2020版高考数学（理）新创新一轮复习通用版讲义：第九章第五节椭圆

第五节椭__圆
1．椭圆的定义
平面内到两定点F1，F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆．两定点F1，F2叫做椭圆的焦点．
集合P＝{M||MF1|＋|MF2|＝2a}，|F1F2|＝2c，其中a＞0，c＞0，且a，c为常数．
(1)当2a＞|F1F2|时，M点的轨迹是椭圆；
(2)当2a＝|F1F2|时，M点的轨迹是线段F1F2；
(3)当2a＜|F1F2|时，M点不存在．
2．椭圆的标准方程和几何性质
标准方程
＋＝1(a＞b＞0)
＋＝1(a＞b＞0)
图形


性质
范围
　 　x∈[－a，a]，　y∈[－b，b]
　x∈[－b，b]，y∈[－a，a]
对称性
对称轴：坐标轴；对称中心：原点
顶点
A1(－a,0)，A2(a,0)
B1(0，－b)，B2(0，b)
A1(0，－a)，A2(0，a)
B1(－b,0)，B2(b,0)
离心率
e＝，且e∈(0,1)
a，b，c的关系
c2＝a2－b2

离心率表示椭圆的扁平程度.当e越接近于1时，c越接近于a，从而b＝越小，因此椭圆越扁；当e越接近于0时，c越接近于0，从而b＝越大，因此椭圆越接近圆；当e＝0时，c＝0，a＝b，两焦点重合，图形就是圆.
[熟记常用结论]
1．焦半径：椭圆上的点P(x0，y0)与左(下)焦点F1与右(上)焦点F2之间的线段的长度叫做椭圆的焦半径，分别记作r1＝|PF1|，r2＝|PF2|.
(1)＋＝1(a＞b＞0)，r1＝a＋ex0，r2＝a－ex0；
(2)＋＝1(a＞b＞0)，r1＝a＋ey0，r2＝a－ey0；
(3)焦半径中以长轴为端点的焦半径最大和最小(近日点与远日点)．
2．焦点三角形：椭圆上的点P(x0，y0)与两焦点构成的△PF1F2叫做焦点三角形，∠F1PF2＝θ，△PF1F2的面积为S，则在椭圆＋＝1(a＞b＞0)中
(1)当P为短轴端点时，θ最大．
(2)S＝|PF1||PF2|·sin θ＝b2tan ＝c|y0|，当|y0|＝b时，即点P为短轴端点时，S取最大值，最大值为bc.
(3)焦点三角形的周长为2(a＋c)．
3．焦点弦(过焦点的弦)：焦点弦中以通径(垂直于长轴的焦点弦)最短，弦长lmin＝.
4．AB为椭圆＋＝1(a＞b＞0)的弦，A(x1，y1)，B(x2，y2)，弦中点M(x0，y0)，则
(1)弦长l＝|x1－x2|＝ |y1－y2|；
(2)直线AB的斜率kAB＝－.
[小题查验基础]
一、判断题(对的打“√”，错的打“×”)
(1)平面内与两个定点F1，F2的距离之和等于常数的点的轨迹是椭圆．(　　)
(2)椭圆的离心率e越大，椭圆就越圆．(　　)
(3)方程mx2＋ny2＝1(m＞0，n＞0，m≠n)表示的曲线是椭圆．(　　)
(4)＋＝1(a≠b)表示焦点在y轴上的椭圆．(　　)
答案：(1)×　(2)×　(3)√　(4)×
二、选填题
1．椭圆C：＋＝1的左、右焦点分别为F1，F2，过F2的直线交椭圆C于A，B两点，则△F1AB的周长为(　　)
A．12　　　　　　　　　 B．16
C．20 D．24
解析：选C　△F1AB的周长为|F1A|＋|F1B|＋|AB|＝|F1A|＋|F2A|＋|F1B|＋|F2B|＝2a＋2a＝4a.
∵在椭圆＋＝1中，a2＝25，即a＝5，
∴△F1AB的周长为4a＝20.故选C.
2．椭圆C的长轴长是短轴长的3倍，则C的离心率为(　　)
A. B.
C. D.
解析：选D　不妨设椭圆C的方程为＋＝1(a＞b＞0)，则2a＝2b×3，即a＝3b.∴a2＝9b2＝9(a2－c2)．
即＝，∴e＝＝.故选D.
3．椭圆C的一个焦点为F1(0,1)，并且经过点P，则椭圆C的标准方程为(　　)
A.＋＝1 B.＋＝1
C.＋＝1 D.＋＝1
解析：选D　由题意可设椭圆C的标准方程为＋＝1(a＞b＞0)，且另一个焦点为F2(0，－1)，
所以2a＝|PF1|＋|PF2|
＝ ＋ ＝4.
所以a＝2，又c＝1，
所以b2＝a2－c2＝3.
故椭圆C的标准方程为＋＝1.故选D.
4．已知椭圆＋＝1(m＞0)的左焦点为F1(－4,0)，则m＝________.
解析：依题意有25－m2＝16，∴m2＝9，∵m＞0，∴m＝3.
答案：3
5．若方程＋＝1表示椭圆，则k的取值范围是______________．
解析：由已知得
解得3＜k＜5且k≠4.
答案：(3,4)∪(4,5)
第一课时　椭圆及其性质

[典例精析]
(1)已知两圆C1：(x－4)2＋y2＝169，C2：(x＋4)2＋y2＝9，动圆M在圆C1内部且和圆C1相内切，和圆C2相外切，则动圆圆心M的轨迹方程为(　　)
A.－＝1　　　　　　 B.＋＝1
C.－＝1 D.＋＝1
(2)已知F1，F2是椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的两个焦点，P为椭圆C上的一点，且⊥.若△PF1F2的面积为9，则b＝__________.
(3)已知F是椭圆5x2＋9y2＝45的左焦点，P是此椭圆上的动点，A(1,1)是一定点，则|PA|＋|PF|的最大值为________，最小值为________．
[解析]　(1)设圆M的半径为r，
则|MC1|＋|MC2|＝(13－r)＋(3＋r)＝16＞8＝|C1C2|，
所以M的轨迹是以C1，C2为焦点的椭圆，且2a＝16,2c＝8，
故所求的轨迹方程为＋＝1.
(2)设|PF1|＝r1，|PF2|＝r2，则
∴2r1r2＝(r1＋r2)2－(r＋r)＝4a2－4c2＝4b2，
∴S△PF1F2＝r1r2＝b2＝9，∴b＝3.
(3)椭圆方程化为＋＝1，
设F1是椭圆的右焦点，则F1(2,0)，
∴|AF1|＝，∴|PA|＋|PF|＝|PA|－|PF1|＋6，
又－|AF1|≤|PA|－|PF1|≤|AF1|(当P，A，F1共线时等号成立)，
∴6－≤|PA|＋|PF|≤6＋.
[答案]　(1)D　(2)3　(3)6＋　6－
　　
1．在本例(2)中增加条件“△PF1F2的周长为18”，其他条件不变，则该椭圆的方程为________________．
解析：由原题得b2＝a2－c2＝9，
又2a＋2c＝18，
所以a－c＝1，解得a＝5，
故椭圆方程为＋＝1.
答案：＋＝1
2．(变条件)将本例(2)中的条件“⊥”“△PF1F2的面积为9”变为“∠F1PF2＝60° ”，“＝3”，则b的值为________．
解析：因为|PF1|＋|PF2|＝2a，又∠F1PF2＝60° ，
所以|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1||PF2|cos 60° ＝|F1F2|2，
即(|PF1|＋|PF2|)2－3|PF1||PF2|＝4c2，
所以3|PF1||PF2|＝4a2－4c2＝4b2，
所以|PF1||PF2|＝b2，
又因为＝|PF1||PF2|sin 60° ＝×b2×＝b2＝3，
所以b＝3.
答案：3
[解题技法]
椭圆定义的应用技巧
椭圆定义的应用主要有两个方面：一是确认平面内与两定点有关的轨迹是否为椭圆；二是当P在椭圆上时，与椭圆的两焦点F1，F2组成的三角形通常称为“焦点三角形”，利用定义可求其周长，利用定义和余弦定理可求|PF1|·|PF2|，通过整体代入可求其面积等．
[过关训练]
1.如图，圆O的半径为定长r，A是圆O内一个定点，P是圆上任意一点，线段AP的垂直平分线l和半径OP相交于点Q，当点P在圆上运动时，点Q的轨迹是(　　)
A．椭圆 B.双曲线
C．抛物线 D．圆
解析：选A　连接QA(图略)．由已知得|QA|＝|QP|.
所以|QO|＋|QA|＝|QO|＋|QP|＝|OP|＝r.
又因为点A在圆内，所以|OA|＜|OP|，根据椭圆的定义，得点Q的轨迹是以O，A为焦点，r为长轴长的椭圆．
2．(2018·惠州模拟)设F1，F2为椭圆＋＝1的两个焦点，点P在椭圆上，若线段PF1的中点在y轴上，则的值为(　　)
A. B.
C. D.
解析：选D　如图，设线段PF1的中点为M，因为O是F1F2的中点，所以OM∥PF2，可得PF2⊥x轴，|PF2|＝＝，|PF1|＝2a－|PF2|＝，＝，故选D.
3．(2019·合肥质量检测)如图，椭圆＋＝1(a＞0)的左、右焦点分别为F1，F2，过F1的直线交椭圆于M，N两点，交y轴于点H.若F1，H是线段MN的三等分点，则△F2MN的周长为(　　)
A．20 B.10
C．2 D．4
解析：选D　由F1，H是线段MN的三等分点，得H是F1N的中点，又F1(－c,0)，∴点N的横坐标为c，联立方程得得N，∴H，M.把点M的坐标代入椭圆方程得＋＝1，化简得c2＝，又c2＝a2－4，∴＝a2－4，解得a2＝5，∴a＝.由椭圆的定义知|NF2|＋|NF1|＝|MF2|＋|MF1|＝2a，∴△F2MN的周长为|NF2|＋|MF2|＋|MN|＝|NF2|＋|MF2|＋|NF1|＋|MF1|＝4a＝4，故选D.

[典例精析]
(1)(2019·黄冈模拟)如图，已知椭圆C的中心为原点O，F(－5,0)为C的左焦点，P为C上一点，满足|OP|＝|OF|且|PF|＝6，则椭圆C的标准方程为(　　)
A.＋＝1　　　　　　 B.＋＝1
C.＋＝1 D.＋＝1
(2)已知椭圆的中心在原点，以坐标轴为对称轴，且经过两点，(，)，则椭圆的方程为____________________．
(3)过点(，－)，且与椭圆＋＝1有相同焦点的椭圆的标准方程为________________________．
[解析]　(1)由题意可得c＝5，设右焦点为F′，连接PF′(图略)，由|OP|＝|OF|＝|OF′|知，∠PFF′＝∠FPO，∠OF′P＝∠OPF′，∴∠PFF′＋∠OF′P＝∠FPO＋∠OPF′，∴∠FPO＋∠OPF′＝90° ，即PF⊥PF′.在Rt△PFF′中，
由勾股定理，得|PF′|＝＝＝8，
由椭圆的定义，得|PF|＋|PF′|＝2a＝6＋8＝14，
从而a＝7，a2＝49，
于是b2＝a2－c2＝49－25＝24，
∴椭圆C的方程为＋＝1，故选C.
(2)设椭圆方程为mx2＋ny2＝1(m＞0，n＞0，m≠n)．
由解得m＝，n＝.
所以椭圆方程为＋＝1.
(3)法一：定义法
椭圆＋＝1的焦点为(0，－4)，(0,4)，即c＝4.
由椭圆的定义，知2a＝＋，
解得a＝2.
由c2＝a2－b2可得b2＝4，
所以所求椭圆的标准方程为＋＝1.
法二：待定系数法
∵所求椭圆与椭圆＋＝1的焦点相同，
∴其焦点在y轴上，且c2＝25－9＝16.
设它的标准方程为＋＝1(a＞b＞0)．
∵c2＝16，且c2＝a2－b2，故a2－b2＝16.①
又点(，－)在所求椭圆上，
∴＋＝1，
即＋＝1.②
由①②得b2＝4，a2＝20，
∴所求椭圆的标准方程为＋＝1.
[答案]　(1)C　(2)＋＝1　(3)＋＝1
[解题技法]
根据条件求椭圆方程的2种方法
定义法
根据椭圆的定义，确定a2，b2的值，结合焦点位置写出椭圆方程
待定系数法
待定系数法是根据题目所给的条件确定椭圆中的两个系数a，b.当不知焦点在哪一个坐标轴上时，一般可设所求椭圆的方程为mx2＋ny2＝1(m＞0，n＞0，m≠n)，再用待定系数法求出m，n的值即可

[过关训练]
1．已知椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的左、右焦点分别为F1，F2，离心率为，过F2的直线l交C于A，B两点．若△AF1B的周长为4，则椭圆C的方程为(　　)
A.＋＝1　　　　　　　 B.＋y2＝1
C.＋＝1 D.＋＝1
解析：选A　由题意及椭圆的定义知4a＝4，则a＝，
又＝＝，所以c＝1，所以b2＝2，所以椭圆C的方程为＋＝1.故选A.
2．(2019·安徽江南十校模拟)已知椭圆G的中心为坐标原点O，点F，B分别为椭圆G的右焦点和短轴端点．点O到直线BF的距离为，过F垂直于椭圆长轴的弦长为2，则椭圆G的方程是(　　)
A.＋＝1 B.＋＝1
C.＋＝1 D.＋＝1
解析：选C　设椭圆方程为＋＝1(a＞b＞0)，由已知设BF的方程为＋＝1，因为点O到直线BF的距离为.所以＝，又因为过F垂直于椭圆长轴的弦长为2，所以＝2，结合a2＝b2＋c2，知a＝4，b＝2，故选C.

[考法全析]
考法(一)　求椭圆的离心率的值(范围)
[例1]　(1)(2018·全国卷Ⅱ)已知F1，F2是椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的左、右焦点，A是C的左顶点，点P在过A且斜率为的直线上，△PF1F2为等腰三角形，∠F1F2P＝120°，则C的离心率为(　　)
A.　　　　　　　　　 B.
C. D.
(2)(2019·福州模拟)过椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的右焦点作x轴的垂线，交C于A，B两点，直线l过C的左焦点和上顶点．若以AB为直径的圆与l存在公共点，则C的离心率的取值范围是(　　)
A. B.
C. D.
[解析]　(1)如图，作PB⊥x轴于点B.由题意可设|F1F2|＝|PF2|＝2，则c＝1.由∠F1F2P＝120°，可得|PB|＝，|BF2|＝1，故|AB|＝a＋1＋1＝a＋2，tan ∠PAB＝＝＝，解得a＝4，所以e＝＝.
(2)由题设知，直线l：＋＝1，即bx－cy＋bc＝0，以AB为直径的圆的圆心为(c,0)，根据题意，将x＝c代入椭圆C的方程，得y＝±，即圆的半径r＝.又圆与直线l有公共点，所以≤ ，化简得2c≤b，平方整理得a2≥5c2，所以e＝≤.又0＜e＜1，所以0＜e≤.故选A.
[答案]　(1)D　(2)A
考法(二)　与椭圆有关的范围(最值)问题
[例2]　P为椭圆＋＝1上任意一点，EF为圆N：(x－1)2＋y2＝4的任意一条直径，则·的取值范围是(　　)
A．[0,15] B.[5,15]
C．[5,21] D．(5,21)
[解析]　由题意知圆N的圆心N(1,0)恰好是椭圆的右焦点，因为·＝(＋)·(＋)＝(＋)·(－)＝2－2＝||2－4，因为a－c≤||≤a＋c，即3≤||≤5，所以·的取值范围是[5,21]．
[答案]　C
[规律探求]
看个性
考法(一)求椭圆离心率的值(范围)，其方法为
(1)定义法：根据条件求出a，c，直接利用公式e＝求解．
(2)方程法：根据条件得到关于a，b，c的齐次等式(不等式)，结合b2＝a2－c2转化为关于a，c的齐次等式(不等式)，然后将该齐次等式(不等式)两边同时除以a或a2转化为关于e或e2的方程(不等式)，解方程(不等式)即可得e(e的取值范围)．
考法(二)与椭圆有关的最值(范围)问题
与椭圆有关的范围或最值问题常常涉及一些不等式．例如－a≤x≤a，－b≤y≤b,0＜e＜1，所以在求与椭圆有关的相关量的范围时，要注意应用这些不等关系
[口诀记忆]
离心率，不用愁，
寻找等式消b求；
几何图形寻踪迹，
等式藏在图形中．
找共性
1.无论题型如何变化，都是围绕椭圆的几何性质，外加其他条件来考查，所以理清椭圆的几个关键点(顶点、原点、焦点、对称轴)和灵活应用几个公式，理清a，b，c的内在联系(a，b，c的关系式―→构造a，c的齐次方程或不等式)，便可以不变应万变．
2.与椭圆几何性质有关的问题要结合图形进行分析，即使画不出图形，思考时也要联想到一个图形

[过关训练]
1．(2019·温州模拟)正方形ABCD的四个顶点都在椭圆＋＝1(a＞b＞0)上，若椭圆的焦点在正方形的内部，则椭圆的离心率的取值范围是(　　)
A. B.
C. D.
解析：选B　由题意，作出示意图如图所示．
根据对称性可知B，D在直线y＝x上，设D(m，m)，则＋＝1，即m2＝＞c2⇒b2＞ac，整理得c2＋ac－a2＜0，即e2＋e－1＜0，解得0＜e＜.
2．(2018·南充模拟)已知椭圆＋＝1(0＜b＜2)的左、右焦点分别为F1，F2，过F1的直线l交椭圆于A，B两点，若|BF2|＋|AF2|的最大值为5，则b的值是________．
解析：由椭圆的方程可知a＝2，由椭圆的定义可知，|AF2|＋|BF2|＋|AB|＝4a＝8，所以|AB|＝8－(|AF2|＋|BF2|)≥3.由椭圆的性质可知过椭圆焦点的弦中，通径最短，则＝3，所以b2＝3，即b＝.
答案：

一、题点全面练
1．方程kx2＋4y2＝4k表示焦点在x轴上的椭圆，则实数k的取值范围是(　　)
A．(4，＋∞)　　　　　　 B．{4}
C．(－∞，4) D．(0,4)
解析：选D　因为椭圆的标准方程为＋＝1，焦点在x轴上，所以0＜k＜4.
2．(2019·六盘水模拟)已知点F1，F2分别为椭圆C：＋＝1的左、右焦点，若点P在椭圆C上，且∠F1PF2＝60°，则|PF1|·|PF2|＝ (　　)
A．4 B.6
C．8 D．12
解析：选A　由|PF1|＋|PF2|＝4，|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1|·|PF2|·cos60°＝|F1F2|2，得3|PF1|·|PF2|＝12，所以|PF1|·|PF2|＝4，故选A.
3．(2018·大连二模)焦点在x轴上的椭圆方程为＋＝1(a＞b＞0)，短轴的一个端点和两个焦点相连构成一个三角形，该三角形内切圆的半径为，则椭圆的离心率为(　　)
A. B.
C. D.
解析：选C　由短轴的一个端点和两个焦点相连构成一个三角形，又由三角形面积公式得×2c×b＝(2a＋2c)×，得a＝2c，即e＝＝，故选C.
4．若点O和点F分别为椭圆＋＝1的中心和左焦点，点P为椭圆上的任意一点，则·的最大值为 (　　)
A．2 B.3
C．6 D．8
解析：选C　设点P(x0，y0)，则＋＝1，即y＝3－.因为点F(－1,0)，所以·＝x0(x0＋1)＋y＝x＋x0＋3＝(x0＋2)2＋2.又x0∈[－2,2]，所以(·)max＝6.
5. (2019·滁州模拟)已知椭圆E：＋＝1(a＞b＞0)的右焦点为F，短轴的一个端点为M，直线l：3x－4y＝0交椭圆E于A，B两点．若|AF|＋|BF|＝4，点M到直线l的距离不小于，则椭圆E的离心率的取值范围是(　　)
A. B.
C. D.
解析：选A　根据椭圆的对称性及椭圆的定义可得，|AF|＋|BF|＝2a＝4，所以a＝2.设M(0，b)，
因为d＝≥，所以1≤b＜2.又e＝＝＝ ，所以0＜e≤.故选A.
6．椭圆＋y2＝1的左、右焦点分别为F1，F2，过F1作垂直于x轴的直线与椭圆相交，一个交点为P，则|PF2|＝__________.
解析：F1(－，0)，∵PF1⊥x轴，∴P，
∴||＝，
∴||＝4－＝.
答案：
7. 与圆C1：(x＋3)2＋y2＝1外切，且与圆C2：(x－3)2＋y2＝81内切的动圆圆心P的轨迹方程为__________．
解析：设动圆的半径为r，圆心为P(x，y)，则有|PC1|＝r＋1，|PC2|＝9－r.所以|PC1|＋|PC2|＝10＞|C1C2|＝6，即P在以C1(－3,0)，C2(3,0)为焦点，长轴长为10的椭圆上，所以点P的轨迹方程为＋＝1.
答案：＋＝1
8. (2019·嘉兴模拟)已知椭圆＋＝1(a＞b＞c＞0，a2＝b2＋c2)的左、右焦点分别为F1，F2，若以F2为圆心，b－c为半径作圆F2，过椭圆上一点P作此圆的切线，切点为T，且|PT|的最小值不小于(a－c)，则椭圆的离心率e的取值范围是__________．
解析：因为|PT|＝，|PF2|的最小值为a－c，所以|PT|的最小值为.
依题意，有≥(a－c)，所以(a－c)2≥4(b－c)2，所以a－c≥2(b－c)，所以a＋c≥2b，所以(a＋c)2≥4(a2－c2)，所以5c2＋2ac－3a2≥0，所以5e2＋2e－3≥0.①
又b＞c，所以b2＞c2，所以a2－c2＞c2，所以2e2＜1.②
联立①②，得≤e＜.
答案：
9．已知椭圆C的两个顶点分别为A(－2,0)，B(2,0)，焦点在x轴上，离心率为.
(1)求椭圆C的方程；
(2)点D为x轴上一点，过D作x轴的垂线交椭圆C于不同的两点M，N，过D作AM的垂线交BN于点E.求证：△BDE与△BDN的面积之比为4∶5.
解：(1)设椭圆C的方程为＋＝1(a＞b＞0)．
由题意得解得c＝.所以b2＝a2－c2＝1.
所以椭圆C的方程为＋y2＝1.
(2)证明：设M(m，n)，则D(m,0)，N(m，－n)．
由题设知m≠±2，且n≠0.
直线AM的斜率kAM＝，
故直线DE的斜率kDE＝－.
所以直线DE的方程为y＝－(x－m)．
直线BN的方程为y＝(x－2)．
联立
解得点E的纵坐标yE＝－.
由点M在椭圆C上，得4－m2＝4n2，所以yE＝－n.
又S△BDE＝|BD|·|yE|＝|BD|·|n|，
S△BDN＝|BD|·|n|.
所以△BDE与△BDN的面积之比为4∶5.
10．(2019·西安模拟)已知椭圆＋＝1(a＞b＞0)的右焦点为F2(3,0)，离心率为e.
(1)若e＝，求椭圆的方程；
(2)设直线y＝kx与椭圆相交于A，B两点，M，N分别为线段AF2，BF2的中点，若坐标原点O在以MN为直径的圆上，且＜e≤，求k的取值范围．
解：(1)由题意得c＝3，＝，所以a＝2，又因为a2＝b2＋c2，所以b2＝3.所以椭圆的方程为＋＝1.
(2)由得(b2＋a2k2)x2－a2b2＝0.
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
所以x1＋x2＝0，x1x2＝，依题意易知，OM⊥ON，四边形OMF2N为平行四边形，所以AF2⊥BF2.
因为＝(x1－3，y1)， ＝(x2－3，y2)，
所以·＝(x1－3)(x2－3)＋y1y2＝(1＋k2)x1x2＋9＝0.
即＋9＝0，
将其整理为k2＝＝－1－.
因为＜e≤，所以2≤a＜3，即12≤a2＜18.
所以k2≥，即k∈∪.
二、专项培优练
(一)易错专练——不丢怨枉分
1．(2019·长沙模拟)设椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的右焦点为F，椭圆C上的两点A，B关于原点对称，且满足·＝0，|FB|≤|FA|≤2|FB|，则椭圆C的离心率的取值范围是(　　)
A. B.
C. D.
解析：选A　设椭圆左焦点为F′，由椭圆的对称性可知，四边形AFBF′为平行四边形，又·＝0，即FA⊥FB，故平行四边形AFBF′为矩形，所以|AB|＝|FF′|＝2c.
设|AF′|＝n，|AF|＝m，则在Rt△F′AF中，
m＋n＝2a①，m2＋n2＝4c2②，联立①②得mn＝2b2③.
②÷③得＋＝，令＝t，得t＋＝.
又由|FB|≤|FA|≤2|FB|得＝t∈[1,2]，所以t＋＝∈.故椭圆C的离心率的取值范围是.
2．(2019·郑州质量预测)已知椭圆＋＝1(a＞b＞0)的左顶点和上顶点分别为A，B.左、右焦点分别是F1，F2，在线段AB上有且只有一个点P满足PF1⊥PF2，则椭圆的离心率的平方为(　　)
A. B.
C. D.
解析：选B　由题意得，A(－a,0)，B(0，b)，由在线段AB上有且只有一个点P满足PF1⊥PF2，得点P是以点O为圆心，线段F1F2为直径的圆x2＋y2＝c2与线段AB的切点，连接OP，则OP⊥AB，且|OP|＝c，即点O到直线AB的距离为c.又直线AB的方程为bx－ay＋ab＝0，点O到直线AB的距离d＝＝c，两边同时平方整理得，a2b2＝c2(a2＋b2)＝(a2－b2)(a2＋b2)＝a4－b4，可得b4＋a2b2－a4＝0，两边同时除以a4，得2＋－1＝0，可得＝，则e2＝＝＝1－＝1－＝，故选B.
(二)交汇专练——融会巧迁移
3．[与立体几何交汇]如图所示，圆柱形玻璃杯中水的液面呈椭圆形状，则该椭圆的离心率为(　　)
A. B.
C. D.
解析：选B　设圆柱的底面半径为1，则椭圆的短半轴长为1，长轴长为＝，即长半轴长为，所以半焦距为，故离心率为.
4．[与数列交汇]已知实数4，m,9构成一个等比数列，则圆锥曲线＋y2＝1的离心率为(　　)
A. B.
C.或 D.或
解析：选C　由题意知m2＝36，解得m＝±6.当m＝6时，该圆锥曲线表示椭圆，此时a＝，b＝1，c＝，则e＝；当m＝－6时，该圆锥曲线表示双曲线，此时a＝1，b＝，c＝，则e＝.故选C.
5．[与圆的交汇]设F是椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的一个焦点，P是椭圆C上的点，圆x2＋y2＝与线段PF交于A，B两点，若A，B三等分线段PF，则椭圆C的离心率为(　　)
A. B.
C. D.
解析：选D　如图，取线段PF的中点H，连接OH，OA.设椭圆另一个焦点为E，连接PE.
∵A，B三等分线段PF，∴H也是线段AB的中点，即OH⊥AB.
设|OH|＝d，则|PE|＝2d，|PF|＝2a－2d，|AH|＝.
在Rt△OHA中，|OA|2＝|OH|2＋|AH|2，解得a＝5d.
在Rt△OHF中，|FH|＝a，|OH|＝，|OF|＝c.
由|OF|2＝|OH|2＋|FH|2，
化简得17a2＝25c2，＝.
即椭圆C的离心率为.故选D.
6．[与向量交汇]已知点A在椭圆＋＝1上，点P满足＝(λ－1) (λ∈R)，且·＝72，则线段OP在x轴上的投影长度的最大值为__________．
解析：∵＝(λ－1)，∴＝λ，则O，P，A三点共线，∵·＝72，∴||||＝72.设OP与x轴夹角为θ，A(x，y)，B为点A在x轴上的投影，则OP在x轴上的投影长度为||cos θ＝＝72×＝72×≤72×＝15，当且仅当|x|＝时等号成立．则线段OP在x轴上的投影长度的最大值为15.
答案：15
第二课时　直线与椭圆的位置关系

[题组练透]
1．若直线y＝kx＋1与椭圆＋＝1总有公共点，则m的取值范围是(　　)
A．(1，＋∞)　　　　　　　 B．(0，＋∞)
C．(0,1)∪(1,5) D．[1,5)∪(5，＋∞)
解析：选D　由于直线y＝kx＋1恒过点(0,1)，
所以点(0,1)必在椭圆内或椭圆上，
则0＜≤1且m≠5，
故m≥1且m≠5.
2．已知直线l：y＝2x＋m，椭圆C：＋＝1.试问当m取何值时，直线l与椭圆C：
(1)有两个不重合的公共点；
(2)有且只有一个公共点；
(3)没有公共点．
解：将直线l的方程与椭圆C的方程联立，得方程组

将①代入②，整理得9x2＋8mx＋2m2－4＝0.③
方程③根的判别式Δ＝(8m)2－4×9×(2m2－4)＝－8m2＋144.
(1)当Δ＞0，即－3＜m＜3时，方程③有两个不同的实数根，可知原方程组有两组不同的实数解．
这时直线l与椭圆C有两个不重合的公共点．
(2)当Δ＝0，即m＝±3时，方程③有两个相同的实数根，可知原方程组有两组相同的实数解．
这时直线l与椭圆C有两个互相重合的公共点，即直线l与椭圆C有且只有一个公共点．
(3)当Δ＜0，即m＜－3或m＞3时，方程③没有实数根，可知原方程组没有实数解．这时直线l与椭圆C没有公共点．
[名师微点]
判断直线与椭圆位置关系的方法
(1)判断直线和椭圆的位置关系，一般转化为研究其直线方程与椭圆方程组成的方程组解的个数．
(2)对于过定点的直线，也可以通过定点在椭圆内部或椭圆上判定直线和椭圆有交点．

[典例精析]
如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆＋＝1(a＞b＞0)的离心率为，过椭圆右焦点F作两条互相垂直的弦AB与CD.当直线AB的斜率为0时，|AB|＝4.
(1)求椭圆的方程；
(2)若|AB|＋|CD|＝，求直线AB的方程．
[解]　(1)由题意知e＝＝，2a＝4.
又a2＝b2＋c2，解得a＝2，b＝，
所以椭圆方程为＋＝1.
(2)①当两条弦中一条弦所在直线的斜率为0时，另一条弦所在直线的斜率不存在，由题意知|AB|＋|CD|＝7，不满足条件．
②当两弦所在直线的斜率均存在且不为0时，设直线AB的方程为y＝k(x－1)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则直线CD的方程为y＝－(x－1)．
将直线AB的方程代入椭圆方程中并整理得(3＋4k2)x2－8k2x＋4k2－12＝0，则x1＋x2＝，x1·x2＝，
所以|AB|＝|x1－x2|
＝·＝.
同理，|CD|＝＝.
所以|AB|＋|CD|＝＋
＝＝，解得k＝±1，
所以直线AB的方程为x－y－1＝0或x＋y－1＝0.
[解题技法]
1．弦长的求解方法
(1)当弦的两端点坐标易求时，可直接利用两点间的距离公式求解．
(2)当直线的斜率存在时，斜率为k的直线l与椭圆相交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两个不同的点，则弦长公式的常见形式有如下几种：
①|AB|＝|x1－x2|；
②|AB|＝ |y1－y2|(k≠0)；
③|AB|＝ ；
④|AB|＝ .
2．弦长公式的运用技巧
弦长公式的运用需要利用曲线方程和直线方程联立建立一元二次方程，设直线方程也很考究，不同形式的直线方程直接关系到计算量的大小．我们的经验是：若直线经过的定点在纵轴上，一般设为斜截式方程y＝kx＋b便于运算，即“定点落在纵轴上，斜截式帮大忙”；若直线经过的定点在横轴上，一般设为my＝x－a可以减小运算量，即“直线定点落横轴，斜率倒数作参数”．
[口诀记忆]
弦长公式形式多，巧设直线是杰作；
定点落在纵轴上，斜截式帮大忙；
直线定点落横轴，斜率倒数作参数．
[过关训练]
1．已知斜率为2的直线经过椭圆＋＝1的右焦点F1，与椭圆相交于A，B两点，则弦AB的长为________．
解析：由题意知，椭圆的右焦点F1的坐标为(1,0)，直线AB的方程为y＝2(x－1)．
由方程组消去y，整理得3x2－5x＝0.
解得x＝0或x＝，
取A(0，－2)，B，
则|AB|＝ ＝.
答案：
2．经过椭圆M：＋＝1(a＞b＞0)的右焦点的直线x＋y－＝0交椭圆M于A，B两点，P为AB的中点，且直线OP的斜率为.
(1)求椭圆M的方程；
(2)C，D为椭圆M上两点，若四边形ACBD的对角线CD⊥AB，求四边形ACBD的面积的最大值．
解：(1)令A(x1，y1)，B(x2，y2)，易知右焦点为(，0)．
联立
得(a2＋b2)y2－2b2y＋b2(3－a2)＝0，①
则y1＋y2＝，x1＋x2＝2－(y1＋y2)，
即kOP＝＝＝＝＝⇒a2＝2b2.
因为a2－b2＝3，所以a2＝6，b2＝3.
所以椭圆M的方程为＋＝1.
(2)由(1)知方程①为3y2－2y－3＝0.
由弦长公式得：|AB|＝·|y1－y2|＝
＝ ＝.
令CD的方程为：x＝y＋m.
由得3y2＋2my＋m2－6＝0，
则y1＋y2＝－，y1y2＝.
由弦长公式得|CD|＝·＝·≤4.
所以S四边形ACBD＝|AB|·|CD|≤(当且仅当m＝0时取最大值)．
故四边形ACBD的面积的最大值为.

[典例精析]
(1)过椭圆＋＝1内一点P(3,1)，且被点P平分的弦所在直线的方程是(　　)
A．4x＋3y－13＝0　　　　　　 B．3x＋4y－13＝0
C．4x－3y＋5＝0 D．3x－4y＋5＝0
(2)如图，已知椭圆＋y2＝1的左焦点为F，O为坐标原点，设过点F且不与坐标轴垂直的直线交椭圆于A，B两点，线段AB的垂直平分线与x轴交于点G，则点G横坐标的取值范围为________．
[解析]　(1)设所求直线与椭圆交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，由于A，B两点均在椭圆上，故＋＝1，＋＝1，两式相减得＋＝0.
∵P(3,1)是A(x1，y1)，B(x2，y2)的中点，
∴x1＋x2＝6，y1＋y2＝2，故kAB＝＝－，
直线AB的方程为y－1＝－(x－3)，
即3x＋4y－13＝0，故选B.
(2)设直线AB的方程为y＝k(x＋1)(k≠0)，代入＋y2＝1，整理得(1＋2k2)x2＋4k2x＋2k2－2＝0.
因为直线AB过椭圆的左焦点F，所以方程有两个不等实根，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，AB中点N(x0，y0)，
则x1＋x2＝－，x0＝(x1＋x2)＝－，y0＝k(x0＋1)＝，
所以AB的垂直平分线NG的方程为y－y0＝－(x－x0)．
令y＝0，得xG＝x0＋ky0＝－＋＝－＝－＋.
因为k≠0，所以－＜xG＜0，
所以点G横坐标的取值范围为.
[答案]　(1)B　(2)
[解题技法]

1．处理有关中点弦及对应直线斜率关系的问题时，常用“点差法”，步骤如下：

2．解决对称问题除掌握解决中点弦问题的方法外，还要注意“如果点A，B关于直线l对称，则l垂直于直线AB且A，B的中点在直线l上”的应用．
[过关训练]
1．(2018·南宁模拟)已知椭圆＋＝1(a＞b＞0)的一条弦所在的直线方程是x－y＋5＝0，弦的中点坐标是M(－4,1)，则椭圆的离心率是(　　)
A.　　　 B.　　　　
C.　　　　 D.
解析：选C　设直线与椭圆的交点为A(x1，y1)，B(x2，y2)，分别代入椭圆方程，得两式相减得＝－·.因为kAB＝＝1，且x1＋x2＝－8，y1＋y2＝2，所以＝，e＝＝ ＝，故选C.
2．已知椭圆＋y2＝1上两个不同的点A，B关于直线y＝mx＋对称，求实数m的取值范围．
解：由题意知m≠0，可设直线AB的方程为y＝－x＋b.
由消去y，得x2－x＋b2－1＝0.
因为直线y＝－x＋b与椭圆＋y2＝1有两个不同的交点，所以Δ＝－2b2＋2＋＞0.①
将线段AB中点代入直线方程y＝mx＋解得b＝－.②
由①②得m＜－或m＞.
故m的取值范围为∪.

[典例精析]
设椭圆＋＝1(a＞b＞0)的左焦点为F，离心率为，过点F且与x轴垂直的直线被椭圆截得的线段长为.
(1)求椭圆的方程；
(2)设A，B分别为椭圆的左、右顶点，过点F且斜率为k的直线与椭圆交于C，D两点，若·＋·＝8，O为坐标原点，求△OCD的面积．
[解]　(1)因为过焦点且垂直于长轴的直线被椭圆截得的线段长为，所以＝.
因为椭圆的离心率为，所以＝，
又a2＝b2＋c2，可解得b＝，c＝1，a＝.
所以椭圆的方程为＋＝1.
(2)由(1)可知F(－1,0)，
则直线CD的方程为y＝k(x＋1)．
联立
消去y得(2＋3k2)x2＋6k2x＋3k2－6＝0.
设C(x1，y1)，D(x2，y2)，
所以x1＋x2＝－，x1x2＝.
又A(－，0)，B(，0)，
所以·＋·
＝(x1＋，y1)·(－x2，－y2)＋(x2＋，y2)·(－x1，－y1)
＝6－2x1x2－2y1y2
＝6－2x1x2－2k2(x1＋1)(x2＋1)
＝6－(2＋2k2)x1x2－2k2(x1＋x2)－2k2
＝6＋＝8，
解得k＝±.
从而x1＋x2＝－＝－，x1x2＝＝0.
所以|x1－x2|＝
＝ ＝，
|CD|＝|x1－x2|＝×＝.
而原点O到直线CD的距离为d＝＝＝，
所以△OCD的面积为S＝|CD|×d＝××＝.
[解题技法]
1．由直线与椭圆的位置关系解决离心率问题的思路
(1)由题中直线、直线与椭圆的条件寻找a，b，c间的关系式(等式或不等式)．
(2)借助a2＝b2＋c2转化为的方程或不等式即可．
2．直线与椭圆相交时有关弦问题的处理方法
(1)合理消元，消元时可以选择消去y，也可以消去x.
(2)利用弦长公式、点到直线的距离公式等将所求量表示出来．
(3)构造不等式或利用函数知识求解．
[过关训练]
设F1，F2分别是椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的左、右焦点，M是C上一点且直线MF2与x轴垂直，直线MF1与C的另一个交点为N.
(1)若直线MN的斜率为，求C的离心率；
(2)若直线MN在y轴上的截距为2，且|MN|＝5|F1N|，求a，b.
解：(1)根据题设知M，即＝，
整理得2b2＝3ac.
将b2＝a2－c2代入2b2＝3ac，
解得＝或＝－2(舍去)．
故C的离心率为.
(2)由题意，原点O为F1F2的中点，MF2∥y轴，
所以直线MF1与y轴的交点D(0,2)是线段MF1的中点，故＝4，即b2＝4a.①
由|MN|＝5|F1N|得|DF1|＝2|F1N|.
设N(x1，y1)，由题意知y1＜0，则
即
代入C的方程，得＋＝1.②
将①及c＝代入②得＋＝1，
解得a＝7，b2＝4a＝28，
故a＝7，b＝2.

一、题点全面练
1．若直线mx＋ny＝4与⊙O：x2＋y2＝4没有交点，则过点P(m，n)的直线与椭圆＋＝1的交点个数是(　　)
A．至多为1　　　　　　　 B．2
C．1 D．0
解析：选B　由题意知＞2，即＜2，
∴点P(m，n)在椭圆＋＝1的内部，故所求交点个数是2.
2．中心为原点，一个焦点为F(0,5)的椭圆，截直线y＝3x－2所得弦中点的横坐标为，则该椭圆的方程是(　　)
A.＋＝1 B.＋＝1
C.＋＝1 D.＋＝1
解析：选C　由题设知c＝5，设椭圆方程为＋＝1，联立方程消去y，整理得
(10a2－450)x2－12(a2－50)x＋4(a2－50)－a2(a2－50)＝0，
由根与系数的关系得x1＋x2＝＝1，解得a2＝75，所以椭圆方程为＋＝1.
3．斜率为1的直线l与椭圆＋y2＝1相交于A，B两点，则|AB|的最大值为(　　)
A．2 B.
C. D.
解析：选C　设A，B两点的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，直线l的方程为y＝x＋t，
由消去y，得5x2＋8tx＋4(t2－1)＝0，
则x1＋x2＝－t，x1x2＝.
∴|AB|＝|x1－x2|
＝·
＝·
＝·，
当t＝0时，|AB|max＝.
4．设F1，F2分别是椭圆＋y2＝1的左、右焦点，若椭圆上存在一点P，使(＋)·＝0(O为坐标原点)，则△F1PF2的面积是(　　)
A．4 B.3
C．2 D．1
解析：选D　∵(＋)·＝(－)·＝·＝0，∴PF1⊥PF2，∠F1PF2＝90°.设|PF1|＝m，|PF2|＝n，则m＋n＝4，m2＋n2＝12,2mn＝(m＋n)2－m2－n2＝4，mn＝2，∴＝mn＝1.
5.过椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的左顶点A且斜率为k的直线交椭圆C于另一点B，且点B在x轴上的射影恰好为右焦点F.若＜k＜，则椭圆C的离心率的取值范围是(　　)
A. B.
C. D.
解析：选C　由题意可知，|AF|＝a＋c，|BF|＝，于是k＝.又＜k＜，所以＜＜，化简可得＜＜，从而可得＜e＜，选C.
6．已知F1(－1,0)，F2(1,0)是椭圆C的两个焦点，过F2且垂直于x轴的直线与椭圆C交于A，B两点，且|AB|＝3，则C的方程为__________．
解析：设椭圆C的方程为＋＝1(a＞b＞0)，则c＝1.因为过F2且垂直于x轴的直线与椭圆交于A，B两点，且|AB|＝3，所以＝，b2＝a2－c2，所以a2＝4，b2＝a2－c2＝4－1＝3，椭圆的方程为＋＝1.
答案：＋＝1
7．过点M(－2,0)的直线m与椭圆＋y2＝1交于P1，P2两点，线段P1P2的中点为P，设直线m的斜率为k1(k1≠0)，直线OP的斜率为k2，则k1k2的值为__________．
解析：过点M(－2,0)的直线m的方程为y－0＝k1(x＋2)，代入椭圆方程化简得(2k＋1)x2＋8kx＋8k－2＝0，所以x1＋x2＝，所以点P，直线OP的斜率k2＝－，所以k1k2＝－.
答案：－
8．(2019·广州模拟)已知中心在坐标原点的椭圆C的右焦点为F(1,0)，点F关于直线y＝x的对称点在椭圆C上，则椭圆C的方程为__________．
解析：设椭圆方程为＋＝1(a＞b＞0)，由题意可知c＝1，即a2－b2＝1①，设点F(1,0)关于直线y＝x的对称点为(m，n)，可得＝－2②.又因为点F与其对称点的中点坐标为，且中点在直线y＝x上，所以有＝×③，联立②③，解得即对称点为，代入椭圆方程可得＋＝1④，联立①④，解得a2＝，b2＝，所以椭圆方程为＋＝1.
答案：＋＝1
9．(2019·长春监测)已知椭圆C的两个焦点为F1(－1,0)，F2(1,0)，且经过点E.
(1)求椭圆C的方程；
(2)过F1的直线l与椭圆C交于A，B两点(点A位于x轴上方)，若＝2，求直线l的斜率k的值．
解：(1)由
解得所以椭圆C的方程为＋＝1.
(2)由题意得直线l的方程为y＝k(x＋1)(k＞0)，
联立整理得y2－y－9＝0，
Δ＝＋144＞0，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则y1＋y2＝，y1y2＝，
又＝2，所以y1＝－2y2，
所以y1y2＝－2(y1＋y2)2，则3＋4k2＝8，
解得k＝±，又k＞0，所以k＝.
10．(2018·成都模拟)已知椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的右焦点为F(，0)，长半轴与短半轴的比值为2.
(1)求椭圆C的方程；
(2)设经过点A(1,0)的直线l与椭圆C相交于不同的两点M，N.若点B(0,1)在以线段MN为直径的圆上，求直线l的方程．
解：(1)由题可知c＝，＝2，a2＝b2＋c2，
∴a＝2，b＝1.
∴椭圆C的方程为＋y2＝1.
(2)易知当直线l的斜率为0或直线l的斜率不存在时，不合题意．当直线l的斜率存在且不为0时，设直线l的方程为x＝my＋1，M(x1，y1)，N(x2，y2)．
联立消去x可得(4＋m2)y2＋2my－3＝0.
Δ＝16m2＋48＞0，y1＋y2＝，y1y2＝.
∵点B在以MN为直径的圆上，
∴·＝0.
∵·＝(my1＋1，y1－1)·(my2＋1，y2－1)＝(m2＋1)y1y2＋(m－1)(y1＋y2)＋2＝0，
∴(m2＋1)·＋(m－1)·＋2＝0，
整理，得3m2－2m－5＝0，解得m＝－1或m＝.
∴直线l的方程为x＋y－1＝0或3x－5y－3＝0.
二、专项培优练
(一)易错专练——不丢怨枉分
1．已知点P是椭圆＋＝1(x≠0，y≠0)上的动点，F1，F2分别是椭圆的左、右焦点，O是坐标原点，若M是∠F1PF2的平分线上一点，且·＝0，则||的取值范围是(　　)
A．[0,3)　　　　　　　 B．(0,2)
C．[2，3) D．(0,4]
解析：选B　如图，延长F1M交PF2的延长线于点G.
∵·＝0，∴⊥.
又MP为∠F1PF2的平分线，
∴|PF1|＝|PG|，且M为F1G的中点．
∵O为F1F2的中点，∴OM綊F2G.
∵|F2G|＝||PF2|－|PG||＝||PF1|－|PF2||，
∴||＝|2a－2|PF2||＝|4－|PF2||.
∵4－2＜|PF2|＜4或4＜|PF2|＜4＋2，
∴||∈(0,2)．
2．已知椭圆M：＋y2＝1，圆C：x2＋y2＝6－a2在第一象限有公共点P，设圆C在点P处的切线斜率为k1，椭圆M在点P处的切线斜率为k2，则的取值范围为(　　)
A．(1,6) B.(1,5)
C．(3,6) D．(3,5)
解析：选D　由于椭圆M：＋y2＝1，圆C：x2＋y2＝6－a2在第一象限有公共点P，所以解得3＜a2＜5.设椭圆M：＋y2＝1与圆C：x2＋y2＝6－a2在第一象限的公共点P(x0，y0)，则椭圆M在点P处的切线方程为＋y0y＝1，圆C在P处的切线方程为x0x＋y0y＝6－a2，所以k1＝－，k2＝－，＝a2，所以∈(3,5)．
3.如图，椭圆的中心在坐标原点O，顶点分别是A1，A2，B1，B2，焦点分别为F1，F2，延长B1F2与A2B2交于P点，若∠B1PA2为钝角，则此椭圆的离心率的取值范围为______．
解析：设椭圆的方程为＋＝1(a＞b＞0)，∠B1PA2为钝角可转化为，所夹的角为钝角，则(a，－b)·(－c，－b)＜0，即b2＜ac，则a2－c2＜ac，故2＋－1＞0，即e2＋e－1＞0，解得e＞或e＜，又0＜e＜1，所以＜e＜1.
答案：
4．已知椭圆＋＝1(a＞b＞0)，A，B为椭圆上的两点，线段AB的垂直平分线交x轴于点M，则椭圆的离心率e的取值范围是__________．
解析：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，x1≠x2，
则
即
所以(x1－x2)＝(x－x)，
所以＝x1＋x2.
又－a≤x1≤a，－a≤x2≤a，x1≠x2，
所以－2a＜x1＋x2＜2a，则＜2a，
即＜，所以e2＝1－＞.
又0＜e＜1，所以＜e＜1.
答案：
(二)难点专练——适情自主选
5．(2018·唐山模拟)在直角坐标系xOy中，长为＋1的线段的两端点C，D分别在x轴，y轴上滑动，＝ .记点P的轨迹为曲线E.
(1)求曲线E的方程；
(2)经过点(0,1)作直线与曲线E相交于A，B两点，＝＋，当点M在曲线E上时，求四边形AOBM的面积．
解：(1)设C(m,0)，D(0，n)，P(x，y)．
由＝ ，得(x－m，y)＝(－x，n－y)，
所以得
由||＝＋1，得m2＋n2＝(＋1)2，
所以(＋1)2x2＋y2＝(＋1)2，
整理，得曲线E的方程为x2＋＝1.
(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
由＝＋，知点M坐标为(x1＋x2，y1＋y2)．
由题意知，直线AB的斜率存在．
设直线AB的方程为y＝kx＋1，代入曲线E的方程，得(k2＋2)x2＋2kx－1＝0，
则x1＋x2＝－，x1x2＝－.
y1＋y2＝k(x1＋x2)＋2＝.
由点M在曲线E上，知(x1＋x2)2＋＝1，
即＋＝1，解得k2＝2.
这时|AB|＝|x1－x2|＝＝，原点到直线AB的距离d＝＝，
所以平行四边形OAMB的面积S＝|AB|·d＝.
6．(2018·成都一诊)已知椭圆＋＝1的右焦点为F，设直线l：x＝5与x轴的交点为E，过点F且斜率为k的直线l1与椭圆交于A，B两点，M为线段EF的中点．

(1)若直线l1的倾斜角为，求|AB|的值；
(2)设直线AM交直线l于点N，证明：直线BN⊥l.
解：由题意知，F(1,0)，E(5,0)，M(3,0)．
(1)∵直线l1的倾斜角为，∴斜率k＝1.
∴直线l1的方程为y＝x－1.
代入椭圆方程，可得9x2－10x－15＝0.
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝，x1x2＝－.
∴|AB|＝·
＝× ＝.
(2)证明：设直线l1的方程为y＝k(x－1)．
代入椭圆方程，得(4＋5k2)x2－10k2x＋5k2－20＝0.
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则x1＋x2＝，x1x2＝.
设N(5，y0)，∵A，M，N三点共线，
∴＝，∴y0＝.
而y0－y2＝－y2＝－k(x2－1)
＝
＝＝0.
∴直线BN∥x轴，即BN⊥l.