2021版江苏高考数学一轮复习讲义：第2章第2节　函数的单调性与最值

第二节　函数的单调性与最值
[最新考纲]　1.理解函数的单调性、最大值、最小值及其几何意义.2.会运用基本初等函数的图象分析函数的性质．


1．函数的单调性
(1)单调函数的定义

增函数
减函数

一般地，设函数f(x)的定义域为I，如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1，x2
定义
当x1＜x2时，都有f(x1)＜f(x2)，那么就说函数f(x)在区间D上是增函数
当x1＜x2时，都有f(x1)＞f(x2)，那么就说函数f(x)在区间D上是减函数
图象描述

自左向右看图象是上升的

自左向右看图象是下降的
(2)单调区间的定义
如果函数y＝f(x)在区间I上是单调增函数或单调减函数，那么就说函数y＝f(x)在区间I上具有单调性．单调增区间和单调减区间统称为单调区间．
2．函数的最值
前提
函数y＝f(x)的定义域为A，存在x0∈A
条件
任意x∈A，都有 f(x)≤f(x0)
任意x∈A，都有 f(x)≥f(x0)
结论
f(x0)为y＝f(x)的最大值
f(x0)为y＝f(x)的最小值
记法
ymax＝f(x0)
ymin＝f(x0)

1．函数单调性的结论
(1)对∀x1，x2∈D(x1≠x2)，＞0⇔f(x)在D上是增函数；＜0⇔f(x)在D上是减函数．
(2)对勾函数y＝x＋(a＞0)的增区间为(－∞，－]和[，＋∞)，减区间为[－，0)和(0，]．
(3)在区间D上，两个增函数的和仍是增函数，两个减函数的和仍是减函数．
(4)函数f(g(x))的单调性与函数y＝f(u)和u＝g(x)的单调性的关系是“同增异减”．
2．函数最值存在的2个结论
(1)闭区间上的连续函数一定存在最大值和最小值．
(2)开区间上的“单峰”函数一定存在最大(小)值．

一、思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)函数y＝的单调递减区间是(－∞，0)∪(0，＋∞)． (　　)
(2)若定义在R上的函数f(x)有f(－1)＜f(3)，则函数f(x)在R上为增函数． (　　)
(3)函数y＝f(x)在[1，＋∞)上是增函数，则函数的单调递增区间是[1，＋∞)． (　　)
(4)闭区间上的单调函数，其最值一定在区间端点取到． (　　)
[答案](1)×　(2)×　(3)×　(4)√
二、教材改编
1．函数y＝x2－6x＋10在区间(2,4)上(　　)
A．递减　　　　　　　 B．递增
C．先递减后递增 D．先递增后递减
C　[因为函数y＝x2－6x＋10的图象为抛物线，且开口向上，对称轴为直线x＝3，所以函数y＝x2－6x＋10在(2,3)上为减函数，
在(3,4)上为增函数．]
2．下列函数中，在区间(0,1)上是增函数的是(　　)
A．y＝|x| B．y＝3－x
C．y＝ D．y＝－x2＋4
A　[y＝3－x在R上递减，y＝在(0，＋∞)上递减，y＝－x2＋4在(0，＋∞)上递减，故选A.]
3．若函数y＝(2k＋1)x＋b在R上是减函数，则k的取值范围是________．
　[因为函数y＝(2k＋1)x＋b在R上是减函数，所以2k＋1＜0，
即k＜－.]
4．已知函数f(x)＝，x∈[2,6]，则f(x)的最大值为________，最小值为________．
2　　[易知函数f(x)＝在x∈[2,6]上为减函数，故f(x)max＝f(2)＝2，f(x)min＝f(6)＝.]

考点1　确定函数的单调性(区间)
　确定函数单调性的4种方法
(1)定义法．利用定义判断．
(2)导数法．适用于初等函数、复合函数等可以求导的函数．
(3)图象法．由图象确定函数的单调区间需注意两点：一是单调区间必须是函数定义域的子集；二是图象不连续的单调区间要分开写，用“和”或“，”连接，不能用“∪”连接．
(4)性质法．利用函数单调性的性质，尤其是利用复合函数“同增异减”的原则时，需先确定简单函数的单调性．
　求函数的单调区间
(1)函数f(x)＝|x2－3x＋2|的单调递增区间是(　　)
A.　　　　　 B.和[2，＋∞)
C．(－∞，1]和 D.和[2，＋∞)
(2)函数y＝的单调递增区间为________，单调递减区间为________．
(1)B　(2)[2，＋∞)　(－∞，－3]　[(1)y＝|x2－3x＋2|＝
如图所示，函数的单调递增区间是和[2，＋∞)；单调递减区间是(－∞，1]和.故选B.

(2)令u＝x2＋x－6，
则y＝可以看作是由y＝与u＝x2＋x－6复合而成的函数．
令u＝x2＋x－6≥0，得x≤－3或x≥2.
易知u＝x2＋x－6在(－∞，－3]上是减函数，在[2，＋∞)上是增函数，而y＝在[0，＋∞)上是增函数，
所以y＝的单调减区间为(－∞，－3]，单调增区间为[2，＋∞)．]
(1)求复合函数的单调区间的步骤一般为：①确定函数的定义域；②求简单函数的单调区间；③求复合函数的单调区间，其依据是“同增异减”．
(2)求函数的单调区间，应先求定义域，在定义域内求单调区间．
　含参函数的单调性
　[一题多解]判断并证明函数f(x)＝ax2＋(其中1＜a＜3)在x∈[1,2]上的单调性．
[解]　法一：(定义法)设1≤x1＜x2≤2，则
f(x2)－f(x1)＝ax＋－
＝(x2－x1)，
由1≤x1＜x2≤2，得x2－x1＞0,2＜x1＋x2＜4，
1＜x1x2＜4，－1＜－＜－.
又1＜a＜3，
所以2＜a(x1＋x2)＜12，
得a(x1＋x2)－＞0，从而f(x2)－f(x1)＞0，
即f(x2)＞f(x1)，
故当a∈(1,3)时，f(x)在[1,2]上单调递增．
法二：(导数法)因为f′(x)＝2ax－＝，
因为1≤x≤2，∴1≤x3≤8，
又1＜a＜3，
所以2ax3－1＞0，
所以f′(x)＞0，
所以函数f(x)＝ax2＋(其中1＜a＜3)在[1,2]上是增函数．
定义法证明函数单调性的一般步骤：①任取x1，x2∈D，且x1＜x2；②作差f(x1)－f(x2)；③变形(通常是因式分解和配方)；④定号(即判断f(x1)－f(x2)的正负)；⑤下结论(即指出函数f(x)在给定的区间D上的单调性)．
　1.函数f(x)＝|x－2|x的单调递减区间是(　　)
A．[1,2] B．[－1,0]
C．(0,2] D．[2，＋∞)
A　[由题意得，f(x)＝
当x≥2时，[2，＋∞)是函数f(x)的单调递增区间；
当x＜2时，(－∞，1]是函数f(x)的单调递增区间，[1,2]是函数f(x)的单调递减区间．]
2．判断并证明函数f(x)＝(a≠0)在(－1,1)上的单调性．
[解]　法一：(定义法)设－1＜x1＜x2＜1，
f(x)＝a＝a，
f(x1)－f(x2)＝a－a
＝，由于－1＜x1＜x2＜1，
所以x2－x1＞0，x1－1＜0，x2－1＜0，
故当a＞0时，f(x1)－f(x2)＞0，
即f(x1)＞f(x2)，
函数f(x)在(－1,1)上递减；
当a＜0时，f(x1)－f(x2)＜0，即f(x1)＜f(x2)，
函数f(x)在(－1,1)上递增．
法二：(导数法)f′(x)＝＝，
所以当a＞0时，f′(x)＜0，当a＜0时，f′(x)＞0，
即当a＞0时，f(x)在(－1,1)上为单调减函数，
当a＜0时，f(x)在(－1,1)上为单调增函数．
考点2　函数的最值
　求函数最值的5种常用方法及其思路
(1)单调性法：先确定函数的单调性，再由单调性求最值．
(2)图象法：先作出函数的图象，再观察其最高点、最低点，求出最值．
(3)基本不等式法：先对解析式变形，使之具备“一正二定三相等”的条件后用基本不等式求出最值．
(4)导数法：先求导，然后求出在给定区间上的极值，最后结合端点值，求出最值．
(5)换元法：对比较复杂的函数可通过换元转化为熟悉的函数，再用相应的方法求最值．
(1)若函数f(x)＝的最小值为f(0)，则实数a的取值范围是(　　)
A．[－1,2] B．[－1,0]
C．[1,2] D．[0,2]
(2)函数f(x)＝－log2(x＋2)在区间[－1,1]上的最大值为________．
(3)函数y＝－x(x≥0)的最大值为________．
(1)D　(2)3　(3)　[(1)当x＞0时，f(x)＝x＋＋a≥2＋a，当且仅当x＝，即x＝1时，等号成立．
故当x＝1时取得最小值2＋a，
∵f(x)的最小值为f(0)，
∴当x≤0时，f(x)＝(x－a)2单调递减，故a≥0，
此时的最小值为f(0)＝a2，故2＋a≥a2，得－1≤a≤2.
又a≥0，得0≤a≤2.故选D.
(2)∵f(x)＝－log2(x＋2)在区间[－1,1]上单调递减，∴f(x)max＝f(－1)＝3－log21＝3.
(3)令t＝，则t≥0，所以y＝t－t2＝－＋，当t＝，即x＝时，ymax＝.]
[逆向问题]　若函数f(x)＝－＋b(a＞0)在上的值域为，则a＝________，b＝________.
1　　[∵f(x)＝－＋b(a＞0)在上是增函数，
∴f(x)min＝f＝，f(x)max＝f(2)＝2.
即
解得a＝1，b＝.]
(1)求函数的最值时，应先确定函数的定义域．如本例(3)．
(2)求分段函数的最值时，应先求出每一段上的最值，再选取其中最大的作为分段函数的最大值，最小的作为分段函数的最小值．如本例(1)．
(3)若函数f(x)在区间[a，b]上单调，则必在区间的端点处取得最值．如本例(2)；若函数f(x)在区间[a，b]上不单调，则最小值为函数f(x)在该区间内的极小值和区间端点值中最小的值，最大值为函数f(x)在该区间内的极大值和区间端点值中最大的值．
　1.函数f(x)＝的值域为________．
(－∞，－4]∪[4，＋∞)　[当x＞0时，f(x)＝x＋≥4，
当且仅当x＝2时取等号；
当x＜0时，－x＋≥4，
即f(x)＝x＋≤－4，
当且仅当x＝－2时取等号，
所以函数f(x)的值域为(－∞，－4]∪[4，＋∞)．]
2．对于任意实数a，b，定义min{a，b}＝设函数f(x)＝－x＋3，g(x)＝log2x，则函数h(x)＝min{f(x)，g(x)}的最大值是________．
1　[法一：(图象法)在同一坐标系中，作函数f(x)，g(x)图象，
依题意，h(x)的图象如图所示．

易知点A(2,1)为图象的最高点，
因此h(x)的最大值为h(2)＝1.
法二：(单调性法)依题意，h(x)＝
当0＜x≤2时，h(x)＝log2 x是增函数，
当x＞2时，h(x)＝3－x是减函数，
所以h(x)在x＝2时取得最大值h(2)＝1.]
考点3　函数单调性的应用
　比较大小
　比较函数值大小的解题思路
比较函数值的大小时，若自变量的值不在同一个单调区间内，要利用其函数性质，转化到同一个单调区间内进行比较，对于选择题、填空题能数形结合的尽量用图象法求解．
　已知函数f(x)的图象向左平移1个单位后关于y轴对称，当x2＞x1＞1时，[f(x2)－f(x1)](x2－x1)＜0恒成立，设a＝f，b＝f(2)，c＝f(3)，则a，b，c的大小关系为(　　)
A．c＞a＞b B．c＞b＞a
C．a＞c＞b D．b＞a＞c
D　[根据已知可得函数f(x)的图象关于直线x＝1对称，且在(1，＋∞)上是减函数．所以a＝f＝f，f(2)＞f(2.5)＞f(3)，所以b＞a＞c.]
　本例先由[f(x2)－f(x1)](x2－x1)＜0得出f(x)在(1，＋∞)上是减函数，然后借助对称性，化变量－，2,3于同一单调区间，并借助单调性比较大小．
　解不等式
　求解含“f”的函数不等式的解题思路
先利用函数的相关性质将不等式转化为f(g(x))＞f(h(x))的形式，再根据函数的单调性去掉“f”，得到一般的不等式g(x)＞h(x)(或g(x)＜h(x))．此时要特别注意函数的定义域．
　定义在[－2,2]上的函数f(x)满足(x1－x2)·[f(x1)－f(x2)]＞0，x1≠x2，且f(a2－a)＞f(2a－2)，则实数a的取值范围为(　　)
A．[－1,2) B．[0,2)
C．[0,1) D．[－1,1)
C　[因为函数f(x)满足(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]＞0，x1≠x2，所以函数在[－2,2]上单调递增，
所以－2≤2a－2＜a2－a≤2，解得0≤a＜1，故选C.]
　本例在求解时，应注意隐含条件为a2－a∈[－2,2]，2a－2∈[－2,2]．
[教师备选例题]
f(x)是定义在(0，＋∞)上的单调增函数，满足f(xy)＝f(x)＋f(y)，f(3)＝1，则不等式f(x)＋f(x－8)≤2的解集为________．
(8,9]　[因为2＝1＋1＝f(3)＋f(3)＝f(9)，由f(x)＋f(x－8)≤2可得f[x(x－8)]≤f(9)，f(x)是定义在(0，＋∞)上的增函数，所以有解得8 　根据函数的单调性求参数
　利用单调性求参数的范围(或值)的方法
(1)视参数为已知数，依据函数的图象或单调性定义，确定函数的单调区间，与已知单调区间比较求参数．
(2)需注意若函数在区间[a，b]上是单调的，则该函数在此区间的任意子集上也是单调的．
(1)(2019·郑州模拟)函数y＝在(－1，＋∞)上单调递增，则a的取值范围是(　　)
A．a＝－3 B．a＜3
C．a≤－3 D．a≥－3
(2)设函数f(x)＝若函数y＝f(x)在区间(a，a＋1)上单调递增，则实数a的取值范围是(　　)
A．(－∞，1] B．[1,4]
C．[4，＋∞) D．(－∞，1]∪[4，＋∞)
(1)C　(2)D　[(1)y＝＝1＋＝1＋，由题意知得a≤－3.
所以a的取值范围是a≤－3.
(2)作出函数f(x)的图象如图所示 ，由图象可知f(x)在(a，a＋1)上单调递增，需满足a≥4或a＋1≤2，即a≤1或a≥4，故选D.
]
　分段函数的单调性，除注意各段的单调性外，还要注意衔接点的取值．如本例(2)．
　1.若函数f(x)＝2|x－a|＋3在区间[1，＋∞)上不单调，则a的取值范围是(　　)
A．[1，＋∞) B．(1，＋∞)
C．(－∞，1) D．(－∞，1]
B　[因为函数f(x)＝2|x－a|＋3＝且函数f(x)＝2|x－a|＋3在区间[1，＋∞)上不单调，所以a＞1.
所以a的取值范围是(1，＋∞)．故选B.]
2．已知函数f(x)＝若f(2－x2)＞f(x)，则实数x的取值范围是(　　)
A．(－∞，－1)∪(2，＋∞)
B．(－∞，－2)∪(1，＋∞)
C．(－1,2)
D．(－2,1)
D　[因为当x＝0时，两个表达式对应的函数值都为零，所以函数的图象是一条连续的曲线．
因为当x≤0时，
函数f(x)＝x3为增函数，
当x＞0时，f(x)＝ln(x＋1)也是增函数，
所以函数f(x)是定义在R上的增函数．
因此，不等式f(2－x2)＞f(x)等价于2－x2＞x，
即x2＋x－2＜0，
解得－2＜x＜1.]
3．已知f(x)＝满足对任意x1≠x2，都有＞0成立，那么a的取值范围是(　　)
A．(1,2) B.
C. D.
C　[由已知条件得f(x)为增函数，
所以解得≤a＜2，
所以a的取值范围是.故选C.]