高中数学人教A版 (2019)必修 第一册3.1 函数的概念及其表示第一课时学案
展开导学目标:
1.在初中用变量之间的依赖关系描述函数的基础上,用集合语言和对应关系刻画函数,建立完整的函数概念,体会集合语言和对应关系在刻画函数概念中的作用。
2.了解构成函数的要素,能求简单函数的定义域.
(预习教材P59~ P66,回答下列问题)
回忆:初中学习的函数概念是什么?
设在一个变化过程中有两个变量与,如果对于的每一个值,都有唯一的值与它对应,则称是自变量,是的函数;其中自变量的取值的集合叫做函数的定义域,和自变量的值对应的的值叫做函数的值域。
情景:请同学们考虑以下两个问题:
①是函数吗?
②和是同一个函数吗?
为了得到函数更准确的定义,我们一起看下面几个函数,回答相应的问题:
问题一:某“复兴号”高速列车加速到后保持匀速运行半小时,这段时间内,列车行进的路程(单位:km)与运行时间t(单位:h)的关系可以表示为.①
本题中,和是两个变量,
而且对于的每一个确定的值,
都有唯一确定的值与之对应,
所以是的函数.
思考1:有人说:“根据对应关系,这趟列车加速到后,运行1h就前进了.”你认为这个说法正确吗?
问题二:某电气维修公司要求工人每周工作至少1天,至多不超过6天如果公司确定的工资标准是每人每天350元,而且每周付一次工资。显然,工人一周的工资(元)和他一周工作天数(天)的关系可表示为.②
本题中,和是两个变量,而且对于的每一个确定的值,
都有唯一确定的值与之对应,所以是的函数.
思考2:问题1和问题2中的函数有相同的对应关系,你认为它们是同一个函数吗?为什么?
问题三:下图是北京市2016年11月23日的空气质量指数变化图.如何根据该图确定这一天内任一时刻的空气质量指数的值?
思考3:本题中变量是变量的函数吗?
问题四:国际上常用恩格尔系数反映一个国家人民生活质量的高低,恩格尔系数越低,生活质量越高。下表是我国某省城镇居民恩格尔系数变化情况,从表中可以看出,该省城镇居民的生活质量越来越高.
思考4:本题中恩格尔系数是时间(年)的函数吗?请仿照前面的方法描述说明?
思考5:上述四个问题有何异同点:
不同点:
相同点:
【知识点一】函数的概念
1.函数的概念
一般地,设A,B是非空的实数集,如果对于集合A中的任意一个数x,按照某种确定的对应关系f,在集合B中都有唯一确定的数y和它对应,那么就称f:A→B为从集合A到集合B的一个函数(functin),记作y=f(x),x∈A.
2.函数的定义域和值域
函数y=f(x)中x叫做自变量,x的取值范围A叫做函数的定义域(dmain);与x的值相对应的y值叫做函数值,函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的值域(range).
显然,值域是集合B的子集.
自我检测1:下列从集合A到集合B的对应关系f是函数的是( )
A.A={-1,0,1},B={0,1},f:A中的数平方
B.A={0,1},B={-1,0,1},f:A中的数开方
C.A=Z,B=Q,f:A中的数取倒数
D.A={平行四边形},B=R,f:求A中平行四边形的面积
【知识点二】区间的概念
1.区间的几何表示
2.实数集R的区间表示
实数集R可以用区间表示为(-∞,+∞),“∞”读作“无穷大”;
“-∞”读作“负无穷大”;“+∞”读作“正无穷大”.
3.无穷大的几何表示
自我检测2:试用区间表示下列实数集
(1) ____ _;
(2) _____ ___.
【知识点三】函数定义域的求法
(1)要明确使各函数表达式有意义的条件是什么,函数有意义的准则一般有:
①分式的分母不为0; ②偶次根式的被开方数非负;③要求.
(2)当一个函数由两个或两个以上代数式的和、差、积、商的形式构成时,定义域是使得各式子都有意义的公共部分的集合.
(3)定义域是一个集合,要用集合或区间表示,若用区间表示数集,不能用“或”连接,而应该用并集符号“”连接.
自我检测3:函数的定义域是( )
A.[-1,1) B.[-1,1)∪(1,+∞)
C.[-1,+∞) D.(1,+∞)
【知识点四】两函数为同一函数的判断方法
判断两个函数是否为同一函数,要看三要素是否对应相同.函数的值域可由定义域及对应关系来确定,因而只要判断定义域和对应关系是否对应相同即可.
判断同一函数的三个步骤和两个注意点
(1)判断同一函数的三个步骤
(2)两个注意点:
①在观察定义域时,应观察所给函数的原型;
观察对应关系时,应观察等价化简后的函数形式;
②与用哪个字母表示无关.
自我检测4:下列函数中哪个与函数是同一个函数?
(1) ; (2) ;
(3) ; (4)
题型一 函数的定义
【例1-1】根据函数的定义判断下列对应关系是否为从集合A到集合B的函数:
(1)A={1,2,3},B={7,8,9},f(1)=f(2)=7,f(3)=8;
(2)A={1,2,3},B={4,5,6},对应关系如右图所示;
(3)A=R,B={y|y>0},f:x→y=|x|;
(4)A=Z,B={-1,1},n为奇数时,f(n)=-1,n为偶数时,f(n)=1.
【例1-2】写出下列函数的对应法则、定义域、值域
题型二 集合的区间表示法
【例2】试用区间表示下列实数集
(1)
(2)
(3)
(4)
题型三 函数定义域的求法
【例3-1】已知函数.
(1)求函数的定义域;
(2)求,;
(3)当时,求,.
【例3-2】求下列函数的定义域.
①;
②.
题型四 两函数为同一函数的判断方法
【例4】试判断下列函数是否为同一函数.
(1) ,;
(2) ,;
(3) ,;
(4) ,.
1. 设M={x|0≤x≤2},N={y|0≤y≤2},给出下列四个图形,其中能表示从集合M到集合N的函数关系的有( )
A.0个 B.1个
C.2个 D.3个
2.函数的定义域为( )
A.(1,+∞) B.[1,+∞)
C.[1,2) D.[1,2)∪(2,+∞)
3.下列各组函数表示同一函数的是( )
A.与y=x+3 B.与
C.与 D.与
4.已知函数f(x)=-1,则f(2)的值为( )
A.-2 B.-1
C.0 D.不确定
5.求下列函数的定义域:
(1;
(2) ;
(3) .
【参考答案】
学后反思 巩固提高
情景:①是;②不是.
思考1:根据问题的条件,我们不能判断列车以350 km/h运行半小时后的情况,所以上述说法不正确、显然,其原因是没有关注到t的变化范圈.
思考2:问题1和问题2中的函数不是同一个函数,因为问题1中t的取值集合与问题2中d的取值集合不同.
思考3:变量是变量的函数.
思考4:
思考5:上述四个问题有何异同点:
不同点:
实例(1)(2)是用解析式刻画变量之间的对应关系,但有不同的取值范围;
实例(3)是用图象刻画变量之间的对应关系;
实例(4)是用表格刻画变量之间的对应关系.
相同点:
(1)都包含两个非空数集,用,来表示;
(2)都有一个对应关系;
(3)尽管对应关系的表示方法不同,但它们都有如下特性:对于数集中的任意一个数,按照对应关系,在数集中部有唯一确定的数和它对应.
【自我检测1】
【自我检测2】答案:(1)eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(-\f(1,2),5)) (2)(-∞,1)∪(2,3]
【自我检测3】答案:B
【自我检测3】答案:(2)
【例1-1】答案:对于集合A中的任意一个值,在集合B中都有唯一的值与之对应,
(1)(4)中对应关系f是从集合A到集合B的一个函数.
(2)集合A中的元素3在集合B中没有对应元素,且集合A中的元素2在集合B中有两个元素(5和6)与之对应,故所给对应关系不是集合A到集合B的函数.
(3)A中的元素0在B中没有对应元素,故所给对应关系不是集合A到集合B的函数.
【例1-2】写出下列函数的对应法则、定义域、值域
【例2】试用区间表示下列实数集
(1)
(2)
(3)
(4)
【例3-1】已知函数.
(1);
(2);;
(3),.
【例3-2】
答案:①要使函数有意义,需满足
eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x+2≥0,,x2-x-6≠0,))即eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x≥-2,,x≠-2且x≠3,))
得x>-2且x≠3.
所以所求函数的定义域为(-2,3)∪(3,+∞).
②要使函数有意义,需满足
eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x-1≠0,,|x|+x≠0,))即eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x≠1,,x>0,))
所以x>0且x≠1,
所以所求函数的定义域为(0,1)∪(1,+∞).
【例4】答案:
1. 设M={x|0≤x≤2},N={y|0≤y≤2},给出下列四个图形,其中能表示从集合M到集合N的函数关系的有( )
A.0个 B.1个
C.2个 D.3个
答案:B
2.函数的定义域为( )
A.(1,+∞) B.[1,+∞)
C.[1,2) D.[1,2)∪(2,+∞)
答案:D
3.下列各组函数表示同一函数的是( )
A.与y=x+3 B.与
C.与 D.与
答案:C
4.已知函数f(x)=-1,则f(2)的值为( )
A.-2 B.-1
C.0 D.不确定
答案:B
5.求下列函数的定义域:
(1;
(2) ;
(3) .
答案:(1) {x|x≠1且x≠2}.
(2) (-∞,-1)∪(-1,0).
(3) eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(-\f(3,2),0))∪(0,2).定义
名称
符号
数轴表示
{x|a≤x≤b}
闭区间
[a,b]
{x|a
(a,b)
{x|a≤x半开半闭区间
[a,b)
{x|a
(a,b]
定义
符号
数轴表示
{x|x≥a}
[a,+∞)
{x|x>a}
(a,+∞)
{x|x≤b}
(-∞,b]
{x|x(-∞,b)
序号
是否相同
原因
(1)
不同
定义域不同,f(x)的定义域为{x|x≠0},g(x)的定义域为R
(2)
不同
对应关系不同,f(x)=eq \f(1,\r(x)),g(x)=eq \r(x)
(3)
不同
定义域相同,对应关系不同
(4)
相同
定义域和对应关系相同
图号
正误
原因
①
×
x=2时,在N中无元素与之对应,不满足任意性
②
√
同时满足任意性与唯一性
③
×
x=2时,对应元素y=3∉N,不满足任意性
④
×
x=1时,在N中有两个元素与之对应,不满足唯一性
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