2021版江苏高考数学一轮复习讲义：第1章第5节　基本不等式

第五节　基本不等式
[最新考纲]　1.了解基本不等式的证明过程.2.会用基本不等式解决简单的最大(小)值问题．


1．基本不等式：≤
(1)基本不等式成立的条件：a≥0，b≥0.
(2)等号成立的条件：当且仅当a＝b时取等号．
(3)其中称为正数a，b的算术平均数，称为正数a，b的几何平均数．
2．两个重要的不等式
(1)a2＋b2≥2ab(a，b∈R)，当且仅当a＝b时取等号．
(2)ab≤(a，b∈R)，当且仅当a＝b时取等号．
3．利用基本不等式求最值
已知x≥0，y≥0，则
(1)如果积xy是定值p，那么当且仅当x＝y时，x＋y有最小值是2(简记：积定和最小)．
(2)如果和x＋y是定值s，那么当且仅当x＝y时，xy有最大值是(简记：和定积最大)．

1.＋≥2(a，b同号)，当且仅当a＝b时取等号．
2．ab≤≤.
3.≤≤≤(a＞0，b＞0)．

一、思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)两个不等式a2＋b2≥2ab与≥成立的条件是相同的．
(　　)
(2)若a>0，则a3＋的最小值为2. (　　)
(3)函数f(x)＝sin x＋，x∈(0，π)的最小值为4. (　　)
(4)x＞0且y＞0是＋≥2的充要条件． (　　)
[答案](1)×　(2)×　(3)×　(4)×
二、教材改编
1．设x＞0，y＞0，且x＋y＝18，则xy的最大值为(　　)
A．80　　　　　　　　 B．77
C．81 D．82
C　[xy≤＝81，当且仅当x＝y＝9时，等号成立．故选C.]
2．若x2)的最小值为________．
4　[当x>2时，x－2>0，f(x)＝(x－2)＋＋2≥2
＋2＝4，当且仅当x－2＝(x>2)，即x＝3时取等号．]
4．若把总长为20 m的篱笆围成一个矩形场地，则矩形场地的最大面积是__________m2.
25　[设矩形的一边为x m，矩形场地的面积为y，
则另一边为×(20－2x)＝(10－x)m，
则y＝x(10－x)≤＝25，
当且仅当x＝10－x，即x＝5时，ymax＝25.]

考点1　利用基本不等式求最值
　配凑法求最值
　配凑法的实质是代数式的灵活变形，即将相关代数式进行适当的变形，通过添项、拆项、凑系数等方法凑成“和为定值”或“积为定值”的形式(如：凑成x＋(a＞0)，＋的形式等)，然后利用基本不等式求解最值的方法.
(1)(2019·大连模拟)已知a，b是正数，且4a＋3b＝6，则a(a＋3b)的最大值是(　　)
A.　　　　　　 B.
C．3 D．9
(2)函数y＝(x>1)的最小值为________．
(3)已知x>，则y＝4x＋的最小值为________，此时x＝________.
(1)C　(2)2＋2　(3)7　　[(1)∵a>0，b>0,4a＋3b＝6，∴a(a＋3b)＝·3a(a＋3b)≤＝×2＝3，当且仅当3a＝a＋3b，即a＝1，b＝时，a(a＋3b)的最大值是3.
(2)∵x>1，∴x－1>0，
∴y＝＝
＝
＝(x－1)＋＋2≥2＋2.
当且仅当x－1＝，即x＝＋1时，等号成立．
(3)∵x>，∴4x－5>0.
y＝4x＋＝4x－5＋＋5≥2＋5＝7.
当且仅当4x－5＝，即x＝时上式“＝”成立．
即x＝时，ymin＝7.]
[母题探究]　把本例(3)中的条件“x>”，改为“x0，则＋取最小值时，a的值为________．
－2　[∵a＋b＝2，b>0，
∴＋＝＋＝＋
＝＋＋≥＋2＝＋1，
当且仅当＝时等号成立．
又a＋b＝2，b>0，
∴当b＝－2a，a＝－2时，＋取得最小值．]
　(2019·深圳市福田区模拟)已知a＞1，b＞0，a＋b＝2，则＋的最小值为(　　)
A.＋ B.＋
C．3＋2 D.＋
A　[已知a＞1，b＞0，a＋b＝2，可得(a－1)＋b＝1，
又a－1＞0，则＋＝[(a－1)＋b]
＝1＋＋＋≥＋2＝＋.
当且仅当＝，a＋b＝2时取等号．
则＋的最小值为＋.故选A.]
　消元法求最值
　对于含有多个变量的条件最值问题，若直接运用基本不等式无法求最值时，可尝试减少变量的个数，即根据题设条件建立两个变量之间的函数关系，然后代入代数式转化为只含有一个变量的函数的最值问题，即减元(三元化二元，二元化一元)．
　(2019·嘉兴期末)已知a＞0，b＞0，且2a＋b＝ab－1，则a＋2b的最小值为(　　)
A．5＋2 B．8
C．5 D．9
A　[∵a＞0，b＞0，且2a＋b＝ab－1，
∴a＝＞0，∴b＞2，
∴a＋2b＝＋2b＝2(b－2)＋＋5
≥5＋2＝5＋2.
当且仅当2(b－2)＝，即b＝2＋时取等号．
∴a＋2b的最小值为5＋2.故选A.]
　求解本题的关键是将等式“2a＋b＝ab－1”变形为“a＝，然后借助配凑法求最值．
　(2019·新余模拟)已知正实数a，b，c满足a2－2ab＋9b2－c＝0，则当取得最大值时，＋－的最大值为(　　)
A．3 B.
C．1 D．0
C　[由正实数a，b，c满足a2－2ab＋9b2＝c，得＝＝＝≤，当且仅当＝，即a＝3b时，取最大值.
又因为a2－2ab＋9b2－c＝0，
所以此时c＝12b2，
所以＋－＝≤＝1，
故最大值为1.]
　利用两次基本不等式求最值
　当运用一次基本不等式无法求得代数式的最值时，常采用第二次基本不等式；需注意连续多次使用基本不等式时，一定要注意每次是否能保证等号成立，并且注意取等号的条件的一致性．
　已知a＞b＞0，那么a2＋的最小值为________．
4　[由题意a＞b＞0，则a－b＞0，
所以b(a－b)≤＝，
所以a2＋≥a2＋≥2＝4，
当且仅当b＝a－b且a2＝，即a＝，b＝时取等号，所以a2＋的最小值为4.]
　由于b＋(a－b)为定值，故可求出b(a－b)的最大值，然后再由基本不等式求出题中所给代数式的最小值．
　若a，b∈R，ab＞0，则的最小值为________．
4　[因为ab＞0，所以≥＝＝4ab＋≥2＝4，当且仅当时取等号，故的最小值是4.]
考点2　利用基本不等式解决实际问题
　利用基本不等式解决实际问题的3个注意点
(1)设变量时一般要把求最大值或最小值的变量定义为函数．
(2)根据实际问题抽象出函数的解析式后，只需利用基本不等式求得函数的最值．
(3)在求函数的最值时，一定要在定义域(使实际问题有意义的自变量的取值范围)内求解．
　经测算，某型号汽车在匀速行驶过程中每小时耗油量y(L)与速度x(km/h)(50≤x≤120)的关系可近似表示为y＝
(1)该型号汽车的速度为多少时，可使得每小时耗油量最少？
(2)已知A，B两地相距120 km，假定该型号汽车匀速从A地驶向B地，则汽车速度为多少时总耗油量最少？
[解](1)当x∈[50,80)时，y＝(x2－130x＋4 900)＝[(x－65)2＋675]，
所以当x＝65时，y取得最小值，最小值为×675＝9.
当x∈[80,120]时，函数y＝12－单调递减，
故当x＝120时，y取得最小值，最小值为12－＝10.
因为9