2020版新设计一轮复习数学（文）江苏专版讲义：第二章第七节对数与对数函数

第七节对数与对数函数


1．对数
概念
如果ax＝N(a＞0，且a≠1)，那么数x叫做以a为底N的对数，记作x＝logaN，其中a叫做对数的底数，N叫做真数，logaN叫做对数式
性质
对数式与指数式的互化：ax＝N⇔x＝logaN
loga1＝0，logaa＝1，alogaN＝
运算法则
loga(M·N)＝logaM＋logaN
a＞0，且a≠1，M＞0，N＞0
loga＝logaM－logaN
logaMn＝nlogaM(n∈R)
换底公式
换底公式：logab＝(a＞0，且a≠1，c＞0，且c≠1，b＞0)
2.对数函数的图象与性质
y＝logax
a＞1
0＜a＜1
图象


性质
定义域为(0，＋∞)
值域为R
过定点(1,0)，即x＝时，y＝
当x＞1时，y＞0；
当0＜x＜1时，y＞0
当0＜x＜1时，y＜0
当x＞1时，y＜0；
在区间(0，＋∞)上是函数
在区间(0，＋∞)上是函数

3．反函数
指数函数y＝ax(a＞0且a≠1)与对数函数y＝logax(a＞0且a≠1)互为反函数，它们的图象关于直线y＝x对称．
[小题体验]
1．已知a＞0，且a≠1，函数y＝ax与y＝loga(－x)的图象可能是______(填序号)．

答案：②
2．函数f(x)＝loga(x＋2)－2(a＞0，且a≠1)的图象必过定点________．
答案：(－1，－2)
3．函数f(x)＝log5(2x＋1)的单调增区间是________．
答案：
4．(1)2log3－log3－31＋log32＝________；
(2)4－(lg 2＋lg 5)＝________.
答案：(1)－5　(2)1

1．在运算性质logaMα＝αlogaM中，要特别注意条件，在没有M＞0的条件下应为logaMα＝αloga|M|(α∈N*，且α为偶数)．
2．解决与对数函数有关的问题时需注意两点：
(1)务必先研究函数的定义域；
(2)注意对数底数的取值范围．
[小题纠偏]
1．函数y＝的定义域为______．
答案：
2．函数f(x)＝log(x＋1)(2x－1)的单调递增区间是______．
答案：
3．已知函数y＝loga(2－ax)(a＞0，且a≠1)在[0,1]上为减函数，则a的取值范围为________．
解析：因为a＞0，所以g(x)＝2－ax为减函数，即任取x1，x2∈[0,1]，且x1＜x2，有g(x1)＞g(x2)，又logag(x1)＞logag(x2)，所以a＞1.而又因为g(x)＝2－ax在[0,1]恒大于0，所以2－a＞0，所以a＜2，综上，1＜a＜2.
答案：(1,2)

　
[题组练透]
1．计算：(1)4log23＝________.
(2)log225·log34·log59＝________.
解析：(1)4log23＝22log23＝2log29＝9
(2)原式＝··
＝··＝8.
答案：(1)9　(2)8
2．计算÷100＝______.
解析：原式＝(lg 2－2－lg 52)×100
＝lg ×10＝lg 10－2×10
＝－2×10＝－20.
答案：－20
3.lg－lg＋lg＝________.
解析：lg －lg＋lg
＝(5lg 2－2lg 7)－··3lg 2＋(lg 5＋2lg 7)
＝(lg 2＋lg 5)＝.
答案：
[谨记通法]
对数运算的一般思路
(1)将真数化为底数的指数幂的形式进行化简；
(2)将同底对数的和、差、倍合并；
(3)利用换底公式将不同底的对数式转化成同底的对数式，要注意换底公式的正用、逆用及变形应用．
　
[典例引领]
1．(2018·苏北三市三模)如图，已知正方形ABCD的边长为2，BC平行于x轴，顶点A，B和C分别在函数y1＝3logax，y2＝2logax和y3＝logax(a＞1)的图象上，则实数a的值为________．
解析：设C(x0，logax0)，则2logaxB＝logax0，
即 x＝x0，解得xB＝，
故xC－xB＝x0－＝2，解得 x0＝4，
即B(2,2loga2)，A(2,3loga2)，
由AB＝2，可得3loga2－2loga2＝2，解得a＝.
答案：
2．若不等式logax＞(x－1)2恰有三个整数解，则a的取值范围为________．
解析：由不等式logax＞(x－1)2恰有三个整数解，得a＞1.在同一直角坐标系中画出y＝logax(a＞1)与y＝(x－1)2的图象，可知不等式的整数解集为{2,3,4}，则应满足解得≤a＜.
答案：[，)
[由题悟法]
研究对数型函数图象的思路
(1)研究对数型函数的图象时，一般从最基本的对数函数的图象入手，通过平移、伸缩、对称变换得到．特别地，要注意底数a＞1或0＜a＜1这两种不同情况．
(2)一些对数型方程、不等式问题常转化为相应的函数图象问题，利用数形结合法求解．
[即时应用]
(2018·常州一中模拟)设f(x)＝|lg x|，a，b为实数，且0＜a＜b.
(1)若a，b满足f(a)＝f(b)，求证：ab＝1；
(2)在(1)的条件下，求证：由关系式f(b)＝2f所得到的关于b的方程g(b)＝0，存在b0∈(3,4)，使g(b0)＝0.
证明：(1)结合函数图象，由f(a)＝f(b)可判断a∈(0,1)，b∈(1， ＋∞)，
从而－lg a＝lg b，即lg ab＝0.
故ab＝1.
(2)因为0＜a＜b，
所以＞＝1.
由已知可得b＝2，即4b＝a2＋b2＋2ab，得＋b2＋2－4b＝0，g(b)＝＋b2＋2－4b，因为g(3)＜0，g(4)＞0，根据零点存在性定理可知，函数g(b)在(3,4)内一定存在零点，即存在b0∈(3,4)，使g(b0)＝0.
　
[锁定考向]
高考对对数函数的性质及其应用的考查，多以填空题的形式考查，难度低、中、高档都有．
常见的命题角度有：
(1)比较对数值的大小；
(2)简单的对数不等式；
(3)对数函数性质的综合问题．　　　 　
[题点全练]
角度一：比较对数值的大小
1．已知a＝log29－log2，b＝1＋log2，c＝＋log2，则a，b，c的大小关系为________(用“＞”表示)．
解析：a＝log29－log2＝log23，
b＝1＋log2＝log22，c＝＋log2＝log2，
因为函数y＝log2x是增函数，且2＞3＞，
所以b＞a＞c.
答案：b＞a＞c
角度二：简单的对数不等式
2．(2018·启东联考)已知一元二次不等式f(x)＞0的解集为(－∞，1)∪(2，＋∞)，则 f(lg x)＜0的解集为________．
解析：因为一元二次不等式f(x)＞0的解集为(－∞，1)∪(2，＋∞)，所以一元二次不等式f(x)＜0的解集为(1,2)，由f(lg x)＜0可得1＜lg x＜2，从而解得10＜x＜100，所以不等式的解集为(10,100)．
答案：(10,100)
角度三：对数函数性质的综合问题
3．(2019·盐城中学第一次检测)已知函数f(x)＝lg(2＋x)＋lg(2－x)．
(1)求函数f(x)的定义域，并判断函数f(x)的奇偶性；
(2)记函数g(x)＝10f(x)＋3x，求函数g(x)的值域；
(3)若不等式f(x)＞m有解，求实数m的取值范围．
解：(1)∵函数f(x)＝lg(2＋x)＋lg(2－x)，
∴解得－2＜x＜2.
∴函数f(x)的定义域为(－2,2)．
∵f(－x)＝lg(2－x)＋lg(2＋x)＝f(x)，
∴f(x)是偶函数．
(2)∵f(x)＝lg(2＋x)＋lg(2－x)＝lg(4－x2)，
∴g(x)＝10f(x)＋3x＝－x2＋3x＋4
＝－2＋(－2＜x＜2)，
∴g(x)max＝g＝，g(x)min＝g(－2)＝－6.
∴函数g(x)的值域是.
(3)∵不等式f(x)＞m有解，∴m＜f(x)max，
令t＝4－x2，由于－2＜x＜2，∴0＜t≤4，
∴m＜lg 4.
∴实数m的取值范围为(－∞，lg 4)．
[通法在握]
1．解决与对数函数有关的函数的单调性问题的步骤

2．比较对数值大小的方法
(1)若底数为同一常数，则可由对数函数的单调性直接进行判断；若底数为同一字母，则需对底数进行分类讨论．
(2)若底数不同，真数相同，则可以先用换底公式化为同底后，再进行比较．
(3)若底数与真数都不同，则常借助1,0等中间量进行比较．
[演练冲关]
1．(2019·苏州模拟)已知函数f(x)＝logax2＋a|x|(a＞0，且a≠1)，若f(－3)＜f(4)，则不等式f(x2－3x)＜f(4)的解集为________．
解析：易知函数f(x)的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，
∵f(－x)＝logax2＋a|x|＝f(x)，∴f(x)在定义域上为偶函数，∴f(－3)＝f(3)．
∵f(－3)＜f(4)，∴f(3)＜f(4)，∴a＞1，f(x)在(0，＋∞)上单调递增．
故不等式f(x2－3x)＜f(4)满足解得－1＜x＜4，且x≠0，x≠3.
故不等式f(x2－3x)＜f(4)的解集为(－1,0)∪(0,3)∪(3,4)．
答案：(－1,0)∪(0,3)∪(3,4)
2．已知函数f(x)＝log4(ax2＋2x＋3)．
(1)若f(1)＝1，求f(x)的单调区间；
(2)是否存在实数a，使f(x)的最小值为0？若存在，求出a的值；若不存在，说明理由．
解：(1)因为f(1)＝1，所以log4(a＋5)＝1，
因此a＋5＝4，a＝－1，
这时f(x)＝log4(－x2＋2x＋3)．
由－x2＋2x＋3＞0，得－1＜x＜3，
函数f(x)的定义域为(－1,3)．
令g(x)＝－x2＋2x＋3，
则g(x)在(－1,1)上递增，在(1,3)上递减．
又y＝log4x在(0，＋∞)上递增，
所以f(x)的单调递增区间是(－1,1)，递减区间是(1,3)．
(2)假设存在实数a，使f(x)的最小值为0，
则h(x)＝ax2＋2x＋3应有最小值1，
因此应有解得a＝.
故存在实数a＝，使f(x)的最小值为0.

一抓基础，多练小题做到眼疾手快
1．(2018·淮安调研)函数f(x)＝log2(3x－1)的定义域为________．
解析：由3x－1＞0，解得x＞，所以函数f(x)的定义域为.
答案：
2．函数f(x)＝log3(x2－2x＋10)的值域为________．
解析：令t＝x2－2x＋10＝(x－1)2＋9≥9，故函数f(x)可化为y＝log3t，t≥9，此函数是一个增函数，其最小值为log39＝2，故f(x)的值域为[2，＋∞)．
答案：[2，＋∞)
3．计算log23log34＋()log34＝________.
解析：log23 log34＋()＝·＋3＝2＋3log32＝2＋2＝4.
答案：4
4．(2019·长沙调研)已知函数y＝loga(x＋3)－1(a＞0，a≠1)的图象恒过定点A，若点A也在函数f(x)＝3x＋b的图象上，则f(log32)＝________.
解析：∵函数y＝loga(x＋3)－1(a＞0，a≠1)的图象恒过定点A(－2，－1)，将x＝－2，y＝－1代入f(x)＝3x＋b，得3－2＋b＝－1，∴b＝－，∴f(x)＝3x－，
则f(log32)＝3log32－＝2－＝.
答案：
5．若函数f(x)＝(a＞0，且a≠1)的值域是[4，＋∞)，则实数a的取值范围是________．
解析：当x≤2时，y＝－x＋6≥4.
因为f(x)的值域为[4，＋∞)，
所以当a＞1时，3＋logax＞3＋loga2≥4，所以loga2≥1，
所以1＜a≤2；当0＜a＜1时，3＋logax＜3＋loga2，不合题意．故a∈(1,2]．
答案：(1,2]
6．(2018·镇江期末)已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，当x＞0时，f(x)＝1－log2x，则不等式f(x)＜0的解集是________．
解析：当x＜0时，f(x)＝－f(－x)＝log2(－x)－1，f(x)＜0，即log2(－x)－1＜0，解得－2＜x＜0；当x＞0时，f(x)＝1－log2x，f(x)＜0，即1－log2x＜0，解得x＞2，综上，不等式f(x)＜0的解集是(－2,0)∪(2，＋∞)．
答案：(－2,0)∪(2，＋∞)
二保高考，全练题型做到高考达标
1．(2019·镇江中学调研)函数y＝log2x＋log2(4－x)的值域为________．
解析：由题意知，x＞0且4－x＞0，∴f(x)的定义域是(0,4)．
∵函数f(x)＝log2x＋log2(4－x)＝log2[x(4－x)]，
∴0＜x(4－x)≤2＝4，当且仅当x＝2时等号成立．
∴log2[x(4－x)]≤2，∴函数y＝log2x＋log2(4－x)的值域为(－∞，2]．
答案：(－∞，2]
2．(2018·镇江中学学情调研)已知函数f(x)＝lg的定义域是，则实数a的值为________．
解析：因为函数f(x)＝lg的定义域是，所以当x＞时，1－＞0，即＜1，所以a＜2x，所以x＞log2a.令log2a＝，得a＝2＝，所以实数a的值为.
答案：
3．若函数f(x)＝lg(x2－2ax＋1＋a)在区间(－∞，1]上递减，则a的取值范围为________．
解析：令函数g(x)＝x2－2ax＋1＋a＝(x－a)2＋1＋a－a2，对称轴为x＝a，要使函数在 (－∞，1]上递减，则有即解得1≤a＜2，即a∈[1,2)．
答案：[1,2)
4．(2019·连云港模拟)已知函数f(x)＝lg，若f(a)＝，则f(－a)＝________.
解析：因为f(x)＝lg的定义域为－1＜x＜1，
所以f(－x)＝lg＝－lg＝－f(x)，
所以f(x)为奇函数，所以f(－a)＝－f(a)＝－.
答案：－
5．函数f(x)＝＋lg的定义域为__________．
解析：由得故函数定义域为(2,3)∪(3,4]．
答案：(2,3)∪(3,4]
6．(2018·苏州调研)若函数f(x)＝(a＞0，且a≠1)的值域为[6，＋∞)，则实数a的取值范围是________．
解析：当x≤2时，f(x)∈[6，＋∞)，所以当x＞2时，f(x)的取值集合A⊆[6，＋∞)．当0＜a＜1时，A＝，不符合题意；当a＞1时，A＝(loga2＋5，＋∞)，若A⊆[6，＋∞)，则有loga2＋5≥6，解得1＜a≤2.
答案：(1,2]
7．函数f(x)＝log2·log(2x)的最小值为______．
解析：依题意得f(x)＝log2x·(2＋2log2x)＝(log2x)2＋log2x＝2－≥－，
当且仅当log2x＝－，即x＝时等号成立，
因此函数f(x)的最小值为－.
答案：－
8．设函数f(x)＝若f(a)＞f(－a)，则实数a的取值范围是________________．
解析：由f(a)＞f(－a)得
或
即或
解得a＞1或－1＜a＜0.
答案：(－1,0)∪(1，＋∞)
9．已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，f(0)＝0，当x＞0时，f(x)＝logx.
(1)求函数f(x)的解析式；
(2)解不等式f(x2－1)＞－2.
解：(1)当x＜0时，－x＞0，则f(－x)＝log (－x)．
因为函数f(x)是偶函数，所以f(－x)＝f(x)．
所以函数f(x)的解析式为
f(x)＝
(2)因为f(4)＝log4＝－2，f(x)是偶函数，
所以不等式f(x2－1)＞－2可化为f(|x2－1|)＞f(4)．
又因为函数f(x)在(0，＋∞)上是减函数，
所以|x2－1|＜4，解得－＜x＜，
即不等式的解集为(－，)．
10．(2019·如东上学期第一次阶段检测)已知函数f(x)＝loga(x＋1)＋loga(3－x)(a＞0且a≠1)，且f(1)＝2.
(1)求a的值及f(x)的定义域；
(2)若不等式f(x)≤c恒成立，求实数c的取值范围．
解：(1)因为f(1)＝2，所以2loga2＝2，
故a＝2，
所以f(x)＝log2(1＋x)＋log2(3－x)，
要使函数f(x)有意义，需有
解得－1＜x＜3，
所以f(x)的定义域为(－1,3)．
(2)由(1)知，f(x)＝log2(1＋x)＋log2(3－x)
＝log2[(1＋x)(3－x)]＝log2(－x2＋2x＋3)
＝log2[－(x－1)2＋4]，
故当x＝1时，f(x)有最大值2，
所以c的取值范围是[2，＋∞)．
三上台阶，自主选做志在冲刺名校
1．(2019·南京五校联考)已知函数f(x)＝x2＋ex－(x＜0)与g(x)＝x2＋ln(x＋a)，若函数f(x)图象上存在点P与函数g(x)图象上的点Q关于y轴对称，则a的取值范围是________．
解析：设点P(x0，y0)(x0＜0)，则点P关于y轴的对称点Q(－x0，y0)在函数g(x)的图象上，
所以
消去y0，可得x＋e x0－＝(－x0)2＋ln(－x0＋a)，
所以e x0－＝ln(－x0＋a)(x0＜0)．
令m(x)＝ex－(x＜0)，n(x)＝ln(a－x)(x＜0)，问题转化为函数m(x)与函数n(x)的图象在x＜0时有交点．
在平面直角坐标系中分别作出函数m(x)与函数n(x)的图象如图所示．

当n(x)＝ln(a－x)的图象过点时，a＝.
由图可知，当a＜时，函数m(x)与函数n(x)的图象在x＜0时有交点．
故a的取值范围为(－∞，)．
答案：(－∞，)

2．(2018·昆山测试)已知函数f(x)＝lg(k∈R)．
(1)当k＝0时，求函数f(x)的值域；
(2)当k＞0时，求函数f(x)的定义域；
(3)若函数f(x)在区间[10，＋∞)上是单调增函数，求实数k的取值范围．
解：(1)当k＝0时，f(x)＝lg ，定义域为(－∞，1)．
因为函数y＝(x＜1)的值域为(0，＋∞)，
所以f(x)＝lg 的值域为R.
(2)因为k＞0，所以关于x的不等式＞0⇔(x－1)(kx－1)＞0⇔(x－1)＞0.(*)
①若0＜k＜1，则＞1，不等式(*)的解为x＜1或x＞；
②若k＝1，则不等式(*)即(x－1)2＞0，其解为x≠1；
③若k＞1，则＜1，不等式(*)的解为x＜或x＞1.
综上，当0＜k≤1时，函数f(x)的定义域为(－∞，1)∪；
当k＞1时，函数f(x)的定义域为∪(1，＋∞)．
(3)令g(x)＝，则f(x)＝lg g(x)．
因为函数f(x)在[10，＋∞)上是单调增函数，且对数的底数10＞1，
所以当x∈[10，＋∞)时，g(x)＞0，且函数g(x)在[10，＋∞)上是单调增函数．
而g(x)＝＝＝k＋，
若k－1≥0，则函数g(x)在[10，＋∞)上不是单调增函数；
若k－1＜0，则函数g(x)在[10，＋∞)上是单调增函数．
所以k＜1.①
因为函数g(x)在[10，＋∞)上是单调增函数，
所以要使当x∈[10，＋∞)时，g(x)＞0，必须g(10)＞0，
即＞0，解得k＞.②
综合①②知，实数k的取值范围是.