2020版高考理科数学（人教版）一轮复习讲义：第七章第三节基本不等式

第三节基本不等式1．基本不等式≤(1)基本不等式成立的条件：a＞0，b＞0.(2)等号成立的条件：当且仅当a＝b.2．几个重要的不等式(1)a2＋b2≥2ab(a，b∈R)；(2)＋≥2(a，b同号)；(3)ab≤2(a，b∈R)；(4)2≤(a，b∈R)；(5)≤≤≤ (a＞0，b＞0)．3．算术平均数与几何平均数设a＞0，b＞0，则a，b的算术平均数为，几何平均数为，基本不等式可叙述为：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数．4．利用基本不等式求最值问题已知x＞0，y＞0，则(1)如果xy是定值p，那么当且仅当x＝y时，x＋y有最小值是2(简记：积定和最小)．(2)如果x＋y是定值q，那么当且仅当x＝y时，xy有最大值是(简记：和定积最大)．注：1此结论应用的前提是“一正”“二定”“三相等”.“一正”指正数，“二定”指求最值时和或积为定值，“三相等”指等号成立.2连续使用基本不等式时，牢记等号要同时成立.[小题查验基础]一、判断题(对的打“√”，错的打“×”)(1)当a≥0，b≥0时，≥.(　　)(2)两个不等式a2＋b2≥2ab与≥成立的条件是相同的．(　　)(3)x＞0且y＞0是＋≥2的充要条件．(　　)(4)函数f(x)＝cos x＋，x∈的最小值等于4.(　　)答案：(1)√　(2)×　(3)×　(4)×二、选填题1．设x＞0，y＞0，且x＋y＝18，则xy的最大值为(　　)A．80　　　　　　　　　 B．77C．81  D．82答案：C2．设0＜a＜b，则下列不等式中正确的是(　　)A．a＜b＜＜  B．a＜＜＜bC．a＜＜b＜  D.＜a＜＜b解析：选B　因为0＜a＜b，所以a－＝(－)＜0，故a＜；b－＝＞0，故b＞；由基本不等式知＞，综上所述，a＜＜＜b，故选B.3．函数f(x)＝x＋的值域为(　　)A．[－2,2]  B．[2，＋∞)C．(－∞，－2]∪[2，＋∞)  D．R解析：选C　当x＞0时，x＋≥2 ＝2.当x＜0时，－x＞0.－x＋≥2 ＝2.所以x＋≤－2.所以f(x)＝x＋的值域为(－∞，－2]∪[2，＋∞)．4．若实数x，y满足xy＝1，则x2＋2y2的最小值为________．答案：25．若x＞1，则x＋的最小值为________．解析：x＋＝x－1＋＋1≥4＋1＝5.当且仅当x－1＝，即x＝3时等号成立．答案：5(一)　拼凑法——利用基本不等式求最值[例1]　(1)已知0＜x＜1，则x(4－3x)取得最大值时x的值为________．(2)已知x＜，则f(x)＝4x－2＋的最大值为________．(3)函数y＝(x＞1)的最小值为________．[解析]　(1)x(4－3x)＝·(3x)(4－3x)≤·2＝，当且仅当3x＝4－3x，即x＝时，取等号．故所求x的值为.(2)因为x＜，所以5－4x＞0，则f(x)＝4x－2＋＝－＋3≤－2＋3＝1.当且仅当5－4x＝，即x＝1时，取等号．故f(x)＝4x－2＋的最大值为1.(3)y＝＝＝＝(x－1)＋＋2≥2＋2.当且仅当x－1＝，即x＝＋1时，取等号．[答案]　(1)　(2)1　(3)2＋2通过拼凑法利用基本不等式求最值的实质及关键点拼凑法就是将相关代数式进行适当的变形，通过添项、拆项等方法凑成和为定值或积为定值的形式，然后利用基本不等式求解最值的方法．拼凑法的实质是代数式的灵活变形，拼系数、凑常数是关键．　　(二)　常数代换法——利用基本不等式求最值[例2]　已知a＞0，b＞0，a＋b＝1，则＋的最小值为________．[解析]　因为a＋b＝1，所以＋＝(a＋b)＝2＋≥2＋2 ＝2＋2＝4.当且仅当a＝b＝时，取等号．[答案]　41．(变条件)将条件“a＋b＝1”改为“a＋2b＝3”，则＋的最小值为________．解析：因为a＋2b＝3，所以a＋b＝1.所以＋＝＝＋＋＋≥1＋2 ＝1＋.当且仅当a＝b时，取等号．答案：1＋2．(变设问)保持本例条件不变，则的最小值为________．解析：＝＝＝5＋2≥5＋4＝9.当且仅当a＝b＝时，取等号．答案：9 通过常数代换法利用基本不等式求解最值的基本步骤(1)根据已知条件或其变形确定定值(常数)；(2)把确定的定值(常数)变形为1；(3)把“1”的表达式与所求最值的表达式相乘或相除，进而构造和或积为定值的形式；(4)利用基本不等式求解最值．　　(三)　消元法——利用基本不等式求最值[例3]　已知x＞0，y＞0，x＋3y＋xy＝9，则x＋3y的最小值为________．[解析]　法一(换元消元法)：由已知得x＋3y＝9－xy，因为x＞0，y＞0，所以x＋3y≥2，所以3xy≤2，当且仅当x＝3y，即x＝3，y＝1时取等号，即(x＋3y)2＋12(x＋3y)－108≥0.令x＋3y＝t，则t＞0且t2＋12t－108≥0，得t≥6，即x＋3y的最小值为6.法二(代入消元法)：由x＋3y＋xy＝9，得x＝，所以x＋3y＝＋3y＝＝＝＝3(1＋y)＋－6≥2 －6＝12－6＝6.即x＋3y的最小值为6.[答案]　6通过消元法利用基本不等式求最值的策略当所求最值的代数式中的变量比较多时，通常是考虑利用已知条件消去部分变量后，凑出“和为常数”或“积为常数”，最后利用基本不等式求最值．　　 (四)　利用两次基本不等式求最值[例4]　已知a＞b＞0，那么a2＋的最小值为________．[解析]　由a＞b＞0，得a－b＞0，∴b(a－b)≤2＝.∴a2＋≥a2＋≥2 ＝4，当且仅当b＝a－b且a2＝，即a＝，b＝时取等号．∴a2＋的最小值为4.[答案]　4两次利用基本不等式求最值的注意点当连续多次使用基本不等式时，一定要注意每次是否能保证等号成立，并且注意取等号的条件的一致性．　　 [过关训练]1．(2019·常州调研)若实数x满足x＞－4，则函数f(x)＝x＋的最小值为________．解析：∵x＞－4，∴x＋4＞0，∴f(x)＝x＋＝x＋4＋－4≥2 －4＝2，当且仅当x＋4＝，即x＝－1时取等号．故函数f(x)＝x＋的最小值为2.答案：22．若正数x，y满足x2＋6xy－1＝0，则x＋2y的最小值是________．解析：因为正数x，y满足x2＋6xy－1＝0，所以y＝.由即解得0＜x＜1.所以x＋2y＝x＋＝＋≥2 ＝，当且仅当＝，即x＝，y＝时取等号．故x＋2y的最小值为.答案：[典例精析]某厂家拟定在2019年举行促销活动，经调查测算，该产品的年销量(即该厂的年产量)x万件与年促销费用m(m≥0)万元满足x＝3－(k为常数)．如果不搞促销活动，那么该产品的年销量只能是1万件．已知2019年生产该产品的固定投入为8万元，每生产1万件该产品需要再投入16万元，厂家将每件产品的销售价格定为每件产品平均成本的1.5倍(产品成本包括固定投入和再投入两部分资金)．(1)将2019年该产品的利润y万元表示为年促销费用m万元的函数；(2)该厂家2019年的促销费用投入多少万元时，厂家利润最大？[解]　(1)由题意知，当m＝0时，x＝1(万件)，所以1＝3－k⇒k＝2，所以x＝3－，每件产品的销售价格为1.5×(元)，所以2019年的利润y＝1.5x×－8－16x－m＝－＋29(m≥0)．(2)因为m≥0时，＋(m＋1)≥2＝8，所以y≤－8＋29＝21，当且仅当＝m＋1⇒m＝3(万元)时，ymax＝21(万元)．故该厂家2019年的促销费用投入3万元时，厂家的利润最大为21万元．[解题技法]利用基本不等式解决实际问题的3个注意点(1)设变量时一般要把求最大值或最小值的变量定义为函数．(2)根据实际问题抽象出函数的解析式后，只需利用基本不等式求得函数的最值．(3)在求函数的最值时，一定要在定义域(使实际问题有意义的自变量的取值范围)内求解．[过关训练]1．若把总长为20 m的篱笆围成一个矩形场地，则矩形场地的最大面积是________m2.解析：设一边长为x m，则另一边长可表示为(10－x)m，由题知0＜x＜10，则面积S＝x(10－x)≤2＝25，当且仅当x＝10－x，即x＝5时等号成立，故当矩形的长与宽相等，且都为5 m时面积取到最大值25 m2.答案：25 2．(2019·孝感模拟)经测算，某型号汽车在匀速行驶的过程中每小时耗油量y(L)与速度x(km/h)(50≤x≤120)的关系可近似表示为y＝(1)该型号汽车的速度为多少时，可使得每小时耗油量最低？(2)已知A，B两地相距120 km，假定该型号汽车匀速从A地驶向B地，则汽车速度为多少时总耗油量最少？解：(1)当x∈[50,80)时，y＝(x2－130x＋4 900)＝[(x－65)2＋675]，当x＝65时，y有最小值，为×675＝9，当x∈[80,120]时，函数y＝12－单调递减，故当x＝120时，y有最小值，为10，因为9＜10，所以该型号汽车的速度为65 km/h时，每小时耗油量最低．(2)设总耗油量为l，由题意可知l＝y·，当x∈[50,80)时，l＝y·＝≥＝16，当且仅当x＝，即x＝70时，l取得最小值，最小值为16.当x∈[80,120]时，l＝y·＝－2为减函数，故当x＝120时，l取得最小值，最小值为10，因为10＜16，所以当速度为120 km/h时，总耗油量最少．[典例精析](1)已知直线ax＋by＋c－1＝0(b＞0，c＞0)经过圆C：x2＋y2－2y－5＝0的圆心，则＋的最小值是(　　)A．9　　　  B．8　　　 　C．4　　　 　D．2(2)设等差数列{an}的公差是d，其前n项和是Sn，若a1＝d＝1，则的最小值是________．[解析]　(1)把圆x2＋y2－2y－5＝0化成标准方程为x2＋(y－1)2＝6，所以圆心为C(0,1)．因为直线ax＋by＋c－1＝0经过圆心C，所以a×0＋b×1＋c－1＝0，即b＋c＝1.又b＞0，c＞0，因此＋＝(b＋c)＝＋＋5≥2 ＋5＝9.当且仅当b＝2c，且b＋c＝1，即b＝，c＝时，＋取得最小值9.(2)由题意an＝a1＋(n－1)d＝n，Sn＝，所以＝＝≥＝，当且仅当n＝4时取等号．所以的最小值是.[答案]　(1)A　(2)[解题技法]利用基本不等式解题的策略(1)应用基本不等式判断不等式是否成立：对所给不等式(或式子)变形，然后利用基本不等式求解．(2)条件不等式的最值问题：通过条件转化成能利用基本不等式的形式求解．(3)求参数的值或范围：观察题目特点，利用基本不等式确定相关成立条件，从而得参数的值或范围．[过关训练]1．已知函数f(x)＝x＋＋2的值域为(－∞，0]∪[4，＋∞)，则a的值是(　　)A.　　　　　　　　　　　 B.C．1  D．2解析：选C　由题意可得a＞0，①当x＞0时，f(x)＝x＋＋2≥2＋2，当且仅当x＝时取等号；②当x＜0时，f(x)＝x＋＋2≤－2＋2，当且仅当x＝－时取等号，所以解得a＝1，故选C.2．已知向量a＝(m,1)，b＝(4－n,2)，m＞0，n＞0，若a∥b，则＋的最小值为________．解析：∵a∥b，∴4－n－2m＝0，即2m＋n＝4.∵m＞0，n＞0，∴＋＝(n＋2m)＝×≥×＝，当且仅当4m＝n＝时取等号．∴＋的最小值是.答案：