2020版高考理科数学（人教版）一轮复习讲义：第九章第二节两条直线的位置关系


第二节两条直线的位置关系


1．两条直线平行与垂直的判定
(1)两条直线平行：
①对于两条不重合的直线l1，l2，若其斜率分别为k1，k2，则有l1∥l2⇔k1＝k2.
②当直线l1，l2不重合且斜率都不存在时，l1∥l2.

(2)两条直线垂直：
①如果两条直线l1，l2的斜率存在，设为k1，k2，则有l1⊥l2⇔k1·k2＝－1.
②当其中一条直线的斜率不存在，而另一条直线的斜率为0时，l1⊥l2.

2．两条直线的交点的求法
直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0，则l1与l2的交点坐标就是方程组的解．
3．三种距离公式
(1)P1(x1，y1)，P2(x2，y2)两点之间的距离：|P1P2|＝.
(2)点P0(x0，y0)到直线l：Ax＋By＋C＝0的距离：d＝.
　
(3)平行线Ax＋By＋C1＝0与Ax＋By＋C2＝0间距离：d＝ .
　

[熟记常用结论]
1．过定点P(x0，y0)的直线系方程：A(x－x0)＋B(y－y0)＝0(A2＋B2≠0)，还可以表示为y－y0＝k(x－x0)和x＝x0.
2．平行于直线Ax＋By＋C＝0的直线系方程：Ax＋By＋λ＝0(λ≠C)．
3．垂直于直线Ax＋By＋C＝0的直线系方程：Bx－Ay＋λ＝0.
4．过两条已知直线A1x＋B1y＋C1＝0，A2x＋B2y＋C2＝0交点的直线系方程：A1x＋B1y＋C1＋λ(A2x＋B2y＋C2)＝0(不包括直线A2x＋B2y＋C2＝0)和A2x＋B2y＋C2＝0.
5．点(x，y)关于x轴的对称点为(x，－y)，关于y轴的对称点为(－x，y)．
6．点(x，y)关于直线y＝x的对称点为(y，x)，关于直线y＝－x的对称点为(－y，－x)．
7．点(x，y)关于直线x＝a的对称点为(2a－x，y)，关于直线y＝b的对称点为(x,2b－y)．
8．点(x，y)关于点(a，b)的对称点为(2a－x,2b－y)．
9．点(x，y)关于直线x＋y＝k的对称点为(k－y，k－x)，关于直线x－y＝k的对称点为(k＋y，x－k)．
[小题查验基础]
一、判断题(对的打“√”，错的打“×”)
(1)当直线l1和l2斜率都存在时，一定有k1＝k2⇒l1∥l2.(　　)
(2)如果直线l1与l2垂直，则它们的斜率之积一定等于－1.(　　)
(3)若两直线方程组成的方程组有唯一解，则两直线相交．(　　)
(4)点P(x0，y0)到直线y＝kx＋b的距离为.(　　)
(5)两平行直线2x－y＋1＝0,4x－2y＋1＝0间的距离是0.(　　)
答案：(1)×　(2)×　(3)√　(4)×　(5)×
二、选填题
1．两条直线l1：2x＋y－1＝0和l2：x－2y＋4＝0的交点为(　　)
A.　　　　　　　　 B.
C. D.
解析：选B　解方程组得
所以两直线的交点为.
2．若直线ax＋2y－1＝0与直线2x－3y－1＝0垂直，则a的值为(　　)
A．－3 B.－
C．2 D．3
解析：选D　直线ax＋2y－1＝0的斜率k1＝－，直线2x－3y－1＝0的斜率k2＝，因为两直线垂直，所以－×＝－1，解得a＝3.
3．已知直线l1：x＋y＋1＝0，l2：x＋y－1＝0，则l1，l2之间的距离为(　　)
A．1 B.
C. D．2
解析：选B　由题意可知l1与l2平行，故l1与l2之间的距离d＝＝，故选B.
4．已知点(a,2)(a＞0)到直线l：x－y＋3＝0的距离为1，则a＝________.
解析：由题意得，＝1，
∴|a＋1|＝，∵a＞0，∴a＝－1.
答案：－1
5．已知坐标平面内两点A(x，－x)和B，那么这两点之间距离的最小值是________．
解析：由题意可得两点间的距离d＝＝ ≥，即最小值为.
答案：


[典例精析]
(1)已知直线l1：(k－3)x＋(4－k)y＋1＝0与l2：2(k－3)x－2y＋3＝0平行，则k的值是(　　)
A．1或3　　　　　　　　 B．1或5
C．3或5 D．1或2
(2)已知点O(0,0)，A(0，b)，B(a，a3)，若△OAB为直角三角形，则必有(　　)
A．b＝a3 B.(b－a3)＝0
C．b＝a3＋ D．|b－a3|＋＝0
(3)已知直线l1：mx＋y＋4＝0和直线l2：(m＋2)x－ny＋1＝0(m＞0，n＞0)互相垂直，则的取值范围为________．
[解析]　(1)由两直线平行得，当k－3＝0时，两直线的方程分别为y＝－1和y＝，显然两直线平行．当k－3≠0时，由＝≠，可得k＝5.综上，k的值是3或5.
(2)若以O为直角顶点，则B在x轴上，则a必为0，此时O，B重合，不符合题意；若∠A＝，则b＝a3≠0.若∠B＝，根据垂直关系可知a2·＝－1，所以a(a3－b)＝－1，即b－a3－＝0.以上两种情况皆有可能，故只有B满足条件．
(3)因为l1⊥l2，所以m(m＋2)＋1×(－n)＝0，得n＝m2＋2m，因为m＞0，所以＝＝，则0＜＜，故的取值范围为.
[答案]　(1)C　(2)B　(3)
[解题技法]
1．已知两直线的斜率存在，判断两直线平行或垂直的方法
(1)两直线平行⇔两直线的斜率相等且在坐标轴上的截距不等；
(2)两直线垂直⇔两直线的斜率之积等于－1.
[提醒]　当直线斜率不确定时，要注意斜率不存在的情况．
2．由一般式确定两直线位置关系的方法
直线方程
l1：A1x＋B1y＋C1＝0(A＋B≠0)
l2：A2x＋B2y＋C2＝0(A＋B≠0)
l1与l2平行的充要条件
＝≠(A2B2C2≠0)
l1与l2垂直的充要条件
A1A2＋B1B2＝0
l1与l2相交的充要条件
≠(A2B2≠0)
l1与l2重合的充要条件
＝＝(A2B2C2≠0)
　　[提醒]　在判断两直线的位置关系时，比例式与，的关系容易记住，在解答选择题、填空题时，建议多用比例式来解答．

[过关训练]
1．设不同直线l1：2x－my－1＝0，l2：(m－1)x－y＋1＝0，则“m＝2”是“l1∥l2”的(　　)
A．充分不必要条件 B.必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
解析：选C　当m＝2时，易知两直线平行，即充分性成立．
当l1∥l2时，显然m≠0，从而有＝m－1，
解得m＝2或m＝－1，但当m＝－1时，两直线重合，不符合要求，故必要性成立，故选C.
2．已知直线4x＋my－6＝0与直线5x－2y＋n＝0垂直，垂足为(t,1)，则n的值为(　　)
A．7 B.9
C．11 D．－7
解析：选A　由直线4x＋my－6＝0与直线5x－2y＋n＝0垂直得，20－2m＝0，即m＝10.直线4x＋10y－6＝0过点(t,1)，所以4t＋10－6＝0，即t＝－1.点(－1,1)又在直线5x－2y＋n＝0上，所以－5－2＋n＝0，即n＝7.

[典例精析]
(1)已知直线y＝kx＋2k＋1与直线y＝－x＋2的交点位于第一象限，则实数k的取值范围是________．
(2)若P，Q分别为直线3x＋4y－12＝0与6x＋8y＋5＝0上任意一点，则|PQ|的最小值为________．
[解析]　(1)由方程组解得
∴交点坐标为.
又∵交点位于第一象限，∴
解得－＜k＜.
(2)因为＝≠，所以两直线平行，
将直线3x＋4y－12＝0化为6x＋8y－24＝0，
由题意可知|PQ|的最小值为这两条平行直线间的距离，
即＝，所以|PQ|的最小值为.
[答案]　(1)　(2)
[解题技法]
距离问题的常见题型及解题策略
(1)求两点间的距离关键是确定两点的坐标，然后代入公式即可，一般用来判断三角形的形状等．
(2)解决与点到直线的距离有关的问题应熟记点到直线的距离公式，若已知点到直线的距离求直线方程，一般考虑待定斜率法，此时必须讨论斜率是否存在．
(3)求两条平行线间的距离要先将直线方程中x，y的对应项系数转化成相等的形式，再利用距离公式求解．也可以转化成点到直线的距离问题．
[过关训练]
1．(2019·太原模拟)若直线y＝2x，x＋y＝3，mx＋ny＋5＝0相交于同一点，则点(m，n)与原点之间的距离的最小值为(　　)
A.　　　　　　　　　　 B.
C．2 D．2
解析：选A　由解得x＝1，y＝2.把(1,2)代入mx＋ny＋5＝0，可得m＋2n＋5＝0，∴m＝－5－2n.∴点(m，n)与原点之间的距离d＝＝＝≥，当n＝－2，m＝－1时取等号．∴点(m，n)与原点之间的距离的最小值为，故选A.
2．(2019·厦门模拟)若两平行直线3x－2y－1＝0,6x＋ay＋c＝0之间的距离为，则实数c的值是________．
解析：依题意知，＝≠，解得a＝－4，c≠－2，即直线6x＋ay＋c＝0可化为3x－2y＋＝0，又两平行线之间的距离为，所以＝，解得c＝2或－6.
答案：2或－6
3．已知A(4，－3)，B(2，－1)和直线l：4x＋3y－2＝0，若在坐标平面内存在一点P，使|PA|＝|PB|，且点P到直线l的距离为2，则P点坐标为______________________．
解析：设点P的坐标为(a，b)．
∵A(4，－3)，B(2，－1)，
∴线段AB的中点M的坐标为(3，－2)．
而AB所在直线的斜率kAB＝＝－1，
∴线段AB的垂直平分线方程为y＋2＝x－3，
即x－y－5＝0.
∵点P(a，b)在直线x－y－5＝0上，
∴a－b－5＝0.①
又点P(a，b)到直线l：4x＋3y－2＝0的距离为2，
∴＝2，即4a＋3b－2＝±10，②
由①②联立解得或
∴所求点P的坐标为(1，－4)或.
答案：(1，－4)或

[考法全析]
考法(一)　点关于点的对称
[例1]　过点P(0,1)作直线l使它被直线l1：2x＋y－8＝0和l2：x－3y＋10＝0截得的线段被点P平分，则直线l的方程为____________________．
[解析]　设直线l1与直线l的交点为A(a,8－2a)，
则由题意知，点A关于点P的对称点B(－a,2a－6)在l2上，把B点坐标代入直线l2的方程得－a－3(2a－6)＋10＝0，
解得a＝4，即点A(4,0)在直线l上，
所以由两点式得直线l的方程为x＋4y－4＝0.
[答案]　x＋4y－4＝0

点关于点对称的求解方法
若点M(x1，y1)和点N(x，y)关于点P(a，b)对称，则由中点坐标公式得进而求解．　　　　
考法(二)　点关于线的对称
[例2]　在等腰直角三角形ABC中，|AB|＝|AC|＝4，点P是边AB上异于A，B的一点．光线从点P出发，经BC，CA反射后又回到点P(如图)．若光线QR经过△ABC的重心，则AP的长度为(　　)
A．2　　　　　　　　　 B．1
C. D.
[解析]　以AB所在直线为x轴，AC所在直线为y轴建立如图所示的平面直角坐标系，由题意可知B(4,0)，C(0,4)，A(0，0)，则直线BC的方程为x＋y－4＝0，设P(t,0)(0＜t＜4)，由对称知识可得点P关于BC所在直线的对称点P1的坐标为(4,4－t)，点P关于y轴的对称点P2的坐标为(－t,0)，根据反射定律可知P1P2所在直线就是光线RQ所在直线．由P1，P2两点坐标可得P1P2所在直线的方程为y＝·(x＋t)，设△ABC的重心为G，易知G.因为重心G在光线RQ上，所以有＝，即3t2－4t＝0.所以t＝0或t＝，因为0＜t＜4，所以t＝，即|AP|＝，故选D.
[答案]　D

点关于直线对称的解题方法
若两点P1(x1，y1)与P2(x2，y2)关于直线l：Ax＋By＋C＝0对称，则由方程组可得到点P1关于直线l对称的点P2的坐标(x2，y2)(其中B≠0，x1≠x2)．　　　　
考法(三)　线关于点的对称
[例3]　已知直线l：2x－3y＋1＝0，点A(－1，－2)，则直线l关于点A对称的直线m的方程为________________．
[解析]　在直线l上取两点B(1,1)，C(10,7)，B，C两点关于点A的对称点为B′(－3，－5)，C′(－12，－11)，所以直线m的方程为＝，即2x－3y－9＝0.
[答案]　2x－3y－9＝0

1．线关于点对称的求解方法
(1)在已知直线上取两点，利用中点坐标公式求出它们关于已知点对称的两点坐标，再由两点式求出直线方程；
(2)求出一个对称点，再利用两对称直线平行，由点斜式得到所求直线方程．
2．线关于点对称的实质
“线关于点的对称”其实质就是“点关于点的对称”，只要在直线上取两个点，求出其对称点的坐标即可，可统称为“中心对称”．　　　　
[过关训练]
1．已知直线y＝2x是△ABC中∠C的平分线所在的直线，若点A，B的坐标分别是(－4,2)，(3,1)，则点C的坐标为(　　)
A．(－2,4) B.(－2，－4)
C．(2,4) D．(2，－4)
解析：选C　设A(－4,2)关于直线y＝2x的对称点为(x，y)，则解得∴BC所在直线方程为y－1＝(x－3)，即3x＋y－10＝0.联立解得则C(2,4)．
2．已知入射光线经过点M(－3,4)，被直线l：x－y＋3＝0反射，反射光线经过点N(2,6)，则反射光线所在直线的方程为________．
解析：设点M(－3,4)关于直线l：x－y＋3＝0的对称点为M′(a，b)，则反射光线所在直线过点M′，
所以
解得即M′(1,0)．
又反射光线经过点N(2,6)，
所以所求直线的方程为＝，
即6x－y－6＝0.
答案：6x－y－6＝0
3．设A，B是x轴上的两点，点P的横坐标为3，且|PA|＝|PB|，若直线PA的方程为x－y＋1＝0，则直线PB的方程是________________．
解析：由|PA|＝|PB|知点P在AB的垂直平分线上．由点P的横坐标为3，且PA的方程为x－y＋1＝0，得P(3，4)．直线PA，PB关于直线x＝3对称，直线PA上的点(0,1)关于直线x＝3的对称点(6,1)在直线PB上，所以直线PB的方程为＝，即x＋y－7＝0.
答案：x＋y－7＝0