2020版高考理科数学（人教版）一轮复习讲义：第二章第五节二次函数与幂函数


第五节二次函数与幂函数

1．幂函数
(1)幂函数的定义
一般地，形如y＝xα(α∈R)的函数称为幂函数，其中x是自变量，α为常数．
(2)常见的5种幂函数的图象

排列特点：第一象限内，在直线x＝1右侧，其指数越大，图象越高，即“指大图高”.
图象规律：幂函数的图象一定会出现在第一象限，一定不会出现在第四象限．图象若与坐标轴有交点，一定交于坐标原点．
三点注意：(1)当α＜0时，函数图象与坐标轴没有交点，类似于y＝x－1的图象，且在第一象限内，逆时针方向指数在增大；
(2)当0＜α＜1时，函数图象倾向x轴，类似于y＝x的图象；
(3)当α>1时，函数图象倾向y轴，类似于y＝x3的图象，且在第一象限内，逆时针方向指数在增大.
(3)幂函数的性质
①幂函数在(0，＋∞)上都有定义；
②当α>0时，幂函数的图象都过点(1,1)和(0,0)，且在(0，＋∞)上单调递增；
③当α＜0时，幂函数的图象都过点(1,1)，且在(0，＋∞)上单调递减．
对于形如f(x)＝x(其中m∈N*，n∈Z，m与n互质)的幂函数：
(1)当n为偶数时，f(x)为偶函数，图象关于y轴对称；
(2)当m，n都为奇数时，f(x)为奇函数，图象关于原点对称；
(3)当m为偶数时，x>0(或x≥0)，f(x)是非奇非偶函数，图象只在第一象限(或第一象限及原点处)．
2．二次函数
(1)二次函数解析式的3种形式
①一般式：f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)．
②顶点式：f(x)＝a(x－m)2＋n(a≠0)，顶点坐标为(m，n)．
③零点式：f(x)＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)，x1，x2为f(x)的零点．
(2)二次函数的图象和性质
函数
y＝ax2＋bx＋c(a>0)
y＝ax2＋bx＋c(a＜0)
图象(抛物线)


定义域
R

值域


对称轴
x＝－
顶点坐标

奇偶性
当b＝0时是偶函数，当b≠0时是非奇非偶函数
单调性
在上是减函数；
在上是增函数
在上是增函数；
在上是减函数
[熟记常用结论]

关于二次函数的几个常用结论
(1)关于函数f(x)＝a(x－h)2＋k(a>0)，x∈[p，q]的最值问题
若h∈[p，q]，则x＝h时有最小值k，最大值是f(p)与f(q)中较大者；若h∉[p，q]，则f(p)，f(q)中较小者为最小值，较大者为最大值．
(2)根的分布问题
设函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)，若对区间[a，b]有f(a)≥0，f(b)≤0，则曲线必与x轴相交(至少有一个交点，且交点必在[a，b]上)．
设x1，x2是实系数一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a>0)的两根，根的分布对照y＝ax2＋bx＋c(a>0)的图象，知其等价不等式组的关系是：
①若x1＜x2＜m，则
②若m＜x1＜x2，则
③若x1＜m＜x2，则
④若x1，x2∈(m1，m2)，则
⑤若x1，x2有且仅有一个在(m1，m2)内，
则
[小题查验基础]
一、判断题(对的打“√”，错的打“×”)
(1)函数y＝2x是幂函数．(　　)
(2)当n>0时，幂函数y＝xn在(0，＋∞)上是增函数．(　　)
(3)二次函数y＝ax2＋bx＋c(x∈R)不可能是偶函数．(　　)
(4)二次函数y＝ax2＋bx＋c(x∈[a，b])的最值一定是.(　　)
(5)在y＝ax2＋bx＋c(a≠0)中，a决定了图象的开口方向和在同一直角坐标系中的开口大小．(　　)
答案：(1)×　(2)√　(3)×　(4)×　(5)√
二、选填题
1．已知幂函数y＝f(x)的图象经过点，则f(2)＝(　　)
A.　　　　　　　　 B．4
C. D.
解析：选C　设f(x)＝xα，
∵图象过点，∴f(4)＝4α＝，解得α＝－，
∴f(2)＝2＝.故选C.
2．若四个幂函数y＝xa，y＝xb，y＝xc，y＝xd在同一坐标系中的图象如图，则a，b，c，d的大小关系是(　　)

A．d>c>b>a B．a>b>c>d
C．d>c>a>b D．a>b>d>c
解析：选B　根据幂函数的性质及图象知选B.
3．已知函数f(x)＝ax2＋x＋5的图象在x轴上方，则a的取值范围是(　　)
A. B.
C. D.
解析：选C　∵函数f(x)＝ax2＋x＋5的图象在x轴上方，
∴解得a>.
4．函数f(x)＝(m2－m－1)xm是幂函数，且在x∈(0，＋∞)上为增函数，则实数m的值为________．
解析：∵f(x)＝(m2－m－1)xm是幂函数，
∴m2－m－1＝1，解得m＝－1或m＝2.
又∵f(x)在(0，＋∞)上为增函数，
∴m＝2.
答案：2
5．已知f(x)＝4x2－mx＋5在[2，＋∞)上是增函数，则实数m的取值范围是________．
解析：因为函数f(x)＝4x2－mx＋5的单调递增区间为，所以≤2，即m≤16.
答案：(－∞，16]

考点一
[基础自学过关]
幂函数的图象与性质
[题组练透]
1．已知幂函数f(x)的图象经过点(9,3)，则f(2)－f(1)＝(　　)
A．3　　　　　　　　 B．1－
C.－1 D．1
解析：选C　设幂函数f(x)＝xα，则f(9)＝9α＝3，即α＝，所以f(x)＝x＝，所以f(2)－f(1)＝－1，故选C.
2．当x∈(0，＋∞)时，幂函数y＝(m2＋m－1)x－5m－3为减函数，则实数m的值为(　　)
A．－2 B．1
C．1或－2 D．m≠
解析：选B　因为函数y＝(m2＋m－1)x－5m－3既是幂函数又是(0，＋∞)上的减函数，所以解得m＝1.
3.幂函数y＝x (m∈Z)的图象如图所示，则m的值为(　　)

A．－1 B．0
C．1 D．2
解析：选C　从图象上看，由于图象不过原点，且在第一象限下降，故m2－2m－3＜0，即－1＜m＜3；又从图象看，函数是偶函数，故m2－2m－3为负偶数，将m＝0,1,2分别代入，可知当m＝1时，m2－2m－3＝－4，满足要求．
4．已知a＝3，b＝4，c＝12，则a，b，c的大小关系为(　　)
A．b＜a＜c B．a＜b＜c
C．c＜b＜a D．c＜a＜b
解析：选C　因为a＝81，b＝16，c＝12，由幂函数y＝x在(0，＋∞)上为增函数，知a>b>c，故选C.
5．若(a＋1)＜(3－2a)，则实数a的取值范围是________．
解析：易知函数y＝x的定义域为[0，＋∞)，在定义域内为增函数，所以解得－1≤a＜.
答案：
[名师微点]
(1)幂函数y＝xα的形式特点是“幂指数坐在x的肩膀上”，图象都过点(1,1)．它们的单调性要牢记第一象限的图象特征：当α>0时，第一象限图象是上坡递增；当α＜0时，第一象限图象是下坡递减．然后根据函数的奇偶性确定y轴左侧的增减性即可．
(2)在比较幂值的大小时，必须结合幂值的特点，选择适当的函数，借助其单调性进行比较，既不同底又不同次数的幂函数值比较大小：常找到一个中间值，通过比较幂函数值与中间值的大小进行判断．准确掌握各个幂函数的图象和性质是解题的关键．

考点二
[师生共研过关]
求二次函数的解析式
[典例精析]
已知二次函数f(x)满足f(2)＝－1，f(－1)＝－1，且f(x)的最大值是8，求二次函数f(x)的解析式．
[解]　法一：(利用二次函数的一般式)
设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)．
由题意得解得
故所求二次函数为f(x)＝－4x2＋4x＋7.
法二：(利用二次函数的顶点式)
设f(x)＝a(x－m)2＋n(a≠0)．
∵f(2)＝f(－1)，∴抛物线对称轴为x＝＝.
∴m＝，又根据题意函数有最大值8，∴n＝8，
∴y＝f(x)＝a2＋8.
∵f(2)＝－1，∴a2＋8＝－1，解得a＝－4，
∴f(x)＝－42＋8＝－4x2＋4x＋7.
法三：(利用二次函数的零点式)
由已知f(x)＋1＝0的两根为x1＝2，x2＝－1，
故可设f(x)＋1＝a(x－2)(x＋1)，
即f(x)＝ax2－ax－2a－1.
又函数有最大值ymax＝8，
即＝8.
解得a＝－4或a＝0(舍去)，
故所求函数解析式为f(x)＝－4x2＋4x＋7.
[解题技法]
求二次函数解析式的策略

[过关训练]
1．已知二次函数f(x)是偶函数，且f(4)＝4f(2)＝16，则函数f(x)的解析式为____________．
解析：由题意可设函数f(x)＝ax2＋c(a≠0)，则f(4)＝16a＋c＝16,4f(2)＝4(4a＋c)＝16a＋4c＝16，所以a＝1，c＝0，故f(x)＝x2.
答案：f(x)＝x2
2．已知二次函数f(x)＝ax2＋bx＋1(a，b∈R)，x∈R，若函数f(x)的最小值为f(－1)＝0，则f(x)＝________.
解析：设函数f(x)的解析式为f(x)＝a(x＋1)2＝ax2＋2ax＋a，又f(x)＝ax2＋bx＋1，所以a＝1，故f(x)＝x2＋2x＋1.
答案：x2＋2x＋1
3．已知二次函数f(x)的图象经过点(4,3)，它在x轴上截得的线段长为2，并且对任意x∈R，都有f(2－x)＝f(2＋x)，求f(x)的解析式．
解：∵f(2－x)＝f(2＋x)对x∈R恒成立，
∴f(x)的对称轴为x＝2.
又∵f(x)的图象被x轴截得的线段长为2，
∴f(x)＝0的两根为1和3.
设f(x)的解析式为f(x)＝a(x－1)(x－3)(a≠0)．
又∵f(x)的图象过点(4,3)，∴3a＝3，a＝1.
∴所求f(x)的解析式为f(x)＝(x－1)(x－3)，
即f(x)＝x2－4x＋3.
考点三
[全析考法过关]
二次函数的性质及应用
[考法全析]
考法(一)　二次函数的单调性问题
[例1]　(1)已知函数f(x)＝ax2＋(a－3)x＋1在区间[－1，＋∞)上是递减的，则实数a的取值范围是(　　)
A．[－3,0)　　　　　　　 B．(－∞，－3]
C．[－2,0] D．[－3,0]
(2)函数f(x)＝x2－bx＋c满足f(x＋1)＝f(1－x)，且f(0)＝3，则f(bx)与f(cx)的大小关系是(　　)
A．f(bx)≤f(cx) B．f(bx)≥f(cx)
C．f(bx)>f(cx) D．与x有关，不确定
[解析]　(1)当a＝0时，f(x)＝－3x＋1在[－1，＋∞)上递减，满足题意．
当a≠0时，f(x)的对称轴为x＝，
由f(x)在[－1，＋∞)上递减知解得－3≤a＜0.
综上，a的取值范围为[－3,0]．
(2)由题意知，函数f(x)的图象关于直线x＝1对称，∴b＝2，又f(0)＝3，∴c＝3，则bx＝2x，cx＝3x.易知f(x)在(－∞，1)上单调递减，在[1，＋∞)上单调递增．若x≥0，则3x≥2x≥1，∴f(3x)≥f(2x)；若x＜0，则3x＜2x＜1，∴f(3x)>f(2x)．∴f(3x)≥f(2x)，即f(bx)≤f(cx)．故选A.
[答案]　(1)D　(2)A
考法(二)　二次函数的最值问题
[例2]　若函数f(x)＝ax2＋2ax＋1在[1,2]上有最大值4，则a的值为________．
[解析]　f(x)＝a(x＋1)2＋1－a.
①当a＝0时，函数f(x)在区间[1,2]上的值为常数1，不符合题意，舍去；
②当a>0时，函数f(x)在区间[1,2]上是增函数，最大值为f(2)＝8a＋1＝4，解得a＝；
③当a＜0时，函数f(x)在区间[1,2]上是减函数，最大值为f(1)＝3a＋1＝4，解得a＝1，不符合题意，舍去．
综上可知，a的值为.
[答案]　
考法(三)　二次函数中的恒成立问题
[例3]　已知函数f(x)＝x2－x＋1，在区间[－1,1]上，不等式f(x)>2x＋m恒成立，则实数m的取值范围是________．
[解析]　f(x)>2x＋m等价于x2－x＋1>2x＋m，
即x2－3x＋1－m>0，
令g(x)＝x2－3x＋1－m，
要使g(x)＝x2－3x＋1－m>0在[－1,1]上恒成立，
只需使函数g(x)＝x2－3x＋1－m在[－1,1]上的最小值大于0即可．
∵g(x)＝x2－3x＋1－m在[－1,1]上单调递减，
∴g(x)min＝g(1)＝－m－1.
由－m－1>0，得m＜－1.
因此满足条件的实数m的取值范围是(－∞，－1)．
[答案]　(－∞，－1)
[规律探求]
看个性
考法(一)是研究二次函数的单调性问题，二次函数的单调性在其图象对称轴的两侧不同，因此研究二次函数的单调性时要依据其图象的对称轴进行分类讨论．
考法(二)是研究二次函数的最值问题．对于含参数的二次函数最值问题，无论对称轴还是区间含有参数，都把对称轴看作静止不动的参照物，即“动兮定兮对称轴，看作静止参照物”，然后利用十字法求解即可．

考法(三)是考法(一)和考法(二)的逆运用，最终转化为最值问题求解
找共性
解决二次函数性质问题应注意的两个关键
(1)抛物线的开口、对称轴位置、定义区间三者相互制约，要注意分类讨论．
(2)要注意数形结合思想的应用，尤其是给定区间上的二次函数最值问题
[过关训练]
1．[口诀第1、2、3句]若二次函数y＝kx2－4x＋2在区间[1,2]上是单调递增函数，则实数k的取值范围为(　　)
A．[2，＋∞) B．(2，＋∞)
C．(－∞，0) D．(－∞，2)
解析：选A　二次函数y＝kx2－4x＋2的对称轴为x＝，当k>0时，要使函数y＝kx2－4x＋2在区间[1,2]上是增函数，只需≤1，解得k≥2.
当k＜0时，＜0，此时抛物线的对称轴在区间[1,2]的左侧，该函数y＝kx2－4x＋2在区间[1,2]上是减函数，不符合要求．综上可得实数k的取值范围是[2，＋∞)．
2．[口诀第1、2句]已知y＝f(x)是偶函数，当x>0时，f(x)＝(x－1)2，若当x∈时，n≤f(x)≤m恒成立，则m－n的最小值为(　　)
A. B.
C. D．1
解析：选D　设x＜0，则－x>0.
有f(－x)＝(－x－1)2＝(x＋1)2，又∵f(－x)＝f(x)，
∴当x＜0时，f(x)＝(x＋1)2，
∴该函数在上的最大值为1，最小值为0，
依题意，n≤f(x)≤m恒成立，
则n≤0，m≥1，即m－n≥1，故m－n的最小值为1.
3．[口诀第4、5句]设函数f(x)＝x2－2x＋2，x∈[t，t＋1]，t∈R，求函数f(x)的最小值．
解：f(x)＝x2－2x＋2＝(x－1)2＋1，x∈[t，t＋1]，t∈R，函数图象的对称轴为x＝1.
当t＋1＜1，即t＜0时，函数图象如图(1)所示，函数f(x)在区间[t，t＋1]上为减函数，所以最小值为f(t＋1)＝t2＋1；
当t≤1≤t＋1，即0≤t≤1时，函数图象如图(2)所示，在对称轴x＝1处取得最小值，最小值为f(1)＝1；

当t>1时，函数图象如图(3)所示，函数f(x)在区间[t，t＋1]上为增函数，所以最小值为f(t)＝t2－2t＋2.
综上可知，f(x)min＝