【数学】广西南宁市第三中学2019-2020学年高二10月月考（理）（解析版） 试卷

广西南宁市第三中学2019-2020学年高二10月月考（理）
一、选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给的四个选项中，只有一项符合．）
1．直线x－y＋a＝0(a为常数)的倾斜角为(　　)
A．30° B．60° C．120° D．150°
2．已知a，b，c是两两不同的三条直线，下列说法正确的是(　　)
A．若直线a，b异面，b，c异面，则a，c异面
B．若直线a，b相交，b，c相交，则a，c相交
C．若a∥b，则a，b与c所成的角相等
D．若a⊥b，b⊥c，则a∥c
3．若直线l1：x＋3y＋m＝0(m＞0)与直线l2：2x＋6y－3＝0的距离为，则m＝(　　)
A．7 B． C．14 D．17
4．点P(4，－2)与圆x2＋y2＝4上任一点连线的中点的轨迹方程是(　　)
A．(x－2)2＋(y＋1)2＝1 B．(x－2)2＋(y＋1)2＝4
C．(x＋4)2＋(y－2)2＝4 D．(x＋2)2＋(y－1)2＝1
5．某中学有高中生3 500人，初中生1 500人，为了解学生的学习情况，用分层抽样的方法从该校学生中抽取一个容量为n的样本，已知从高中生中抽取70人，则n为(　　)
A．100 B．150 C．200 D．250
6．阅读程序框图，运行相应的程序，则输出S的值为(　　)

A．2 B．4 C．6 D．8
7．已知等腰梯形ABCD，上底CD＝1，腰AD＝CB＝，下底AB＝3，以下底所在直线为x轴，则由斜二测画法画出的直观图A′B′C′D′的面积为(　　)
A．　 B． C． D．
8．将某选手的9个得分去掉1个最高分，去掉1个最低分，7个剩余分数的平均分为91，现场作的9个分数的茎叶图，后来有1个数据模糊，无法辨认，在图中以x表示：

则7个剩余分数的方差为(　　)
A． B． C．36 D．
9．如图，在正方形ABCD中，E，F分别是BC，CD的中点，沿AE，AF，EF把正方形折成一个四面体，使B，C，D三点重合，重合后的点记为P，P点在△AEF内的射影为O，则下列说法正确的是(　　)
A．O是△AEF的垂心
B．O是△AEF的内心
C．O是△AEF的外心
D．O是△AEF的重心
10．一条光线从点(－2，－3)射出，经y轴反射后与圆(x＋3)2＋(y－2)2＝1相切，则反射光线所在直线的斜率为(　　)
A．－或－ B．－或－ C．－或－ D．－或－
11．已知边长为1的等边三角形ABC与正方形ABDE有一公共边AB，二面角C－AB－D的余弦值为，若A、B、C、D、E在同一球面上，则此球的体积为(　　)
A．2π B．π C．π D．π
12．两圆x2＋y2＋2ax＋a2－4＝0 和x2＋y2－4by－1＋4b2＝0恰有三条公切线，若a∈R，b∈R且ab≠0，则＋的最小值为(　　)
A．1 B．3 C． D．

二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分.）
13．为了了解一片经济林的生长情况，随机抽取了其中60株树木的底部周长(单位：cm)，所得数据均在区间[80，130]上，其频率分布直方图如图所示，则在抽测的60株树木中，有________株树木的底部周长小于100 cm．

14．如图，正方形ACDE与等腰直角三角形ACB所在的平面互相垂直，且AC＝BC＝2，∠ACB＝90°，F，G分别是线段AE，BC的中点，则AD与GF所成的角的余弦值为________．




15．已知平面区域恰好被面积最小的圆C：(x－a)2＋(y－b)2＝r2及其内部所覆盖，则圆C的方程为________．
16．已知圆O：x2＋y2＝9及点C(2，1)，过点C的直线l与圆O交于P，Q两点，当△OPQ的面积最大时，直线l的方程为________．
三、解答题（共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）
17．（10分）
(1)求经过点P(4，1)，且在两坐标轴上的截距相等的直线方程．
(2)设直线y＝x＋2a与圆C：x2＋y2－2ay－2＝0相交于A，B两点，若|AB|＝2，求圆C的面积．



18．（12分）四面体ABCD及其三视图如图所示，平行于棱AD，BC的平面分别交四面体的棱AB，BD，DC，CA于点E，F，G，H．
(1)求四面体ABCD的体积；
(2)证明：四边形EFGH是矩形．

19．（12分）已知△ABC的三内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，向量m＝(cos B，cos C)，n＝(2a＋c，b)，且m⊥n．
(1)求角B的大小；
(2)若b＝，求a＋c的范围．





20．（12分）如图，在四棱锥P－ABCD中，PD⊥平面ABCD，AB∥DC，AB⊥AD，DC＝6，AD＝8，BC＝10，∠PAD＝45°，E为PA的中点．
(1)求证：DE∥平面BPC；
(2)线段AB上是否存在一点F，满足CF⊥DB？若存在，
试求出二面角F－PC－D的余弦值；若不存在，请说明理由．






21．（12分）已知等差数列{an}的前n项和为Sn，公差d≠0，且S3＋S5＝50，a1，a4，a13成等比数列．
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)设是首项为1，公比为3的等比数列，求数列{bn}的前n项和Tn．




22．（12分）已知直线l：4x＋3y＋10＝0，半径为2的圆C与l相切，圆心C在x轴上且在直线l的右上方．
(1)求圆C的方程；
(2)过点M(1，0)的直线与圆C交于A，B两点(A在x轴上方)，问在x轴正半轴上是否存在定点N，使得x轴平分∠ANB？若存在，请求出点N的坐标；若不存在，请说明理由．
参考答案
1．B 直线的斜率为k＝tan α＝，又因为0°≤α＜180°，所以α＝60°．
2．C 若直线a，b异面，b，c异面，则a，c相交、平行或异面；若a，b相交，b，c相交，则a，c相交、平行或异面；若a⊥b，b⊥c，则a，c相交、平行或异面；由异面直线所成的角的定义知C正确．
3．B 直线l1：x＋3y＋m＝0(m＞0)，即2x＋6y＋2m＝0，因为它与直线l2：2x＋6y－3＝0的距离为，所以＝，求得m＝．
4．A 设圆上任一点为Q(x0，y0)，PQ的中点为M(x，y)，则解得因为点Q在圆x2＋y2＝4上，所以x＋y＝4，即(2x－4)2＋(2y＋2)2＝4，化简得(x－2)2＋(y＋1)2＝1．
5．A 由题意，抽样比为＝，总体容量为3 500＋1 500＝5 000，故n＝5 000×＝100．
6．B 初始值S＝4，n＝1．循环第一次：S＝8，n＝2；循环第二次：S＝2，n＝3；循环第三次：S＝4，n＝4，满足n>3，输出S＝4．
7．C 如图所示，作出等腰梯形ABCD的直观图：

因为OE＝＝1，所以O′E′＝，E′F＝，则直观图A′B′C′D′的面积S′＝×＝．
8．D 由题意知＝91，解得x＝4．所以s2＝[(87－91)2＋(94－91)2＋(90－91)2＋(91－91)2＋(90－91)2＋(94－91)2＋(91－91)2]＝(16＋9＋1＋0＋1＋9＋0)＝．
9．A 由题意可知PA，PE，PF两两垂直，所以PA⊥平面PEF，
从而PA⊥EF，而PO⊥平面AEF，则PO⊥EF，因为PO∩PA＝P，
所以EF⊥平面PAO，∴EF⊥AO，同理可知AE⊥FO，AF⊥EO，
∴O为△AEF的垂心．
10．D 由已知，得点(－2，－3)关于y轴的对称点为(2，－3)，由入射光线与反射光线的对称性，知反射光线一定过点(2，－3)．设反射光线所在直线的斜率为k，则反射光线所在直线的方程为y＋3＝k(x－2)，即kx－y－2k－3＝0．由反射光线与圆相切，则有d＝＝1，解得k＝－或k＝－
11．D 取AB的中点为M，连接CM，取DE的中点为N，连接MN，CN，可知∠CMN即为二面角C－AB－D的平面角，利用余弦定理可求CN＝＝CM，所以该几何体为正四棱锥，半径R＝，V＝πR3＝．
12．A x2＋y2＋2ax＋a2－4＝0，即(x＋a)2＋y2＝4，x2＋y2－4by－1＋4b2＝0，即x2＋(y－2b)2＝1．依题意可得，两圆外切，则两圆圆心距离等于两圆的半径之和，则＝1＋2＝3，即a2＋4b2＝9，所以＋＝＝≥＝1，当且仅当＝，即a＝±b时取等号．
13． 24 底部周长在[80，90)的频率为0.015×10＝0.15，底部周长在[90，100)的频率为0.025×10＝0.25，样本容量为60，所以树木的底部周长小于100 cm的株数为(0.15＋0.25)×60＝24．
14． 取DE的中点H，连接HF，GH．由题设，HF∥AD．
∴∠GFH为异面直线AD与GF所成的角(或其补角)．
在△GHF中，可求HF＝，
GF＝GH＝，∴cos∠HFG＝＝．
15．(x－2)2＋(y－1)2＝5 由题意知，此平面区域表示的是以O(0，0)，P(4，0)， Q(0，2)所构成的三角形及其内部，所以覆盖它的且面积最小的圆是其外接圆．∵△OPQ为直角三角形，
∴圆心为斜边PQ的中点(2，1)，半径r＝＝，因此圆C的方程为(x－2)2＋(y－1)2＝5．
16．x＋y－3＝0或7x＋y－15＝0 当直线l的斜率不存在时，l的方程为x＝2，则P，Q的坐标分别为(2，)，(2，－)，所以S△OPQ＝×2×2＝2．当直线l的斜率存在时，设l的方程为y－1＝k(x－2)，则圆心到直线PQ的距离为d＝，且|PQ|＝2，则S△OPQ＝×|PQ|×d＝×2×d＝≤＝，当且仅当9－d2＝d2，即d2＝时，S△OPQ取得最大值 ．因为2<，所以S△OPQ的最大值为，此时，由＝，解得k＝－7或k＝－1，则直线l的方程为x＋y－3＝0或7x＋y－15＝0．
17．(1)设直线l在x，y轴上的截距均为a，若a＝0，即l过点(0，0)和 (4，1)，
∴l的方程为y＝x，即x－4y＝0．
若a≠0，则设l的方程为＋＝1，∵l过点(4，1)，∴＋＝1，
∴a＝5，∴l的方程为x＋y－5＝0．
综上可知，直线l的方程为x－4y＝0或x＋y－5＝0．
(2)圆C：x2＋y2－2ay－2＝0，即C：x2＋(y－a)2＝a2＋2，圆心为C(0，a)，半径r＝，
C到直线y＝x＋2a的距离为d＝＝．
又由|AB|＝2，得＋＝a2＋2，解得a2＝2，所以圆的面积为π(a2＋2)＝4π．
18．(1)解　由该四面体的三视图可知，BD⊥DC，BD⊥AD，AD⊥DC，BD＝DC＝2，AD＝1，
又BD∩DC＝D，∴AD⊥平面BDC，∴四面体ABCD的体积V＝××2×2×1＝．
(2)证明：∵BC∥平面EFGH，平面EFGH∩平面BDC＝FG，
平面EFGH∩平面ABC＝EH，∴BC∥FG，BC∥EH，∴FG∥EH．
同理，EF∥AD，HG∥AD，∴EF∥HG，∴四边形EFGH是平行四边形．
又∵AD⊥平面BDC，BC⊂平面BDC，∴AD⊥BC，∴EF⊥FG，∴四边形EFGH是矩形．
19． (1)∵m＝(cos B，cos C)，n＝(2a＋c，b)，且m⊥n，
∴(2a＋c)cos B＋bcos C＝0，∴cos B(2sin A＋sin C)＋sin Bcos C＝0，
∴2cos Bsin A＋cos Bsin C＋sin Bcos C＝0．即2cos Bsin A＝－sin(B＋C)＝－sin A．
∵A∈(0，π)，∴sin A≠0，∴cos B＝－．∵0＜B＜π，∴B＝．
(2)由余弦定理得
b2＝a2＋c2－2accosπ＝a2＋c2＋ac＝(a＋c)2－ac≥(a＋c)2－＝(a＋c)2，
当且仅当a＝c时取等号．∴(a＋c)2≤4，故a＋c≤2．
又a＋c>b＝，∴a＋c∈(，2]．即a＋c的取值范围是(，2]．
20．(1)证明　取PB的中点M，连接EM和CM，过点C作CN⊥AB，垂足为点N．
∵CN⊥AB， DA⊥AB，∴CN∥DA，
又AB∥CD，∴四边形CDAN为平行四边形，∴CN＝AD＝8，DC＝AN＝6，
在Rt△BNC中，BN＝＝＝6，
∴AB＝12，而E，M分别为PA，PB的中点，
∴EM∥AB且EM＝6，又DC∥AB，∴EM∥CD且EM＝CD，四边形CDEM为平行四边形，
∴DE∥CM．∵CM⊂平面PBC，DE⊄平面PBC，∴DE∥平面BPC．
(2)解　由题意可得DA，DC，DP两两互相垂直，如图，以D为原点，
DA，DC，DP分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系D－xyz，
则A(8，0，0)，B(8，12，0)，C(0，6，0)，P(0，0，8)．
假设AB上存在一点F使CF⊥BD，
设点F坐标为(8，t，0)，则＝(8，t－6，0)，＝(8，12，0)，
由·＝0得t＝．又平面DPC的一个法向量为m＝(1，0，0)，
设平面FPC的法向量为n＝(x，y，z)．又＝(0，6，－8)，＝．
由得即
不妨令y＝12，有n＝(8，12，9)．则cos〈n，m〉＝＝＝．
又由图可知，该二面角为锐二面角，故二面角F－PC－D的余弦值为．
21．(1)依题意得解得∴an＝2n＋1．
(2)∵＝3n－1，∴bn＝an·3n－1＝(2n＋1)·3n－1，
∴Tn＝3＋5×3＋7×32＋…＋(2n＋1)×3n－1，
3Tn＝3×3＋5×32＋7×33＋…＋(2n－1)×3n－1＋(2n＋1)×3n，
两式相减得，－2Tn＝3＋2×3＋2×32＋…＋2×3n－1－(2n＋1)×3n
＝3＋2×－(2n＋1)×3n＝－2n×3n，
∴Tn＝n3n．
22．(1)设圆心C(a，0)，则＝2⇒a＝0或a＝－5(舍)．
所以圆C的方程为x2＋y2＝4．
(2)当直线AB⊥x轴时，x轴平分∠ANB．
当直线AB的斜率存在时，设直线AB的方程为y＝k(x－1)，N(t，0)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，
由得(k2＋1)x2－2k2x＋k2－4＝0，所以x1＋x2＝，x1x2＝．
若x轴平分∠ANB，则
kAN＝－kBN⇒＋＝0⇒＋＝0
⇒2x1x2－(t＋1)(x1＋x2)＋2t＝0⇒－＋2t＝0⇒t＝4，
所以当点N为(4，0)时，能使得∠ANM＝∠BNM总成立．