柱，然后通过多面体的体积求解即可.
【详解】
（1）证明：因为，且，
所以四边形为平行四边形，
所以.
因为平面，平面
所以面.

（2）证明：连接.
因为平面平面，
平面平面，
所以平面，所以.
因为为的中点，所以，
且，，且，
所以四边形和四边形均为平行四边形.
所以，所以.
因为，所以四边形为菱形，
所以.
所以平面.
所以平面平面.
（3）设.
由（1）得，所以平面，
由（2）得，所以面，
所以平面平面，
所以几何体是三棱柱.
由（2）得平面.
所以多面体的体积

.
【点睛】
本题考查空间几何体的体积的求法，直线与平面垂直以及平行的判定定理以及性质定理的应用，考查空间想象能力逻辑推理能力以及计算能力，属于中档题.
20．已知等比数列中，，，.
（1）求的通项公式；
（2）设，求数列的前项和.
【答案】（1）；（2）.
【解析】（1）设等比数列的公比为，则，根据题中条件，求出公比，进而可得出通项公式；
（2）先由（1）得到，由并项求和的方法，即可求出结果.
【详解】
（1）设等比数列的公比为，则，
因为，所以，
因为，解得，又，所以；
（2）由（1）可得，
设，则，



.
【点睛】
本题主要考查求等比数列的通项公式，考查并项求和的方法求数列的和，属于常考题型.
21．已知函数的最小正周期为.
（1）求在区间上的最大值；
（2）设点，B是的图象上两点（其中），与轴平行，点在点的左侧，且，求实数的值.
【答案】（1）；（2）.
【解析】（1）结合二倍角及辅助角公式对已知函数解析式进行化简，然后结合正弦函数的性质可求最值；
（2）把已知点的坐标代入到函数解析式中，然后结合和角正弦公式即可求解．
【详解】
（1）.
因为的最小正周期为，且.
所以，即，
所以.
由，得，
所以，
所以，
故，
所以在区间上的最大值为，当且仅当时取得最大值；
（2）由题意可知，
则.即，
所以，
所以.
【点睛】
本题主要考查了二倍角及辅助角公式在三角函数化简中的应用，还考查了正弦函数性质的简单应用，是中档题.
22．已知函数.
（1）当时，若关于的方程有唯一实数解，试求实数的取值范围；
（2）若函数有两个极值点，，且不等式恒成立，试求实数的取值范围.
【答案】（1）或；（2）.
【解析】（1），即，令，转为直线与函数有一个交点，对函数求导，由函数的单调性和极值即可得到有唯一实数解时的取值范围；
（2）令，有两个极值点，即有两个不等实数根，得到不等式恒成立恒成立，用表示出，然后构造函数，对函数求导判断单调性，即可得到的取值范围.
【详解】
（1）当时，有，其定义域为，
从而方程，可化为，令，
则，
由或，
在和上单调递增，在上单调递减，
且，
又当时，；当时，，
关于的方程有唯一实数解，
所以实数的取值范围是或.
（2）的定义域为，
令，又因为函数有两个极值点，
有两个不等实数根，
，且，从而，
由不等式恒成立恒成立，
，
令，
，
当时恒成立，所以函数在上单调递减，，故实数的取值范围是.
【点睛】
本题考查利用导数研究方程根的个数和恒成立问题，考查利用导数研究函数的单调性和极值问题，考查分析问题的能力和计算能力，属于中档题.