2019版高考数学（理）一轮精选教师用书人教通用：第2章7第7讲　函数的图象

第7讲　函数的图象

1．利用描点法作函数图象
其基本步骤是列表、描点、连线．
首先：①确定函数的定义域；②化简函数解析式；③讨论函数的性质(奇偶性、单调性、周期性、对称性等)．
其次：列表(尤其注意特殊点、零点、最大值点、最小值点、与坐标轴的交点等)，描点，连线．
2．利用图象变换法作函数的图象
(1)平移变换

(2)对称变换
①y＝f(x)y＝－f(x)．
②y＝f(x)y＝f(－x)．
③y＝f(x)y＝－f(－x)．
④y＝ax(a＞0且a≠1)y＝logax(x＞0)．
(3)翻折变换
①y＝f(x)y＝|f(x)|．
②y＝f(x)y＝f(|x|)．
(4)伸缩变换
①y＝f(x)
→
y＝f(ax)．
②y＝f(x)
→
y＝af(x)．

判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)将函数y＝f(x)的图象先向左平移1个单位，再向下平移1个单位得到函数y＝f(x＋1)＋1的图象．(　　)
(2)当x∈(0，＋∞)时，函数y＝|f(x)|与y＝f(|x|)的图象相同．(　　)
(3)函数y＝f(x)与y＝－f(－x)的图象关于原点对称．(　　)
(4)若函数y＝f(x)满足f(1＋x)＝f(1－x)，则函数f(x)的图象关于直线x＝1对称．(　　)
答案：(1)×　(2)×　(3)√　(4)√
已知函数y＝|x－1|，则其图象关于________对称(　　)
A．(1，0) B．(－1，0)
C．直线x＝1 D．直线x＝－1
解析：选C.y＝|x－1|＝其图象如图所示．故选C.

函数f(x)的图象向右平移1个单位长度，所得图象与曲线y＝ex关于y轴对称，则f(x)＝(　　)
A．ex＋1　 B．ex－1
C．e－x＋1 D．e－x－1
解析：选D.曲线y＝ex关于y轴对称的曲线为y＝e－x，将y＝e－x向左平移1个单位长度得到y＝e－(x＋1)，即f(x)＝e－x－1.
函数y＝f(x)在x∈[－2，2]上的图象如图所示，则当x∈[－2，2]时，f(x)＋f(－x)＝________．

解析：由f(x)的图象知f(x)为奇函数，则f(x)＋f(－x)＝0.
答案：0
若关于x的方程|x|＝a－x只有一个解，则实数a的取值范围是________．
解析：由题意a＝|x|＋x，
令y＝|x|＋x＝图象如图所示，故要使a＝|x|＋x只有一解，则a>0，即实数a的取值范围是(0，＋∞)．

答案：(0，＋∞)


　　　　　　作函数的图象
[典例引领]
分别作出下列函数的图象．
(1)y＝2x＋2；
(2)y＝|lg x|；
(3)y＝.
【解】　(1)将y＝2x的图象向左平移2个单位．图象如图所示．

(2)y＝
图象如图所示．

(3)因为y＝1＋，先作出y＝的图象，将其图象向右平移1个单位，再向上平移1个单位，即得y＝的图象，图象如图所示．


将本例(3)的函数变为“y＝”，函数的图象如何？
解：y＝＝1－，该函数图象可由函数y＝－向左平移3个单位，再向上平移1个单位得到，如图所示．


函数图象的画法

[提醒]　(1)画函数的图象一定要注意定义域．
(2)利用图象变换法时要注意变换顺序，对不能直接找到熟悉的基本函数的要先变形，并应注意平移变换与伸缩变换的顺序对变换单位及解析式的影响．　
分别作出下列函数的图象．
(1)y＝|x－2|(x＋1)；
(2)y＝.
解：(1)当x≥2，即x－2≥0时，
y＝(x－2)(x＋1)＝x2－x－2＝－；
当x<2，即x－2<0时，
y＝－(x－2)(x＋1)＝－x2＋x＋2＝－＋.
所以y＝
这是分段函数，每段函数的图象可根据二次函数图象作出(如图)．

(2)作出y＝的图象，保留y＝图象中x≥0的部分，加上y＝的图象中x>0部分关于y轴的对称部分，即得y＝的图象，如图中实线部分．

　　　　　　函数图象的辨识
[典例引领]
(1)(2017·高考全国卷Ⅲ)函数y＝1＋x＋的部分图象大致为(　　)

(2)函数f(x)＝的图象如图所示，则下列结论成立的是(　　)
A．a>0，b>0，c<0
B．a<0，b>0，c>0
C．a<0，b>0，c<0
D．a<0，b<0，c<0
【解析】　(1)易知函数g(x)＝x＋是奇函数，其函数图象关于原点对称，所以函数y＝1＋x＋的图象只需把g(x)的图象向上平移一个单位长度，结合选项知选D.
(2)函数定义域为{x|x≠－c}，结合图象知－c>0，所以c<0.
令x＝0，得f(0)＝，又由图象知f(0)>0，所以b>0.
令f(x)＝0，得x＝－，结合图象知－>0，所以a<0.
故选C.
【答案】　(1)D　(2)C

辨识函数图象的5个切入点
(1)从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置．
(2)从函数的单调性，判断图象的变化趋势．
(3)从函数的奇偶性，判断图象的对称性．
(4)从函数的周期性，判断图象的循环往复．
(5)从函数的特征点，排除不合要求的图象．　
(2018·长沙市统一模拟考试)函数y＝ln|x|－x2的图象大致为(　　)

解析：选A.令f(x)＝ln|x|－x2，定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)且f(－x)＝ln|x|－x2＝f(x)，故函数y＝ln|x|－x2为偶函数，其图象关于y轴对称，排除B，D；当x>0时，y＝ln x－x2，则y′＝－2x，当x∈时，y′＝－2x>0，y＝ln x－x2单调递增，排除C.选A.

　　　　　　函数图象的应用(高频考点)
函数的图象因其直观而形象地显示了函数的性质而成为高考命题的一个高频考点，常以选择题、填空题的形式出现．高考对函数图象应用问题的考查主要有以下四个命题角度：
(1)利用函数图象研究函数性质；
(2)利用函数图象研究不等式的解；
(3)利用函数图象求参数的取值范围；
(4)利用函数图象确定方程根的个数(见本章第8讲)．
[典例引领]
角度一　利用函数图象研究函数性质
已知函数f(x)＝|x|(x－a)，a>0，
(1)作出函数f(x)的图象；
(2)写出函数f(x)的单调区间；
(3)当x∈[0，1]时，由图象写出f(x)的最小值．
【解】　(1)f(x)＝

其图象如图．
(2)由图知，f(x)的单调递增区间是(－∞，0)，；单调递减区间是.
(3)由图象知，当>1，即a>2时，所求最小值f(x)min＝f(1)＝1－a；
当0<≤1，即0 所求最小值f(x)min＝f＝－.
综上，f(x)min＝
角度二　利用函数图象研究不等式的解
如图，函数f(x)的图象为折线ACB，则不等式f(x)≥log2(x＋1)的解集是(　　)
A．{x|－1＜x≤0}
B．{x|－1≤x≤1}
C．{x|－1＜x≤1}
D．{x|－1＜x≤2}
【解析】　令g(x)＝y＝log2(x＋1)，知g(x)的定义域为(－1，＋∞)，作出函数g(x)的图象如图．
由得
所以结合图象知不等式f(x)≥log2(x＋1)的解集为{x|－1＜x≤1}．

【答案】　C
角度三　利用函数图象求参数的取值范围
(2017·高考山东卷)已知当x∈[0，1]时，函数y＝(mx－1)2 的图象与y＝＋m的图象有且只有一个交点，则正实数m的取值范围是(　　)
A．(0，1]∪[2，＋∞)　　　　　 B．(0，1]∪[3，＋∞)
C．(0，]∪[2，＋∞) D．(0，]∪[3，＋∞)
【解析】　当0＜m≤1时，需满足1＋m≥(m－1)2，解得0≤m≤3，故这时0＜m≤1.当m＞1时，需满足(m－1)2≥1＋m，解得m≥3或m≤0，故这时m≥3.综上可知，正实数m的取值范围为(0，1]∪[3，＋∞)．
【答案】　B

利用函数图象求解问题的策略
(1)对称性信息转化为中点坐标关系，注重形与数的结合．
(2)“渐近线”信息转化为函数的定义域或值域．
(3)方程根的个数转化为两曲线的交点个数，注重数与形的结合．
(4)图象的“最高点”“最低点”信息转化为最值问题．　
[通关练习]
1．下列区间中，函数f(x)＝|lg(2－x)|在其上为增函数的是(　　)
A．(－∞，1]　　　　　　　 B．
C． D．[1，2)
解析：选D.用图象法解决，将y＝lg x的图象关于y轴对称得到y＝lg(－x)的图象，再向右平移两个单位，得到y＝ lg[－(x－2)]的图象，将得到的图象在x轴下方的部分翻折上来，即得到f(x)＝|lg(2－x)|的图象．由图象，在选项中的区间上f(x)是增函数的显然只有D.

2．已知函数f(x)＝的图象与直线y＝x恰有三个公共点，则实数m的取值范围是(　　)
A．(－∞，－1] B．[－1，2)
C．[－1，2] D．[2，＋∞)
解析：选B.由题意可得直线y＝x与函数f(x)＝2(x>m)有且只有一个交点．而直线y＝x与函数f(x)＝x2＋4x＋2的图象至多有两个交点．题目需要三个交点，则需满足直线y＝x与函数f(x)＝x2＋4x＋2的图象有两个交点，画图可知，函数y＝x与f(x)＝x2＋4x＋2的图象交点为A(－2，－2)，B(－1，－1)，故有m≥－1.而当m≥2时，直线y＝x和射线y＝2(x>m)无交点，故实数m的取值范围是[－1，2)．故选B.


有关对称性的常用结论
(1)函数图象自身的轴对称
①f(－x)＝f(x)⇔函数y＝f(x)的图象关于y轴对称．
②函数y＝f(x)的图象关于x＝a对称⇔f(a＋x)＝f(a－x)⇔f(x)＝f(2a－x)⇔f(－x)＝f(2a＋x)．
③若函数y＝f(x)的定义域为R，且有f(a＋x)＝f(b－x)，则函数y＝f(x)的图象关于直线x＝对称．
(2)函数图象自身的中心对称
①f(－x)＝－f(x)⇔函数y＝f(x)的图象关于原点对称．
②函数y＝f(x)的图象关于(a，0)对称⇔f(a＋x)＝－f(a－x)⇔f(x)＝－f(2a－x)⇔f(－x)＝－f(2a＋x)．
③函数y＝f(x)的图象关于点(a，b)成中心对称⇔f(a＋x)＝2b－f(a－x)⇔f(x)＝2b－f(2a－x)．
(3)两个函数图象之间的对称关系
①函数y＝f(a＋x)与y＝f(b－x)的图象关于直线x＝对称；函数y＝f(x)与y＝f(2a－x)的图象关于直线x＝a对称．
②函数y＝f(x)与y＝2b－f(x)的图象关于直线y＝b对称．
③函数y＝f(x)与y＝2b－f(2a－x)的图象关于点(a，b)对称．
易错防范
(1)图象变换是针对自变量x而言的，如从f(－2x)的图象到f(－2x＋1)的图象是向右平移个单位，先作如下变形f(－2x＋1)＝f，可避免出错．
(2)明确一个函数的图象关于y轴对称与两个函数的图象关于y轴对称的不同，前者是自身对称，且为偶函数，后者是两个不同函数的对称关系．　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

1．函数y＝x2－2|x|的图象是(　　)

解析：选B.由y＝x2－2|x|知是偶函数，故图象关于y轴对称，排除C.当x≥0时，y＝x2－2x＝(x－1)2－1.即当x＝0时，y＝0，当x＝1时，y＝－1，排除A、D，故选B.
2．若函数f(x)＝的图象如图所示，则f(－3)等于(　　)

A．－　 B．－
C．－1 D．－2
解析：选C.由图象可得a(－1)＋b＝3，ln(－1＋a)＝0，得a＝2，b＝5，所以f(x)＝，故f(－3)＝2×(－3)＋5＝－1，故选C.
3．已知函数f(x)＝x|x|－2x，则下列结论正确的是(　　)
A．f(x)是偶函数，递增区间是(0，＋∞)
B．f(x)是偶函数，递减区间是(－∞，1)
C．f(x)是奇函数，递减区间是(－1，1)
D．f(x)是奇函数，递增区间是(－∞，0)
解析：选C.将函数f(x)＝x|x|－2x去掉绝对值得f(x)＝画出函数f(x)的图象，如图，观察图象可知，函数f(x)的图象关于原点对称，故函数f(x)为奇函数，且在(－1，1)上单调递减．
4.已知函数y＝f(x)的大致图象如图所示，则函数y＝f(x)的解析式可能为(　　)
A．f(x)＝exln x
B．f(x)＝e－xln|x|
C．f(x)＝exln|x|
D．f(x)＝e|x|ln|x|
解析：选C.如题干图所示，函数定义域中有负数，排除选项A.函数不是偶函数，排除选项D.当x→＋∞时，f(x)增长速度越来越快，与B选项不符合，故排除选项B.当x→－∞时，由f(x)增长速度放缓，也可以排除选项B，D.
5．已知函数y＝f(1－x)的图象如图所示，则y＝f(1＋x)的图象为(　　)


解析：选B.因为y＝f(1－x)的图象过点(1，a)，故f(0)＝a.所以y＝f(1＋x)的图象过点(－1，a)，选B.
6.如图，函数f(x)的图象是曲线OAB，其中点O，A，B的坐标分别为(0，0)，(1，2)，(3，1)，则f的值等于________．
解析：由图象知f(3)＝1，所以＝1.所以f＝f(1)＝2.
答案：2
7．若函数f(x)＝的图象关于点(1，1)对称，则实数a＝________．
解析：函数f(x)＝＝a＋，当a＝2时，
f(x)＝2(x≠1)，函数f(x)的图象不关于点(1，1)对称，故a≠2，其图象的对称中心为(1，a)，所以a＝1.
答案：1
8．设函数f(x)＝|x＋a|，g(x)＝x－1，对于任意的x∈R，不等式f(x)≥g(x)恒成立，则实数a的取值范围是________．
解析：如图，作出函数f(x)＝|x＋a|与g(x)＝x－1的图象，观察图象可知：当且仅当－a≤1，即a≥－1时，不等式f(x)≥g(x)恒成立，因此a的取值范围是[－1，＋∞)．
答案：[－1，＋∞)
9．已知函数f(x)＝.
(1)画出f(x)的草图；
(2)指出f(x)的单调区间．
解：(1)f(x)＝＝1－，函数f(x)的图象是由反比例函数y＝－的图象向左平移1个单位后，再向上平移1个单位得到的，图象如图所示．
(2)由图象可以看出，函数f(x)有两个单调增区间：
(－∞，－1)，(－1，＋∞)．
10．已知函数f(x)＝x|m－x|(x∈R)，且f(4)＝0.
(1)求实数m的值；
(2)作出函数f(x)的图象；
(3)若方程f(x)＝a只有一个实数根，求a的取值范围．
解：(1)因为f(4)＝0，所以4|m－4|＝0，即m＝4.
(2)f(x)＝x|x－4|＝

f(x)的图象如图所示．
(3)从f(x)的图象可知，当a>4或a<0时，f(x)的图象与直线y＝a只有一个交点，方程f(x)＝a只有一个实数根，即a的取值范围是(－∞，0)∪(4，＋∞)．

1．已知函数f(x)＝则对任意x1，x2∈R，若0<|x1|<|x2|，下列不等式成立的是(　　)
A．f(x1)＋f(x2)<0 B．f(x1)＋f(x2)>0
C．f(x1)－f(x2)>0 D．f(x1)－f(x2)<0
解析：选D.函数f(x)的图象如图所示：
且f(－x)＝f(x)，从而函数f(x)是偶函数，且在[0，＋∞)上是增函数．
又0<|x1|<|x2|，
所以f(x2)>f(x1)，
即f(x1)－f(x2)<0.
2．已知函数f(x)＝x2＋ex－(x<0)与g(x)＝x2＋ln(x＋a)的图象上存在关于y轴对称的点，则a的取值范围是(　　)
A. B．(－∞，)
C. D.
解析：选B.由题意知，设x0∈(－∞，0)，使得f(x0)＝g(－x0)，　
即x＋ex0－＝(－x0)2＋ln(－x0＋a)，
所以ex0－ln(－x0＋a)－＝0.
令y1＝ex－，y2＝ln(－x＋a)，要使得函数图象的交点A在y轴左侧，如图，则ln a<＝ln e，所以a 3．(2018·辽宁沈阳模拟)已知函数f(x)＝ln(x＋m)的图象与g(x)的图象关于x＋y＝0对称，且g(0)＋g(－ln 2)＝1，则m＝________．
解析：设点(x，y)在g(x)的图象上，因为函数f(x)的图象与g(x)的图象关于x＋y＝0对称，则(－y，－x)在f(x)的图象上，所以－x＝ln(－y＋m)，即y＝m－e－x，因此g(x)＝m－e－x.又因为g(0)＝m－1，g(－ln 2)＝m－2，所以m－1＋m－2＝1，解得m＝2.
答案：2
4．设函数f(x)＝|x＋1|＋|x－a|的图象关于直线x＝1对称，则实数a的值为________．
解析：法一：因为f(2－x)＝|3－x|＋|2－x－a|＝|x＋a－2|＋|x－3|.又函数y＝f(x)关于直线x＝1对称．
故f(x)＝f(2－x)，
即|x＋1|＋|x－a|＝|x＋a－2|＋|x－3|对x∈R恒成立，则即a＝3.
法二：由绝对值的几何意义知函数图象的两个“转折”点的横坐标分别为－1和a，x＝－1，x＝a关于x＝1对称，故a－1＝2，则a＝3.
答案：3
5．已知函数f(x)的图象与函数h(x)＝x＋＋2的图象关于点A(0，1)对称．
(1)求f(x)的解析式；
(2)若g(x)＝f(x)＋，且g(x)在区间(0，2]上为减函数，求实数a的取值范围．
解：(1)设f(x)图象上任一点P(x，y)，则点P关于(0，1)点的对称点P′(－x，2－y)在h(x)的图象上，即2－y＝－x－＋2，
即y＝f(x)＝x＋(x≠0)．
(2)g(x)＝f(x)＋＝x＋，
g′(x)＝1－.
因为g(x)在(0，2]上为减函数，所以1－≤0在(0，2]上恒成立，
即a＋1≥x2在(0，2]上恒成立，
所以a＋1≥4，即a≥3，
故实数a的取值范围是[3，＋∞)．
6．已知函数f(x)＝2x，x∈R.
(1)当m取何值时，方程|f(x)－2|＝m有一个解？两个解？
(2)若不等式[f(x)]2＋f(x)－m>0在R上恒成立，求m的取值范围．
解：(1)令F(x)＝|f(x)－2|＝|2x－2|，G(x)＝m，画出F(x)的图象如图所示，
由图象看出，当m＝0或m≥2时，函数F(x)与G(x)的图象只有一个交点，原方程有一个解；
当0 (2)令f(x)＝t(t>0)，H(t)＝t2＋t，
因为H(t)＝－在区间(0，＋∞)上是增函数，
所以H(t)>H(0)＝0.
因此要使t2＋t>m在区间(0，＋∞)上恒成立，
应有m≤0，
即所求m的取值范围为(－∞，0]．