人教版九年级上册专项练习16——旋转专题 同步练习

这是一份数学综合与测试同步测试题，共12页。试卷主要包含了解答题等内容，欢迎下载使用。

一、解答题（共10小题；共100分）


1. 如图，正方形 中， 为 上一点， 绕点 顺时针旋转 得到 ，点 恰好落在 延长线上．





（1） ；


（2）若 ，求 的度数．





2. 如图，在边长为 的小正方形组成的方格纸上，将 绕着点 顺时针旋转 ．





（1）画出旋转后的 ；


（2）求线段 在旋转过程中所扫过的扇形的面积．





3. 如图，在 中，，如果将该三角形绕点 按顺时针方向旋转到 的位置，点 恰好落在边 的中点处，求旋转角的大小．








4. 在同一平面内， 和 如图 1 放置，其中 ．小明做了如下操作：将 绕着边 的中点旋转 得到 ，将 绕着边 的中点旋转 得到 ，如图 2，请完成下列问题：





（1）试猜想四边形 是什么特殊四边形，并说明理由；


（2）连接 ，，如图 3，求证：四边形 是平行四边形．





5. 如图，在平面直角坐标系中， 的三个顶点坐标分别为 ，，．（每个方格的边长均为 个单位长度）．





（1）请画出 ，使 与 关于 轴对称；


（2）将 绕点 逆时针旋转 ，画出旋转后得到的 ，并直接写出点 旋转到点 所经过的路径长．





6. 已知，如图， 的三条边 ，，， 为 内一点，且 ，，，．





（1）若 ，则 ；


（2）将 绕点 顺时针方向旋转 到 ，画出 ，若 ，求 度数；


（3）试画出符合下列条件的正三角形： 为正三角形内的一点， 到正三角形三个顶点的距离分别为 ，，，且正三角形的边长为 ，并给予证明．





7. 已知，如图，把一个含 角的三角板的锐角顶点与正方形 的顶点 重合，然后将三角板绕点 顺时针旋转，它的两边分别交 ，（或它们的延长线）于点 ，．


（1）如图，当三角板绕点 旋转到如图 位置时，证明：；





（2）当三角板绕点 旋转到如图 的位置时，线段 ， 和 之间有怎样的等量关系?请直接写出你的猜想．








8. 如图，已知线段 ，按照以下要求作图和证明：


用尺规作等边 ；在 的延长线上取点 ，在 的延长线上取点 ，使得 ，连接 ，．求证：．








9. 如图，方格纸中每个小正方形的边长都是 个单位长度， 的三个顶点 ，，．





（1）将 以点 为旋转中心旋转 ，得到 ，请画出 的图形；


（2）平移 ，使点 的对应点 坐标为 ，请画出平移后对应的 的图形；


（3）若将 绕某一点旋转可得到 ，请直接写出旋转中心的坐标．





10. 在 中，，，， 分别是边 ， 的中点．若等腰 绕点 逆时针旋转，得到等腰 ，设旋转角为 ，记直线 与 的交点为 ．





（1）如图 1，当 时，线段 的长等于 ，线段 的长等于 ；（直接填写结果）


（2）如图 2，当 时，求证：，且 ；


（3）求点 到 所在直线的距离的最大值．（直接写出结果）





答案


第一部分


1. （1）


（2） 由题意知 绕点 顺时针旋转 得到 ，


，


，，


，


．


2. （1） 如图， 为所求三角形．





（2） 由图可知 ，


线段 在旋转过程中所扫过的扇形的面积为








3. 在 中，点 为 的中点，


，


又由旋转的性质可得，，


， 是等边三角形，


旋转角 等于 ．


4. （1） 四边形 是菱形，理由如下：


绕着边 的中点旋转 得到 ，


，，


，


，


四边形 是菱形．


（2） 四边形 是菱形，


，且 ，


绕着边 的中点旋转 得到 ，


，，


四边形 为平行四边形．


，且 ，


，，


四边形 是平行四边形．


5. （1） 如图， 即为所求．





（2） 如图， 即为所求．





点 旋转到点 所经过的路径长为 ．


【解析】，


．


6. （1）


（2） 画图如下（如图）．





，，


．


（3） 画图如下：将 绕点 按逆时针方向旋转 到 的位置（如图）．





连接 ，，这样可知 和 均为等边三角形，


从而 ，．


，，即 ，


则 ，， 三点共线（即该三点在同一条直线上）．


同理，


，，


即 ，则 ，， 三点共线，


，，， 四点均在一条直线上．


，


线段 ．


以线段 为边在点 一侧作等边 （如图），


则 即为符合条件的等边三角形，其中的点 即为点 ，


正三角形的边长为 已证，，，


下面再证 ．


，


即 ，


．


在 和 中，





，


，即 ．


从而点 到等边 三个顶点的距离分别为 ，，，


且其边长为 ．


7. （1） 如图，在 的延长线上截取 ，连接 ．





四边形 为正方形，


，．


在 和 中，


．


，．


，，


，


．


．


在 和 中，





，


．


，即 ．


（2） 猜想：线段 ， 和 之间的等量关系为：．


8. 如图 ，





为所求．（画法不唯一）


如图 ，





将 绕点 顺时针旋转 得到 ，连接 ，．（画法不唯一）


，，


为等边三角形，


，


，


，


，


且 ，


四边形 为平行四边形，


，，


，


．


和 中，


，


．


9. （1）


如图所示 即为所求．


（2）


如图所示 即为所求．


（3） 旋转中心坐标 ．


10. （1） ；


（2） 当 时，由旋转可知 ，


又 ，，


，


且 ，


设直线 与 交于点 ，有 ．





，


．


（3）


【解析】


作 ，交 所在的直线于 ．


， 在以 为圆心， 为半径的圆上，


当 所在直线与 相切时，直线 与 的交点 到直线 的距离最大，


即四边形 为正方形时，距离最大，


此时 ，，


所以 ．


，故点 到 所在直线的距离的最大值 ．