【数学】广西桂林市第十八中学2019-2020学年高二上学期第一次月考（理） 试卷
展开广西桂林市第十八中学2019-2020学年
高二上学期第一次月考（理）
注意事项：
① 试卷共2页，答题卡2页。考试时间120分钟,满分150分；
②正式开考前，请务必将自己的姓名、考号用黑色水性笔填写清楚并张贴条形码；
② 请将所有答案填涂或填写在答题卡相应位置，直接在试卷上做答不得分。
第I卷（选择题，共60分）
一、选择题（本题包括12小题，每小题只有一个选项符合题意，每小题5分，共60分）
1. 已知集合( )
A. B. C. D.
2. 若△ABC的三个内角、、成等差数列，则( )
A. B. C. D.
3. 在中，若，， ， 则=( )
A. B. 或 C. D. 或
4. 四张卡片上分别写有数字1，2，3，4，从这4张卡片中随机抽取2张，则取出的2张卡片上的数字之和为偶数的概率是( )
A. B. C. D.
5. 若变量x，y满足约束条件则z＝2x＋y的最大值是( )
A.2 B.3 C. 4 D.5
6. 已知则( )
A. B. C. D.
7. 设为等差数列, 其前n项和为.若，则( )
A. 54 B. 40 C.96 D.80
8. 设的内角所对的边长分别为且则( )
A. B. C. D.
9. 某几何体的三视图如右图所示，则该几何体中，面积最大的侧面的面积为( )
A. B.
C. D.
10. 若对任意恒成立，则的取值范围为
( )
A. B. C. D.
11. 若是函数的两个不同的零点，且这三个数可适当排序后构成等差数列，也可适当排序后构成等比数列，则( )
A.7 B.8 C.9 D.10
12.若函数有5个不同的零点，则的取值范围是( )
A. B. C. D.
第II卷（非选择题，共 90 分）
二、填空题（本题包括4小题，每小题5分，共20分）
13.已知向量，若//，则实数等于 .
14.已知且则最小值是 .
15.设为等差数列，为数列的前项和，已知，，为数列的前项和，则的最大值为 .
16.在中，内角所对的边分别是若，
且，则面积的最大值是 .
三、填空题（本题包括6小题，共70分）
17.（本小题满分10分）在中，内角所对的边长分别为已知
(1) 求角C的大小；
(2) 若，且，求的值.
18.（本小题满分12分）进入冬天，大气流动性变差，容易形成雾握天气，从而影响空气质量．某城市环保部门试图探究车流量与空气质量的相关性，以确定是否对车辆实施限行．为此，环保部门采集到该城市过去一周内某时段车流量与空气质量指数的数据如下表：
时间 | 周一 | 周二 | 周三 | 周四 | 周五 | 周六 | 周日 |
车流量（x万辆） | 10 | 9 | 9.5 | 10.5 | 11 | 8 | 8.5 |
空气质量指数y | 78 | 76 | 77 | 79 | 80 | 73 | 75 |
(1) 根据表中周一到周五的数据，求关于的线性回归方程；
(2) 若由线性回归方程得到的估计数据与所选出的检验数据的误差均不超过2，则认为得到的线性回归方程是可靠的．请根据周六和周日数据，判定所得的线性回归方程是否可靠？
附：回归方程中斜率和截距最小二乘估计公式分别为：
其中：
19.(本小题满分12分)如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是菱形，AC交BD于点O.
(1) 证明：平面PBD⊥平面PAC；
(2) 若,求二面角A-PB-C的余弦值.
20.(本小题满分12分)设数列的前项和为，且，.
(1) 设，求证：数列为等比数列；
(2) 设数列的前项和为，求.
21. (本小题满分12分)设
(1) 若，解不等式
(2) 设为方程的两个根，证明：
22. (本小题满分12分)已知圆
(1) 若圆C的切线在轴和轴上的截距相等，求该切线的方程；
(2) 点在直线上，过点作圆的切线，切点记为，求使最小
的点的坐标.
参考答案
一、 选择题
1-5：DCABB 6-10：CACBD 11-12：CA
二、 填空题
13． 14. 4 15. 45 16.
三、 解答题
17. （1）
化简得
所以 ……………（5分）
（2）由题易知
………..8分
得 ……………（10分）
18（1）， ．
，，
∴ ．…
∴ ．
∴ y关于x的线性回归方程为． ……………（7分）
（2）当x=8时，．满足|74-73|=1<2，
当x=8.5时，．满足|75-75|=0<2，
∴ 所得的线性回归方程是可靠的． ……………（12分）
19（1）底面是菱形
又平面
平面
又平面
平面⊥平面 ……………（6分）
（II）不妨设,则
作连结
由（I）知，平面
故,
则即二面角的平面角
在中，,
……………（12分）
20(1)证明：整理得
而
∴数列是以1为首项， 2为公比的等比数列. ……………（6分）…
（2）由（1）知，
得
……………（12分）
21（1）由得：
即：
① 当时，不等式为，不等式解集为；
② 当不等式解集为：. ……………（4分）
(2) 证明：
为方程的两个根
① 若，则
② 若，则
即：
由，解得
故当且仅当时取“=”.
综上所述：得证. ……………（12分）
22 (1)圆表示圆心为,半径等于的圆.
设斜率为的切线方程为：，设过原点的切线方程为，则圆心C到切线距离等于半径.
由，解得：，
由，解得：
故所求切线方程为
……………（6分）
(2) 连接，当时，到的距离最小，因为为切线
所以：，即有最小，
由到直线的距离
则此时
当时，直线，
由直线计算出交点为 ……………（12分）
