2021版高考数学导与练一轮复习（浙江版）知识梳理：第二章第六节　函数的图象(二)

第六节　函数的图象(二)

变换作图

3.周期变换:∀x∈A,都有f(x+T)=f(x).

1.与图象变换相关的结论

(1)y=f(x)的图象变换到y=f(ax+b)的方法有两种:一是先伸缩后平移,其步骤为

y=f(x)y=f(ax)

y=f(ax+b).

二是先平移后伸缩,其步骤为

y=f(x)y=f(x+b)

y=f(ax+b).

(2)进行图象变换时,要合理选择变换的顺序,并进行适当的转化变形,无论哪种顺序,要遵循“只能对函数关系式中的x,y变换”的原则.

2.与图象应用相关联的知识

用图象法讨论方程(特别是含参数的方程)的解的个数是一种行之有效的方法,首先要把方程两边的代数式看作是两个函数的表达式(有时可能先适当调整,以便于作图),然后作出两个函数的图象,由图求解.

1.小明骑车上学,开始时匀速行驶,途中因交通堵塞停留了一段时间后,为了赶时间加快速度行驶.与以上事件吻合得最好的图象是(　C　)

解析:距学校的距离应逐渐减小,由于小明先是匀速运动,故前段是直线段,途中停留时距离不变,后段加速,直线段比前段下降的快,故选C.

2.(2019·新高考研究联盟)已知某函数图象如图所示,则此函数的解析式可能是(　A　)

(A)f(x)=·sin x 

(B)f(x)=·sin x

(C)f(x)=·cos x 

(D)f(x)=·cos x

解析:由图象可知,该函数是偶函数,因为选项A,B的函数是偶函数,选项C,D是奇函数,故排除C,D.选项A,B中,因为f(π)=0,取x=,则×>0,

所以可以排除选项B.故选A.

3.已知函数f(x)=loga(2x+b-1)的部分图象如图所示,则a,b所满足的关系为(　B　)

(A)0<b-1<a<1

(B)0<a-1<b<1

(C)0<b<a-1<1

(D)0<a-1<b-1<1

解析:由函数f(x)单调递增得a>1,又f(0)=logab∈(-1,0),所以0<a-1<b<1,故选B.

4. 若函数f(x)=的图象如图所示,则m的范围为(　C　)

(A)(-∞,-1)

(B)(-1,2) 

(C)(1,2) 

(D)(0,2)

解析:由于函数f(x)=,

根据奇偶函数的性质可知,该函数是奇函数,

又f(1)>0,>0,所以-1<m<2.

又当x>0时,f(x)=,

由2-m>0,0<x<时是增函数,x>时是减函数,

所以>1,得到m>1,故可知参数m的范围是(1,2),选C.

5.若函数f(x)=(a,b,c∈R)的部分图象如图所示,则b=　　　　. 

解析:由图象可知ax2+bx+c=0的两个根为1和3,由根与系数的关系可得-=4,=3,则b=-4a,c=3a,函数f(x)= 满足f(2)=-1,

所以a=1,b=-4.

答案:-4

考点一　函数图象的画法

[例1] 作出下列函数的图象:

(1)y=|x-2|(x+1);

(2)y=|log2(x+1)|;

(3)y=a|x|(0<a<1).

解:(1)当x≥2,即x-2≥0时,

y=(x-2)(x+1)=x2-x-2=(x-)2-;

当x<2,即x-2<0时,

y=-(x-2)(x+1)

=-x2+x+2

=-(x-)2+.

所以y=

这是分段函数,每段的图象可根据二次函数图象作出(如图(1)).

(2)将函数y=log2x的图象向左平移一个单位,再将x轴下方的部分沿x轴翻折上去,即可得到函数y=|log2(x+1)|的图象,如图(2)所示.

(3)因为y=(0<a<1),

所以只需作出0<a<1时函数y=ax(x≥0)和y=(x<0)的图象,合起来即得函数y=a|x|(0<a<1)的图象.如图(3)所示.

(1)①熟练掌握几种基本函数的图象;②必要时需对所给函数先进行变形化简(一定注意定义域).

(2)若函数图象可由某个基本函数的图象经过平移、翻折、对称和伸缩得到,可利用图象变换作出,但要注意变换顺序.

(3)特别注意平移变换与伸缩变换的顺序对变换单位及解析式的影响.

1.(2019·浙江卷)在同一直角坐标系中,函数y=,y=loga(x+)(a>0,且a≠1)的图象可能是(　D　)

解析:当0<a<1时,函数y=ax的图象过定点(0,1),在R上单调递减,

于是函数y=的图象过定点(0,1),在R上单调递增,

函数y=loga(x+)的图象过定点(,0),在(-,+∞)上单调递减.因此,选项D符合.

当a>1时,函数y=ax的图象过定点(0,1),在R上单调递增,

于是函数y=的图象过定点(0,1),在R上单调递减,函数y=loga(x+)的图象过定点(,0),在(-,+∞)上单调递增.

显然A,B,C三个选项都不符合.故选D.

2.函数f(x)=则y=f(x+1)的图象大致是(　B　)

解析:

作出f(x)=的大致图象,如图所示,

再把f(x)的图象向左平移一个单位,可得到y=f(x+1)的图象,故选B.

考点二　函数图象的识别

[例2] 函数f(x)=()x-x2的大致图象是(　　)

解析:特殊值法:f(0)=()0-02=1>0,所以排除B,

f(-4)=()-4-(-4)2=0,排除A,

f(-10)=()-10-(-10)2>0,排除C.

故选D.

知图选式或选性质的策略

①从图象的左右、上下分布,观察函数的定义域、值域.

②从图象的变化趋势,观察函数的单调性.

③从图象的对称性方面,观察函数的奇偶性.

④从图象的循环往复,观察函数的周期性.

利用上述方法,排除、筛选错误与正确的选项.

1.函数y=f(x)的图象如图所示,则函数y=f(x)的图象大致是(　C　)

解析:由函数y=f(x)的图象知,当x∈(0,2)时,f(x)≥1,所以f(x)≤0.

又函数f(x)在(0,1)上是减函数,在(1,2)上是增函数,所以y=f(x)在(0,1)上是增函数,在(1,2)上是减函数,结合各选项知,选C.

2.函数y=xsin x(x∈[-π,π])的图象可能是(　C　)

解析:通过判断奇偶性知函数f(x)=xsin x为偶函数,故排除B,D,当x∈(0,π)时,x>0,sin x>0,xsin x>0,排除A,故选C.

考点三　函数图象的应用

[例3] [x]表示不超过x的最大整数,定义函数f(x)=x-[x],则下列结论中正确的有　　　　. 

①函数f(x)的值域为[0,1]

②方程f(x)=有无数个解

③函数f(x)的图象是一条直线

④函数f(x)在区间[k,k+1)(k∈Z)上是增函数

解析:因为f(x)=x-[x],所以f(x)的图象如图所示.

所以由图可知,①错误,值域应为[0,1);

②方程f(x)=有无数个解,正确;

③错误;

④函数f(x)在区间[k,k+1)(k∈Z)上是增函数,正确.

答案:②④

函数图象应用的常见题型与求解策略

(1)研究函数性质:①根据已知或作出的函数图象,从最高点、最低点,分析函数的最值、极值.②从图象的对称性,分析函数的奇偶性.③从图象的走向趋势,分析函数的单调性、周期性.④从图象与x轴的交点情况,分析函数的零点等.

(2)研究方程根的个数或由方程根的个数确定参数的值(范围):构造函数,转化为两函数图象的交点个数问题,在同一坐标系中分别作出两函数的图象,数形结合求解.

(3)研究不等式的解:当不等式问题不能用代数法求解,但其对应函数的图象可作出时,常将不等式问题转化为两函数图象的上、下关系问题,从而利用数形结合求解.

提醒:利用函数的图象解决以上问题时的总原则是数形结合,因此作出的函数图象一定要准确.

1.已知e为自然对数的底数,设函数f(x)=(ex-1)(x-1)k(k=1,2),则(　C　)

(A)当k=1时,f(x)在x=1处取到极小值

(B)当k=1时,f(x)在x=1处取到极大值

(C)当k=2时,f(x)在x=1处取到极小值

(D)当k=2时,f(x)在x=1处取到极大值

解析:当k=1时,f(x)=(ex-1)(x-1),

则f′(x)=ex(x-1)+(ex-1)=xex-1.

因为f′(1)=e-1≠0,所以f(x)在x=1处取不到极值;

当k=2时,f(x)=(ex-1)(x-1)2,

则f′(x)=ex(x-1)2+2(ex-1)(x-1)

=(x-1)(xex+ex-2),

所以f′(1)=0,且当x>1时,f′(x)>0,f(x)单调递增,

当x0<x<1时(∃0<x0<1,使x0+-2=0),

f′(x)<0,f(x)单调递减,

所以f(x)在x=1处取得极小值.故选C.

2.(2019·杭州市高三三校联考)已知函数f(x)= 若函数y=f(x)-log2(a-x)恰有两个零点,则实数a的取值范围为　　　　　　　. 

解析:

函数y=f(x)-log2(a-x)恰有两个零点等价于函数 f(x)与g(x)=log2(a-x)的图象恰有两个交点,在平面直角坐标系内画出函数f(x)的图象如图所示,

当g(x)=log2(a-x)的图象过点(-2,0)时,a=-1,g(x)与f(x)只有一个交点;

当g(x)=log2(a-x)的图象过点(0,0)时,a=1,g(x)与 f(x) 只有一个交点;

当g(x)=log2(a-x)的图象过点(2,0)时,a=3,g(x)与 f(x) 有两个交点;

当g(x)=log2(a-x)的图象过点(2,1)时,a=4,且此时 g(x) 的图象也过点(0,2),g(x)在(2,4)上与f(x)有一个交点,共3个交点;

当g(x)=log2(a-x)的图象过点(4,)时,a=4+,此时f(x)与g(x)有一个交点;当a>4+时,f(x)与g(x)无交点.

综上,当a<-1或a>4+时,函数g(x)与f(x)的图象无交点;当-1≤a≤1或4<a≤4+时,函数g(x)与f(x)的图象有一个交点;当1<a≤3时,函数g(x)与f(x)的图象有两个交点;当3<a≤4时,函数g(x)与f(x)的图象有三个交点,所以1<a≤3.

答案:(1,3]

考点四　易错辨析

[例4] 已知函数f(x)=若|f(x)|≥ax,则a的取值范围是(　　)

(A)(-∞,0] (B)(-∞,1]

(C)[-2,1] (D)[-2,0]

解析:

作出y=|f(x)|的大致图象如图所示.

当a>0时,y=ax与y=|f(x)|恒有公共点,所以排除B,C;

当a≤0时,若x>0,则|f(x)|≥ax恒成立,

若x≤0,则以y=ax与y=|-x2+2x|=x2-2x相切为界限,

此时a=f′(0)=-2,

所以a的取值范围是[-2,0].故选D.

(1)搞不清不等式与两函数图象的对应关系,无法求解.

(2)当a≤0时,不会确定其上边界,导致无法求解,直线与二次函数曲线的关系常以切线为其上、下边界.

(2019·浙江卷)已知a∈R,函数f(x)=ax3-x.若存在t∈R,使得|f(t+2)-f(t)|≤,则实数a的最大值是　　　　. 

解析:由题意,得f(t+2)-f(t)

=a(t+2)3-(t+2)-(at3-t)

=a[(t+2)3-t3]-2

=a(t+2-t)[(t+2)2+(t+2)·t+t2]-2

=2a(3t2+6t+4)-2

=2a[3(t+1)2+1]-2.

由|f(t+2)-f(t)|≤,得|2a[3(t+1)2+1]-2|≤,

即-≤2a[3(t+1)2+1]-2≤,

≤a[3(t+1)2+1]≤,

所以·≤a≤·.

设g(t)=·,则当t=-1时,g(t)max=.

所以当t=-1时,a取得最大值,满足题意.

答案:

类型一　函数图象的画法

1.已知函数f(x)=2x-2,则函数y=|f(x)|的图象可能是(　C　)

解析:作出f(x)=2x-2的图象,再将x轴下方的图象沿x轴向上翻折即可得函数y=|f(x)|的图象.

2.已知函数f(x)=|x+1|-|x|,则f(x)(　D　)

(A)是奇函数

(B)有最小值1

(C)图象关于直线x=-对称

(D)在[-1,0]上是增函数

解析:

当x≤-1时,f(x)=-x-1+x=-1;

当-1<x≤0时,f(x)=x+1+x=2x+1;

当x>0时,f(x)=x+1-x=1.

作出其函数图象如图所示,由图象可知只有D正确,

故选D.

类型二　函数图象的识别

3.(2019·嘉兴市期末测试)函数f(x)=(x+1)ln|x-1|的大致图象是(　B　)

解析:当x→+∞时,f(x)→+∞,排除A,C,f(-5)=-4ln 6<0,排除D.故选B.

4.若当x∈R时,函数f(x)=a|x|始终满足0<f(x)≤1,则函数y=loga的图象大致为(　B　)

解析:因为f(x)=a|x|,0<f(x)≤1,所以0<a|x|≤1,

因为对所有的x∈R恒成立,所以0<a<1,

对函数y=loga,当x>0时,y=loga为增函数,又函数y=loga为偶函数,故选B.

5.(2018·金华十校高三上期末)函数y=的图象大致是(　D　)

解析:该函数为偶函数,故排除B,

当x>0时,y===xln x,y′=1+ln x,

当x∈(0,)时,y′<0,函数递减,x∈(,+∞)时,y′>0,函数递增,故选D.

6.(2019·绍兴适应性考试)函数y=(x3-x)ln|x|的图象是(　C　)

解析:设f(x)=(x3-x)ln|x|,易得函数f(x)的定义域为(-∞,0)∪(0,+∞),且f(-x)=[(-x)3-(-x)]ln|-x|=-(x3-x)ln|x|=-f(x),所以函数f(x)为奇函数,函数图象关于原点中心对称,所以排除B选项;当0<x<1时,f(x)=(x3-x)ln x,

因为x3-x<0,ln x<0,

所以f(x)=(x3-x)ln x>0,所以排除A选项;

当x>1时,f(x)=(x3-x)ln x,

因为x3-x>0,ln x>0,所以f(x)=(x3-x)ln x>0,

所以排除D选项.故选C.

7.定义在R上的函数f(x)=若关于x的方程f(x)=c(c为常数)恰有三个不同的实数根x1,x2,x3,则 x1+x2+x3=　　　　. 

解析:函数f(x)的大致图象如图所示,

由图象知c=1,又f(0)=1,从而x1+x2+x3=0.

答案:0

类型三　函数图象的应用

8.(2019·杭二中高考仿真)函数f(x)=x3-|ax2-b|-1在(0,2)上有2个零点,则的取值范围是　. 

解析:根据题意得x3-|ax2-b|-1=0在x∈(0,2)时有2个根,即x3-1=|ax2-b|在x∈(0,2)时有2个根,即y=x3-1与y=|ax2-b|的图象在(0,2)上有2个交点,由图象的性质易得ax2-b=0的正根在[1,2)上,所以1≤<4,故的取值范围是[1,4).

答案:[1,4)

9.已知函数y=f(x)和y=g(x)在[-2,2]上的图象如图所示,

给出下列4个命题,正确的是　　　　. 

①f[g(x)]=0有且仅有6个根;

②g[f(x)]=0有且仅有3个根;

③f[f(x)]=0有且仅有5个根;

④g[g(x)]=0有且仅有4个根.

解析:f(t)=0三根t1,t2,t3满足-2<t1<-1,t2=0,1<t3<2,g(x)=ti(i=1,2,3)分别有2个根,所以f[g(x)]=0有且仅有6个根,故①对;f(x)=t1有1根,f(x)=t2有3个根,f(x)=t3有1个根,所以f[f(x)]=0有且仅有5个根,故③对;g(s)=0两根s1,s2满足-2<s1<-1,0<s2<1,f(x)=s1有1根,f(x)=s2有3个根,所以g[f(x)]=0有且仅有4个根,故②错;g(x)=s1有2根,g(x)=s2有2个根,所以g[g(x)]=0有且仅有4个根,故④对.

答案:①③④