2021年高考数学一轮精选练习：21《函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象及应用》(含解析)

2021年高考数学一轮精选练习：

21《函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象及应用》

一         、选择题

1.将函数y=sin的图象向右平移个单位长度，所得图象对应的函数(　 　)

A.在区间上单调递增

B.在区间上单调递减

C.在区间上单调递增

D.在区间上单调递减

2.已知函数f(x)=sinx＋cosx(x∈R)，先将y=f(x)的图象上所有点的横坐标缩短到原来的(纵坐标不变)，再将得到的图象上所有的点向右平移θ(θ＞0)个单位长度，得到的图象关于y轴对称，则θ的最小值为(　　)

A.        B.       C.         D.

3.设偶函数f(x)=Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0,0＜φ＜π)的部分图象如图所示，△KLM为等腰直角三角形，∠KML=90°，KL=1，则f的值为(　 　)

A.－          B.－        C.－            D.

4.将函数f(x)=cos图象上所有的点向右平移个单位长度后得到函数g(x)的图象，则下列说法不正确的是(　 　)

A.直线x=为g(x)图象的对称轴

B.g(x)在上单调递减，且g(x)为偶函数

C.g(x)在上单调递增，且g(x)为奇函数

D.点是g(x)图象的对称中心

5.已知函数f(x)=sin(ωx＋φ)的部分图象如图所示，又x1，x2∈，且f(x1)=f(x2)，则f(x1＋x2)=(　 　)

A.          B.        C.           D.1

6.将函数f(x)=2cos2x的图象向右平移个单位得到函数g(x)的图象，若函数g(x)在区间 和上均单调递增，则实数a的取值范围是(　　)

A.        B.      C.        D.

7.已知函数f(x)=Asin(ωx＋φ)＋B的部分图象如图所示，将函数f(x)的图象向左平移m(m＞0)个单位长度后，得到函数g(x)的图象关于点对称，则m的值可能为(　D　)

A.          B.         C.           D.

8.函数y=sin(ωx＋φ)在同一个周期内，当x=时，y取得最大值1，当x=时，y取得最小值－1.若函数f(x)满足方程f(x)=a(0＜a＜1)，则在[0,2π]内的所有实数根之和为(　A　)

A.       B.         C.        D.

二         、填空题

9.已知函数f(x)=2sin(ωx＋φ)的部分图象如图所示，则φ=    .

10.已知关于x的方程2sin2x－sin2x＋m－1=0在上有两个不同的实数根，则m的取值范围是        .

11.已知函数f(x)=Msin(ωx＋φ)的部分图象如图所示，其中A(2,3)(点A为图象的一个最高点)，B，则函数f(x)=           .

12.已知函数f(x)=sinωx＋cosωx(ω＞0)，x∈R.在曲线y=f(x)与直线y=1的交点中，若相邻交点距离的最小值为，则f(x)的最小正周期为        .

13.已知函数f(x)=2sin，g(x)=mcos－2m＋3(m＞0)，若对∀x1∈，∃x2∈，使得g(x1)=f(x2)成立，则实数m的取值范围是          .

三         、解答题

14.已知函数f(x)=cos＋2sinsin.

(1)求函数f(x)的单调递增区间；

(2)将y=f(x)的图象向左平移个单位长度，再将得到的图象横坐标变为原来的2倍(纵坐标不变)，得到y=g(x)的图象.若函数y=g(x)在区间上的图象与直线y=a有三个交点，求实数a的取值范围.

15.如图所示，某小区为美化环境，准备在小区内草坪的一侧修建一条直路OC，另一侧修建一条休闲大道，它的前一段OD是函数y=k(k＞0)图象的一部分，后一段DBC是函数y=Asin(ωx＋φ)，x∈[4,8]的图象，图象的最高点为B，DF⊥OC，垂足为F.

(1)求函数y=Asin(ωx＋φ)的解析式；

(2)若在草坪内修建如图所示的儿童游乐园，即矩形PMFE，问点P落在曲线OD上何处时，儿童游乐园的面积最大？

16.已知函数f(x)=Msin(ωx＋φ)的图象与x轴的两个相邻交点是A(0,0)，B(6,0)，C是函数f(x)图象的一个最高点.a，b，c分别为△ABC的三个内角A，B，C的对边，满足(a＋c)·(sinC－sinA)=(a＋b)sinB.

(1)求函数f(x)的解析式；

(2)将函数f(x)的图象向左平移1个单位后，纵坐标不变，横坐标伸长为原来的倍，得到函数g(x)的图象，求函数g(x)的单调递减区间.

答案解析

1.答案为：A；

解析：将y=sin的图象向右平移个单位长度，

所得图象对应的函数为y=sin=sin2x，

令2kπ－≤2x≤2kπ＋(k∈Z)，得kπ－≤x≤kπ＋(k∈Z).

所以y=sin2x的递增区间为(k∈Z)，

当k=1时，y=sin2x在上单调递增，故选A.

2.答案为：B；

解析：f(x)=sinx＋cosx=2sin，

将其图象上所有点的横坐标缩短到原来的(纵坐标不变)，

得y=2sin的图象，再将得到的图象上所有的点向右平移θ(θ＞0)个单位长度，

得y=2sin=2sin的图象，

由y=2sin的图象关于y轴对称得－3θ=kπ＋(k∈Z)，

即θ=－π(k∈Z).又θ＞0，故当k=－1时，θ取得最小值π，故选B.

3.答案为：D；

解析：由题及f(x)的图象可知，△KLM为等腰直角三角形且∠KML=90°，KL=1，

所以A=，T=2，因为T=，所以ω=π，

又因为f(x)是偶函数，故φ=＋kπ，k∈Z，

由0＜φ＜π知φ=，因此f(x)的解析式为f(x)=sin，

所以f=sin=.

4.答案为：B；

解析：由题意，g(x)=cos，

则g(x)=sin2x.

令2x=kπ＋(k∈Z)，得x=＋(k∈Z)，故A中说法正确.

当x∈时，2x∈，g(x)单调递减，

但g(x)为奇函数，故B中说法不正确.

当x∈时，2x∈，g(x)单调递增，

又g(x)为奇函数，故C中说法正确.

g(x)图象的对称中心为(k∈Z)，故D中说法正确.

5.答案为：B；

解析：由题图可知，=－=，则T=π，ω=2，又=，

所以f(x)的图象过点，即sin=1，得＋φ=＋2kπ，k∈Z，

即φ=＋2kπ，k∈Z，又|φ|＜，可得φ=，所以f(x)=sin.

由f(x1)=f(x2)，x1，x2∈，可得x1＋x2=－＋=，

所以f(x1＋x2)=f=sin=sin=.

6.答案为：A；

解析：易得g(x)=2cos，由2kπ－π≤2x－≤2kπ，

得kπ－≤x≤kπ＋(k∈Z)，

即函数g(x)的单调增区间为(k∈Z).

当k=0时，函数的增区间为，

当k=1时，函数的增区间为.

又函数g(x)在区间和上均单调递增，

所以解得≤a≤.

7.答案为：D；

解析：依题意得解得

==－=，故ω=2，则f(x)=sin(2x＋φ)＋.

又f=sin＋=，

故＋φ=＋2kπ(k∈Z)，即φ=＋2kπ(k∈Z).

因为|φ|＜，故φ=，所以f(x)=sin＋.

将函数f(x)的图象向左平移m个单位长度后得到

g(x)=sin＋的图象，

又函数g(x)的图象关于点对称，

即h(x)=sin的图象关于点对称，

故sin=0，即＋2m=kπ(k∈Z)，

故m=－(k∈Z).令k=2，则m=.

8.答案为：A；

解析：由题意可得=2×，所以ω=3.

又sin=1，所以＋φ=2kπ＋(k∈Z)，所以φ=2kπ－(k∈Z).

又|φ|＜，所以φ=－，所以函数f(x)=sin.

由于f(x)=sin的最小正周期为，

所以f(x)=sin在[0,2π]内恰有3个周期，

所以sin=a(0＜a＜1)在[0,2π]内有6个实数根，

由小到大依次记为x1，x2，x3，x4，x5，x6，

令3x－=2kπ＋，k∈Z，可得x=＋，(k∈Z).

依据f(x)图象的对称性可得x1＋x2=2×=，x3＋x4=2×=，

x5＋x6=2×=，

故所有实数之和为x1＋x2＋…＋x6=＋＋=，故选A.

一         、填空题

9.答案为：－.

解析：由=π－π=，得T=π，

又知T=，∴ω=2，∴f(x)=2sin(2x＋φ).

又知f=－2，∴2sin=－2，即sin=－1.

∴π＋φ=2kπ＋π(k∈Z)，∴φ=2kπ－(k∈Z)，

又∵－＜φ＜0，∴φ=－.

10.答案为：1≤m＜2；

解析：方程2sin2x－sin2x＋m－1=0⇔m=2sin，

要使原方程在上有两个不同实根，

函数y=2sin与y=m在上有两个不同交点，如图，需满足1≤m＜2.

11.答案为：f(x)=3sin.

解析：依题意，M=3，T=2＋=，则T=6，故ω==.又函数过点A(2,3)，

即3sin=3，得＋φ=＋2kπ(k∈Z)，则φ=－＋2kπ(k∈Z).

因为|φ|<，所以φ=－，所以f(x)=3sin.

12.答案为：π.

解析：f(x)=sinωx＋cosωx=2sin(ω＞0).

由2sin=1，得sin=，

∴ωx＋=2kπ＋或ωx＋=2kπ＋(k∈Z).

令k=0，得ωx1＋=，ωx2＋=，∴x1=0，x2=.

由|x1－x2|=，得=，∴ω=2.故f(x)的最小正周期T==π.

13.答案为：.

解析：当x∈时，2x＋∈，sin∈，

∴当x∈时，函数f(x)=2sin的值域为[1,2].

当x∈时，2x－∈，cos∈，

∴当x∈时，函数g(x)=mcos－2m＋3(m＞0)的

值域为.

∵对∀x1∈，∃x2∈，使得g(x1)=f(x2)成立，

∴解得1≤m≤，即m∈.

二         、解答题

14.解：(1)f(x)=cos＋2sinsin

=cos2x＋sin2x＋(sinx－cosx)(sinx＋cosx)

=cos2x＋sin2x＋sin2x－cos2x

=cos2x＋sin2x－cos2x=sin.

令2kπ－≤2x－≤2kπ＋，k∈Z，得kπ－≤x≤kπ＋，k∈Z.

所以函数f(x)的单调递增区间是，k∈Z.

(2)将f(x)的图象向左平移个单位长度，

得y=sin=sin=cos2x的图象，

再将得到的图象的横坐标变为原来的2倍(纵坐标不变)，得g(x)=cosx的图象.

作函数g(x)=cosx在区间上的图象，及直线y=A.根据图象知，

实数a的取值范围是.

15.解：(1)对于函数y=Asin(ωx＋φ)，由图象可知，

A=，ω===，

将B代入y=sin中，可得sin=1，

故＋φ=2kπ＋(k∈Z)，φ=2kπ－(k∈Z).

因为|φ|＜，所以φ=－.故y=sin，x∈[4,8].

(2)在y=sin中，令x=4，得y=4，故D(4,4)，

从而得OD对应的函数为y=2(0≤x≤4).设点P(0≤t≤4)，

则矩形PMFE的面积S=t(0≤t≤4).

因为S′=4－，由S′=0，得t=，

当t∈时，S′＞0，S单调递增；

当t∈时，S′＜0，S单调递减.

所以当t=时，S最大，此时点P的坐标为.

16.解：(1)∵函数f(x)=Msin(ωx＋φ)

的图象与x轴的两个相邻交点是A(0,0)，B(6,0)，

∴sinφ=0，∴φ=0，且=·=6，∴ω=，∴f(x)=Msinx.

∵C是函数f(x)图象的一个最高点，a，b，c分别为△ABC的三个内角A，B，C的对边，

满足(a＋c)(sinC－sinA)=(a＋b)sinB，

∴(a＋c)(c－a)=(a＋b)b，整理可得=－，即cosC=－，∴C=.

由题意可得CA=CB，∴A=，

设AB的中点为D，连接CD，则CD⊥AB，且点D(3,0)，点C(3，M)，

根据tanA=tan===，得M=，∴f(x)=sinx.

(2)将函数f(x)=sinx的图象向左平移1个单位，纵坐标不变，可得

y=sin=sin的图象；

再把横坐标伸长为原来的倍，得到函数

g(x)=sin=sin的图象.

令2kπ＋≤＋≤2kπ＋，k∈Z.

得4kπ＋≤x≤4kπ＋，k∈Z，

故函数g(x)的单调递减区间为，k∈Z.