2020版高考理科数学（人教版）一轮复习讲义：第十一章第二节复数

第二节复__数1.复数的有关概念(1)复数的概念：形如a＋bi(a，b∈R)的数叫做复数，其中a，b分别是它的实部和虚部.(2)复数的分类：z＝a＋bi有关复数的3点注意(1)若一个复数是实数，仅注重虚部为0是不够的，还要考虑它的实部是否有意义.(2)一个复数为纯虚数，不仅要求实部为0，还需要求虚部不为0.(3)两个不全为实数的复数不能比较大小.(3)复数相等：a＋bi＝c＋di⇔a＝c且b＝d(a，b，c，d∈R).(4)共轭复数：a＋bi与c＋di共轭⇔a＝c，b＝－d(a，b，c，d∈R).(5)复数的模：向量的模r叫做复数z＝a＋bi(a，b∈R)的模，记作|z|或|a＋bi|，即|z|＝|a＋bi|＝.2.复数的几何意义(1)复数z＝a＋bi复平面内的点Z(a，b)(a，b∈R).(2)复数z＝a＋bi(a，b∈R) 平面向量.3.复数的运算(1)复数的加、减、乘、除运算法则设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)，则①加法：z1＋z2＝(a＋bi)＋(c＋di)＝(a＋c)＋(b＋d)i；②减法：z1－z2＝(a＋bi)－(c＋di)＝(a－c)＋(b－d)i；③乘法：z1·z2＝(a＋bi)·(c＋di)＝(ac－bd)＋(ad＋bc)i；④除法：＝＝＝＋i(c＋di≠0).(2)复数加法的运算定律设z1，z2，z3∈C，则复数加法满足以下运算律：①交换律：z1＋z2＝z2＋z1；②结合律：(z1＋z2)＋z3＝z1＋(z2＋z3).[熟记常用结论]1.(1±i)2＝±2i，＝i，＝－i.2.i4n＝1，i4n＋1＝i，i4n＋2＝－1，i4n＋3＝－i(n∈N*)，i4n＋i4n＋1＋i4n＋2＋i4n＋3＝0(n∈N*).3.z· ＝|z|2＝||2，|z1·z2|＝|z1|·|z2|，＝，|zn|＝|z|n.4.复数加法的几何意义：若复数z1，z2对应的向量， 不共线，则复数z1＋z2是以，为邻边的平行四边形的对角线所对应的复数.5.复数减法的几何意义：复数z1－z2是－＝所对应的复数.[小题查验基础]一、判断题(对的打“√”，错的打“×”)(1)方程x2＋x＋1＝0没有解.(　　)(2)复数z＝a＋bi(a，b∈R)中，虚部为bi.(　　)(3)复数中有相等复数的概念，因此复数可以比较大小.(　　)(4)原点是实轴与虚轴的交点.(　　)(5)复数的模实质上就是复平面内复数对应的点到原点的距离，也就是复数对应的向量的模.(　　)答案：(1)×　(2)×　(3)×　(4)√　(5)√二、选填题1.设x，y∈R，若(x＋y)＋(y－1)i＝(2x＋3y)＋(2y＋1)i，则复数z＝x＋yi在复平面上对应的点位于(　　)A.第一象限　　　　　　　　 B.第二象限C.第三象限 D.第四象限解析：选D　由题意得所以x＝4，y＝－2，所以复数z＝4－2i位于复平面的第四象限，故选D.2.若复数z＝，其中i为虚数单位，则＝(　　)A.1＋i B.1－iC.－1＋i D.－1－i解析：选B　∵z＝＝＝1＋i，∴＝1－i，故选B. 3.化简：＝________.解析：＝＝＝1－i.答案：1－i4.已知复数z＝(1＋i)(1＋2i)，其中i是虚数单位，则|z|＝________.解析：∵z＝(1＋i)(1＋2i)＝1＋2i＋i＋2i2＝－1＋3i，∴|z|＝＝.答案：考点一    复数的有关概念[基础自学过关][题组练透]1.(2019·湘东五校联考)若复数(m2－m)＋mi为纯虚数，则实数m的值为(　　)A.－1　　　　　　　　　 B.0C.1 D.2解析：选C　由纯虚数的概念得解得m＝1.2.(2019·黄冈模拟)已知复数z＝＋的实部与虚部的和为2，则实数a的值为(　　)A.0 B.1C.2 D.3解析：选D　易知z＝＋＝＋＝＋，由题意得＋＝2，解得a＝3.故选D.3.(2018·唐山五校联考)已知＝2＋i，则(z的共轭复数)为(　　)A.－3－i B.－3＋iC.3＋i D.3－i解析：选C　由题意得z＝(2＋i)(1－i)＝3－i，所以＝3＋i，故选C.4.(2019·重庆调研)已知i为虚数单位，复数z＝，则|z|＝________.解析：|z|＝＝＝＝.答案：[名师微点]解决复数概念问题的方法及注意事项(1)求一个复数的实部与虚部，只需将已知的复数化为代数形式z＝a＋bi(a，b∈R)，则该复数的实部为a，虚部为b.(2)求一个复数的共轭复数，只需将此复数整理成标准的代数形式，实部不变，虚部变为相反数，即得原复数的共轭复数.复数z1＝a＋bi与z2＝c＋di共轭⇔a＝c，b＝－d(a，b，c，d∈R).考点二    复数的运算[基础自学过关][题组练透]1.(2018·全国卷Ⅱ)＝(　　)A.－－i　　　　　　 B.－＋iC.－－i D.－＋i解析：选D　＝＝＝－＋i.2.(2019·合肥质检)已知i为虚数单位，则＝(　　)A.5 B.5iC.－－i D.－＋i解析：选A　＝＝5，故选A.3.(2019·贵阳模拟)设i为虚数单位，复数z满足i(z＋1)＝1，则复数z＝(　　)A.1＋i B.1－iC.－1－i D.－1＋i解析：选C　由题意，得z＝－1＝－1－i，故选C.4.(2018·惠州模拟)已知复数z的共轭复数为，若(1－i)＝2i(i为虚数单位)，则z＝(　　)A.i B.－1＋iC.－1－i D.－i解析：选C　由已知可得＝＝＝－1＋i，则z＝－1－i，故选C.5.(2018·全国卷Ⅰ)设z＝＋2i，则|z|＝(　　)A.0　　　 　 　 　　　　 B.C.1 D.解析：选C　∵z＝＋2i＝＋2i＝＋2i＝i，∴|z|＝1.故选C.[名师微点]复数代数形式运算问题的解题策略复数的加减法在进行复数的加减法运算时，可类比合并同类项，运用法则(实部与实部相加减，虚部与虚部相加减)计算即可复数的乘法复数的乘法类似于多项式的四则运算，可将含有虚数单位i的看作一类同类项，不含i的看作另一类同类项，分别合并即可复数的除法除法的关键是分子分母同乘以分母的共轭复数，解题中要注意把i的幂写成最简形式考点三    复数的几何意义[基础自学过关][题组练透]1.(2018·武汉调研)设(1－i)x＝1＋yi，其中x，y是实数，则x＋yi在复平面内所对应的点位于(　　)A.第一象限　　　　　　 B.第二象限C.第三象限 D.第四象限解析：选D　∵x，y是实数，∴(1－i)x＝x－xi＝1＋yi，∴解得∴x＋yi在复平面内所对应的点为(1，－1)，位于第四象限.故选D.2.(2019·沈阳质量监测)已知i为虚数单位，则复数的共轭复数在复平面内对应的点位于(　　)A.第一象限　　　　　　 B.第二象限C.第三象限 D.第四象限解析：选B　＝＝－－i，其共轭复数为－＋i，在复平面内对应的点位于第二象限，故选B.3.若复数(1－i)(a＋i)在复平面内对应的点在第二象限，则实数a的取值范围是(　　)A.(－∞，1) B.(－∞，－1)C.(1，＋∞) D.(－1，＋∞)解析：选B　因为z＝(1－i)(a＋i)＝a＋1＋(1－a)i，所以它在复平面内对应的点为(a＋1,1－a)，又此点在第二象限，所以解得a＜－1.4.设复数z1，z2在复平面内对应的点关于实轴对称，z1＝2＋i，则＝(　　)A.1＋i B.＋iC.1＋i D.1＋i解析：选B　因为复数z1，z2在复平面内对应的点关于实轴对称，z1＝2＋i，所以z2＝2－i，所以＝＝＝＋i，故选B.5.已知复数z1＝－1＋2i，z2＝1－i，z3＝3－4i，它们在复平面内对应的点分别为A，B，C，若＝λ＋μ (λ，μ∈R)，则λ＋μ的值是________.解析：由条件得＝(3，－4)，＝(－1,2)，＝(1，－1)，根据＝λ＋μ，得(3，－4)＝λ(－1,2)＋μ(1，－1)＝(－λ＋μ，2λ－μ)，∴解得∴λ＋μ＝1.答案：1[名师微点]1.准确理解复数的几何意义(1)复数z、复平面上的点Z及向量相互联系，即z＝a＋bi(a，b∈R)⇔Z(a，b)⇔.(2)由于复数、点、向量之间建立了一一对应的关系，因此可把复数、向量与解析几何联系在一起，解题时可运用数形结合的方法，使问题的解决更加直观.2.与复数的几何意义相关问题的一般步骤(1)进行简单的复数运算，将复数化为标准的代数形式；(2)把复数问题转化为复平面内的点之间的关系，依据是复数a＋bi与复平面上的点(a，b)一一对应.