【数学】广西北流市实验中学2019-2020学年高二下学期入学检测（理）（解析版）

广西北流市实验中学2019-2020学年
高二下学期入学检测（理）
(时间：120分钟　满分：150分)
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．命题“若x＝3，则x2－2x－3＝0”的逆否命题是(　　)
A．若x≠3，则x2－2x－3≠0 B．若x＝3，则x2－2x－3≠0
C．若x2－2x－3≠0，则x≠3 D．若x2－2x－3≠0，则x＝3
2．执行下面的程序框图(如图所示)，若输入的a，b，k分别为1,2,3，则输出的M＝(　　)
A．　 B．　 C． D．
3．抛物线y＝4x2的焦点坐标是(　　)
A．　 　B． C．(1,0)　 D．(0,1)
4．设命题p：∃x0∈(0，＋∞)，ln x0＝－1.
命题q：若m＞1，则方程x2＋my2＝1表示焦点在x轴上的椭圆．
那么下列命题属于真命题的是(　　)
A．¬p　 B．(¬p)∨(¬q) C．p∧q　 D．p∧(¬q)
5．函数f(x)＝x(ex－1)＋ln x的图象在点(1，f(1))处的切线方程是(　　)
A．y＝2ex－e－1　 B．y＝2ex－e＋1
C．y＝2ex＋e－1　 D．y＝2ex＋e＋1
6.已知点，则它的极坐标是( )
A． B． C． D．
7．若双曲线－＝1(a>0，b>0)的一条渐近线经过点(3,4)，则此双曲线的离心率为(　　)
A．　 B． C．　 D．
8．椭圆C：＋＝1的焦点为F1，F2，若点M在椭圆C上且满足|MF1|－|MF2|＝2，则△F1MF2中的最大角为(　　)
A．90°　 B．105° C．120°　 D．150°
9．函数f(x)＝x(3－x2)在[0，]上的最小值为(　　)
A．－2　 B．0 C．　 D．2
10．为了普及环保知识，增强环保意识，某大学随机抽取30名学生参加环保知识测试，得分(十分制)如图所示，假设得分值的中位数为me，众数为mo，平均值为，则下列结论正确的是(　　)

A．me＝mo＝ B．me＝mo<
C．me 11．若a是从区间[0,10]中任取的一个实数，则方程x2－ax＋1＝0无实数解的概率是(　　)
A．0.1 B．0.2 C．0.3 D．0.4
12．(2016·四川卷)设O为坐标原点，P是以F为焦点的抛物线y2＝2px(p＞0)上任意一点，M是线段PF上的点，且|PM|＝2|MF|，则直线OM斜率的最大值为(　　)
A．　 B．　　 C．　 D．1
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中的横线上)
13．如图所示是某学校一名篮球运动员在五场比赛中所得分数的茎叶图，则该运动员在这五场比赛中得分的方差为________．


14．在极坐标系中，圆ρ＝4sin θ的圆心到直线θ＝(ρ∈R)的距离是________．
15．命题p；∀x∈R,2x＋1＞0，则¬p是________．
16．已知函数f(x)＝x3－x2＋m在(0,2)上有极值，则实数m的值为__________．




三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17、（本小题满分10分）如图，一矩形铁皮的长为8cm，宽为5cm，在四个角上截去四个相同的小正方形，制成一个无盖的小盒子，求盒子的最大容积。





18．(本小题满分12分)对某产品1到6月份销售量及其价格进行调查，其售价x和销售量y之间的一组数据如下表所示：
月份i
1
2
3
4
5
6
单价xi(元)
9
9.5
10
10.5
11
8
销售量yi(件)
11
10
8
6
5
14
(1)根据1至5月份的数据，求出y关于x的回归直线方程；
(2)若由回归直线方程得到的估计数据与剩下的检验数据的误差不超过0.5元，则认为所得到的回归直线方程是理想的，试问所得到的回归直线方程是否理想？
(3)预计在今后的销售中，销售量与单价仍然服从(1)中的关系，且该产品的成本是2.5元/件，为获得最大利润，该产品的单价应定为多少元？




19．(本小题满分12分)已知命题p：＋＝1表示双曲线，命题q：＋＝1表示椭圆．
(1)若命题p与命题q都为真命题，则p是q的什么条件？
(2)若p∧q为假命题，且p∨q为真命题，求实数m的取值范围．







20．(本小题满分12分)某高校在2016年的自主招生考试成绩中随机抽取100位学生的笔试成绩，按成绩分组，得到的频率分布表如下所示．
(1)请先求出频率分布表中①②位置相应的数据，再在答题纸上完成下列频率分布直方图(如图所示)；
组号
分组
频数
频率
第1组
[160,165)
5
0.050
第2组
[165,170)
①
0.350
第3组
[170,175)
30
②
第4组
[175,180)
20
0.200
第5组
[180,185]
10
0.100
合计
100
1.000


频率分布直方图
(2)为了能选拔出最优秀的学生，高校决定在笔试成绩高的第3、4、5组中用分层抽样抽取6位学生进入第二轮面试，求第3、4、5组每组各抽取多少位学生进入第二轮面试；
(3)在(2)的前提下，学校决定在6位学生中随机抽取2位学生接受A考官进行面试，求第4组至少有一位学生被考官A面试的概率．




21、(本小题满分12分)已知抛物线C：y2＝4x的焦点为F，直线l：y＝k(x＋2)＋1.
(1)若抛物线C和直线l没有公共点，求k的取值范围．
(2)若k＜0，且抛物线C和直线l只有一个公共点M，求|MF|的值．




22．(本小题满分12分)已知函数f(x)＝－ln x.
(1)讨论函数f(x)的单调性．
(2)若对∀x＞0，f(x)≥(1－a)x3－恒成立，求实数a的取值范围．

参考答案
一、选择题
1.解析：由逆否命题的定义知，逆否命题为“若x2－2x－3≠0，则x≠3”．
答案：C
2.解析：根据程序框图所给的已知条件逐步求解，直到得出满足条件的结果．
当n＝1时，M＝1＋＝，a＝2，b＝；
当n＝2时，M＝2＋＝，a＝，b＝；
当n＝3时，M＝＋＝，a＝，b＝；
n＝4时，终止循环．输出M＝.
答案：D
3.解析：抛物线方程可化为x2＝y，
∴其焦点坐标为.
答案：A
4.解析：当x0＝时，ln x0＝－1，p是真命题；当m＞1时，0＜＜1，∴x2＋＝1表示焦点在x轴上的椭圆，q为真命题．∴p∧q为真命题．
答案：C
5.解析：f(1)＝e－1，f′(x)＝ex(1＋x)＋－1，f′(1)＝2e，∴在点(1，f(1))处的切线方程为y－(e－1)＝2e(x－1)，即为y＝2ex－e－1.
答案：A
6.C
7.解析：把(3,4)代入y＝x，得＝，e2＝＝＝1＋2＝1＋2＝.∴e＝.
答案：D
8.解析：a＝4，b＝2，c＝2，
根据椭圆定义，有|MF1|＋|MF2|＝8，
又∵|MF1|－|MF2|＝2，∴|MF1|＝5，|MF2|＝3.
又∵|F1F2|＝2c＝4，
∴△F1MF2中的最大角为∠F1MF2＝90°.
答案：A
9.解析：f(x)＝3x－x3，f′(x)＝3－3x2＝3(1－x2)，
令f′(x)＝0得，x＝－1(舍去)或x＝1，
当x∈(0,1)时，f′(x)＞0，f(x)递增；
当x∈(1，)时，f′(x)＜0，f(x)递减，
∴当x＝1时，f(x)最大＝f(1)＝2.
f(0)＝0，f()＝，∴f(x)最小＝0.
答案：B
10.解析：30个数中第15个数是5，第16个数是6，所以中位数为＝5.5，众数为5，
＝＝.
答案：D
11.解析：若方程x2－ax＋1＝0无实数解，则Δ＝a2－4<0，即(a－2)(a＋2)<0⇒－2 答案：B
12.解析：如图所示，

设P(x0，y0)(y0＞0)，则y＝2px0，即x0＝.
设M(x′，y′)，由＝2，
得
化简可得
∴直线OM的斜率为k＝＝＝≤＝(当且仅当y0＝p时取等号)．
答案：C
二、填空题
13.解析：从茎叶图中求出运动员在5次比赛中的分数，结合方差公式求解．
依题意知，运动员在5次比赛中的分数依次为8,9,10,13,15，其均值为＝11.
由方差公式得s2＝[(8－11)2＋(9－11)2＋(10－11)2＋(13－11)2＋(15－11)2]＝(9＋4＋1＋4＋16)＝6.8.
答案：6.8
14.【解析】　极坐标系中的圆ρ＝4sin θ转化为平面直角坐标系中的一般方程为：x2＋y2＝4y，即x2＋(y－2)2＝4，其圆心为(0,2)，直线θ＝转化为平面直角坐标系中的方程为y＝x，即x－3y＝0.
∴圆心(0,2)到直线x－3y＝0的距离为＝.
【答案】　
15.解析：p是全称命题，¬p为：“∃x∈R,2x＋1≤0.”
答案：∃x∈R,2x＋1≤0
16.解析：f′(x)＝3x2－3x＝3x(x－1)，
令f′(x)＝0，得x＝0(舍去)或x＝1，
当x∈(0,1)时，f′(x)＜0，f(x)递减；当x∈(1,2)时，f′(x)＞0，f(x)递增，
∴在(0,2)上，f(x)极小＝f(1)＝－＋m＝，
∴m＝2.
答案：2
三、解答题
17.解：设小正方形的边长为厘米，则盒子底面长为，宽为

，（舍去）
，在定义域内仅有一个极大值，

18、解：(1)由题意知＝10，＝8，
∴b＝＝＝－3.2，a＝－b ＝40, ∴y＝－3.2x＋40.
(2)由(1)知，当x6＝8时，
y＝－3.2×8＋40＝14.4，
∴y－y6＝14.4－14＝0.4<0.5，
∴可认为所得到的回归直线方程是理想的．
(3)依题意得，利润L＝(x－2.5)(－3.2x＋40)＝－3.2x2＋48x－100(2.5 ∴当x＝－＝7.5时，L取得最大值．
∴该产品的单价定为7.5元时，利润最大．
19、解：(1)∵命题p：＋＝1表示双曲线是真命题，
∴(m－1)(m－4)＜0.解得1＜m＜4.
又∵命题q：＋＝1表示椭圆是真命题，
∴解得2＜m＜3或3＜m＜4.
∵{m|1＜m＜4}⊇{2＜m＜3或3＜m＜4}，
∴p是q的必要而不充分条件．
(2)∵p∧q为假命题，且p∨q为真命题，
∴p，q一真一假．
当p真q假时，由(1)可知，
p为真，有1＜m＜4，①
q为假，有m≤2或m＝3或m≥4②
由①②解得1＜m≤2或m＝3.
当p假q真时，由(1)可知，
p为假，有m≤1或m≥4，③
q为真，有2＜m＜3或3＜m＜4④
由③④解得，无解．
综上，可得实数m的取值范围为1＜m≤2或m＝3.
20、解：(1)由题可知，第2组的频数为0.35×100＝35(人)，第3组的频率为＝0.300，频率分布直方图如图所示．

(2)因为第3、4、5组共有60名学生，所以利用分层抽样在60名学生中抽取6名学生，每组分别为第3组：×6＝3(人)，第4组：×6＝2(人)，第5组：×6＝1(人)，所以第3、4、5组分别抽取3人、2人、1人．
(3)设第3组的3位同学为A1，A2，A3，第4组的2位同学为B1，B2，第5组的1位同学为C1，则从六位同学中抽两位同学有15种可能，如下：
(A1，A2)，(A1，A3)，(A1，B1)，(A1，B2)，(A1，C1)，(A2，A3)，(A2，B1)，(A2，B2)，(A2，C1)，(A3，B1)，(A3，B2)，(A3，C1)，(B1，B2)，(B1，C1)，(B2，C1)．
第4组至少有一位同学入选的有：
(A1，B1)，(A1，B2)，(A2，B1)，(A2，B2)，(A3，B1)，(B1，B2)，(A3，B2)，(B1，C1)，(B2，C1)，共9种可能．所以第4组的2位同学至少有一位同学入选的概率为＝.
21、解：(1)联立方程
消去x整理得ky2－4y＋4(2k＋1)＝0.(*)
由抛物线C和直线l没有公共点，得Δ＜0.
即－16(2k2＋k－1)＜0.解得k＜－1或k＞.
(2)当抛物线C和直线l只有一个公共点时，记公共点为M(x0，y0)，
由Δ＝0，即－16(2k2＋k－1)＝0，
解得k＝－1或k＝，因为k＜0，所以k＝－1.
将y＝－x－1代入y2＝4x得x2－2x＋1＝0，解得x0＝1.
由抛物线的定义知|MF|＝＋x0＝1＋1＝2.
22、解：(1)f(x)的定义域为(0，＋∞)，
f′(x)＝－－＝－，
①当－≤0即a≥－2时，
x2＋(a＋2)x＋1＞0，f′(x)＜0，
②当a＜－2，Δ＝(a＋2)2－4＝a2＋4a≤0，
即－4≤a＜－2时，x2＋(a＋2)x＋1＞0，f′(x)＜0.
③当a＜－4时，x1＝＞0，
x2＝＞0，
当0＜x＜x1或x＞x2时，f′(x)＜0；
当x1＜x＜x2时，f′(x)＞0.
综合①②③，得当a≥－4时，f(x)的减区间为(0，＋∞)；
当a＜－4时，f(x)的递减区间为
和，
f(x)的递增区间为.
(2)f(x)≥(1－a)x3－，
－ln x≥(1－a)x3＋＋1－x，
a≥1＋(ln x－x＋1)，
令g(x)＝(ln x－x＋1)＋1，
令h(x)＝ln x－x＋1，则h′(x)＝－1＝，
∴当x∈(0,1)时，h′(x)＞0；当x∈(1，＋∞)时，h′(x)＜0.
∴h(x)在(0,1]上是增函数，在[1，＋∞)上是减函数，∴h(x)max＝h(1)＝0.
∴当x＞0且x≠1时，g(x)＜1；当x＝1时，g(x)＝1.
∴g(x)max＝g(1)＝1.∴a≥1，即a∈[1，＋∞)．