还剩21页未读，
继续阅读
成套系列资料，整套一键下载
初中2.5 有理数的减法教学设计
展开
这是一份初中2.5 有理数的减法教学设计，共24页。教案主要包含了教学建议，知识导图，总结与反思等内容，欢迎下载使用。
第5讲
讲
有理数的减法及加减混合运算
.
概 述
【教学建议】
有理数的减法及加减混合运算是有理数计算的基础，在讲解这一部分的时候，要让学生练习大量的习题来帮助学生更好的理解和应用这方面的知识.
【知识导图】
教学过程
一、导入
【教学建议】
在这一部分习题的练习最为重要，在学习过程中要注意结合小学加减法知识，使学生熟练的应用加减法的运算定律，为代数计算打下牢固的基础.
有理数减法及加减混合运算是我们初中知识的基石，其中最为重要的是做有理数减法的时的运算定律及加减法在综合应用题里的灵活使用.
二、知识讲解
考点1 有理数的减法
【教学建议】
通过上一讲有理数加法的学习，在理解有理数减法的时候要注意举一反三、触类旁通.
1.减法法则其实是一个转化法则，转化成了加法法则，然后利用加法法则进行计算，从而体会转化的数学思想．由于把减数变为它的相反数，从而减法转化为加法．有理数的加法和减法，当引进负数后就可以统一用加法来解决．
2．不论减数是正数、负数或是零，都符合有理数减法法则．在使用法则时，注意被减数是永不变
考点2 有理数的加减混合运算
1.同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加.例：2+3=5，(－2)+(－3)=－5
2.异号两数相加，绝对值相等时和为0.例：(－6)+6=0
绝对值不相等时，和取绝对值较大数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值.例：(－5)+3=－2，5+(－3)=2.
3.一个数同0相加，仍得这个数.
4.两个相反数的和为0，即：如果a与b互为相反数，那么a+b=0有理数的加减混合运算可以统一成加法运算.
5.有理数的加减混合运算可以运用加法交换律和结合律进行简化运算.
三 、例题精析
类型一 有理数减法的意义
例题1
填空：
（1）； （2）
（3）； （4）；
（5）
【解析】（1）；（2） （3）；（4）；（5）
【总结与反思】此题是基础的运算，只要掌握了基本的运算法则，即可解决.
类型二 有理数的减法法则
例题1
在下列括号中填上适当的数.
（1）（ ）；
（2）；
（3）；
（4）.
【解析】
【总结与反思】 此题也是较为简单的运算，只要掌握了基本的运算法则，即可解决.
类型三 利用有理数减法解决生活中的问题
例题1
某自行车厂一周计划生产2100辆电动车，平均每天生产电动车300辆，由于各种原因，实际每天生产量与计划每天生产量相比有出入。下表是某周的生产情况（超产记为正、减产记为负，单位：辆）：
（1）根据记录的数据可知，该厂星期一生产电动车 辆
（2）产量最多的一天比产量最少的一天多生产电动车 辆
（3）该厂实行记件工资制，每生产一辆车可得60元，若超额完成任务，则超额部分每辆车另奖10元，每少生产一辆扣10元，那么该厂工人这一周的工资总额是多少元？
【解析】（1）308；（2）23；（3） 126840元
【总结与反思】根据300这个基数，加减运算，即可解答本题.
例题1
例题1
类型四 有理数减法与绝对值等知识的综合应用
已知有理数所对应的点在数轴上的位置如图所示.
判断下列各式的符号：；
若，试比较之间的大小关系.
【解析】（1）负、负、正；（2）相等.
【总结与反思】 根据对应点在数轴上的位置，结合有理数的加减法即可解答本题.
类型五 解决数轴上两点间的距离问题
例题1
数轴上表示2和5的两点之间的距离是 ；
数轴上表示-2和-5的两点之间的距离是 ；
数轴上表示-2和5的两点之间的距离是 ；
数轴上表示和2的两点M、N之间的距离是 ；
如果M、N之间的距离为3，那么 .
【解析】（1）3；3；7；（2）；5或-1.
【总结与反思】 数轴上两个点之间的距离问题，一般采用大数减小数的原则.
类型六 有理数的加减混合运算
例题1
（1）
（2）（+16）+（-25）+（+24）+（-32）
（3）
（4）
【解析】（1）解：原式=-7+15+25=33；
（2）原式=（+16）+（-25）+（+24）+（-32）=-17；
（3）原式==-3-4-8+9=-15+9=-6；
（4）原式==20.
【总结与反思】 有理数的加减混合运算对细心程度要求比较高，在做题时要认真计算.
类型七 利用有理数加减运算解决实际问题
例题1
七年级（1）班的班委会把班费存入银行，使用时再到银行去取，这学期管理情况如下：存入125元，取出97元，存入50元，取出38元，取出12.5元，存入100元，取出78元，取出21元，这学期班费还剩多少钱？
【解析】125-97+50-38-12.5+100-78-21=51.5（元）
【总结与反思】 本题要明确存入为正，取出为负即可解出正确答案.
例题1
类型八 有理数的加减与数轴、绝对值的综合
结合数轴与绝对值的知识回答下列问题：
(1)数轴上表示4和1的两点之间的距离是 ；表示－3和2两点之间的距离是 ；一般地，数轴上表示数m和数n的两点之间的距离等于．如果表示数a和－2的两点之间的距离是3，那么a= ；
(2)若数轴上表示数a的点位于－4与2之间,求+的值；
(3)当a取何值时，++的值最小，最小值是多少？请说明理由。
【解析】表示数和数间的距离,所以数和数间的距离,数和数间的距离,数和数间的距离为,,或.
表示数轴上数和数之间距离的和,又因为位于之间, 等于之间的距离和,即.
同理 表示数轴上数和数之间距离的和, 时距离的和最小.
【总结与反思】此题对综合能力要求比较高，在此类题型时，要注意细心计算和灵活运用.
例题1
类型九 利用有理数加减混合运算探求规律
请先阅读下列一组内容，然后解答问题：
因为：
所以：
计算：
【解析】
（1）分子为1，分母是两个连续自然数的乘积，第n项为=，依此抵消即可求解；
（2）分子为1，分母是两个连续奇数的乘积，第n项为，依此抵消即可求解（注意计算时各项都要乘以）．
试题解析：解：原式=
=
=
【总结与反思】规律类的题型要注意观察总结，找到适合题目的规律，进而求解.
四 、课堂运用
基础
1.一个数加上等于，则这个数是（ ）
A． B． C． D．
2.下列说法中，正确的是（ ）
A.减去一个负数等于加上这个 数的相反数；
B.两个负数的差，一定是负数；
C.0减去一个负数，仍得这个数；
D.两个正数的差，一定是一个正数.
3.与-3的差为0的数是（ ）
A.3 B.-3 C. D.
4.与结果相等的式子是（ ）
A. B. C. D.
5.a,b,c三个数在数轴上的位置如图所示，则下列结论中错误的是（ ）
A.a+b＜0 B.a+c＜0 C.a－b＞0 D.b－c＜0
6.已知，b=1，则a-b=_________．
7.（1） （2） （3）
（4） （5） （6）
8.小虫从某点O出发在一直线上来回爬行，假定向右爬行的路程记为正，向左爬行的路程记为负，爬过的路程依次为（单位：cm）：
+5， -3， +10， -8， -6， +12， -10．
问：（1）小虫是否回到原点O？
（2）在爬行过程中，如果每爬行1 cm奖励一粒芝麻，则小虫共可得到多少粒芝麻？
答案与解析
1.【答案】B
【解析】-5-（-12）=7.
2.【答案】A
【解析】B 例如-1-（-2）=1 ； C 0减去一个负数，得正数；D例如1-2= -1.
3.【答案】B
【解析】-3-（-3）=0.
4.【答案】C
【解析】负负为正.
5.【答案】C
【解析】根据数轴上的位置很容易得到结果.
6.【答案】4或–6
【解析】a=±5；5-1=4；-5-1=-6.
【答案】（1）2；（2）-53；（3）；（4）4；（5）-9；（6）-27.
【解析】计算较为简单.
8.【答案】（1）回到原点；（2）54．
【解析】（1）根据有理数的加法，可得答案；5﹣3+10﹣8﹣6+12﹣10=0．
答：小虫回到原点；
（2）根据有理数的加法，可得每次距出发点的距离，求出总距离，再乘以1即可．
|+5|+|﹣3|+|+10|+|﹣8|+|﹣6|+|+12|+|﹣10|=54，54×1=54（粒）．
答：小虫共可以得到54粒芝麻．
巩固
1.两个有理数的差（ ）
A．小于被减数 B．大于被减数 C．等于被减数 D．上述情况都有可能
2.下列说法正确的是（ ）
A．异号两数相加，取较大的符号，并把绝对值相加
B．同号两数相减，取相同的符号，并把绝对值相减
C．符号相反的两个数相加得0
D．0加上一个数仍得这个数
3.a为有理数，定义运算符号“※”：当a＞－2时，※a＝－a；当a＜－2时，※a＝a；当a＝－2时，※a＝0．根据这种运算，则※[4＋※（2－5）]的值为（ ）
A．1 B．－1 C．7 D．－7
4.甲、乙、丙三地的海拔高度分别为20m、-15m和-10m，那么最高的地方比最低的地方高（ ）
A．5m B．10m C．25m D．35m
5.某超市出售的三种品牌月饼袋上，分别标有质量为（500±5）g，（500±10）g，（500±20）g的字样，从中任意拿出两袋，它们的质量最多相差 g．
6.若，且，求的值.
7.计算下列各题：
（1） （2）
（3）
8.计算：
（1）； （2）
（3）； （4）；
（5）； （6）
答案与解析
1.【答案】D
【解析】两个有理数的差可能大于等于或小于被减数.
2.【答案】D
【解析】A 取绝对值较大的数的号，绝对值相减；B 同号时要看被减数还是减数的绝对值更大一些.C 符号相反且绝对值相等的两个数相加为0.
3.【答案】B
【解析】※（2－5）=※（-3）= -3；※（4-3）=※1= -1.
4.【答案】D
【解析】20-(-15)=35.
5.【答案】40克
【解析】20-(-20)=40.
6.【答案】.
【解析】绝对值为本身的相反数，所以m+n为负数。m=-37时，n=±31，m-n=-6或-68.
7.【答案】（1）6；（2）；（3）.
【解析】计算依据有理数加减法法则，较为基础.
8.【答案】（1）1.6；（2）-30；（3）86；（4）-6；（5）7；（6）-16.
【解析】计算依据有理数加减法法则，较为基础.
拔高
1.已知a、b、c三个数在数轴上对应点的位置如图所示，下列几个判断正确的个数有（ ）
①a＜c＜b ②-a＜b ③a+b＞0 ④c-a＜0 ⑤a+c＞0
⑥
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
2.设[x）表示大于x的最小整数，如[3）=4，[－1.2）=－1，则下列结论中正确的是．（ ）
A．[0）=0
B、[x）－x的最小值是0
C．[x）－x的最大值是0
D．存在实数x，使[x）－x=0.5成立．
3.我们知道，|a|表示数a到原点的距离，这是绝对值的几何意义，进一步地，数轴上两个点A、B分别用a，b表示，那么AB=|a-b|，利用此结论，回答以下问题：
（1）数轴上表示2和5的两点之间的距离是______，数轴上表示-2和-5的两点之间的距离是______，数轴上表示1和-3的两点之间的距离是______；
（2）数轴上表示x和-1的两点A．B之间的距离是______，如果|AB|=2，那么x的值为______；
（3）说出|x+1|+|x+2|表示的几何意义______，该式的最小值是：______
4.出租车司机小王某天下午营运全是在东西走向的太湖大道上进行的．如果向东记作“＋”，向西记作“－”．他这天下午行车情况如下：（单位：千米）
－2，＋5，－1，＋10，－3，－2，－5，＋6
请回答：
（1）小王将最后一名乘客送到目的地时，小王在下午出车的出发地的什么方向？距下午出车的出发地多远？
（2）若规定每趟车的起步价是10元，且每趟车3千米以内（含3千米）只收起步价；若超过3千米，除收起步价外，超过的每千米还需收2元钱．那么小王这天下午共收到多少钱？
答案与解析
1.【答案】B
【解析】②-a>b ③ a+b<0 ④ c-a>0 ⑤ a+c<0.
2.【答案】D
【解析】A [0）=1 BC [x）－x的最大值是1.
3.【答案】见解析.
【解析】（1）数轴上表示2和5的两点之间的距离是|2-5|=3，数轴上表示-2和-5的两点之间的距离是|-2-（-5）|=3．数轴上表示1和-3的两点之间的距离是|1-（-3）|=4．
（2）数轴上表示x和-1的两点A和B之间的距离是|x-（-1）|=|x+1|，如果|AB|=2，那么x为1或-3．
（3）|x+1|+|x+2|表示的几何意义是：数轴上表示的点x到-1和-2两点的距离和，
当-1≤x≤2时，代数式|x+1|十|x+2|=-x-1+x+2=1，则最小值为1．
故答案为：3，3，4；|x+1|，1或-3；数轴上表示的点x到-1和-2两点的距离和，1．
4.【答案】（1）东，8千米；（2）108元．
【解析】（1）把小王下午的行车记录相加，然后根据正负数的意义解答；
（2）根据行车记录和收费方法列出算式，计算即可得解．
试题解析：（1）﹣2+5﹣1+10﹣3﹣2﹣5+6=﹣13+21=8千米，
所以小王在下午出车的出发地的东面，距离出发地8千米；
（2）10×8+2×（5﹣3）+2×（10﹣3）+2×（5﹣3）+2×（6﹣3）=80+4+14+4+6=108元．
五 、课堂小结
本节讲了2个重要内容：
有理数的减法；
有理数的加减法混合法则.
本节课重点是对有理数减法的计算以及对有理数加减法混合运算的计算和有理数的加减法可以互相转化的应用.
六 、课后作业
基础
1.在（–5）–（ ）= –7中的括号里应填（ ）
A．–12 B．2 C．–2 D．12
2.若a＜0，b＞0，则b、b+a、b－a中最大的一个数是（ ）
A．a B．b+a C．b－a D．不能确定
3.某日，北京市的最低气温是-10℃，杭州市的最低气温是-1℃，则这一天北京的最低气温比杭州的最低气温低 （ ）
A.-11℃ B.-9℃ C.11℃ D.9℃
4.a是最小的正整数，b是最大的负整数，则a-b的值为（ ）
A．0 B．2 C．-2 D．±2
5.下列句子中，正确的是（ ）．
A．在有理数加法或减法中，和不一定比加数大，被减数不一定比减数大
B．减去一个数等于加上这个数
C．零减去一个数，仍得这个数
D．两个相反数相减得零
6.在数轴上，与表示－3的点相距6个单位长度的点所表示的数是________．
7.已知M是6的相反数，N比M的相反数小2，则M-N= .
8.若，，且，则的值等于 .
答案与解析
1.【答案】B
【解析】-5-（-7）=2.
2.【答案】C
【解析】b-a为最大的正数.
3.【答案】D
【解析】-1-（-10）=9.
4.【答案】B
【解析】1-（-1）=2.
5.【答案】A
【解析】B减去一个数等于加上这个数的倒数 C.0减去一个数等于这个数的倒数 D相反数相加为0.
6.【答案】3或-9
【解析】-3+6=3；-3-6=-9.
7.【答案】2
【解析】M= -6，N= -8，M-N=2；
8.【答案】-4或-6
【解析】a= -5，b=±1，a+b= -4或-6；
巩固
1.有理数、在数轴上的对应点如图所示：则（ ）
A． B． C． D．
2.将写成省略括号的和的形式为（ ）
A. B. C. D.
3.已知＝3，＝4，且x>y，则2x－y的值为（ ）
A．＋2 B．±2 C．＋10 D．－2或＋10
4.数、b在数轴上的位置如图所示，化简= 。
5.某检修小组乘汽车检修公路道路。向东记为正，向西记为负。某天自A地出发。所走路程（单位：千米）为：+22，-3，+4，-2，-8，-17，-2，+12，+7，-5；
问：①，最后他们是否回到出发点？若没有，则在A地的什么地方？距离A地多远？
②，若每千米耗油0.05升，则今天共耗油多少升？
6.某服装公司一周计划生产1000套服装，平均每天生产200套．由于各种原因实际每天生产的服装数量与比计划数量有多有少，下表是某周的生产情况（超产为正，减产为负，单位：套）：
（1）根据记录可知前3天共生产 套．
（2）产量最多的一天比产量最少的一天多生产 套．
（3）公司规定每生产一套服装付工资80元，超额完成任务每套奖20元，少生产一套扣20元，那么该厂工人这一周的工资总额是多少?
答案与解析
1.【答案】A
【解析】a<-1；0< b <1.
2.【答案】B
【解析】10-3-6+4.
3.【答案】D
【解析】x=3，y=-4,2x-y=10.
4.【答案】b
【解析】 a+b-a=b.
5.【答案】正东方向;.
【解析】题中各有理数的和是正的，即在地正东方向; 和是负的，即在地正西方向. 各有理数的和是多少，与地就是多远.
共耗油为题中各有理数的绝对值的和与的积.
.答今天共耗油.
6.（1）591；（2）23；（3）80040．
【解析】（1）3×200+5﹣10﹣4=591（套）；
（2）13﹣（﹣10）=23（套）；
（3）=80000+360-320=80040（元）．故该厂工人这一周的工资总额是80040元．
拔高
1.定义新运算“*”为： ，则当时，计算的结果为 ．
2.（1）比较下列各式的大小：（用＞、＜或=连接）
（2）通过（1）的比较，请你分析，归纳当为有理数时，的大小关系；
（3）根据（2）中的结论，求当时，的取值范围.
3.
4.某公路检修队乘车从A地出发，在南北走向的公路上检修道路，规定向南走为正，向北走为负，从出发到收工时所行驶的路程记录如下（单位：千米）：+3，－9，+4，+6，－10，+5，－3，+14.
（1）问收工时，检修队在A地哪边，距A地多远?
（2）问从出发到收工时，汽车共行驶多少千米?
（3）在汽车行驶过程中，若每行驶l千米耗油0.15升.公路检修队检查到第四处的加油站时，刚好油用完，加油时发现比上次加油时油价下跌了0.2元/升.检修队从A地出发到回到A地，共用油费64.98元.问此次加油的油价是每升多少元?
答案与解析
【答案】8
【解析】=3*3-（4-3）=8.
2.【答案】见解析.
【解析】（1）＞、＞、＝、＝；
（2）当异号时，；当同号或其中一个为0时，.
（3）
3.【答案】
【解析】解：原式=
=
=
4.【答案】(1)距Ａ地10千米处；(2)汽车共得行驶了54千米；(3)此次加油时油价为每升6.7元.
【解析】（1）+3－9+4+6－10+5－3+14＝10
答：收工时，检修队在Ａ地南边，距Ａ地10千米处.
（2） QUOTE
答：从出发收工，汽车共得行驶了54千米.
（3）解：设此次加油时油价为每升x元
从Ａ地出发到回到Ａ地，共行行驶了64千米，其中前四站行驶了22千米
根据题意，得： QUOTE
解之得：x＝6.7
答：此次加油时油价为每升6.7元.
七 、教学反思
适用学科
初中数学
适用年级
初一
适用区域
北师版区域
课时时长（分钟）
120
知识点
1、有理数减法的意义及法则 6、有理数的加减混合运算
2、利用有理数减法解决生活中的问题 7、利用有理数的加减运算解决实际问题
3、有理数减法与绝对值的综合应用 8、有理数的加减与数轴、绝对值的综合
4、解决数轴上两点间的距离问题 9、规律探究
5、理解代数和的意义
教学目标
1、使学生理解并掌握有理数减法法则，会进行有理数的减法运算.
2、能够依据有理数的加法和减法法则按从左到右顺序进行计算.
3、能初步掌握有关有理数的加减混合运算.
教学重点
1、有理数减法法则.
2、理解有理数的加减法可以互相转化，并了解代数和概念.
教学难点
1、法则本身的推导和理解.
2、理解有理数的加减法可以互相转化，能根据具体问题适当运用运算简化运算.
星期
一
二
三
四
五
六
日
减增
+8
-2
-6
+11
-12
+6
+7
星期
一
二
三
四
五
增减
＋5
－10
－4
－2
＋13
第5讲
讲
有理数的减法及加减混合运算
.
概 述
【教学建议】
有理数的减法及加减混合运算是有理数计算的基础，在讲解这一部分的时候，要让学生练习大量的习题来帮助学生更好的理解和应用这方面的知识.
【知识导图】
教学过程
一、导入
【教学建议】
在这一部分习题的练习最为重要，在学习过程中要注意结合小学加减法知识，使学生熟练的应用加减法的运算定律，为代数计算打下牢固的基础.
有理数减法及加减混合运算是我们初中知识的基石，其中最为重要的是做有理数减法的时的运算定律及加减法在综合应用题里的灵活使用.
二、知识讲解
考点1 有理数的减法
【教学建议】
通过上一讲有理数加法的学习，在理解有理数减法的时候要注意举一反三、触类旁通.
1.减法法则其实是一个转化法则，转化成了加法法则，然后利用加法法则进行计算，从而体会转化的数学思想．由于把减数变为它的相反数，从而减法转化为加法．有理数的加法和减法，当引进负数后就可以统一用加法来解决．
2．不论减数是正数、负数或是零，都符合有理数减法法则．在使用法则时，注意被减数是永不变
考点2 有理数的加减混合运算
1.同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加.例：2+3=5，(－2)+(－3)=－5
2.异号两数相加，绝对值相等时和为0.例：(－6)+6=0
绝对值不相等时，和取绝对值较大数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值.例：(－5)+3=－2，5+(－3)=2.
3.一个数同0相加，仍得这个数.
4.两个相反数的和为0，即：如果a与b互为相反数，那么a+b=0有理数的加减混合运算可以统一成加法运算.
5.有理数的加减混合运算可以运用加法交换律和结合律进行简化运算.
三 、例题精析
类型一 有理数减法的意义
例题1
填空：
（1）； （2）
（3）； （4）；
（5）
【解析】（1）；（2） （3）；（4）；（5）
【总结与反思】此题是基础的运算，只要掌握了基本的运算法则，即可解决.
类型二 有理数的减法法则
例题1
在下列括号中填上适当的数.
（1）（ ）；
（2）；
（3）；
（4）.
【解析】
【总结与反思】 此题也是较为简单的运算，只要掌握了基本的运算法则，即可解决.
类型三 利用有理数减法解决生活中的问题
例题1
某自行车厂一周计划生产2100辆电动车，平均每天生产电动车300辆，由于各种原因，实际每天生产量与计划每天生产量相比有出入。下表是某周的生产情况（超产记为正、减产记为负，单位：辆）：
（1）根据记录的数据可知，该厂星期一生产电动车 辆
（2）产量最多的一天比产量最少的一天多生产电动车 辆
（3）该厂实行记件工资制，每生产一辆车可得60元，若超额完成任务，则超额部分每辆车另奖10元，每少生产一辆扣10元，那么该厂工人这一周的工资总额是多少元？
【解析】（1）308；（2）23；（3） 126840元
【总结与反思】根据300这个基数，加减运算，即可解答本题.
例题1
例题1
类型四 有理数减法与绝对值等知识的综合应用
已知有理数所对应的点在数轴上的位置如图所示.
判断下列各式的符号：；
若，试比较之间的大小关系.
【解析】（1）负、负、正；（2）相等.
【总结与反思】 根据对应点在数轴上的位置，结合有理数的加减法即可解答本题.
类型五 解决数轴上两点间的距离问题
例题1
数轴上表示2和5的两点之间的距离是 ；
数轴上表示-2和-5的两点之间的距离是 ；
数轴上表示-2和5的两点之间的距离是 ；
数轴上表示和2的两点M、N之间的距离是 ；
如果M、N之间的距离为3，那么 .
【解析】（1）3；3；7；（2）；5或-1.
【总结与反思】 数轴上两个点之间的距离问题，一般采用大数减小数的原则.
类型六 有理数的加减混合运算
例题1
（1）
（2）（+16）+（-25）+（+24）+（-32）
（3）
（4）
【解析】（1）解：原式=-7+15+25=33；
（2）原式=（+16）+（-25）+（+24）+（-32）=-17；
（3）原式==-3-4-8+9=-15+9=-6；
（4）原式==20.
【总结与反思】 有理数的加减混合运算对细心程度要求比较高，在做题时要认真计算.
类型七 利用有理数加减运算解决实际问题
例题1
七年级（1）班的班委会把班费存入银行，使用时再到银行去取，这学期管理情况如下：存入125元，取出97元，存入50元，取出38元，取出12.5元，存入100元，取出78元，取出21元，这学期班费还剩多少钱？
【解析】125-97+50-38-12.5+100-78-21=51.5（元）
【总结与反思】 本题要明确存入为正，取出为负即可解出正确答案.
例题1
类型八 有理数的加减与数轴、绝对值的综合
结合数轴与绝对值的知识回答下列问题：
(1)数轴上表示4和1的两点之间的距离是 ；表示－3和2两点之间的距离是 ；一般地，数轴上表示数m和数n的两点之间的距离等于．如果表示数a和－2的两点之间的距离是3，那么a= ；
(2)若数轴上表示数a的点位于－4与2之间,求+的值；
(3)当a取何值时，++的值最小，最小值是多少？请说明理由。
【解析】表示数和数间的距离,所以数和数间的距离,数和数间的距离,数和数间的距离为,,或.
表示数轴上数和数之间距离的和,又因为位于之间, 等于之间的距离和,即.
同理 表示数轴上数和数之间距离的和, 时距离的和最小.
【总结与反思】此题对综合能力要求比较高，在此类题型时，要注意细心计算和灵活运用.
例题1
类型九 利用有理数加减混合运算探求规律
请先阅读下列一组内容，然后解答问题：
因为：
所以：
计算：
【解析】
（1）分子为1，分母是两个连续自然数的乘积，第n项为=，依此抵消即可求解；
（2）分子为1，分母是两个连续奇数的乘积，第n项为，依此抵消即可求解（注意计算时各项都要乘以）．
试题解析：解：原式=
=
=
【总结与反思】规律类的题型要注意观察总结，找到适合题目的规律，进而求解.
四 、课堂运用
基础
1.一个数加上等于，则这个数是（ ）
A． B． C． D．
2.下列说法中，正确的是（ ）
A.减去一个负数等于加上这个 数的相反数；
B.两个负数的差，一定是负数；
C.0减去一个负数，仍得这个数；
D.两个正数的差，一定是一个正数.
3.与-3的差为0的数是（ ）
A.3 B.-3 C. D.
4.与结果相等的式子是（ ）
A. B. C. D.
5.a,b,c三个数在数轴上的位置如图所示，则下列结论中错误的是（ ）
A.a+b＜0 B.a+c＜0 C.a－b＞0 D.b－c＜0
6.已知，b=1，则a-b=_________．
7.（1） （2） （3）
（4） （5） （6）
8.小虫从某点O出发在一直线上来回爬行，假定向右爬行的路程记为正，向左爬行的路程记为负，爬过的路程依次为（单位：cm）：
+5， -3， +10， -8， -6， +12， -10．
问：（1）小虫是否回到原点O？
（2）在爬行过程中，如果每爬行1 cm奖励一粒芝麻，则小虫共可得到多少粒芝麻？
答案与解析
1.【答案】B
【解析】-5-（-12）=7.
2.【答案】A
【解析】B 例如-1-（-2）=1 ； C 0减去一个负数，得正数；D例如1-2= -1.
3.【答案】B
【解析】-3-（-3）=0.
4.【答案】C
【解析】负负为正.
5.【答案】C
【解析】根据数轴上的位置很容易得到结果.
6.【答案】4或–6
【解析】a=±5；5-1=4；-5-1=-6.
【答案】（1）2；（2）-53；（3）；（4）4；（5）-9；（6）-27.
【解析】计算较为简单.
8.【答案】（1）回到原点；（2）54．
【解析】（1）根据有理数的加法，可得答案；5﹣3+10﹣8﹣6+12﹣10=0．
答：小虫回到原点；
（2）根据有理数的加法，可得每次距出发点的距离，求出总距离，再乘以1即可．
|+5|+|﹣3|+|+10|+|﹣8|+|﹣6|+|+12|+|﹣10|=54，54×1=54（粒）．
答：小虫共可以得到54粒芝麻．
巩固
1.两个有理数的差（ ）
A．小于被减数 B．大于被减数 C．等于被减数 D．上述情况都有可能
2.下列说法正确的是（ ）
A．异号两数相加，取较大的符号，并把绝对值相加
B．同号两数相减，取相同的符号，并把绝对值相减
C．符号相反的两个数相加得0
D．0加上一个数仍得这个数
3.a为有理数，定义运算符号“※”：当a＞－2时，※a＝－a；当a＜－2时，※a＝a；当a＝－2时，※a＝0．根据这种运算，则※[4＋※（2－5）]的值为（ ）
A．1 B．－1 C．7 D．－7
4.甲、乙、丙三地的海拔高度分别为20m、-15m和-10m，那么最高的地方比最低的地方高（ ）
A．5m B．10m C．25m D．35m
5.某超市出售的三种品牌月饼袋上，分别标有质量为（500±5）g，（500±10）g，（500±20）g的字样，从中任意拿出两袋，它们的质量最多相差 g．
6.若，且，求的值.
7.计算下列各题：
（1） （2）
（3）
8.计算：
（1）； （2）
（3）； （4）；
（5）； （6）
答案与解析
1.【答案】D
【解析】两个有理数的差可能大于等于或小于被减数.
2.【答案】D
【解析】A 取绝对值较大的数的号，绝对值相减；B 同号时要看被减数还是减数的绝对值更大一些.C 符号相反且绝对值相等的两个数相加为0.
3.【答案】B
【解析】※（2－5）=※（-3）= -3；※（4-3）=※1= -1.
4.【答案】D
【解析】20-(-15)=35.
5.【答案】40克
【解析】20-(-20)=40.
6.【答案】.
【解析】绝对值为本身的相反数，所以m+n为负数。m=-37时，n=±31，m-n=-6或-68.
7.【答案】（1）6；（2）；（3）.
【解析】计算依据有理数加减法法则，较为基础.
8.【答案】（1）1.6；（2）-30；（3）86；（4）-6；（5）7；（6）-16.
【解析】计算依据有理数加减法法则，较为基础.
拔高
1.已知a、b、c三个数在数轴上对应点的位置如图所示，下列几个判断正确的个数有（ ）
①a＜c＜b ②-a＜b ③a+b＞0 ④c-a＜0 ⑤a+c＞0
⑥
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
2.设[x）表示大于x的最小整数，如[3）=4，[－1.2）=－1，则下列结论中正确的是．（ ）
A．[0）=0
B、[x）－x的最小值是0
C．[x）－x的最大值是0
D．存在实数x，使[x）－x=0.5成立．
3.我们知道，|a|表示数a到原点的距离，这是绝对值的几何意义，进一步地，数轴上两个点A、B分别用a，b表示，那么AB=|a-b|，利用此结论，回答以下问题：
（1）数轴上表示2和5的两点之间的距离是______，数轴上表示-2和-5的两点之间的距离是______，数轴上表示1和-3的两点之间的距离是______；
（2）数轴上表示x和-1的两点A．B之间的距离是______，如果|AB|=2，那么x的值为______；
（3）说出|x+1|+|x+2|表示的几何意义______，该式的最小值是：______
4.出租车司机小王某天下午营运全是在东西走向的太湖大道上进行的．如果向东记作“＋”，向西记作“－”．他这天下午行车情况如下：（单位：千米）
－2，＋5，－1，＋10，－3，－2，－5，＋6
请回答：
（1）小王将最后一名乘客送到目的地时，小王在下午出车的出发地的什么方向？距下午出车的出发地多远？
（2）若规定每趟车的起步价是10元，且每趟车3千米以内（含3千米）只收起步价；若超过3千米，除收起步价外，超过的每千米还需收2元钱．那么小王这天下午共收到多少钱？
答案与解析
1.【答案】B
【解析】②-a>b ③ a+b<0 ④ c-a>0 ⑤ a+c<0.
2.【答案】D
【解析】A [0）=1 BC [x）－x的最大值是1.
3.【答案】见解析.
【解析】（1）数轴上表示2和5的两点之间的距离是|2-5|=3，数轴上表示-2和-5的两点之间的距离是|-2-（-5）|=3．数轴上表示1和-3的两点之间的距离是|1-（-3）|=4．
（2）数轴上表示x和-1的两点A和B之间的距离是|x-（-1）|=|x+1|，如果|AB|=2，那么x为1或-3．
（3）|x+1|+|x+2|表示的几何意义是：数轴上表示的点x到-1和-2两点的距离和，
当-1≤x≤2时，代数式|x+1|十|x+2|=-x-1+x+2=1，则最小值为1．
故答案为：3，3，4；|x+1|，1或-3；数轴上表示的点x到-1和-2两点的距离和，1．
4.【答案】（1）东，8千米；（2）108元．
【解析】（1）把小王下午的行车记录相加，然后根据正负数的意义解答；
（2）根据行车记录和收费方法列出算式，计算即可得解．
试题解析：（1）﹣2+5﹣1+10﹣3﹣2﹣5+6=﹣13+21=8千米，
所以小王在下午出车的出发地的东面，距离出发地8千米；
（2）10×8+2×（5﹣3）+2×（10﹣3）+2×（5﹣3）+2×（6﹣3）=80+4+14+4+6=108元．
五 、课堂小结
本节讲了2个重要内容：
有理数的减法；
有理数的加减法混合法则.
本节课重点是对有理数减法的计算以及对有理数加减法混合运算的计算和有理数的加减法可以互相转化的应用.
六 、课后作业
基础
1.在（–5）–（ ）= –7中的括号里应填（ ）
A．–12 B．2 C．–2 D．12
2.若a＜0，b＞0，则b、b+a、b－a中最大的一个数是（ ）
A．a B．b+a C．b－a D．不能确定
3.某日，北京市的最低气温是-10℃，杭州市的最低气温是-1℃，则这一天北京的最低气温比杭州的最低气温低 （ ）
A.-11℃ B.-9℃ C.11℃ D.9℃
4.a是最小的正整数，b是最大的负整数，则a-b的值为（ ）
A．0 B．2 C．-2 D．±2
5.下列句子中，正确的是（ ）．
A．在有理数加法或减法中，和不一定比加数大，被减数不一定比减数大
B．减去一个数等于加上这个数
C．零减去一个数，仍得这个数
D．两个相反数相减得零
6.在数轴上，与表示－3的点相距6个单位长度的点所表示的数是________．
7.已知M是6的相反数，N比M的相反数小2，则M-N= .
8.若，，且，则的值等于 .
答案与解析
1.【答案】B
【解析】-5-（-7）=2.
2.【答案】C
【解析】b-a为最大的正数.
3.【答案】D
【解析】-1-（-10）=9.
4.【答案】B
【解析】1-（-1）=2.
5.【答案】A
【解析】B减去一个数等于加上这个数的倒数 C.0减去一个数等于这个数的倒数 D相反数相加为0.
6.【答案】3或-9
【解析】-3+6=3；-3-6=-9.
7.【答案】2
【解析】M= -6，N= -8，M-N=2；
8.【答案】-4或-6
【解析】a= -5，b=±1，a+b= -4或-6；
巩固
1.有理数、在数轴上的对应点如图所示：则（ ）
A． B． C． D．
2.将写成省略括号的和的形式为（ ）
A. B. C. D.
3.已知＝3，＝4，且x>y，则2x－y的值为（ ）
A．＋2 B．±2 C．＋10 D．－2或＋10
4.数、b在数轴上的位置如图所示，化简= 。
5.某检修小组乘汽车检修公路道路。向东记为正，向西记为负。某天自A地出发。所走路程（单位：千米）为：+22，-3，+4，-2，-8，-17，-2，+12，+7，-5；
问：①，最后他们是否回到出发点？若没有，则在A地的什么地方？距离A地多远？
②，若每千米耗油0.05升，则今天共耗油多少升？
6.某服装公司一周计划生产1000套服装，平均每天生产200套．由于各种原因实际每天生产的服装数量与比计划数量有多有少，下表是某周的生产情况（超产为正，减产为负，单位：套）：
（1）根据记录可知前3天共生产 套．
（2）产量最多的一天比产量最少的一天多生产 套．
（3）公司规定每生产一套服装付工资80元，超额完成任务每套奖20元，少生产一套扣20元，那么该厂工人这一周的工资总额是多少?
答案与解析
1.【答案】A
【解析】a<-1；0< b <1.
2.【答案】B
【解析】10-3-6+4.
3.【答案】D
【解析】x=3，y=-4,2x-y=10.
4.【答案】b
【解析】 a+b-a=b.
5.【答案】正东方向;.
【解析】题中各有理数的和是正的，即在地正东方向; 和是负的，即在地正西方向. 各有理数的和是多少，与地就是多远.
共耗油为题中各有理数的绝对值的和与的积.
.答今天共耗油.
6.（1）591；（2）23；（3）80040．
【解析】（1）3×200+5﹣10﹣4=591（套）；
（2）13﹣（﹣10）=23（套）；
（3）=80000+360-320=80040（元）．故该厂工人这一周的工资总额是80040元．
拔高
1.定义新运算“*”为： ，则当时，计算的结果为 ．
2.（1）比较下列各式的大小：（用＞、＜或=连接）
（2）通过（1）的比较，请你分析，归纳当为有理数时，的大小关系；
（3）根据（2）中的结论，求当时，的取值范围.
3.
4.某公路检修队乘车从A地出发，在南北走向的公路上检修道路，规定向南走为正，向北走为负，从出发到收工时所行驶的路程记录如下（单位：千米）：+3，－9，+4，+6，－10，+5，－3，+14.
（1）问收工时，检修队在A地哪边，距A地多远?
（2）问从出发到收工时，汽车共行驶多少千米?
（3）在汽车行驶过程中，若每行驶l千米耗油0.15升.公路检修队检查到第四处的加油站时，刚好油用完，加油时发现比上次加油时油价下跌了0.2元/升.检修队从A地出发到回到A地，共用油费64.98元.问此次加油的油价是每升多少元?
答案与解析
【答案】8
【解析】=3*3-（4-3）=8.
2.【答案】见解析.
【解析】（1）＞、＞、＝、＝；
（2）当异号时，；当同号或其中一个为0时，.
（3）
3.【答案】
【解析】解：原式=
=
=
4.【答案】(1)距Ａ地10千米处；(2)汽车共得行驶了54千米；(3)此次加油时油价为每升6.7元.
【解析】（1）+3－9+4+6－10+5－3+14＝10
答：收工时，检修队在Ａ地南边，距Ａ地10千米处.
（2） QUOTE
答：从出发收工，汽车共得行驶了54千米.
（3）解：设此次加油时油价为每升x元
从Ａ地出发到回到Ａ地，共行行驶了64千米，其中前四站行驶了22千米
根据题意，得： QUOTE
解之得：x＝6.7
答：此次加油时油价为每升6.7元.
七 、教学反思
适用学科
初中数学
适用年级
初一
适用区域
北师版区域
课时时长（分钟）
120
知识点
1、有理数减法的意义及法则 6、有理数的加减混合运算
2、利用有理数减法解决生活中的问题 7、利用有理数的加减运算解决实际问题
3、有理数减法与绝对值的综合应用 8、有理数的加减与数轴、绝对值的综合
4、解决数轴上两点间的距离问题 9、规律探究
5、理解代数和的意义
教学目标
1、使学生理解并掌握有理数减法法则，会进行有理数的减法运算.
2、能够依据有理数的加法和减法法则按从左到右顺序进行计算.
3、能初步掌握有关有理数的加减混合运算.
教学重点
1、有理数减法法则.
2、理解有理数的加减法可以互相转化，并了解代数和概念.
教学难点
1、法则本身的推导和理解.
2、理解有理数的加减法可以互相转化，能根据具体问题适当运用运算简化运算.
星期
一
二
三
四
五
六
日
减增
+8
-2
-6
+11
-12
+6
+7
星期
一
二
三
四
五
增减
＋5
－10
－4
－2
＋13
相关教案
北师大版七年级上册第六章 数据的收集与整理综合与测试教学设计： 这是一份北师大版七年级上册第六章 数据的收集与整理综合与测试教学设计，共41页。教案主要包含了教学建议，知识导图，总结与反思等内容，欢迎下载使用。
北师大版七年级上册3.4 整式的加减教案设计： 这是一份北师大版七年级上册3.4 整式的加减教案设计，共25页。教案主要包含了教学建议，知识导图，总结与反思等内容，欢迎下载使用。
初中数学北师大版七年级上册3.3 整式教案及反思： 这是一份初中数学北师大版七年级上册3.3 整式教案及反思，共20页。教案主要包含了教学建议，知识导图，总结与反思等内容，欢迎下载使用。
