江西省南昌市第二中学2021届高三上学期第四次考试 数学（理）(含答案)
展开南昌二中2021届上学期高三第四次考试
数学（理）试卷
一、选择题(每小题5分,共60分)
1．设集合，，，则（ ）
A． B． C． D．
2．已知是虚数单位，设，则复数对应的点位于复平面（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
3．已知数列的前项和为， 则＝( )
A． B． C． D．
4．已知锐角满足则（ ）
A． B． C． D．
5.
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
6．已知向量，，，若，则实数（ ）
A． B． C． D．
7．已知正实数、满足，则最小值为（ ）
A． B．4 C． D．3
8．我国古代数学家提出的“中国剩余定理”又称“孙子定理”，它在世界数学史上具有光辉的一页，堪称数学史上名垂百世的成就，而且一直启发和指引着历代数学家们．定理涉及的是数的整除问题，其数学思想在近代数学、当代密码学研究及日常生活都有着广泛应用，为世界数学的发展做出了巨大贡献，现有这样一个整除问题：将1到2020这2020个整数中能被3除余2且被5除余2的数按从小到大的顺序排成一列，构成数列，那么此数列的项数为（ ）
A．133 B．134 C．135 D．136
9．如图，已知圆中，弦的长为，圆上的点满足，那么在方向上的投影为（ ）
A. B．
C． D．
10．定义在上的偶函数满足，且当时，，函数是定义在上的奇函数，当时，，则函数的零点的的个数是（ ）
A．9 B．10 C．11 D．12
11．设定义在上的函数的导函数为，若，，则不等式（其中为自然对数的底数）的解集为（ ）
A． B． C． D．
12．已知函数（，），对任意，不等式恒成立，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题(每小题5分, 共20分)
13．若，则=____________.
15．已知函数的最大值为3，的图象与y轴的交点坐标为，其相邻两条对称轴间的距离为，则_____．
16．若数列满足，，则使得成立的最小正整数的值是______.
三、解答题(共6小题,17题10分,18-22每小题12分,共70分)
17．已知，，为正数，.
（1）若，求函数的最小值；
（2）若且，，不全相等，求证：.
19．在中，设内角，，的对边分别为，，，且.
（1）若，，成等比数列，求证：；
（2）若（为锐角），.求中边上的高.
20.
- .
22．已知函数（a为常数）.
（Ⅰ）求函数的单调区间；
（Ⅱ）若，求不等式的解集；
（Ⅲ）若存在两个不相等的整数，满足，求证：.
高三第四次考试数学(理)参考答案
1【答案】D
【解析】
集合A={1,2,5},B={2,4}，C={x∈R|−1⩽x<5}，则A∪B={1,2,4,5}，∴(A∪B)∩C={1,2,4}.
故选D.
2【答案】A
【详解】
由已知，，对应点为，在第一象限．
故选：A．
3【答案】B
【详解】
由已知
得，即，
而，所以.
故选B.
4【答案】C
【详解】
由已知，，因为锐角，所以，，
即.
故选：C.
5.【答案】B
必要性：
当 a=3 b=1时 充分性不成立。
6【答案】C
【详解】
因为，，所以，又，，
所以，即，解得.故选：.
7【答案】D
【详解】
∵，则，于是整合得，当且仅当时取等号，于是的最小值为3．故选:D．
8【答案】C
【详解】
由数能被3除余2且被5除余2的数就是能被15除余2的数，
故，
由，得，，
故此数列的项数为：135．
故选:C．
9【答案】D
【分析】
由得O为的重心，A，B，C三点均匀分布在圆周上，为正三角形，根据向量的投影的定义可得选项.
【详解】
连接BC，由得O为的重心，A，B，C三点均匀分布在圆周上，为正三角形，所以，弦AB的长为，所以在方向上的投影为，
故选：D.
10【答案】C
【详解】
由于，所以，函数的周期为，且函数为偶函数，
由，得出，问题转化为函数与函数图象的交点个数，作出函数与函数的图象如下图所示，
由图象可知，，当时，，
则函数与函数在上没有交点，
结合图像可知，函数与函数图象共有11个交点，故选C.
11【答案】A
【详解】
解：设，
则，
∵，，
∴，
∴是上的增函数，
又，
∴的解集为，
即不等式的解集为.
故选A.
12【答案】A
【详解】
解：结合题意，显然，，
由，，，得，，，
故，在，递增，
故（1），，
对任意，，，不等式恒成立，
即，
，即，解得：，
故选：A．
13【答案】2020
【详解】
因为，
解得，
所以
，
故答案为：2020
14.【答案】 4
15【答案】
【详解】
，
因为函数的最大值为，所以，所以，
由函数相邻两条对称轴间的距离为，可得周期，
所以，所以,
所以，又的图象与y轴的交点坐标为，
所以，所以，又，所以，
所以，
所以.
故答案为：
16【答案】
【详解】
，，，
数列是以为首项，为公比的等比数列，
，，
由得：，即，
，且，满足题意的最小正整数.
故答案为：.
17【答案】（1）最小值2（2）见解析
【详解】
解：（1）因为，
所以
法1：由上可得：
所以，当时，函数的最小值为2
法2：
当且仅当，即时取得最小值2
（2）证明：因为，，为正数，所以要证
即证明就行了
因为
（当且仅当时取等号）
又因为即且，，不全相等，
所以
即
19【答案】（1）见解析（2）
解：（1）证明：因为，，成等比数列，所以
而（当且仅当时取等号）
又因为为三角形的内角，所以
（2）在中，因为，所以.
又因为，，
所以由正弦定理，解得
法1：由，得.
由余弦定理，得.
解得或（舍）
所以边上的高.
21.详解：
22【答案】（Ⅰ）答案见解析；（Ⅱ）；（Ⅲ）证明见解析.
【详解】
（Ⅰ）的定义域为，
，
（1）当时，恒有，故在上单调递增；
（2）当时，由，得，
故在上单调递增，在上单调递减，
综上（1）（2）可知：当时，的单调递增区间为；
当时，的单调递增区间为，单调递减区间为；
（Ⅱ）的定义域为，所以，且，而，；
设，
，且当且仅当时取等号，
所以在上单调递增，又因为时，，
所以当时，，当时，，
故的解集为；
（Ⅲ）由（Ⅰ）知时，在上单调递增，若，
则不合题意；
故，而在上单调递增，在上单调递减，
若存在两个不相等的正数，满足，
则，必有一个在上，另一个在，
不妨设，则，
又由（Ⅱ）知时，，即，
所以，
因为，所以，
又因为在上单调递减，所以，
即.
