2021版高考数学导与练一轮复习（浙江版）知识梳理：第十四章第一节　导数的概念及其几何意义

第一节　导数的概念及其几何意义

一、函数的平均变化率

1.概念:对于函数y=f(x),=,叫做函数y=f(x)从x1到x2的平均变化率.

2.几何意义:函数y=f(x)图象上两点(x1,f(x1)),(x2,f(x2))连线的斜率.

3.物理意义:函数y=f(x)表示变速运动的质点的运动方程,就是该质点在[x1,x2]上的平均速度.

二、导数的概念

1.函数y=f(x)在x=x0处的导数

(1)定义

称函数y=f(x)在x=x0处的瞬时变化率=为函数y=f(x)在x=x0处的导数,记作f (x0)或y′,即f′(x0)==.

(2)几何意义

函数f(x)在x=x0处的导数f′(x0)的几何意义是在曲线y=f(x)上点(x0,f(x0))处的切线的斜率(瞬时速度就是位移函数s(t)对时间t的导数).相应地,切线方程为 y-f(x0)=f′(x0)(x-x0).

2.函数f(x)的导函数

称函数f′(x)=为f(x)的导函数.

1.概念理解

(1)导数即为自变量改变量趋近0时,函数平均变化率的极限.

(2)f′(x0)表示函数f(x)在x=x0处的导数值;(f(x0))′是函数值f(x0)的导数,而函数值f(x0)是一个常数,其导数一定为0,即(f(x0))′=0.

(3)曲线y=f(x)在点P(x0,y0)处的切线是指P为切点,切线斜率为k=f′(x0)的切线,是唯一的一条切线.曲线y=f(x)过点P(x0,y0)的切线,是指切线经过P点.点P可以是切点,也可以不是切点,而且这样的直线可能有多条.

(4)曲线未必在其切线的“同侧”,例如直线y=0(即x轴)是曲线y=x3在点(0,0)处的切线.

(5)直线与曲线公共点的个数不是曲线的切线的本质特征,直线与曲线只有一个公共点,不能说明直线就是曲线的切线,反之,直线是曲线的切线,也不能说明直线与曲线只有一个公共点,例如曲线y=x3在点(1,1)处的切线y=3x-2与曲线y=x3还有一个交点(-2,-8).

2.与导数几何意义有关的结论

(1)切点既在曲线上,也在切线上,切点的坐标同时适合曲线方程和切线方程.

(2)求曲线y=f(x)在点P(x0,f(x0))处的切线方程,点P(x0,f(x0))为切点,当切线斜率存在(即f(x)在x=x0处可导)时,切线方程为y-f(x0)=f′(x0)(x-x0);当切线斜率不存在(即f(x)在x=x0处不可导)时,切线方程为x=x0.

(3)已知曲线f(x)的切线斜率为k,则切点(x0,f(x0))的横坐标x0就是方程f′(x0)=k的解.

(4)奇函数的导数是偶函数,偶函数的导数是奇函数.

(5)周期函数的导数仍是周期函数,其周期与原函数的周期相同.

三、基本初等函数的导数公式

公式理解

利用公式求导时要特别注意不要将幂函数与指数函数的导数公式混淆,幂函数的求导公式为(xn)′=nxn-1,而指数函数的求导公式为(ax)′=axln a.

1.若物体的运动方程是s=t3+t2-1,t=3时物体的瞬时速度是(　D　)

(A)27 (B)31 (C)39 (D)33

解析:因为v=s′=3t2+2t,所以此物体在t=3时的瞬时速度为3×32+2×3=33.故选D.

2.曲线y=x3在原点处的切线(　B　)

(A)不存在

(B)有1条,其方程为y=0

(C)有1条,其方程为x=0

(D)有2条,其方程为x=0和y=0

3.函数f(x)=exsin x的图象在点(0,f(0))处的切线的倾斜角为(　C　)

(A) (B) (C) (D)

解析:因为f′(x)=exsin x+excos x

所以f′(0)=1,

所以曲线y=f(x)在点(0,f(0))处的切线的斜率为1.

所以在点(0,f(0))处的切线的倾斜角为.

故选C.

4.如图,函数y=f(x)的图象在点P处的切线方程是y=-x+8,则f(5)+f′(5)=　　　　. 

解析:由题意知切线的斜率k=f′(5)=-1,f(5)=-5+8=3,

所以f(5)+f′(5)=3-1=2.

答案:2

5.已知曲线y=ln x的切线过原点,则此切线的斜率为　　　　. 

答案:

考点一　平均变化率

[例1] 若函数f(x)=2x2-1的图象上一点(1,1)及邻近一点(1+Δx,1+Δy),则等于(　　)

(A)4 (B)4x 

(C)4+2Δx (D)4+2(Δx)2

解析:因为Δy=[2(1+Δx)2-1]-1=2(Δx)2+4Δx,

所以=4+2Δx.故选C.

已知一质点的运动方程是s(t)=8-3t2,则该质点在[1,1+Δt]这段时间内的平均速度是(　A　)

(A)-6-3Δt (B)-6+3Δt (C)8-3Δt (D)8+3Δt

解析:因为s=8-3t2,所以Δs=8-3(1+Δt)2-(8-3×12)=-6Δt-3(Δt)2,所以质点在[1,1+Δt]这段时间内的平均速度为==-6-3Δt.故选A.

考点二　导数的概念

[例2] (1)设函数f(x)=ax+3,若f′(1)=3,则a等于(　　)

(A)2 (B)-2 (C)3 (D)-3

(2)用导数的定义求函数y=在x=1处的导数.

(1)解析:f′(x)=

=

=

=a,

所以f′(1)=a=3.故选C.

(2)解:记f(x)=,

则Δy=f(1+Δx)-f(1)

=-1

=

=

=,

=-,

所以 ==-.

所以y′|x=1=-.

(1)根据导数的定义,求函数y=f(x)在x=x0处导数的步骤

①求函数值的增量Δy=f(x0+Δx)-f(x0);

②求平均变化率=;

③计算导数f′(x0)=.

(2)求函数y=f(x)的导数与求函数在某点处的导数的方法一致,只是把x0换成x.

(3)求f′(x0)时,可先求f′(x),再将x=x0代入求值.

已知函数f(x)在x=2处的导数为,则等于(　D　)

(A)- (B) (C) (D)-

解析:函数f(x)在x=2处的导数为,

则=⇒=-.故选D.

考点三　基本初等函数导数公式的应用

[例3] 下列各式正确的是(　　)

(A)(sin α)′=cos α(α为常数) 

(B)(cos x)′=sin x

(C)(sin x)′=cos x 

(D)(x-5)′=-x-6

解析:由导数运算法则易得,注意A选项中的α为常数,所以(sin α)′=0.故答案为C.

熟记基本初等函数导数公式是求导数的关键.

1.若函数f(x)=cos x+2xf′(),则f(-)与f()的大小关系是(　C　)

(A)f(-)=f() (B)f(-)>f()

(C)f(-)<f() (D)不确定

解析:依题意得f′(x)=-sin x+2f′(),

所以f′()=-sin +2f′(),

所以f′()=.

所以f(x)=cos x+x,

于是f()=cos +=+,

f(-)=cos (-)-=-,

所以f()>f(-).故选C.

2.已知函数f(x)=+x3+sin x,其导函数为f′(x),则 f(2 020)+f′(2 020)+f(-2 020)-f′(-2 020)的值为(　B　)

(A)4 040 (B)4 (C)2 (D)0

解析:函数f(x)=+x3+sin x⇒f(x)+f(-x)=+=4,

f′(x)=-+3x2+cos x,f′(x)-f′(-x)=0,

f(2 020)+f′(2 020)+f(-2 020)-f′(-2 020)=4,

故选B.

考点四　正确理解导数的几何意义

[例4] (1)函数f(x)的图象如图所示,则下列关系正确的是(　　)

(A)0<f′(2)<f′(3)<f(3)-f(2)

(B)0<f′(2)<f(3)-f(2)<f′(3)

(C)0<f′(3)<f(3)-f(2)<f′(2)

(D)0<f(3)-f(2)<f′(2)-f′(3)

(2)如图,y=f(x)是可导函数,直线l:y=kx+2是曲线y=f(x)在x=3处的切线,令g(x)=xf(x),g′(x)是g(x)的导函数,则g′(3)等于(　　)

(A)-1 (B)0 (C)2 (D)4

解析:(1)由函数f(x)的图象可知:

当x≥0时,f(x)单调递增,且当x=0时,f(0)<0,

所以f′(2),f′(3),f(3)-f(2)>0,

由此可知f′(x)>0,

因为直线的斜率逐渐减小,

所以f′(x)单调递减,

所以f′(2)>f′(3),

因为f(x)为凸函数,

所以f(3)-f(2)<f′(2),f(3)-f(2)>f′(3),

所以0<f′(3)<f(3)-f(2)<f′(2),故选C.

(2)将点(3,1)代入直线y=kx+2的方程得3k+2=1,得k=-,

所以f′(3)=k=-,

由于点(3,1)在函数y=f(x)的图象上,则f(3)=1,

对函数g(x)=xf(x)求导得g′(x)=f(x)+xf′(x),

所以g′(3)=f(3)+3f′(3)=1+3×(-)=0,故选B.

(1)求在函数曲线上某点处的切线方程,可利用导数求出函数在此点处切线的斜率,根据点斜式,写出切线方程;(2)若未知切点求切线方程,关键是设出切点,根据导数的几何意义,由条件求出切点坐标,从而求出切线方程.

过原点作曲线y=ex的切线,则切点坐标为　　　　,切线的斜率为　　　　. 

解析:y′=(ex)′=ex,

设切点为(x0,),

则切线斜率为k=,

切线方程为y-=(x-x0),

因为切线过原点,

所以-=-x0,

解得x0=1,

所以切点为(1,e),斜率k=e.

答案:(1,e)　e

类型一　平均变化率、导数的概念

1.如图,函数y=f(x)在A,B两点间的平均变化率是(　B　)

(A)1 (B)-1

(C)2 (D)-2

解析:依题意可知Δy=yB-yA=1-3=-2,Δx=xB-xA=3-1=2,所以函数y=f(x)在A,B两点间的平均变化率为==-1,故选B.

2.函数y=f(x)在点(x0,y0)处的切线方程为y=2x+1,则等于(　D　)

(A)-4 (B)-2 (C)2 (D)4

解析:由函数y=f(x)在点(x0,y0)处的切线方程为y=2x+1知f′(x0)=2,再由函数导数的定义可知

=f′(x0);

从而

=

=2

=2f′(x0)

=4.

故选D.

类型二　基本初等函数导数公式的应用

3.设P为曲线C:y=x3-x2+2上的点,且曲线C在点P处切线倾斜角的取值范围为[0,],则点P横坐标的取值范围为　　　　. 

解析:由于曲线C在点P处的切线的倾斜角的取值范围是[0,],则切线斜率的取值范围是[0,1],

对函数y=x3-x2+2求导得y′=3x2-2x,

令0≤y′≤1,即0≤3x2-2x≤1,

解不等式3x2-2x≥0,得x≤0或x≥;

解不等式3x2-2x≤1,即3x2-2x-1≤0,

解得-≤x≤1.

所以,不等式组0≤3x2-2x≤1的解集为

[-,0]∪[,1].

因此,点P的横坐标的取值范围是[-,0]∪[,1].

答案:[-,0]∪[,1]

类型三　导数的几何意义及其应用

4.函数y=cos x的图象上一点(,)处的切线的斜率为(　A　)

(A)- (B) (C)- (D)-

解析:由y′=(cos x)′=-sin x,所以切线的斜率k=y′|=-sin =-.故选A.

5.(2019·温州适应性测试7)已知点A(x1,y1),B(x2,y2)是函数f(x)=a+bx2的图象上的任意两点,且y=f(x)在点(,f())处的切线与直线AB平行,则(　A　)

(A)a=0,b为任意非零实数

(B)b=0,a为任意非零实数

(C)a,b均为任意实数

(D)不存在满足条件的实数a,b

解析:由题意得f′(x)=+2bx,

则f′()=+2b·,

kAB==+b(x1+x2),

则+2b·=+b(x1+x2),

即=,

因为<,

即(+)<2,所以a=0,

因为切线不与直线AB重合,所以b≠0.

综上,a=0,b为任意非零实数,故选A.

6.以正弦曲线y=sin x上一点P为切点的切线为直线l,则直线l的倾斜角的取值范围是　　　　. 

解析:设直线l的倾斜角为α,

则tan α=y′=cos x.

因为cos x∈[-1,1],

所以tan α∈[-1,1],

又因为α∈[0,π),

所以α∈[0,]∪[,π).

答案:[0,]∪[,π)

7.曲线y=x3在点(3,27)处的切线与两坐标轴所围成的三角形面积为　　　　. 

解析:y′=3x2,k=y′|x=3=3×32=27,

故切线方程为y-27=27(x-3),

令x=0得y=-54;

令y=0得x=2,

所以切线与两坐标轴围成的三角形的面积为

S=×54×2=54.

答案:54