2021版高考数学导与练一轮复习（浙江版）知识梳理：第二章第五节　函数的图象(一)

第五节　函数的图象(一)

函数图象的作法

1.公式理解

(1)平移变换与对称变换的对象是变量x或y,与其系数、次数等均无关,即图象变换的根本是点的变换.

(2)平移变换的法则为“左加右减,上加下减”.

2.与对称变换相关的结论

(1)一个函数的图象关于原点对称与两个函数的图象关于原点对称不同,前者是自身对称,且为奇函数,后者是两个不同的函数图象对称.

(2)一个函数的图象关于y轴对称与两个函数的图象关于y轴对称也不同,前者是自身对称,且为偶函数,后者是两个不同函数图象的对称关系.

(3)一个函数图象的对称性

①若y=f(x)满足f(a+x)=f(b-x),则f(x)的图象关于直线x=对称;当a=b=0时,f(x)的图象关于x=0(即y轴)对称,这时函数y=f(x)是偶函数.

②若y=f(x)满足f(x)=2b-f(2a-x),则f(x)的图象关于点(a,b)成中心对称,当a=b=0时,f(x)的图象关于原点(0,0)对称,这时函数y=f(x)是奇函数.

(4)两个函数图象的对称性

①函数y=f(a+x)与y=f(b-x)的图象的对称轴为 x=;

②函数y=f(x-a)+b与y=-f(a-x)+b的图象关于点(a,b)对称.

1.(2018·嘉兴一中高三上学期期中)下列函数中,其图象既是轴对称图形又在区间(0,+∞)上单调递增的是(　D　)

(A)y= (B)y=-x2+1

(C)y=2x (D)y=lg|x+1|

解析:对于A,函数y=的图象关于原点对称且在(0,+∞)上单调递减;对于B,函数y=-x2+1的图象关于y轴对称且在(0,+∞)上单调递减;对于C,函数y=2x无对称性;对于D,函数y=lg|x+1|的图象关于x=-1对称且在(-1,+∞)上单调递增.故选D.

2.(2019·绍兴柯桥质量调研测试)函数y=cos 2x的图象可能是(　C　)

解析:函数f(x)=cos 2x 的定义域为(-∞,0)∪(0,+∞),且对定义域内的任意x,都有f(-x)=cos(-2x)=cos 2x=f(x),则函数为偶函数,函数图象关于y轴对称,排除A,B;又f(π)=cos 2π=>0,排除D.故选C.

3.已知函数y=f(x)与y=g(x)的图象如图所示,则函数y=f(x)·g(x)的图象可能是(　A　)

解析:由f(x)与g(x)的图象可知,f(x)·g(x)的定义域中没有0,故排除C,D;又f(x)为偶函数,g(x)为奇函数,所以f(x)·g(x)为奇函数,故选A.

4.为了得到函数f(x)=log2x的图象,只需将函数g(x)=log2的图象向　　　　平移　　　　个单位. 

解析:g(x)=log2=log2x-3=f(x)-3,

因此只需将函数g(x)的图象向上平移3个单位即可得到函数f(x)=log2x的图象.

答案:上　3

5.对a,b∈R,记max{a,b}=函数f(x)=max{|x+1|,|x-2|}(x∈R)的最小值是　　　　. 

解析:如图,当x+1=2-x,即x=时,f(x)取到最小值为.

答案:

考点一　函数图象的画法

[例1] 用初等变换法作出下列函数的大致图象.

(1)y=2x+2;(2)y=;(3)y=.

解:(1)将y=2x 的图象向左平移2个单位,图象如图①.

(2)y==1+,先作出y=的图象,将其向右平移1个单位,再向上平移1个单位,即得y=的图象,如图②.

(3)y==1-,先作出y=的图象,再作出其关于x轴对称的图象,即得y=-的图象;然后向左平移3个单位长度,得到y=-的图象;最后向上平移1个单位长度得到y=的图象,如图③.

画函数图象的一般方法

(1)直接法.当函数表达式(或变形后的表达式)是熟悉的基本初等函数时,就可根据这些函数的特征直接作出.

(2)图象变换法.若函数图象可由某个基本初等函数的图象经过平移、翻折、对称得到,可利用图象变换作出,但要注意变换顺序.对不能直接找到熟悉的基本初等函数的要先变形,并应注意平移变换与伸缩变换的顺序对变换单位及解析式的影响.

提醒:可先化简函数解析式,再利用图象的变换作图.

考点二　函数图象的识别

[例2] (1)函数y=2|x|sin 2x的图象可能是(　　)

(2)在同一个坐标系中画出函数y=ax,y=sin ax的部分图象,其中a>0且a≠1,则下列所给图象中正确的是(　　)

解析:(1)令f(x)=2|x|sin 2x,

因为x∈R,f(-x)=2|-x|sin 2(-x)=-f(x),

所以f(x)=2|x|sin 2x为奇函数,故排除A,B,

又因为当x∈(,π)时,f(x)<0,

所以排除C,故选D.

(2)当a>1时,函数y=sin ax的最小正周期T=<2π,故选项A,C错误;

当0<a<1时,函数y=sin ax的最小正周期T=>2π,故选项B错误,选项D正确.因此选D.

知式选图的策略

(1)从函数的定义域,判断图象的左右位置;从函数的值域,判断图象的上下位置;

(2)从函数的单调性(有时可借助导数判断),判断图象的变化趋势;

(3)从函数的奇偶性,判断图象的对称性;

(4)从函数的周期性,判断图象的循环往复;

(5)从函数的特殊点(与坐标轴的交点、经过的定点、极值点等),排除不合要求的图象.

提醒:注意联系基本初等函数的图象,当选项无法排除时,代入特殊值,或从某些量上寻找突破口.

1.已知函数f(x)=ax3+x2+x+1(a∈R),下列选项中不可能是函数f(x)图象的是(　D　)

解析:f(x)=ax3+x2+x+1,f′(x)=ax2+x+1.

当a=0时,f′(x)=x+1,易得f(x)在(-∞,-1)上为减函数,在(-1,+∞)上为增函数,故A可能;

当a≥时,Δ≤0,f′(x)≥0,f(x)为增函数,故B可能;

当a<0时,Δ>0,f′(x)有两个不相等且互为异号的实数根,f(x)先递减再递增后递减,故C可能;

当0<a<时,Δ>0,f′(x)有两个不相等的负数根,f(x)先递增再递减后递增,故D错误.

故选D.

2.(2019·绍兴一中高考适应性考试)函数f(x)=x2+xsin x 的图象大致为(　A　)

解析:函数f(x)=x2+xsin x的定义域为R,且f(-x)=(-x)2+(-x)sin(-x)=x2+xsin x=f(x),即函数f(x)为偶函数.当x>0时,x+sin x>0,故f′(x)=x(1+cos x)+(x+sin x)>0,即f(x)在(0,+∞)上单调递增,故选A.

考点三　函数图象的应用

[例3] (1)(2019·浙江省三校联考)已知关于x的方程 ex|x-t|-1=0有三个不同的实数根,则实数t的取值范围是(　　)

(A)[1,+∞) (B)(1,+∞)

(C)[2,+∞) (D)(2,+∞)

(2)(2018·绍兴高三第二次教学质量检测)设函数 f(x)=min{|x-2|,x2,|x+2|},其中min{x,y,z}表示x,y,z中的最小者.下列说法错误的是(　　)

(A)函数f(x)为偶函数

(B)若x∈[1,+∞)时,有f(x-2)≤f(x)

(C)若x∈R,f(f(x))≤f(x)

(D)若x∈[-4,4]时,|f(x)-2|≥f(x)

解析:(1)关于x的方程 ex|x-t|-1=0有三个不同的实数根等价于函数f(x)=|x-t|与函数g(x)=的图象有三个不同的交点,在平面直角坐标系内画出两函数的大致图象如图所示,由图易得当x>t时,直线y=x-t与函数 g(x)=的图象有一个交点,要使两函数图象有三个不同的交点,则直线y=t-x与曲线g(x)=的图象有两个不同的交点,当直线y=t-x与曲线g(x)=相切时,易得t=1,由图易得要使两函数图象有三个不同的交点,则t>1,故选B.

(2)f(x)=min{|x-2|,x2,|x+2|}=

如图所示,图象关于y轴对称,所以f(x)是偶函数,故A正确;当x≥1时,f(x)=|x-2|,f(x-2)的图象可看作 f(x) 的图象向右平移2个单位得到,显然当x>1时f(x)的图象在f(x-2)图象之上,故B正确;由图象知0≤f(x)≤x,所以f(f(x))≤f(x),故C正确;在D选项中可取特殊值x=-4,f(-4)=2,f(-4)-2=0,显然f(-4)>|f(-4)-2|,所以D不正确,故选D.

(1)研究函数性质时一般要借助于函数图象,体现了数形结合思想;

(2)有些不等式问题常转化为两个函数图象的上、下关系来解决;

(3)方程解的问题常转化为两个熟悉的函数图象的交点个数问题来解决.

1.已知f(x)=a|x-2|,若f(x)<x恒成立,则a的取值范围为(　A　)

(A)(-∞,-1] (B)(-2,0) 

(C)(0,2) (D)[1,+∞)

解析:依题意,f(x)=易知当a≥0时,

f(x)<x不恒成立,故a<0.

在同一直角坐标系中作出y=f(x)与y=x的图象如图所示,观察可知f(x)<x⇔-a≥1,

即a≤-1,故选A.

2.函数f(x)是定义在[-4,4]上的偶函数,其在[0,4]上的图象如图所示,那么不等式<0的解集为　　　　. 

解析:在(0,)上y=cos x>0,

在(,4)上y=cos x<0.

由f(x)的图象知在(1,)上<0.

因为f(x)为偶函数,y=cos x也是偶函数,

所以y=为偶函数,

所以<0的解集为(-,-1)∪(1,).

答案:(-,-1)∪(1,)

考点四　易错辨析

[例4] 函数y=f(x)的图象如图所示,在区间[a,b]上可找到n(n≥2)个不同的数x1,x2,…,xn,使得==…=,则n的取值范围是(　　)

(A){3,4} (B){2,3,4}

(C){3,4,5} (D){2,3}

思路点拨:利用的几何意义,将所求转化为直线与曲线的交点个数问题,并利用数形结合思想求解.

解析:由题意知函数y=f(x)图象上的任一点坐标为 (x,f(x)),故表示曲线上任一点与坐标原点连线的斜率.若==…=,则曲线上存在n个点与原点连线的斜率相等,即过原点的直线与曲线y=f(x)有n个交点.借助图形可知,n的取值可为2,3,4.故选B.

解决本题的易错点有两处:(1)不能将转化为点(x,f(x))与坐标原点连线的斜率;(2)不能将==…=转化为过原点的直线与曲线 y=f(x)有n个交点.以上两处错误均由不能正确提取题干信息而致.

(2019·绍兴一中高考适应性考试)函数f(x)=ex-e1-x-b|2x-1|在(0,1)内有两个零点,则实数b的取值范围是　　　　　. 

解析:记g(x)=ex-e1-x,

由g(x)=-g(1-x)得函数g(x)图象关于点(,0)对称,又y=b|2x-1|的图象关于直线x=对称,且顶点为点(,0),所以f(x)=ex-e1-x-b|2x-1|在(0,1)内有两个零点,即y=b|2x-1|,g(x)=ex-e1-x的图象在区间(0,1)内有两个交点,

因为函数g(x)为增函数,则b=0时,y=b|2x-1|与g(x)=ex-e1-x的图象只有一个交点,不符合题意;当b<0时,函数g(x)在点(,0)处的切线斜率k=2,由y=b|2x-1|,g(x)=ex-e1-x在区间(0,)内有一个交点,得

即1-e<b<-;

当b>0时,由图象的对称性知<b<e-1.

综上所述,实数b的取值范围是(1-e,-)∪(,e-1).

答案:(1-e,-)∪(,e-1)

类型一　函数图象的画法

1.函数y=5x与函数y=-的图象关于(　C　)

(A)x轴对称 (B)y轴对称

(C)原点对称 (D)直线y=x对称

解析:y=-=-5-x,可将函数y=5x中的x,y分别换成-x,-y得到,故两者关于原点对称.

2.为了得到函数y=log2的图象,可将函数y=log2x的图象上所有的点(　A　)

(A)纵坐标缩短到原来的,横坐标不变,再向右平移1个单位长度

(B)纵坐标缩短到原来的,横坐标不变,再向左平移1个单位长度

(C)横坐标伸长到原来的2倍,纵坐标不变,再向左平移1个单位长度

(D)横坐标伸长到原来的2倍,纵坐标不变,再向右平移1个单位长度

解析:y=log2=log2(x-1),所以可将y=log2x的图象上所有的点纵坐标缩短到原来的,横坐标不变,得到y=log2x的图象,再向右平移1个单位长度,得到y=log2(x-1) 的图象,故选A.

类型二　函数图象的识别

3.在同一直角坐标系中,函数f(x)=xa(x≥0),g(x)=logax的图象可能是(　D　)

解析:函数y=xa(x≥0)与y=logax(x>0),选项A没有幂函数图象;选项B,y=xa(x≥0)中a>1,y=logax(x>0)中0<a<1,不符合;选项C,y=xa(x≥0)中0<a<1,y=logax(x>0)中a>1,不符合;选项D,y=xa(x≥0)中0< a<1,y=logax(x>0)中0<a<1,符合.故选D.

4.(2018·浙江“七彩阳光”联盟联考)函数f(x)=的大致图象是(　B　)

解析:令=0,得函数有两零点0,-,故排除A,x→+∞时,分子中二次增长赶不上分母的指数增长,故趋向于0,故选B.

类型三　函数图象的应用

5.函数f(x)=若关于x的方程2f2(x)-(2a+3)f(x)+3a=0有五个不同的实数解x1,x2,x3,x4,x5,则x1+x2+x3+x4+x5等于(　B　)

(A)3 (B)5 (C)3a (D)5a

解析:

由2f2(x)-(2a+3)f(x)+3a=0解得f(x)=或f(x)=a,作出函数f(x)的大致图象,如图所示,要使关于x的方程2f2(x)-(2a+3)f(x)+3a=0有五个不同的实数解,即要使函数y=f(x)的图象与直线y=,y=a共有五个不同的交点,结合图象,可知其中一个解为1,其余四个解关于直线x=1对称,所以x1+x2+x3+x4+x5=5,故选B.

6.(2019·杭二中高考仿真)已知函数f(x)=若实数m∈(0,1),则函数g(x)=f(x)-m零点个数为(　D　)

(A)0 (B)1 (C)2 (D)3

解析:

函数g(x)=f(x)-m的零点即为函数y=f(x) 与函数y=m的图象的交点.如图画出函数y=f(x) 的图象,结合0<m<1可知,函数y=f(x)与函数y=m的图象的交点为3个,所以函数g(x)=f(x)-m的零点有3个,故选D.

7.设a∈R,若x>0时均有[(a-1)x-1](x2-ax-1)≥0,则a=　　　　. 

解析:

令y1=(a-1)x-1;

y2=x2-ax-1,

[(a-1)x-1](x2-ax-1)≥0等价于y1·y2≥0,

如图,要使y1·y2≥0,它们有相同的零点和截距,

所以y2=x2-ax-1经过点M(,0),

代入得()2--1=0,

解得a=或a=0(舍去).

答案: