2020版高考理科数学（人教版）一轮复习讲义：第二章第一节函数及其表示

第二章  函数的概念及基本初等函数(Ⅰ)全国卷年考情图解高考命题规律把握1.高考对本章的考查一般为1～3道小题．2.从考查内容上看主要涉及函数的图象，多为给出具体函数解析式判断函数的图象；函数的性质及函数性质的综合问题；指数、对数、幂函数的图象与性质；分段函数，既有求函数值，也有解不等式，常与指数、对数函数，零点相结合．3.本章一般不单独涉及解答题，在解答题中多与导数、不等式结合命题，试题难度较大. 第一节函数及其表示1．函数与映射 函数映射两集合A，B设A，B是非空的数集设A，B是非空的集合对应关系f：A→B如果按照某种确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应如果按某一个确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个元素x，在集合B中都有唯一确定的元素y与之对应名称称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数称对应f：A→B为从集合A到集合B的一个映射记法y＝f(x)，x∈A对应f：A→B是一个映射 2．函数的有关概念(1)函数的定义域、值域：在函数y＝f(x)，x∈A中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域❶；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的值域❷.显然，值域是集合B的子集．(2)函数的三要素：定义域、值域和对应关系．(3)相等函数：如果两个函数的定义域和对应关系完全一致，则这两个函数相等，这是判断两函数相等的依据．(4)函数的表示法：解析法、图象法、列表法．3．分段函数❸若函数在其定义域内，对于定义域内的不同取值区间，有着不同的对应关系，这样的函数通常叫做分段函数．,(1)确定函数的定义域常从解析式本身有意义，或从实际出发．(2)如果函数y＝f(x)用表格给出，则表格中x的集合即为定义域．(3)如果函数y＝f(x)用图象给出，则图象在x轴上的投影所覆盖的x的集合即为定义域.值域是一个数集，由函数的定义域和对应关系共同确定．(1)分段函数虽由几个部分构成，但它表示同一个函数．(2)分段函数的定义域是各段定义域的并集，值域是各段值域的并集．(3)各段函数的定义域不可以相交.[熟记常用结论](1)若f(x)为整式，则函数的定义域为R；(2)若f(x)为分式，则要求分母不为0；(3)若f(x)为对数式，则要求真数大于0；(4)若f(x)为根指数是偶数的根式，则要求被开方式非负；(5)若f(x)描述实际问题，则要求使实际问题有意义．如果f(x)是由几个部分的数学式子构成的，求定义域常常等价于解不等式(组)．[小题查验基础]一、判断题(对的打“√”，错的打“×”)(1)对于函数f：A→B，其值域是集合B.(　　)(2)若两个函数的定义域与值域相同，则这两个函数是相等函数．(　　)(3)函数是一种特殊的映射．(　　)(4)若A＝R，B＝(0，＋∞)，f：x→y＝|x|，则对应f可看作从A到B的映射．(　　)(5)分段函数是由两个或几个函数组成的．(　　)答案：(1)×　(2)×　(3)√　(4)×　(5)×二、选填题1．下列图形中可以表示为以M＝{x|0≤x≤1}为定义域，以N＝{y|0≤y≤1}为值域的函数的是(　　)解析：选C　A选项，函数定义域为M，但值域不是N，B选项，函数定义域不是M，值域为N，D选项，集合M中存在x与集合N中的两个y对应，不能构成函数关系．故选C.2．下列函数中，与函数y＝x＋1是相等函数的是(　　)A．y＝()2　　　　　 B．y＝＋1C．y＝＋1  D．y＝＋1解析：选B　对于A，函数y＝()2的定义域为{x|x≥－1}，与函数y＝x＋1的定义域不同，不是相等函数；对于B，定义域和对应关系都相同，是相等函数；对于C，函数y＝＋1的定义域为{x|x≠0}，与函数y＝x＋1的定义域不同，不是相等函数；对于D，定义域相同，但对应关系不同，不是相等函数，故选B.3．函数f(x)＝＋的定义域为________．解析：由题意得解得x≥0且x≠2.答案：[0,2)∪(2，＋∞)4．若函数f(x)＝则f(f(2))＝________.解析：由题意知，f(2)＝5－4＝1，f(1)＝e0＝1，所以f(f(2))＝1.答案：15．已知函数f(x)＝ax3－2x的图象过点(－1,4)，则f(2)＝________.解析：∵函数f(x)＝ax3－2x的图象过点(－1,4)∴4＝－a＋2，∴a＝－2，即f(x)＝－2x3－2x，∴f(2)＝－2×23－2×2＝－20.答案：－20[典例精析](1)已知f＝lg x，求f(x)的解析式．(2)已知f(x)是二次函数，且f(0)＝0，f(x＋1)＝f(x)＋x＋1，求f(x)的解析式．(3)已知函数f(x)满足f(－x)＋2f(x)＝2x，求f(x)的解析式．[解]　(1)(换元法)令＋1＝t，得x＝，代入得f(t)＝lg，又x>0，所以t>1，故f(x)的解析式是f(x)＝lg，x∈(1，＋∞)．(2)(待定系数法)设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，由f(0)＝0，知c＝0，f(x)＝ax2＋bx，又由f(x＋1)＝f(x)＋x＋1，得a(x＋1)2＋b(x＋1)＝ax2＋bx＋x＋1，即ax2＋(2a＋b)x＋a＋b＝ax2＋(b＋1)x＋1，所以解得a＝b＝.所以f(x)＝x2＋x，x∈R.(3)(解方程组法)由f(－x)＋2f(x)＝2x，①得f(x)＋2f(－x)＝2－x，②①×2－②，得3f(x)＝2x＋1－2－x.即f(x)＝.故f(x)的解析式是f(x)＝，x∈R.[解题技法]求函数解析式的3种方法及口诀记忆待定系数法当函数的特征已经确定时，一般用待定系数法来确定函数解析式换元法如果给定复合函数的解析式，求外函数的解析式，通常用换元法将内函数先换元，然后求出外函数的解析式解方程组法如果给定两个函数的关系式，可以通过变量代换建立方程组，再通过方程组求出函数解析式口诀记忆解析式，如何定，待定换元解方程；已知函数有特征，待定系数来确定；复合函数问根源，内函数，先换元；两个函数有关系，方程组中破玄机. [过关训练]1．[口诀第3句]已知函数f(x－1)＝，则函数f(x)的解析式为(　　)A．f(x)＝　　　　　　 B．f(x)＝C．f(x)＝  D．f(x)＝解析：选A　令x－1＝t，则x＝t＋1，∴f(t)＝，即f(x)＝.故选A.2．[口诀第2句]若二次函数g(x)满足g(1)＝1，g(－1)＝5，且图象过原点，则g(x)＝________.解析：设g(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，∵g(1)＝1，g(－1)＝5，且图象过原点，∴解得∴g(x)＝3x2－2x.答案：3x2－2x3．[口诀第4句]已知f(x)满足2f(x)＋f＝3x，则f(x)＝________.解析：∵2f(x)＋f＝3x，①把①中的x换成，得2f＋f(x)＝.②联立①②可得解此方程组可得f(x)＝2x－(x≠0)．答案：2x－(x≠0)[考法全析]考法(一)　已知函数解析式求定义域[例1]　求下列函数的定义域：(1)f(x)＝；(2)f(x)＝.[解]　(1)要使函数f(x)有意义，则解不等式组得x≥3.因此函数f(x)的定义域为[3，＋∞)．(2)要使函数f(x)有意义，则即解不等式组得－1＜x＜1.因此函数f(x)的定义域为(－1,1)．考法(二)　求抽象函数的定义域[例2]　已知函数f(x)的定义域为(－1,1)，则函数g(x)＝f＋f(x－1)的定义域为(　　)A．(－2,0)　　　　　　 B．(－2,2)C．(0,2)   D.[解析]　由题意得∴∴0＜x＜2，∴函数g(x)＝f＋f(x－1)的定义域为(0,2)，故选C.[答案]　C考法(三)　已知函数的定义域求参数的值(范围)[例3]　(1)若函数y＝的定义域为R，则实数m的取值范围是(　　)A.  B.C.  D.(2)若函数f(x)＝的定义域为{x|1≤x≤2}，则a＋b的值为________．[解析]　(1)∵函数y＝的定义域为R，∴mx2＋4mx＋3≠0，∴m＝0或即m＝0或0＜m＜，∴实数m的取值范围是.(2)∵函数f(x)＝的定义域为{x|1≤x≤2}，∴解得∴a＋b＝－.[答案]　(1)D　(2)－[规律探求]看个性考法(一)是根据具体的函数解析式求定义域，已知解析式的函数，其定义域是使解析式有意义的自变量的取值集合，求解时只要根据函数解析式列出自变量满足的不等式(组)，得出不等式(组)的解集即可．考法(二)是求抽象函数的定义域，有如下解法：(1)若已知函数f(x)的定义域为[a，b]，则复合函数f(g(x))的定义域由不等式a≤g(x)≤b求出；(2)若已知函数f(g(x))的定义域为[a，b]，则f(x)的定义域为g(x)在x∈[a，b]上的值域．考法(三)是考法(一)的逆运用，通常是转化为含参数的不等式求解找共性1.谨记函数定义域的有关口诀定义域，是何意，自变量，有意义；分式分母不为零，对数真数只取正；偶次根式要非负，三者结合生万物；和差积商定义域，不等式组求交集. 2.函数定义域问题注意事项(1)函数f(g(x))的定义域指的是x的取值范围，而不是g(x)的取值范围；(2)求函数的定义域时，对函数解析式先不要化简；(3)求出函数的定义域后，一定要将其写成集合或区间的形式；(4)函数f(x)±g(x)的定义域是函数f(x)，g(x)的定义域的交集[过关训练]1．[口诀第1、2、3、4句]y＝ －log2(4－x2)的定义域是(　　)A．(－2,0)∪(1,2)　　　 B．(－2,0]∪(1,2)C．(－2,0)∪[1,2)  D．[－2,0]∪[1,2]解析：选C　要使函数有意义，则解得x∈(－2,0)∪[1,2)，即函数的定义域是(－2,0)∪[1,2)．2．[口诀第1句]已知函数y＝f(x2－1)的定义域为[－， ]，则函数y＝f(x)的定义域为________．解析：因为y＝f(x2－1)的定义域为[－，]，所以x∈[－， ]，x2－1∈[－1,2]，所以y＝f(x)的定义域为[－1，2]．答案：[－1,2]3．[口诀第1、3句]若函数f(x)＝的定义域为实数集R，则实数a的取值范围为________________．解析：若函数f(x)＝的定义域为实数集R，则x2＋ax＋1≥0恒成立，即Δ＝a2－4≤0，解得－2≤a≤2，即实数a的取值范围是[－2,2]．答案：[－2,2][全析考法过关][考法全析]考法(一)　分段函数求值[例1]　(1)(2019·石家庄模拟)已知f(x)＝则f＝________.(2)已知f(x)＝则f(7)＝__________________________________.[解析]　(1)∵f＝log3＝－2，∴f＝f(－2)＝－2＝9.(2)∵7＜9，∴f(7)＝f(f(7＋4))＝f(f(11))＝f(11－3)＝f(8)．又∵8＜9，∴f(8)＝f(f(12))＝f(9)＝9－3＝6.即f(7)＝6.[答案]　(1)9　(2)6考法(二)　求参数或自变量的值(范围)[例2]　(1)(2018·全国卷Ⅰ)设函数f(x)＝则满足f(x＋1)＜f(2x)的x的取值范围是(　　)A．(－∞，－1]　　　　　　 B．(0，＋∞)C．(－1,0)  D．(－∞，0)(2)(2019·长春模拟)已知函数f(x)＝若f(a)＋f(1)＝0，则实数a＝________.[解析]　(1)∵f(x)＝∴函数f(x)的图象如图所示．结合图象知，要使f(x＋1)＜f(2x)，则需或∴x＜0，故选D.(2)当a>0时，由f(a)＋f(1)＝0得2a＋2＝0，无实数解；当a≤0时，由f(a)＋f(1)＝0得a＋1＋2＝0，解得a＝－3，满足条件．[答案]　(1)D　(2)－3[规律探求]看个性考法(一)是求分段函数的函数值．在求分段函数的函数值时，一定要先判断自变量属于定义域的哪个子集，再代入相应的关系式．若涉及复合函数求值，则从内到外逐层计算，当自变量的值不确定时，要分类讨论．考法(二)是在考法(一)的基础上迁移考查分段函数中，已知函数值或不等关系求参数或自变量的值或范围．解与分段函数有关的方程或不等式，从而求得自变量或参数的取值(范围)时，应根据每一段的解析式分别求解．解得值(范围)后一定要检验其是否符合相应段的自变量的取值范围找共性(1)无论考法(一)还是考法(二)都要根据自变量或参数所在区间来解决问题，搞清参数或自变量所在区间是解决问题的先决条件；(2)解决分段函数有关问题的关键是“分段归类”，即自变量的取值属于哪一段范围，就用哪一段的解析式来解决问题 [过关训练]1．已知函数f(x)＝则f(1＋log25)＝________.解析：因为2＜log25＜3，所以3＜1＋log25＜4，则4＜2＋log25＜5，则f(1＋log25)＝f(1＋1＋log25)＝f(2＋log25)＝＝×＝.答案：2．(2018·衡阳模拟)已知函数f(x)＝(a∈R)，若f(f(－1))＝1，则a＝________.解析：∵f(－1)＝2－(－1)＝2，∴f(f(－1))＝f(2)＝4a＝1，解得a＝.答案：