2021届山东高考数学一轮创新教学案：第3章　第6讲　正弦定理和余弦定理

第6讲　正弦定理和余弦定理[考纲解读]　1.熟练掌握正弦定理及余弦定理，并能解决简单的三角形度量问题．(重点)2．能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的实际问题．(难点)[考向预测]　从近三年高考情况来看，本讲是高考的必考内容．预计2021年会以对正、余弦定理的考查为主，利用两定理解三角形(求三角形边或角)，解与三角形面积有关的最值问题．此外，判断三角形的形状及三角形内三角函数的计算也不容忽视．题型既可以是客观题也可以是解答题，属中档题型．1.正弦定理、余弦定理在△ABC中，若角A，B，C所对的边分别是a，b，c，R为△ABC外接圆的半径，则 正弦定理余弦定理内容＝＝＝2Ra2＝b2＋c2－2bccosA；b2＝a2＋c2－2accosB；c2＝a2＋b2－2abcosC变形形式①a＝2RsinA，b＝2RsinB，c＝2RsinC(其中R是△ABC外接圆的半径)；②a∶b∶c＝sinA∶sinB∶sinCcosA＝；cosB＝；cosC＝2.在△ABC中，已知a，b和A时，三角形解的情况 A为锐角A为钝角或直角图形关系式a＝bsinAbsinA<a<ba≥ba>ba≤b解的个数一解两解一解一解无解3.三角形中常用的面积公式(1)S＝ah(h表示边a上的高)．(2)S＝bcsinA＝acsinB＝absinC.(3)S＝r(a＋b＋c)(r为三角形的内切圆半径)．1.概念辨析(1)正弦定理和余弦定理对任意三角形都成立．(　　)(2)在△ABC中，若sinA>sinB，则A>B.(　　)(3)在△ABC的六个元素中，已知任意三个元素可求其他元素．(　　)(4)当b2＋c2－a2>0时，△ABC为锐角三角形．(　　)答案　(1)√　(2)√　(3)×　(4)×2.小题热身(1)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知a＝，c＝2，cosA＝，则b＝(　　)A.   B. C．2  D．3答案　D解析　由余弦定理得5＝b2＋4－2×b×2×，解得b＝3或b＝－(舍去)，故选D.(2)在△ABC中，已知b＝40，c＝20，C＝60°，则此三角形的解的情况是(　　)A.有一解  B．有两解C.无解  D．有解但解的个数不确定答案　C解析　由正弦定理得＝，∴sinB＝＝＝>1.∴角B不存在，即满足条件的三角形不存在.(3)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，B＝75°，C＝45°，a＝3，则△ABC中最短边的长等于________．答案　解析　因为A＝180°－B－C＝180°－75°－45°＝60°，所以△ABC中角C最小，最短边是c，由正弦定理得c＝＝＝.(4)在△ABC中，a＝3，b＝2，cosC＝，则△ABC的面积为________．答案　4解析　∵cosC＝，0<C<π，∴sinC＝，∴S△ABC＝absinC＝×3×2×＝4.(5)在△ABC中，a＝4，b＝5，c＝6，则＝________.答案　1解析　因为a＝4，b＝5，c＝6，所以cosA＝＝＝，所以＝＝＝＝1.题型 一　利用正、余弦定理解三角形　角度1　用正弦定理解三角形1.(2019·北京朝阳区模拟)在△ABC中，B＝，c＝4，cosC＝，则b＝(　　)A.3  B．3  C.   D.答案　B解析　因为cosC＝，C∈(0，π)，所以sinC＝＝.又因为B＝，c＝4，所以由正弦定理得b＝＝＝3.2.(2019·丹东模拟)在△ABC中，C＝60°，AC＝，AB＝，则A＝(　　)A.15°  B．45° C．75°  D．105°答案　C解析　在△ABC中，C＝60°，AC＝，AB＝，由正弦定理得sinB＝＝＝.因为AB>AC，所以C>B，所以B∈，所以B＝45°，又C＝60°，所以A＝180°－B－C＝180°－45°－60°＝75°.角度2　用余弦定理解三角形3.在△ABC中，若AB＝，BC＝3，C＝120°，则AC＝(　　)A.1  B．2 C．3  D．4答案　A解析　设AC＝x，由余弦定理得，cos120°＝＝－，∴x2－4＝－3x，即x2＋3x－4＝0.∴x＝1或－4(舍去)．∴AC＝1，选A.4.(2018·全国卷Ⅱ)在△ABC中，cos＝，BC＝1，AC＝5，则AB＝(　　)A.4        B.       C.       D．2答案　A解析　因为cosC＝2cos2－1＝2×2－1＝－，所以AB2＝BC2＋AC2－2BC·ACcosC＝1＋25－2×1×5×＝32，所以AB＝4，选A.5.(2019·贵阳模拟)平行四边形ABCD中，AB＝2，AD＝3，AC＝4，则BD＝(　　)A.4   B.  C.   D.答案　B解析　如图所示，在△ABC中，AB＝2，BC＝AD＝3，AC＝4，由余弦定理得cos∠ABC＝＝＝－，所以cos∠DAB＝－cos∠ABC＝，在△ABD中，由余弦定理得BD2＝AD2＋AB2－2AD·AB·cos∠DAB＝32＋22－2×3×2×＝10.所以BD＝.角度3　综合利用正、余弦定理解三角形6.(2019·北京高考)在△ABC中，a＝3，b－c＝2，cosB＝－.(1)求b，c的值；(2)求sin(B－C)的值．解　(1)由余弦定理b2＝a2＋c2－2accosB，得b2＝32＋c2－2×3×c×.因为b＝c＋2，所以(c＋2)2＝32＋c2－2×3×c×，解得c＝5，所以b＝7.(2)由cosB＝－，得sinB＝.由正弦定理，得sinC＝sinB＝.在△ABC中，B是钝角，所以C为锐角，所以cosC＝＝.所以sin(B－C)＝sinBcosC－cosBsinC＝.用正弦、余弦定理解三角形的基本题型及解题方法(1)已知两角和一边(如举例说明1)①用三角形内角和定理求第三个角．②用正弦定理求另外两条边．(2)已知两边及其中一边所对的角①用正弦定理(适用于优先求角的题，如举例说明2)以知a，b，A解三角形为例：a.根据正弦定理，经讨论求B；b.求出B后，由A＋B＋C＝180°，求出C；c.再根据正弦定理＝，求出边c.②用余弦定理(适用于优先求边的题)以知a，b，A解三角形为例：列出以边c为元的一元二次方程c2－(2bcosA)c＋(b2－a2)＝0，根据一元二次方程的解法，求边c，然后应用正弦定理或余弦定理，求出B，C.(如举例说明3)(3)已知两边和它们的夹角(如举例说明4)①用余弦定理求第三边．②用余弦定理的变形或正弦定理求另外两角．(4)已知三边可以连续用余弦定理求出两角，常常是分别求较小两边所对的角，再由A＋B＋C＝180°，求出第三个角．(如举例说明5)1.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a＝b，A＝2B，则cosB等于(　　)A.   B.  C.   D.答案　C解析　因为a＝b，A＝2B，所以由正弦定理可得＝，所以＝，所以cosB＝.2.在△ABC中，若b＝1，c＝，A＝，则cos5B＝(　　)A.－   B.C.或－1  D．－或0答案　A解析　因为b＝1，c＝，A＝，所以由余弦定理，得a2＝b2＋c2－2bccosA＝1＋3－2×1××＝1，所以a＝1.由a＝b＝1，得B＝A＝，所以cos5B＝cos＝－cos＝－.3．如图，在△ABC中，B＝45°，D是BC边上一点，AD＝5，AC＝7，DC＝3，则AB＝________.答案　解析　在△ACD中，由余弦定理可得cosC＝＝，则sinC＝.在△ABC中，由正弦定理可得＝，则AB＝＝＝.题型 二　利用正、余弦定理边角互化　1.(2019·武汉调研)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若<cosA，则△ABC为(　　)A.钝角三角形  B．直角三角形C.锐角三角形  D．等边三角形答案　A解析　因为<cosA，所以c<bcosA，由正弦定理得sinC<sinBcosA，又A＋B＋C＝π，所以sinC＝sin(A＋B)．所以sinAcosB＋cosAsinB<sinBcosA，所以sinAcosB<0，又sinA>0，所以cosB<0，B为钝角，所以△ABC是钝角三角形．条件探究　将本例中△ABC满足的条件改为“cos2＝”，则△ABC的形状为________．答案　直角三角形解析　因为cos2＝，所以(1＋cosB)＝，在△ABC中，由余弦定理得＋·＝.化简得2ac＋a2＋c2－b2＝2a(a＋c)，则c2＝a2＋b2，所以△ABC为直角三角形.2.(2019·全国卷Ⅰ)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.设(sinB－sinC)2＝sin2A－sinBsinC.(1)求A；(2)若a＋b＝2c，求sinC.解　(1)由已知得sin2B＋sin2C－sin2A＝sinBsinC，故由正弦定理得b2＋c2－a2＝bc.由余弦定理得cosA＝＝.因为0°<A<180°，所以A＝60°.(2)由(1)知B＝120°－C，由题设及正弦定理得sinA＋sin(120°－C)＝2sinC，即＋cosC＋sinC＝2sinC，可得cos(C＋60°)＝－.因为0°<C<120°，所以sin(C＋60°)＝，故sinC＝sin(C＋60°－60°)＝sin(C＋60°)cos60°－cos(C＋60°)sin60°＝.1.应用正、余弦定理转化边角关系的技巧技巧解读边化角将表达式中的边利用公式a＝2RsinA，b＝2RsinB，c＝2RsinC化为角的关系．如举例说明1角化边将表达式中的角利用公式转化为边，出现角的正弦值用正弦定理转化．如举例说明2，出现角的余弦值用余弦定理转化．如条件探究和积互化a2＝b2＋c2－2bccosA＝(b＋c)2－2bc(1＋cosA)．可联系已知条件，利用方程思想进行求解三角形的边2.利用正、余弦定理判断三角形形状的基本方法(1)“角化边”：利用正弦、余弦定理把已知条件转化为只含边的关系，通过因式分解、配方等得出边的相应关系，从而判断三角形的形状．(2)“边化角”：利用正弦、余弦定理把已知条件转化为只含内角的三角函数间的关系，通过三角函数恒等变形，得出内角的关系，从而判断出三角形的形状，此时要注意应用A＋B＋C＝π这个结论．1.若△ABC的三个内角满足sinA∶sinB∶sinC＝5∶11∶13，则△ABC(　　)A.一定是锐角三角形B.一定是直角三角形C.一定是钝角三角形D.可能是锐角三角形，也可能是钝角三角形答案　C解析　由正弦定理得，a∶b∶c＝sinA∶sinB∶sinC＝5∶11∶13，设a＝5t，b＝11t，c＝13t(t>0)，则cosC＝＝<0，所以C是钝角，△ABC是钝角三角形.2.(2019·全国卷Ⅰ)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知asinA－bsinB＝4csinC，cosA＝－，则＝(　　)A.6  B．5 C．4  D．3答案　A解析　∵asinA－bsinB＝4csinC，∴由正弦定理得a2－b2＝4c2，即a2＝4c2＋b2.由余弦定理得cosA＝＝＝＝－，∴＝6.故选A.3.(2019·黄冈模拟)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c且满足2acosA＝ccosB＋bcosC.(1)求角A；(2)若a＝，·＝6，求△ABC的周长．解　(1)因为2acosA＝bcosC＋ccosB，在△ABC中，由正弦定理＝＝＝2R，得a＝2RsinA，b＝2RsinB，c＝2RsinC，所以2sinAcosA＝sinBcosC＋cosBsinC，即2sinAcosA＝sin(B＋C)＝sinA，因为0<A<π，所以sinA≠0，所以2cosA＝1，即cosA＝，所以A＝.(2)由余弦定理a2＝b2＋c2－2bc·cosA，得13＝b2＋c2－2bc·.得(b＋c)2－3bc＝13，由·＝6，得bccosA＝6，所以bc＝12.所以(b＋c)2－36＝13，得b＋c＝7，所以△ABC的周长为a＋b＋c＝7＋.题型 三　与三角形面积有关的问题1.(2019·银川模拟)在锐角三角形ABC中，a，b，c分别为角A，B，C所对的边，且a＝2csinA，c＝，且△ABC的面积为，a＋b的值为________．答案　5解析　因为a＝2csinA，所以由正弦定理得sinA＝2sinCsinA，由0<A<知sinA>0，所以sinC＝，又0<C<，所以C＝，所以S△ABC＝absinC＝·ab＝，所以ab＝6.由余弦定理得c2＝a2＋b2－2abcosC，又c＝，所以7＝(a＋b)2－2ab－ab，所以(a＋b)2＝25，a＋b＝5.2.(2019·全国卷Ⅲ)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知asin＝bsinA.(1)求B；(2)若△ABC为锐角三角形，且c＝1，求△ABC面积的取值范围．解　(1)由题设及正弦定理得sinAsin＝sinBsinA.因为sinA≠0，所以sin＝sinB.由A＋B＋C＝180°，可得sin＝cos，故cos＝sinB＝2sincos.因为cos≠0，所以sin＝，所以＝30°，所以B＝60°.(2)由题设及(1)知△ABC的面积S△ABC＝a.由(1)知A＋C＝120°，由正弦定理得a＝＝＝＋.由于△ABC为锐角三角形，故0°<A<90°，0°<C<90°.结合A＋C＝120°，得30°<C<90°，所以<a<2，从而<S△ABC<.因此，△ABC面积的取值范围是.1.求三角形面积的方法(1)若三角形中已知一个角(角的大小或该角的正、余弦值)，结合题意求解这个角的两边或该角的两边之积，代入公式求面积．如举例说明1.(2)若已知三角形的三边，可先求其一个角的余弦值，再求其正弦值，代入公式求面积，总之，结合图形恰当选择面积公式是解题的关键.2.已知三角形的面积求边、角的方法(1)若求角，就寻求夹这个角的两边的关系，利用面积公式列方程求解．(2)若求边，就寻求与该边(或两边)有关联的角，利用面积公式列方程求解．如举例说明1.(2020·郑州市高三阶段考试)在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，AC＝4，cos∠CAB＝.点D在线段BC上，且BD＝CD，AD＝.(1)求AB的长；(2)求△ABD的面积．解　(1)在△ABC中，由余弦定理，得a2＝c2＋42－8c·①又在△ACD中，cos∠ADC＝＝，在△ABD中，cos∠ADB＝＝，又∠ADB＋∠ADC＝π，∴cos∠ADB＋cos∠ADC＝0，即－2c2＋48＝0，②联立①②，得c＝6，即AB＝6.(2)∵cos∠CAB＝，∴sin∠CAB＝，又S△ABC＝b·c·sin∠CAB＝8，∴S△ABD＝S△ABC＝.　组　基础关1.已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若cosA＝，cosC＝，a＝1，则b等于(　　)A.2   B.  C.   D.答案　D解析　因为A∈(0，π)，B∈(0，π)，cosA＝，cosC＝.所以sinA＝，sinC＝，所以sinB＝sin(A＋C)＝sinAcosC＋cosAsinC＝×＋×＝.由正弦定理，得b＝＝＝.2.在△ABC中，a，b，c分别是内角A，B，C所对的边，C＝60°，a＝4b，c＝，则b＝(　　)A.1  B．2 C．3   D.答案　A解析　由余弦定理，得c2＝a2＋b2－2abcosC.又因为c＝，a＝4b，C＝60°，所以13＝16b2＋b2－2×4b×b×cos60°，解得b＝1.3.在△ABC中，如果＝＝，那么△ABC是(　　)A.直角三角形  B．等边三角形C.等腰直角三角形  D．钝角三角形答案　B解析　由正弦定理及＝＝，得＝＝，整理，得cosA＝cosB＝cosC，因为A，B，C为三角形的内角，所以A＝B＝C，所以△ABC是等边三角形.4.(2019·安徽省江南十校联考)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c.若b＝2，c＝3，B＝2C，则cos2C的值为(　　)A.   B.  C.   D.答案　B解析　由正弦定理，得＝＝.又因为B＝2C，所以＝＝2cosC，故cosC＝，所以cos2C＝2cos2C－1＝2×－1＝.5.在△ABC中，A＝60°，b＝1，S△ABC＝，则＝(　　)A.   B.  C.  D．2答案　B解析　依题意得，bcsinA＝c＝，则c＝4.由余弦定理得a＝＝，因此＝＝.由正弦定理得＝，故选B.6.(2020·许昌摸底)若△ABC的三个内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若sin(C－A)＝sinB，且b＝4，则c2－a2＝(　　)A.10  B．8 C．7  D．4答案　B解析　因为A＋B＋C＝π，所以sin(C－A)＝sinB＝sin(A＋C)，即2sinCcosA－2cosCsinA＝sinAcosC＋cosAsinC，即sinCcosA＝3sinAcosC.由正弦定理和余弦定理，得c·＝3a·，化简得c2－a2＝＝＝8.故选B.7.(2019·泸州模拟)在△ABC中，角B为，BC边上的高恰为BC边长的一半，则cosA＝(　　)A.   B.  C.   D.答案　A解析　设BC边上的高为h，则BC＝2h，AB＝h，由余弦定理，得AC2＝AB2＋BC2－2AB·BC·cosB＝2h2＋4h2－2·h·2h·＝10h2，故AC＝h.所以cosA＝＝＝.8.(2019·衡阳模拟)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，－－＝，△ABC外接圆的半径为3，则a＝________.答案　3解析　由题意，得＝，根据余弦定理，得cosA＝＝－.所以sinA＝，又因为△ABC外接圆的半径为3，所以根据正弦定理得＝6，所以a＝3.9.(2019·全国卷Ⅱ)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知bsinA＋acosB＝0，则B＝________.答案　解析　∵bsinA＋acosB＝0，∴＝.由正弦定理，得－cosB＝sinB，∴tanB＝－1.又B∈(0，π)，∴B＝.10.在△ABC中，若AB＝4，AC＝7，BC边的中线AD＝，则BC＝________.答案　9解析　如图所示，延长AD到点E，使DE＝AD，连接BE，EC.因为AD是BC边上的中线，所以AE与BC互相平分，所以四边形ACEB是平行四边形，所以BE＝AC＝7.又AB＝4，AE＝2AD＝7，所以在△ABE中，由余弦定理得，AE2＝49＝AB2＋BE2－2AB·BE·cos∠ABE＝AB2＋AC2－2AB·AC·cos∠ABE.在△ABC中，由余弦定理得，BC2＝AB2＋AC2－2AB·AC·cos(π－∠ABE)．所以49＋BC2＝2(AB2＋AC2)＝2×(16＋49)，所以BC2＝81，所以BC＝9.　组　能力关1.(2019·太原五中模拟)在△ABC中，＝sin2(a，b，c分别为角A，B，C的对边)，则△ABC的形状为(　　)A.直角三角形B.等边三角形C.等腰三角形或直角三角形D.等腰直角三角形答案　A解析　利用正弦定理及二倍角公式得＝，即sinA＝sinCcosB.又sinA＝sin(B＋C)＝sinBcosC＋cosBsinC，所以sinBcosC＝0.在△ABC中，sinB≠0，故cosC＝0，则C＝，故△ABC为直角三角形，故选A.2.(2019·江西省九江市一模)在△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C的对边，已知cos2A－cos2B＋sin2C＝sinBsinC＝，且△ABC的面积为，则a的值为________．答案　2解析　△ABC中，由cos2A－cos2B＋sin2C＝sinBsinC＝，得1－sin2A－(1－sin2B)＋sin2C＝sin2B＋sin2C－sin2A＝sinBsinC，∴b2＋c2－a2＝bc，由余弦定理，得cosA＝＝，又A∈(0，π)，∴A＝.由正弦定理＝＝，∴＝，即＝，化简得a2＝3bc.又△ABC的面积为S△ABC＝bcsinA＝，∴bc＝4，∴a2＝12，解得a＝2.3.(2020·海淀模拟)△ABC的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，asinAsinB＋bcos2A＝2a，则角A的取值范围是________．答案　解析　由已知及正弦定理得sin2AsinB＋sinBcos2A＝2sinA，即sinB(sin2A＋cos2A)＝2sinA，∴sinB＝2sinA，∴b＝2a，由余弦定理得cosA＝＝＝≥＝，当且仅当c＝a时取等号，∵A为三角形的内角，且y＝cosx在(0，π)上是减函数，∴0<A≤，则角A的取值范围是.4.(2020·安徽五校联考)在△ABC中，AD是BC边上的中线，∠ABD＝.若AB＝BD，则∠CAD＝________.若AC＝2AD＝2，则△ABC的面积为________．答案　　解析　设BD＝m，则AB＝m，BC＝2m，根据余弦定理，AD2＝AB2＋BD2－2AB·BDcos∠ABD＝m2，AC2＝AB2＋BC2－2AB·BCcos∠ABD＝m2，∴AD＝DC＝AC＝m，即△ACD是正三角形，∴∠CAD＝.记△ABC的三内角∠BAC，∠ABC，∠ACB所对的三条边分别为a，b，c，则BD＝a，由余弦定理可得，AD2＝AB2＋BD2－2AB·BDcos∠ABD，∴1＝c2＋2－ac，即4＝4c2＋a2－2ac，又AC2＝AB2＋BC2－2AB·BCcos∠ABC，∴4＝c2＋a2－ac，于是，4c2＋a2－2ac＝c2＋a2－ac，∴a＝c，代入c2＋a2－ac＝4可得c＝2，a＝2，∴S△ABC＝acsin∠ABC＝.5．(2019·衡水中学模拟)如图，在△ABC中，P是BC边上的一点，∠APC＝60°，AB＝2，AP＋PB＝4.(1)求BP的长；(2)若AC＝，求cos∠ACP的值．解　(1)由已知，得∠APB＝120°，又AB＝2，AP＋BP＝4.在△ABP中，由余弦定理，得(2)2＝BP2＋(4－BP)2－2×BP×(4－BP)cos120°，整理，得BP2－4BP＋4＝0.解得BP＝2.(2)由(1)知，AP＝2，所以在△ACP中，由正弦定理，得＝，解得sin∠ACP＝2×＝.因为2<，所以AP<AC，从而∠ACP<∠APC，即∠ACP是锐角．所以cos∠ACP＝＝.6．(2019·福州期末)已知菱形ABCD的边长为2，∠DAB＝60°.E是边BC上一点，线段DE交AC于点F.(1)若△CDE的面积为，求DE的长；(2)若CF＝4DF，求sin∠DFC.解　(1)依题意，得∠BCD＝∠DAB＝60°.因为△CDE的面积S＝CD·CE·sin∠BCD＝，所以×2CE×＝，解得CE＝1.在△CDE中，由余弦定理，得DE＝＝＝.(2)解法一：依题意，得∠ACD＝30°，∠BDC＝60°，设∠CDE＝θ，则0°<θ<60°.在△CDF中，由正弦定理，得＝，因为CF＝4DF，所以sinθ＝＝，所以cosθ＝，所以sin∠DFC＝sin(30°＋θ)＝×＋×＝.解法二：依题意，得∠ACD＝30°，∠BDC＝60°，设∠CDE＝θ，则0°<θ<60°，设CF＝4x，因为CF＝4DF，则DF＝x，在△CDF中，由余弦定理，得DF2＝CD2＋CF2－2CD·CFcos∠ACD，即7x2＝4＋16x2－8x，解得x＝或x＝.又因为CF≤AC＝，所以x≤，所以x＝，所以DF＝，在△CDF中，由正弦定理，得＝，所以sin∠DFC＝＝.