人教A版 (2019)必修 第一册3.2 函数的基本性质导学案及答案

3.2.1单调性与最大（小）值

【学习目标】

1.会用符号语言表达函数单调性的定义，理解单调性的作用和实际意义；会用定义证明简单函数的单调性

2.借助函数的单调性，结合函数图象，形成函数最值的概念，会求一些函数的最大（小）值

3.感悟数学概念的抽象过程及符号表示的作用，提升数学抽象和直观想象的数学素养

【自主学习】

一、函数的单调性

1．增函数、减函数的概念

一般地，设函数f(x)的定义域为A，区间

如果对于内的任意两个自变量的值x1、x2，当x1<x2时，都有       ，那么就说f(x)在区间上是       ；

如果对于内的任意两个自变量的值x1、x2，当x1<x2时，都有       ，那么就说f(x)在区间上是       .

2．单调性与单调区间

如果函数f(x)在区间上是增函数或减函数，那么就说函数f(x)在区间上具有       ，称为函数f(x)的       .

函数的单调性是函数在某个区间上的性质.

3．函数的最大（小）值

一般地，设函数的定义域为，如果存在实数满足：

(1)对于任意的，都有       （或       ）；

(2) 存在，使得       ，那么，我们称是函数的最大值（或最小值）.

4.函数单调性的常用判断方法

(1)定义法；

①       .设是定义域内一个区间上的任意两个量，且；

②       .作差变形（变形方法：因式分解、配方、有理化等）或作商变形；

③       .判断差与0或商与1的大小关系；

④       .

(2)图象法；

二、常见函数的单调性

1.一次函数y=kx+b(k≠0)

当k>0时，函数在定义域       是       ；

当k<0时，函数在定义域       是       .

2.反比例函数y=(k≠0)

当时，函数在区间       上是       ；

当时，函数在区间       上是       .

3.二次函数y=ax2+bx+c(k≠0)

若a>0，在区间       ，函数是减函数；在区间       ，函数是增函数；

若a<0，在区间       ，函数是增函数；在区间       ，函数是减函数．

三、函数单调性基本运算

1.若是增函数，则为       ；若是       ，则为增函数；

2.若和均为增（或减）函数，则在和的公共定义域上为       ；

3.若且为增（或减）函数，则函数为       ，为减函数       ；

【小试牛刀】

1. 请根据下图描述某装配线的生产效率与生产线上工人数量间的关系．

2. 根据定义证明函数f(x)=3x+2是增函数．
3. 证明函数f(x)=−在区间(-∞ ,0）上单调递增．

4.某汽车租赁公司的月收益 y (单位：元)与每辆车的月租金 x (单位：元)间的关系为，那么，每辆车的月租金为多少元时，租赁公司的月收最大？最大月收益是多少？

5.已知函数f(x)=x2-2x,g(x)=x2-2x x∈[2,4]，求f(x)、g(x)的最小值.

6.已知函数f(x)= ，求函数在区间[2,6]的最大值和最小值

【答案】

4.

5.

6.