2020版高考理科数学（人教版）一轮复习讲义：第四章第二节同角三角函数的基本关系与诱导公式

第二节同角三角函数的基本关系与诱导公式1．同角三角函数的基本关系(1)平方关系：sin2α＋cos2α＝1❶；(2)商数关系：tan α＝❷.2．三角函数的诱导公式公式一二三四五六角2kπ＋α(k∈Z)π＋α－απ－α－α＋α正弦sin α－sin α－sin αsin αcos αcos α余弦cos α－cos αcos α－cos αsin α－sin α正切tan αtan α－tan α－tan α——口诀函数名不变，符号看象限函数名改变，符号看象限作用：实现同角的正弦值与余弦值之间的转化，利用该公式求值，要注意确定角的终边所在的象限，从而判断三角函数值的符号．作用：切化弦，弦切互化．[熟记常用结论]同角三角函数的基本关系式的几种变形(1)sin2α＝1－cos2α＝(1＋cos α)(1－cos α)；cos2α＝1－sin2α＝(1＋sin α)(1－sin α)；(sin α±cos α)2＝1±2sin αcos α.(2)sin α＝tan αcos α.(3)sin2α＝＝；cos2α＝＝.[小题查验基础]一、判断题(对的打“√”，错的打“×”)(1)若α，β为锐角，则sin2α＋cos2β＝1.(　　)(2)sin2(α－β)＋cos2(α－β)＝1.(　　)(3)若α∈R，则tan α＝恒成立．(　　)(4)sin(π＋α)＝－sin α成立的条件是α为锐角．(　　)(5)若sin(kπ－α)＝(k∈Z)，则sin α＝.(　　)答案：(1)×　(2)√　(3)×　(4)×　(5)×二、选填题1．已知sin α＝，α∈，则tan α＝(　　)A．－2　　　　　　　　　 B．2C.  D．－解析：选D　因为≤α≤π，所以cos α＝－＝－ ＝－，所以tan α＝＝－.2．已知sin＝，那么cos α＝(　　)A．－  B．－C.  D.解析：选C　∵sin＝sin＝cos α，∴cos α＝.3．sin 210°cos 120°的值为(　　)A.  B．－C．－  D.解析：选A　sin 210°cos 120°＝－sin 30°(－cos 60°)＝－×＝.4．若sin θcos θ＝，则tan θ＋＝________.解析：tan θ＋＝＋＝＝2.答案：25．已知tan α＝2，则的值为________．解析：＝＝＝3.答案：36．化简·sin(α－π)·cos(2π－α)的结果为________．解析：原式＝·(－sin α)·cos α＝－sin2α.答案：－sin2α考点一同角三角函数基本关系式的应用[全析考法过关][考法全析]考法(一)　公式的直接应用[例1]　(1)已知cos α＝k，k∈R，α∈，则sin α＝(　　)A．－　　　　　　　 B.C．±  D.(2)sin21°＋sin22°＋…＋sin289°＝________.[解析]　(1)由cos α＝k，k∈R，α∈，可知k＜0，设角α终边上一点P(k，y)(y＞0)，|OP|＝1，所以＝1，得y＝，由三角函数定义可知sin α＝.(2)因为sin 1°＝cos 89°，所以sin21°＋sin289°＝cos289°＋sin289°＝1，同理sin22°＋sin288°＝1，…，sin244°＋sin246°＝1，而sin245°＝，故原式＝44＋＝44.[答案]　(1)B　(2)44考法(二)　sin α，cos α的齐次式问题[例2]　已知＝－1，求下列各式的值：(1)；(2)sin2α＋sin αcos α＋2.[解]　由已知得tan α＝.(1)＝＝－.(2)sin2α＋sin αcos α＋2＝＋2＝＋2＝＋2＝.考法(三)　“sin α±cos α，sin αcos α”之间的关系的应用[例3]　已知x∈(－π，0)，sin x＋cos x＝.(1)求sin x－cos x的值；(2)求的值．[解]　(1)由sin x＋cos x＝，平方得sin2x＋2sin xcos x＋cos2x＝，整理得2sin xcos x＝－.∴(sin x－cos x)2＝1－2sin xcos x＝.由x∈(－π，0)，知sin x＜0，又sin x＋cos x＞0，∴cos x＞0，则sin x－cos x＜0，故sin x－cos x＝－.(2)＝＝＝＝－.[规律探求] 看个性考法(一)是公式的直接应用，即已知sin α，cos α，tan α中的一个求另外两个的值．解决此类问题时，直接套用公式sin2α＋cos2α＝1及tan α＝即可，但要注意α的范围，即三角函数值的符号．考法(二)的分式中分子与分母是关于sin α，cos α的齐次式，往往转化为关于tan α的式子求解.考法(三)是考查sin α±cos α与sin αcos α的关系．对于sin α＋cos α，sin α－cos α，sin αcos α这三个式子，利用(sin α±cos α)2＝1±2sin αcos α，可以知一求二找共性(1)利用sin2α＋cos2α＝1可实现正弦、余弦的互化，开方时要根据角α所在象限确定符号；利用＝tan α可以实现角α的弦切互化；利用(sin α±cos α)2＝1±2sin αcos α的关系可实现和积转化．(2)注意方程思想与转化思想的应用 [过关训练]1．若角α的终边落在第三象限，则＋的值为(　　)A．3  B．－3C．1  D．－1解析：选B　由角α的终边落在第三象限得sin α＜0，cos α＜0，故原式＝＋＝＋＝－1－2＝－3.2．(2019·合肥模拟)已知sin x＋cos x＝，x∈(0，π)，则tan x＝(　　)A．－  B.C.  D．－解析：选D　∵sin x＋cos x＝，且x∈(0，π)，∴1＋2sin xcos x＝1－，∴2sin xcos x＝－＜0，∴x为钝角，∴sin x－cos x＝＝，结合已知解得sin x＝，cos x＝－，则tan x＝＝－.3．若3sin α＋cos α＝0，则的值为________．解析：∵3sin α＋cos α＝0⇒cos α≠0⇒tan α＝－，∴＝＝＝＝.答案：考点二诱导公式的应用[师生共研过关][典例精析](1)设f(α)＝(1＋2sin α≠0)，则f＝________.(2)已知cos＝a，则cos＋sin的值是________．[解析]　(1)因为f(α)＝＝＝＝，所以f＝＝＝＝.(2)因为cos＝cos＝－cos＝－a，sin＝sin＝cos＝a，所以cos＋sin＝0.[答案]　(1)　(2)0[解题技法]1．利用诱导公式解题的一般思路(1)化绝对值大的角为锐角．(2)角中含有加减的整数倍时，用公式去掉的整数倍．2．常见的互余和互补的角互余的角－α与＋α；＋α与－α；＋α与－α等互补的角＋θ与－θ；＋θ与－θ等[提醒]　对给定的式子进行化简或求值时，要注意给定的角之间存在的特定关系，充分利用给定的关系结合诱导公式将角进行转化．特别要注意每一个角所在的象限，防止符号及三角函数名出错．[过关训练]1．sin(－1 200°)·cos 1 290°＋cos(－1 020°)·sin(－1 050°)＋tan 945°＝________.解析：原式＝sin(－3×360°－120°)cos(3×360°＋180°＋30°)＋cos(－3×360°＋60°)sin(－3×360°＋30°)＋tan(2×360°＋180°＋45°)＝sin 120°cos 30°＋cos 60°sin 30°＋tan 45°＝＋＋1＝2.答案：22．已知sin α是方程5x2－7x－6＝0的根，α是第三象限角，则·tan2(π－α)＝________.解析：因为方程5x2－7x－6＝0的根为x1＝2，x2＝－，由题意知sin α＝－，故cos α＝－，tan α＝，所以原式＝＝－tan2α＝－.答案：－3．(2018·大连二模)已知sin＝，则cos＝(　　)A.　　 B．－　　　C.　　　D．－解析：选B　由题意知，cos＝cos＝－sin＝－.故选B.考点三诱导公式与同角关系的综合应用[师生共研过关][典例精析]已知f(x)＝(n∈Z)．(1)化简f(x)的表达式；(2)求f＋f的值．解：(1)当n为偶数，即n＝2k(k∈Z)时，f(x)＝＝＝＝sin2x；当n为奇数，即n＝2k＋1(k∈Z)时，f(x)＝＝＝＝＝sin2x，综上得f(x)＝sin2x.(2)由(1)得f＋f＝sin2＋sin2＝sin2＋sin2＝sin2＋cos2＝1.[解题技法]求解诱导公式与同角关系综合问题的基本思路和化简要求 基本思路①分析结构特点，选择恰当公式；②利用公式化成单角三角函数；③整理得最简形式化简要求①化简过程是恒等变换；②结果要求项数尽可能少，次数尽可能低，结构尽可能简单，能求值的要求出值[过关训练]1．已知α为锐角，且2tan(π－α)－3cos＋5＝0，tan(π＋α)＋6sin(π＋β)－1＝0，则sin α的值是(　　)A.　　　　　　　　　 B.C.  D.解析：选C　由已知可得－2tan α＋3sin β＋5＝0.tan α－6sin β－1＝0，解得tan α＝3，又α为锐角，故sin α＝.2．已知tan(π－α)＝－，且α∈，则＝________.解析：由tan(π－α)＝－，得tan α＝，则＝＝＝＝－.答案：－3．已知sin α＋cos α＝－，且＜α＜π，则＋的值为________．解析：由sin α＋cos α＝－平方得sin αcos α＝－，∵＜α＜π，∴sin α－cos α＝＝，∴＋＝－＝＝＝.答案：