2021版高考数学导与练一轮复习（浙江版）知识梳理：第二章第四节　函数的奇偶性与周期性

第四节　函数的奇偶性与周期性

一、函数的奇偶性

奇函数、偶函数的概念及图象特征

1.概念理解

(1)函数的奇偶性反映了函数图象的对称性,是函数的整体性质,判定函数的奇偶性一定要优先考虑函数的定义域是否关于原点对称,定义域关于原点对称是函数具备奇偶性的必要不充分条件.

(2)f(x)是奇函数⇔f(-x)=-f(x)⇔f(-x)+f(x)=0⇐=-1(f(x)≠0).

(3)f(x)是偶函数⇔f(-x)=f(x)⇔f(-x)-f(x)=0⇔f(-x)=f(|x|)⇐=1(f(x)≠0).

(4)奇函数f(x)在x=0处有定义⇒f(0)=0.

2.与奇偶性应用相关联的结论

(1)单调性:奇函数的图象关于原点对称⇒奇函数在原点两侧的对称区间上具有相同的单调性;偶函数的图象关于y轴对称⇒偶函数在原点两侧的对称区间上具有相反的单调性.

(2)对称性

①函数y=f(x)的图象关于直线x=对称⇔f(a+mx)=f(b-mx).

温馨提醒:记忆式子特征,对称轴x==.

②函数y=f(x)的图象关于点(a,b)对称⇔f(x)=2b-f(2a-x)或f(a+x)-b=b-f(a-x).

温馨提醒:对称点的横坐标为=a或=a.

(3)y=f(x+a)是偶函数⇔f(x+a)=f(-x+a);

y=f(x)是偶函数⇔f(x+a)=f(-x-a).

3.与函数奇偶性判定相关联的结论

在公共定义域内,奇±奇=奇,偶±偶=偶,奇×奇=偶,偶×偶=偶,奇×偶=奇.

二、函数的周期性

1.周期函数

对于函数y=f(x),如果存在一个非零常数T,使得当x取定义域内的任何值时,都有f(x+T)=f(x),那么就称函数y=f(x)为周期函数,称T为这个函数的周期.

2.最小正周期

如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数,那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期.

1.概念理解

(1)T∈R且T≠0.

(2)若T是函数的周期,则kT(k∈Z且k≠0)也是函数的周期.

2.与周期的判定相关联的结论

(1)若f(x+a)=-f(x)(a≠0)⇒T=2a;

(2)若f(x+a)=(a≠0,k≠0)⇒T=2a;

(3)若f(x+a)=f(x+b)(a≠0)⇒T=a-b.

1.函数y=x2lg的图象(　B　)

(A)关于x轴对称 (B)关于原点对称

(C)关于直线y=x对称 (D)关于y轴对称

解析:因为y=x2lg是奇函数,所以图象关于原点对称,故选B.

2.(2018·宁波高三上期末考试)若函数f(x)=ax2+(2a2-a-1)x+1为偶函数,则实数a的值为(　C　)

(A)1  (B)- (C)1或- (D)0

解析:当a=0时,f(x)=-x+1不是偶函数,

当a≠0时,2a2-a-1=0时,该函数为偶函数,

解得a=1或a=-,故选C.

3.若函数f(x)=x2-|x+a|为偶函数,则实数a=　　　　. 

解析:f(-x)=f(x),即(-x)2-|-x+a|=x2-|x+a|,

则|x-a|=|x+a|,

因为x∈R,所以a=0.

答案:0

4.(2018·江苏卷)函数f(x)满足f(x+4)=f(x)(x∈R),且在区间(-2,2]上,f(x)= 则f(f(15))的值为　　　　. 

解析:由函数f(x)满足f(x+4)=f(x)(x∈R),

可知函数f(x)的周期是4,

所以f(15)=f(-1)=|-1+|=,

所以f(f(15))=f()=cos=.

答案:

5.已知定义在R上的函数f(x),满足f(-x)=-f(x),f(x+3)=f(x),当x∈(0,)时,f(x)=ln(x2-x+1),则函数f(x)在区间[0,6]上的零点个数是　　　　. 

解析:由于定义在R上的函数f(x),

满足f(-x)=-f(x),

所以函数f(x)为奇函数,

则在[0,6]上必有f(0)=0,

当x∈(0,),

由f(x)=ln(x2-x+1)=0得x2-x+1=1,

即x2-x=0,可得x=1,故f(1)=0,

因为f(x+3)=f(x),

所以函数f(x)是周期为3的奇函数,

所以f(0)=f(3)=f(6)=0,此时有三个零点,

又f(1)=f(4)=0,f(-1)=-f(1)=0,f(-1)=f(2)=f(5)=0,此时有1,2,4,5四个零点;

当x=,f()=f(-3)=f(-)=-f(),

故f()=0,

即f()=f(+3)=f()=0,此时有两个零点,.

综上所述,函数f(x)在区间[0,6]上的零点个数是9.

答案:9

考点一　函数奇偶性的判定

[例1] 判断下列函数的奇偶性:

(1)f(x)=+;

(2)f(x)=;

(3)f(x)=

解:(1)由得x=±3.

所以f(x)的定义域为{-3,3},关于原点对称.

又f(3)+f(-3)=0,f(3)-f(-3)=0.

即f(x)=±f(-x).

所以f(x)既是奇函数,又是偶函数.

(2)由

得-2≤x≤2且x≠0.

所以f(x)的定义域为[-2,0)∪(0,2],关于原点对称.

所以f(x)==.

所以f(x)=-f(-x),

所以f(x)是奇函数.

(3)易知函数的定义域为(-∞,0)∪(0,+∞),关于原点对称.

当x<0时,-x>0,故f(-x)=x2-x=f(x);

当x>0时,-x<0,故f(-x)=x2+x=f(x),

故原函数是偶函数.

(1)利用定义判定函数奇偶性的步骤:

(2)分段函数奇偶性的判断,要注意定义域内x取值的任意性,应分段讨论,讨论时可依据x的范围取相应的解析式化简,判断f(x)与f(-x)的关系,得出结论,也可以利用图象作判断.

1.(2018·余姚中学高三教学质量检测)设函数f(x),g(x)的定义域为R,且f(x)是奇函数,g(x)是偶函数,则下列结论中一定正确的是(　C　)

(A)f(x)g(x)是偶函数 (B)|f(x)|g(x)是奇函数

(C)f(x)|g(x)|是奇函数 (D)|f(x)g(x)|是奇函数

解析:由f(x)是奇函数,g(x)是偶函数知f(-x)=-f(x),g(-x)=g(x),|f(-x)|=|-f(x)|=|f(x)|,

|g(-x)|=|g(x)|,|f(x)|,|g(x)|都为偶函数,

故f(x)g(x)为奇函数,|f(x)|g(x)为偶函数,

f(x)|g(x)|为奇函数,|f(x)g(x)|为偶函数,故选C.

2.若f(x),g(x)均是定义在R上的函数,则“f(x)和g(x)都是偶函数”是“f(x)·g(x)是偶函数”的(　A　)

(A)充分而不必要条件

(B)必要而不充分条件

(C)充要条件

(D)既不充分也不必要条件

解析:若f(x)和g(x)都是偶函数,

则f(-x)=f(x),g(-x)=g(x),

f(-x)·g(-x)=f(x)·g(x),

即f(x)·g(x)是偶函数,充分性成立;

当f(x)=x,g(x)=2x时,f(x)·g(x)是偶函数,

但是f(x)和g(x)都不是偶函数,必要性不成立,

所以“f(x)和g(x)都是偶函数”是“f(x)·g(x)是偶函数”的充分而不必要条件,故选A.

考点二　函数奇偶性的应用

[例2] (1)奇函数f(x)的定义域为R,若f(x+2)为偶函数,且f(1)=1,则f(8)+f(9)等于(　　)

(A)-2 (B)-1 (C)0 (D)1

(2)已知函数f(x)=ax3+bsin x+4(a,b∈R),f(lg(log210))=5,则f(lg(lg 2))等于(　　)

(A)-5 (B)-1 (C)3 (D)4

解析:(1)因为函数f(x+2)是偶函数,f(x)是奇函数,所以f(-x+2)=f(x+2),f(-x)=-f(x),

所以f(8)=f(6+2)=f(-6+2)=f(-4)=-f(4)=-f(2+2)=-f(-2+2)=-f(0)=0,

同理f(9)=f(1)=1,

所以f(8)+f(9)=1.故选D.

(2)设lg(lg 2)=t,则lg(log210)=lg()=lg(lg 2)-1=-lg(lg 2)=-t,

设g(x)=ax3+bsin x,显然g(x)为奇函数.

由条件知f(-t)=g(-t)+4=5,

所以g(-t)=1,g(t)=-1,

所以f(t)=g(t)+4=3.故选C.

函数奇偶性应用的常见题型及求解策略

1.(2018·杭州市高三期末)设函数f(x)=+b(a>0且a≠1),则函数f(x)的奇偶性(　D　)

(A)与a无关,且与b无关

(B)与a有关,且与b有关

(C)与a有关,但与b无关

(D)与a无关,但与b有关

解析:由函数f(x)=+b知f(-x)=+b=+b,当b=1时,f(-x)+f(x)=0,此时f(x)为奇函数,显然当b≠1时函数为非奇非偶函数,所以函数f(x)的奇偶性与a无关,且与b有关,故选D.

2.(2018·全国Ⅱ卷)已知f(x)是定义域为(-∞,+∞)的奇函数,满足f(1-x)=f(1+x).若f(1)=2,则f(1)+f(2)+f(3)+…+f(50)等于(　C　)

(A)-50 (B)0 (C)2 (D)50

解析:因为f(x)是奇函数,且f(1-x)=f(1+x),

则f(x)=f(2-x)=-f(x-2)

=-[-f(x-4)]

=f(x-4),

所以函数f(x)是周期为4的周期函数.

由f(x)为奇函数得f(0)=0.

又因为f(1-x)=f(1+x),

所以f(x)的图象关于直线x=1对称,

所以f(2)=f(0)=0,所以f(-2)=0.

又f(1)=2,所以f(-1)=-2,

所以f(1)+f(2)+f(3)+f(4)=f(1)+f(2)+f(-1)+f(0)=2+0-2+0=0,

所以f(1)+f(2)+f(3)+f(4)+…+f(49)+f(50)

=0×12+f(49)+f(50)

=f(1)+f(2)

=2+0

=2.

故选C.

考点三　函数周期性的应用

[例3] (2019·杭州市期末检测)已知函数f(x)(x∈R)的周期为T(T>0),且在(0,T)上单调,则(　　)

(A)f(x2)是周期函数,且在(0,)上单调

(B)f(x2)不是周期函数,且在(0,)上单调

(C)f(x2)是周期函数,且在(0,T2)上单调

(D)f(x2)不是周期函数,且在(0,T2)上单调

解析:因为f[(x+A)2]=f(x2+2Ax+A2),显然2Ax+A2不是与x无关的常数,所以函数f(x2)不是周期函数,当x∈(0,)时,x2∈(0,T),因为函数f(x)在(0,T)上单调,所以函数f(x2)在(0, )上单调,故选B.

(1)判断函数周期性的两个方法:定义法、图象法.

(2)函数周期性的重要应用

利用函数的周期性,可将其他区间上的求值、求零点个数、求解析式等问题,转化为已知区间上的相应问题,进而求解.

提醒:应用函数的周期性时,应保证自变量在给定的区间内.

1.已知f(x)是定义在实数集R上的奇函数,对任意的实数x,f(x-2)=f(x+2),当x∈(0,2)时,f(x)=-x2,则f()等于(　D　)

(A)- (B)- (C) (D)

解析:由f(x-2)=f(x+2),可知函数f(x)的周期T=4,又由于该函数是奇函数,

故f()=f()=f(-)=-f()

=-[-()2]=.

故选D.

2.(2018·浙江“七彩阳光”联盟期中联考)已知函数f(x)是定义在R上的奇函数,对任意的x∈R都有f(1+x)=f(1-x),且当x∈[0,1]时,f(x)=2x-1,则当x∈[-2,6]时,方程f(x)=-的所有根之和为　　　　. 

解析:由f(1+x)=f(1-x),得f(x+2)=f(-x),又函数f(x)是奇函数,

则有f(x+2)=f(-x)=-f(x),从而有f(x+4)=f(x),即f(x)是以4为周期的函数.

又函数f(x)的图象关于直线x=1对称,从而其图象又关于直线x=-1对称,其在[-2,6]上大致图象如图.

f(x)的图象与直线y=-在[-2,6]上共有4个交点x1,x2,x3,x4,且x1+x2=-2,x3+x4=6.

故在区间[-2,6]上共有4个根,其和为4.

答案:4

考点四　函数性质的综合应用

[例4] 已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x-4)=-f(x),且在区间[0,2]上是增函数,则(　　)

(A)f(-25)<f(11)<f(80)

(B)f(80)<f(11)<f(-25)

(C)f(11)<f(80)<f(-25)

(D)f(-25)<f(80)<f(11)

解析:由函数f(x)是奇函数且f(x)在[0,2]上是增函数可以推知,f(x)在[-2,2]上递增,

又f(x-4)=-f(x)⇒f(x-8)=-f(x-4)=f(x),

故函数f(x)以8为周期,

所以f(-25)=f(-1),

f(11)=f(3)=-f(3-4)=f(1),f(80)=f(0),

故f(-25)<f(80)<f(11).故选D.

(1)关于奇偶性、单调性、周期性的综合性问题,关键是利用奇偶性和周期性将未知区间上的问题转化为已知区间上的问题.

(2)利用奇偶性研究函数的单调性时,要充分利用单调性在关于原点对称的两个区间上的关系,并注意分析判定能否合并.

1.已知偶函数f(x)在区间[0,+∞)上单调递增,则满足f(2x-1)<f()的x的取值范围是(　A　)

(A)(,) (B)[,)

(C)(,) (D)[,)

解析:偶函数满足f(x)=f(|x|),根据这个结论,

有f(2x-1)<f()⇔f(|2x-1|)<f(),

进而转化为不等式|2x-1|<,

解这个不等式即得x的取值范围是(,).故选A.

2.(2019·江苏卷)设f(x),g(x)是定义在R上的两个周期函数,f(x)的周期为4,g(x)的周期为2,且f(x)是奇函数.当x∈(0,2]时,f(x)=,g(x)=其中k>0.若在区间(0,9]上,关于x的方程f(x)=g(x)有8个不同的实数根,则k的取值范围是　　　　. 

解析:当x∈(0,2]时,y=f(x)=⇔(x-1)2+y2=1(y≥0),结合f(x)是周期为4的奇函数,可作出f(x)在(0,9]上的图象如图所示.

因为当x∈(1,2]时,g(x)=-,

又g(x)的周期为2,

所以当x∈(3,4]∪(5,6]∪(7,8]时,g(x)=-.

由图可知,当x∈(1,2]∪(3,4]∪(5,6]∪(7,8]时,

f(x)与g(x)的图象有2个交点,

所以当x∈(0,1]∪(2,3]∪(4,5]∪(6,7]∪(8,9]时,

f(x)与g(x)的图象有6个交点.

又当x(0,1]时,y=g(x)=k(x+2)(k>0)恒过定点A(-2,0),由图可知,当x∈(2,3]∪(6,7]时,f(x)与g(x)的图象无交点.

所以当x∈(0,1]∪(4,5]∪(8,9]时,f(x)与g(x)的图象有6个交点.

由f(x)与g(x)的周期性可知,当x∈(0,1]时,f(x)与 g(x) 的图象有2个交点.

当y=k(x+2)与圆弧(x-1)2+y2=1(0<x≤1)相切时,

d==1⇒k2=(k>0)⇒k=.

当y=k(x+2)过点A(-2,0)与B(1,1)时,k=.

所以≤k<.

答案:[,)

考点五　易错辨析

[例5] 若函数f(x)=在定义域上为奇函数,则实数k=　　　　. 

解析:因为f(-x)==,

所以f(-x)+f(x)

=

=.

由f(-x)+f(x)=0可得k2=1,所以k=±1.

答案:±1

解题中易忽视函数的定义域,直接通过计算f(0)=0得k=1,造成漏解.

提醒:(1)已知函数的奇偶性,利用特殊值确定参数,要注意函数的定义域.

(2)f(0)=0既不是f(x)是奇函数的充分条件,也不是必要条件,但f(x)在x=0处有定义,则f(0)=0是f(x)为奇函数的必要条件.

设函数f(x)=x(ex+ae-x)(x∈R)是偶函数,则实数a=　　　　. 

解析:法一　因为f(x)是偶函数,所以f(-x)=f(x),

即-x(e-x+aex)=x(ex+ae-x),

化简得x(e-x+ex)(a+1)=0,

因为此式对任意实数x都成立,所以a=-1.

法二　因为函数f(x)=x(ex+ae-x)是偶函数,

所以设g(x)=ex+ae-x(x∈R),

则g(x)为奇函数,

所以g(0)=0,即1+a=0,所以a=-1.

答案:-1

类型一　奇偶性的判定

1.已知函数f(x)=x+ln(+x),g(x)=则(　C　)

(A)f(x)是奇函数,g(x)是奇函数

(B)f(x)是偶函数,g(x)是偶函数

(C)f(x)是奇函数,g(x)是偶函数

(D)f(x)是偶函数,g(x)是奇函数

解析:因为u(x)=x和v(x)=ln(+x)均为奇函数,所以u(x)+v(x)为奇函数;对于g(x),当x>0时,-x<0,g(-x)=x=g(x),当x<0时,-x>0,g(-x)=-x=g(x),所以g(x)为偶函数.故选C.

2.下列函数中,在定义域内单调递减且为奇函数的是(　C　)

(A)f(x)=x|x| (B)f(x)=-tan x

(C)f(x)=2-x-2x (D)f(x)=2-x+2x

解析:选项A,对于f(x)=x|x|,

因为f(-x)=-x|-x|=-x|x|=-f(x),

所以函数f(x)=x|x|是奇函数,

通过图象,可知函数f(x)=x|x|是R上的单调递增函数;

选项B,对于函数f(x)=-tan x,

因为f(-x)=-tan(-x)=tan x=-f(x),

所以函数f(x)=-tan x是奇函数,同时也是周期函数,

故不是定义域内的单调递减函数;

选项C,对于函数f(x)=2-x-2x,

因为f(-x)=2x-2-x=-f(x),

所以函数f(x)=2-x-2x是奇函数,而y=2-x,y=-2x都是R上的单调递减函数,由函数单调性的性质可知函数 f(x)=2-x-2x也是R上的单调递减函数,故符合题意;

选项D,对于函数f(x)=2-x+2x,因为f(-x)=2x+2-x=f(x),所以函数f(x)=2-x+2x是偶函数,不符合题意,综上所述,故选C.

类型二　函数奇偶性的应用

3.(2018·全国Ⅲ卷)已知函数f(x)=ln(-x)+1,f(a)=4,则f(-a)=　　　　. 

解析:因为f(x)+f(-x)=ln(-x)+1+ln(+x)+1=ln(1+x2-x2)+2=2,

所以f(a)+f(-a)=2,所以f(-a)=-2.

答案:-2

4.设函数f(x)=的最大值为M,最小值为m,则M+m等于　　　　. 

解析:f(x)==1+,

设g(x)=,显然g(x)为奇函数,

所以g(x)的最大值与最小值的和为0,

所以M+m=2.

答案:2

类型三　函数周期性的应用

5.已知f(x)是R上最小正周期为2的周期函数,且当0≤x<2时,f(x)=x3-x,则函数y=f(x)的图象在区间[0,6]上与x轴的交点的个数为(　B　)

(A)6 (B)7 (C)8 (D)9

解析:因为f(x)是最小正周期为2的周期函数,

且0≤x<2时,f(x)=x3-x=x(x-1)(x+1),

所以当0≤x<2时,f(x)=0有两个根,即x1=0,x2=1.

由周期函数的性质知,当2≤x<4时,f(x)=0有两个根,

即x3=2,x4=3;

当4≤x<6时,f(x)=0有两个根,

即x5=4,x6=5;x7=6也是f(x)=0的根.

故函数f(x)的图象在区间[0,6]上与x轴交点的个数为7.故选B.

6.已知函数f(x)=记f1(x)=f(x),f2(x)=f(f1(x)),f3(x)=f(f2(x)),…,则f2 019(10)等于(　A　)

(A)10 (B)lg 110

(C)0 (D)1

解析:计算得f1(10)=1,f2(10)=0,f3(10)=10,f4(10)=1…,所以周期为3,

f2 019(10)=f3(10)=10.故选A.

7.已知f(x)是定义在R上的偶函数,且f(x+2)=-,当2≤x≤3时,f(x)=x,则f(105.5)=　　　　. 

解析:由已知可得f(x+4)=f[(x+2)+2]=- =f(x),所以函数f(x)的周期为4,

所以f(105.5)=f(4×27-2.5)=f(-2.5)=f(2.5)=2.5.

答案:2.5

类型四　函数性质的综合应用

8.已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x)+f(x+2)=0,且f(1)=-2,则f(2 019)+f(2 018)的值为　　　　. 

解析:因为f(x)为奇函数,

所以f(-x)=-f(x),

又f(x)+f(x+2)=0,

所以f(x+2)=-f(x),

所以f(x+4)=f(x),

所以函数f(x)是周期为4的周期函数.

所以f(2 019)+f(2 018)=f(4×504+3)+f(4×504+2)=f(3)+f(2),

又f(0)=0,

在f(x)+f(x+2)=0中,令x=1,可得f(3)=-f(1)=2,

令x=0,可得f(2)=-f(0)=0,

所以f(2 019)+f(2 018)=f(3)+f(2)=2+0=2.

答案:2

9.已知奇函数f(x)的定义域为[-2,2],且在区间[-2,0]上递减,则满足f(1-m)+f(1-m2)<0的实数m的取值范围是　　　　. 

解析:因为f(x)的定义域为[-2,2],

所以解得-1≤m≤.①

又f(x)为奇函数,且在[-2,0]上递减,

所以f(x)在[-2,2]上递减,

所以f(1-m)<-f(1-m2)=f(m2-1)⇒1-m>m2-1,

即-2<m<1.②

综合①②可知,-1≤m<1.

答案:[-1,1)

类型五　易错易误辨析

10.定义在R上的奇函数f(x)的图象关于x=1对称,且x∈(0,1]时f(x)=x2+1,则f(462)=　　　　. 

解析:因为f(x)是奇函数,且图象关于x=1对称,

所以f(x)=f(2-x),

所以f(x+2)=f(-x)=-f(x),

所以f(x+4)=f(x),

所以f(x)的周期为4.

因为f(x)是定义在R上的奇函数,

所以f(0)=0,

所以f(462)=f(2+115×4)=f(2)=f(0)=0.

答案:0