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    2019版高考数学(理)一轮精选教师用书人教通用:第7章5阅读与欣赏(六)

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    2019版高考数学(理)一轮精选教师用书人教通用:第7章5阅读与欣赏(六)

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               应用基本不等式的八种变形技巧基本不等式的一个主要功能就是求两个正变量和与积的最值即所和定积最大积定和最小但有的题目需要利用基本不等式的变形式求最值有的需要对待求式作适当变形后才可求最值常见的变形技巧有以下几种: 加上一个数或减去一个数使和或积为定值 函数f(x)x(x<3)的最大值是(  )A4   B1C5 D1解析 因为x<3所以3x>0所以f(x)=-323=-1.当且仅当3xx1时等号成立所以f(x)的最大值是-1.答案 D 平方后再使用基本不等式一般地含有根式的最值问题首先考虑平方后求最值 x>0y>02x28x的最大值[思路点拨] 由于已知条件式中有关xy的式子均为平方式而所求式中x是一次的且根号下y是二次的因此考虑平方后求其最值 (x)2x2(62y2)3·2x23·3×.当且仅当2x21xy等号成立x的最大值为. 展开后求最值对于求多项式积的形式的最值可以考虑展开后求其最值 已知a>0b>0ab2的最小值[思路点拨] 由于待求式是一个积的形式因此需将多项式展开后将积的最小值转化为和的最小值 由题得111因为a>0b>0ab2所以22所以ab1所以1.所以4(当且仅当ab1时取等号)所以的最小值是4. 变形后使用基本不等式 a>1b>1ab(ab)1那么(  )Aab有最小值2(1)  Bab有最大值(1)2Cab有最大值1  Dab有最小值2(1)解析 因为ab(ab)1ab()2所以(ab)1它是关于ab的一元二次不等式解得ab2(1)ab2(1)(舍去)所以ab有最小值2(1)又因为ab(ab)1ab2所以ab21它是关于的一元二次不等式解得11(舍去)所以ab32ab有最小值32.答案 A 形如型函数变形后使用基本不等式yf(x)的次数小于g(x)的次数可取倒数后求其最值 求函数y(x1)的值域[思路点拨] (x5)(x2)(x1)来表示再变形为f(x)AxC的形式然后运用基本不等式求解 因为yx15x1>0x>1y259(当且仅当x1时取等号)x1<0x<1y521(当且仅当x=-3时取等号)所以函数的值域为(1][9) 1的代换法求最值 已知1x>0y>0xy的最小值 法一:因为x>0y>0所以xy(xy)·1(xy)·33232.当且仅当1x1y2上式等号成立xy的最小值是32.法二:因为1所以x.因为x>0y>0所以y2>0.所以xyyy2332.求以形如或可化为1型为条件的cxdy(abcd都不为0)的最值可利用1的代换求乘法本题中的条件1也可化为2xyxy0.  ab为常数0<x<1f(x)的最小值[思路点拨] 根据待求式的特征及0<x<1x>01x>0.1x(1x)因此可考虑利用1的代换法 因为0<x<1所以1x>0.所以·1·1·[x(1x)]·[x(1x)]a2b2a2b22ab(ab)2.上式当且仅当等号成立所以(ab)2.故函数f(x)的最小值为(ab)2. 若实数ab满足ab4ab10(a>1)(a1)·(b2)的最小值是__________[思路点拨] 由于所给条件式中含两个变量ab因此可以用一个变量表示另一个变量将待求式转化为含一个变量的式子后求其最值解析 因为ab4ab10所以b4.又因为a>1所以b>0.所以(a1)(b2)ab2ab26a96(a1)15.因为a1>0所以6(a1)1521527.当且仅当6(a1)(a>1)a2时取等号答案 27已知条件含形如axbxycyd0(abc0)型的关系式求关于xy一次式的和或积的最值问题常将关系式中axbxycyd0变形用一个变量x(y)表示另一个变量y(x)后求解   代换减元求最值 设正实数xyz满足x23xy4y2z0则当取得最小值时x2yz的最大值为__________解析 x23xy4y2z0zx23xy4y2所以3231.等号成立条件为x2y代入到可得z(2y)23·2y·y4y22y2所以x2yz2y2所以x2yz2y2y2y2=-2(y22y)=-2(y1)222.答案 2在含有两个以上变元的最值问题中通过代换的方法减少变元问题化为两个变元的问题使用基本不等式或者把问题化为一个变元的问题使用函数方法求解   建立求解目标不等式求最值 已知xy均为正实数xyxy3xy的最小值为__________解析 因为xy均为正实数所以xy2xyxy3可化为xy23(3)(1)0所以3xy9当且仅当xyxy取得最小值9.答案 9利用基本不等式与已知条件建立求解目标的不等式求出不等式的解集即得求解目标的最值 

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