2021年高考数学一轮精选练习：26《平面向量的概念及其线性运算》(含解析)

2021年高考数学一轮精选练习：

26《平面向量的概念及其线性运算》

一         、选择题

1.设a是非零向量，λ是非零实数，下列结论中正确的是(　 　)

A.a与λa的方向相反

B.a与λ2a的方向相同

C.|－λa|≥|a|

D.|－λa|≥|λ|·a

2.已知O，A，B，C为同一平面内的四个点，若2＋=0，则向量等于(　 　)

A.－    B.－＋   C.2－     D.－＋2

3.如图所示，在△ABC中，点O是BC的中点，过点O的直线分别交直线AB，AC于不同的两点M，N，若=m，=n，则m＋n的值为(　 　)

A.1        B.2          C.3         D.4

4.如图，在直角梯形ABCD中，AB=2AD=2DC，E为BC边上一点，=3，F为AE的中点，则=(　 　)

A.－    B.－   C.－＋     D.－＋

5.在△ABC中，D为△ABC所在平面内一点，且=＋，则=(　 　)

A.         B.          C.　       D.

6.在△ABC中，AB=3，AC=2，∠BAC=60°，点P是△ABC内一点(含边界)，若=＋λ·，则||的取值范围为(　 　)

A.      B.    C.     D.

7.设P是△ABC所在平面内的一点，若·(＋)=2·且||2=||2－2·，则点P是△ABC的(　 　)

A.外心        B.内心           C.重心         D.垂心

8.如图所示，在△ABC中，AD=DB，点F在线段CD上，设=a，=b，=xa＋yb，则＋的最小值为(　　)

A.6＋2        B.6        C.6＋4        D.3＋2

二         、填空题

9.已知△ABC和点M满足＋＋=0，若存在实数m使得＋=m成立，则m=      .

10.设e1与e2是两个不共线向量，=3e1＋2e2，=ke1＋e2，=3e1－2ke2，若A，B，D三点共线，则k的值为        .

11.在直角梯形ABCD中，A=90°，B=30°，AB=2，BC=2，点E在线段CD上，若=＋μ，则μ的取值范围是            .

12.设G为△ABC的重心，且sinA·＋sinB·＋sinC·=0，则角B的大小为       .

13.线AB，AC分别交于点M，N，=λ，=μ.若λ＞0，μ＞0，则λ＋μ最小值为      .

14.定义两个平面向量的一种运算a⊗b=|a|·|b|sin〈a，b〉，则关于平面向量上述运算的以下结论中，

①a⊗b=b⊗a；

②λ(a⊗b)=(λa)⊗b；

③若a=λb，则a⊗b=0；

④若a=λb且λ＞0，则(a＋b)⊗c=(a⊗c)＋(b⊗c).

正确的序号是         .

三         、解答题

15.如图所示，在△ABC中，D，F分别是AB，AC的中点，BF与CD交于点O，设=a，=b，试用a，b表示向量.

答案解析

1.答案为：B；

解析：对于A，当λ＞0时，a与λa的方向相同，当λ＜0时，a与λa的方向相反；B正确；对于C，|－λa|=|－λ||a|，由于|－λ|的大小不确定，故|－λa|与|a|的大小关系不确定；对于D，|λ|a是向量，而|－λa|表示长度，两者不能比较大小.

2.答案为：C；

解析：因为=－，=－，

所以2＋=2(－)＋(－)=－2＋=0，所以=2－.

3.答案为：B；

解析：∵O为BC的中点，

∴=(＋)=(m＋n)=＋，

∵M，O，N三点共线，∴＋=1，∴m＋n=2.

4.答案为：C；

解析：=＋=＋=－＋

=－＋=－＋＋＋(＋＋)=－＋.

5.答案为：B；

解析：由=＋得点D在平行于AB的中位线上，从而有S△ABD=S△ABC，

又S△ACD=S△ABC，所以S△BCD=S△ABC=S△ABC，所以=.故选B.

6.答案为：D；

解析：在AB上取一点D，使得=，过D作DH∥AC，交BC于H.

∵=＋λ，且点P是△ABC内一点(含边界)，∴点P在线段DH上.

当P在D点时，||取得最小值2；当P在H点时，||取得最大值，

此时B，P，C三点共线，

∵=＋λ，∴λ=，∴=＋，

∴2=2＋2＋·=，∴||=.

故||的取值范围为.故选D.

7.答案为：A；

解析：由·(＋)=2·，得·(＋－2)=0，

即·[(－)＋(－)]=0，

所以·(＋)=0.设D为AB的中点，则·2=0，故·=0.

因为||2=||2－2·，所以(＋)·(－)=2·，

所以·(＋－2)=0.设BC的中点为E，同理可得·=0，

所以P为AB与BC的垂直平分线的交点，

所以P是△ABC的外心.故选A.

8.答案为：D；

解析：由题意知=xa＋yb=2x＋y，

因为C，F，D三点共线，所以2x＋y=1，即y=1－2x.

由题图可知x＞0且x≠1.所以＋=＋=.

令f(x)=，则f′(x)=，

令f′(x)=0，得x=－1或x=－－1(舍).

当0＜x＜－1时，f′(x)＜0，当x＞－1且x≠1时，f′(x)＞0.

所以当x=－1时，f(x)取得极小值，亦为最小值，最小值为f(－)

==3＋2.

一         、填空题

9.答案为：3；

解析：由已知条件得＋=－，

如图，延长AM交BC于D点，则D为BC的中点.

延长BM交AC于E点，延长CM交AB于F点，

同理可证E，F分别为AC，AB的中点，

即M为△ABC的重心，∴==(＋)，即＋=3，则m=3.

10.答案为：-2.25；

解析：由题意，A，B，D三点共线，故必存在一个实数λ，使得=λ.

又=3e1＋2e2，=ke1＋e2，=3e1－2ke2，

所以=－=3e1－2ke2－(ke1＋e2)=(3－k)e1－(2k＋1)e2，

所以3e1＋2e2=λ(3－k)e1－λ(2k＋1)e2，

又e1与e2不共线，所以解得k=－.

11.答案为：[0,0.5]；

解析：由题意可求得AD=1，CD=，∴=2，

∵点E在线段CD上，∴=λ(0≤λ≤1).

∵=＋，又=＋μ=＋2μ=＋，∴=1，即μ=，

∵0≤λ≤1，∴0≤μ≤.即μ的取值范围是[0,0.5].

12.答案为：60°.

解析：∵G是△ABC的重心，∴＋＋=0，=－(＋)，

将其代入sinA·＋sinB·＋sinC·=0，

得(sinB－sinA)＋(sinC－sinA)=0.

又，不共线，∴sinB－sinA=0，sinC－sinA=0.则sinB=sinA=sinC.

根据正弦定理知，b=a=c，∴△ABC是等边三角形，则B=60°

13.答案为：.

解析：连接AD.因为2＋=0，所以=，

=＋=＋=＋(－)=＋.

因为D，M，N三点共线，所以存在x∈R，使=x＋(1－x)，

则=xλ＋(1－x)μ，

所以xλ＋(1－x)μ=＋，所以xλ=，(1－x)μ=，

所以x=，1－x=，所以＋=1，

所以λ＋μ=(λ＋μ)=≥，

当且仅当λ=μ时等号成立，所以λ＋μ的最小值为.

14.答案为：①③④；

解析：①恒成立，②λ(a⊗b)=λ|a|·|b|sin〈a，b〉，

(λa)⊗b=|λa|·|b|sin〈a，b〉，当λ＜0时，

λ(a⊗b)=(λa)⊗b不成立，③a=λb，则sin〈a，b〉=0，

故a⊗b=0恒成立，

④a=λb，且λ＞0，则a＋b=(1＋λ)b，(a＋b)⊗c=

|(1＋λ)||b|·|c|sin〈b，c〉，(a⊗c)＋(b⊗c)

=|λb|·|c|sin〈b，c〉＋|b|·|c|sin〈b，c〉

=|1＋λ||b|·|c|sin〈b，c〉，

故(a＋b)⊗c=(a⊗c)＋(b⊗c)恒成立.

二         、解答题

15.解：由D，O，C三点共线，可设

=k1=k1(－)=k1=－k1a＋k1b(k1为实数)，

同理，可设=k2=k2(－)=k2=－k2a＋k2b(k2为实数)，①

又=＋=－a＋=－(1＋k1)a＋k1b，②

所以由①②，得－k2a＋k2b=－(1＋k1)a＋k1b，

即(1＋k1－2k2)a＋b=0.

又a，b不共线，所以解得

所以=－a＋B.所以=＋=a＋=(a＋b).