2021届山东高考数学一轮创新教学案：第4章第1讲平面向量的概念及线性运算


第1讲　平面向量的概念及线性运算
[考纲解读]　1.了解向量的实际背景，理解平面向量的概念和两个向量相等的含义，理解向量的几何表示．
2．掌握向量加法、减法的运算，理解其几何意义．(重点)
3．掌握向量数乘的运算及其几何意义，理解两个向量共线的含义，了解向量线性运算的性质及其几何意义．(难点)
[考向预测]　从近三年高考情况来看，本讲一般不直接考查．预测2021年高考中，平面向量的线性运算是考查的热点，常以客观题的形式呈现，属中、低档试题.

1.向量的有关概念
名称
定义
备注
向量
既有大小又有方向的量；向量的大小叫做向量的长度(或称模)
平面向量是自由向量
向量的模
向量a的大小，也就是表示向量a的有向线段的长度(或称模)
|a|或
||
零向量
长度为零的向量；其方向是任意的
记作0
单位向量
长度等于1个单位的向量
与非零向量a共线的单位向量为±
平行向量
方向相同或相反的非零向量
0与任一向量平行或共线
共线向量
方向相同或相反的非零向量又叫做共线向量
相等向量
长度相等且方向相同的向量
两向量只有相等或不等，不能比较大小
相反向量
长度相等且方向相反的向量
0的相反向量为0
2．向量的线性运算
向量
运算
定义
法则(或几何意义)
运算律
加法
求两个向量和的运算

(1)交换律：
a＋b＝b＋a；
(2)结合律：
(a＋b)＋c＝
a＋(b＋c)
减法
求a与b的相反向量－b的和的运算叫做a与b的差

a－b＝a＋(－b)
数乘
求实数λ与向量a的积的运算
(1)|λa|＝|λ||a|；
(2)当λ>0时，λa的方向与a的方向相同；当λ<0时，λa的方向与a的方向相反；当λ＝0时，λa＝0
λ(μa)＝λμa；
(λ＋μ)a＝λa＋μa；
λ(a＋b)＝λa＋λb
3．共线向量定理
向量a(a≠0)与b共线，当且仅当有唯一的一个实数λ，使得b＝λa.

1．概念辨析
(1)向量不能比较大小，但向量的模可以比较大小．(　　)
(2)若a∥b，b∥c，则a∥c.(　　)
(3)向量与向量是共线向量，则A，B，C，D四点在一条直线上．(　　)
(4)当两个非零向量a，b共线时，一定有b＝λa，反之成立．(　　)
答案　(1)√　(2)×　(3)×　(4)√
2．小题热身
(1)下列命题正确的是(　　)
A．若|a|＝|b|，则a＝b B．若|a|>|b|，则a>b
C．若a＝b，则a∥b D．若|a|＝0，则a＝0
答案　C
解析　A错误，模相等，方向相同的向量才是相等向量；B错误，向量不能比较大小；C正确，若a＝b，则a与b方向相同，故a∥b；D错误，若|a|＝0，则a＝0.
(2)设a，b是不共线的两个向量，已知＝a＋2b，＝4a－4b，＝－a＋2b，则(　　)
A．A，B，D三点共线 B．A，C，D三点共线
C．A，B，C三点共线 D．B，C，D三点共线
答案　B
解析　因为＝a＋2b，所以＝－a－2b，所以＝＋＝(－a－2b)＋(4a－4b)＝3a－6b＝－3(－a＋2b)＝－3.所以∥，所以A，C，D三点共线．
(3)已知▱ABCD的对角线AC和BD相交于点O，且＝a，＝b，则＝________，＝________(用a，b表示)．
答案　b－a　－a－b
解析　因为四边形ABCD是平行四边形，
所以＝，＝－＝－a，
所以＝＝－＝b－a，
＝－＝－a－b.

题型 一　平面向量的基本概念

1．设a0为单位向量，下列命题中：①若a为平面内的某个向量，则a＝|a|·a0；②若a与a0平行，则a＝|a|a0；③若a与a0平行且|a|＝1，则a＝a0，假命题的个数是(　　)
A．0 B．1
C．2 D．3
答案　D
解析　向量是既有大小又有方向的量，a与|a|a0的模相同，但方向不一定相同，故①是假命题；若a与a0平行，则a与a0的方向有两种情况：一是同向，二是反向，反向时a＝－|a|a0，故②③也是假命题．
综上所述，假命题的个数是3.
2．下列叙述错误的是________(填序号)．
①已知向量a∥b，且|a|>|b|>0，则向量a＋b的方向与向量a的方向相同；
②|a|＋|b|＝|a＋b|⇔a与b方向相同；
③向量b与向量a共线的充要条件是有且只有一个实数λ，使得b＝λa；
④＋＝0；
⑤若λa＝λb，则a＝b.
答案　②③④⑤
解析　对于①，当a和b方向相同，则它们的和的方向应该与a(或b)的方向相同；当a和b方向相反，而a的模大于b的模，则它们的和的方向与a的方向相同．
对于②，当a，b之一为零向量时结论不成立．
对于③，当a＝0且b＝0时，λ有无数个值；当a＝0但b≠0时，λ不存在．
对于④，由于两个向量之和仍是一个向量，所以＋＝0.
对于⑤，当λ＝0时，无论a与b的大小与方向如何，都有λa＝λb，此时不一定有a＝b.
故②③④⑤均错误．

有关平面向量概念的六个注意点
(1)相等向量具有传递性，非零向量的平行也具有传递性．
(2)共线向量即为平行向量，它们均与起点无关．
(3)向量可以平移，平移后的向量与原向量是相等向量．解题时，不要把它与函数图象的移动混淆．
(4)非零向量a与的关系：是与a同方向的单位向量，－是与a反方向的单位向量．
(5)两个向量不能比较大小，只可以判断它们是否相等，但它们的模可以比较大小．
(6)表示两平行向量的有向线段所在的直线平行或重合，易忽视重合这一条件．

1.给出下列说法：①若A，B，C，D是不共线的四个点，则＝是四边形ABCD为平行四边形的充要条件；②若a，b都是单位向量，则a＝b；③向量与相等；④若a＝b，b＝c，则a＝c.其中正确说法的序号是(　　)
A.①④ B．③④
C．②③ D．①②
答案　A
解析　①④正确；②错误，因为a，b的方向不一定相同；③错误，＝－.
2.下列命题中，正确的个数是(　　)
①若两个向量相等，则它们的起点和终点分别重合；
②若|a|＝|b|，则a＝b或a＝－b；
③若λa＝0(λ为实数)，则λ必为零；
④已知λ，μ为实数，若λa＝μb，则a与b共线．
A.0 B．1
C．2 D．3
答案　A
解析　①错误，如在▱ABCD中，＝，但是这两个向量的起点和终点分别不重合；②错误，模相等的两个向量，方向关系不确定；③错误，若λa＝0(λ为实数)，则λ＝0或a＝0；④错误，当λ＝μ＝0时，λa＝μb＝0，但a与b不一定共线.
题型 二　向量的线性运算

1.下列四个结论：
①＋＋＝0；
②＋＋＋＝0；
③－＋－＝0；
④＋＋－＝0.
其中一定正确的结论个数是(　　)
A.1 B．2
C．3 D．4
答案　C
解析　①正确；②错误，＋＋＋＝＋＋＋＝≠0；③正确，－＋－＝(－)＋(＋)＝＋＝0；④正确，＋＋－＝(＋)＋(－)＝＋＝0.
2.(2018·全国卷Ⅰ)在△ABC中，AD为BC边上的中线，E为AD的中点，则＝(　　)
A.－ B.－
C.＋ D.＋
答案　A
解析　根据向量的运算法则，可得＝－＝－＝－(＋)＝－，故选A.

3.在△ABC中，D为AB的中点，点E满足2＋＝0，则＝________(用A，C表示)．
答案　 －
解析　因为D为AB的中点，
所以＝＋＝－＋，
所以＝－.
又因为2＋＝0，
所以2(－)＋(－)＝0，
所以3＝2＋，
所以＝＋
＝＋
＝－.

1.平面向量的线性运算技巧
(1)不含图形的情况：可直接运用相应运算法则求解．
(2)含图形的情况：将它们转化到三角形或平行四边形中，充分利用相等向量、相反向量、三角形的中位线等性质，把未知向量用已知向量表示出来求解．
2.向量线性运算的两个常用结论
(1)在△ABC中，AD为BC边上的中线，则＝(＋)，如举例说明2.
(2)O为△ABC的重心的充要条件是＋＋＝0.

1.在△ABC中，若点D满足＝2，点M为AC的中点，则＝(　　)
A.－ B.－
C.－ D.＋
答案　A
解析　＝＋＝＋＝＋(－)＝－.
2．(2019·衡水模拟)如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，且＝2，则＝(　　)

A.－ B.＋
C.－ D.＋
答案　C
解析　因为＝2，所以＝，又因为＝，所以＝－，所以＝＋＝－＋＝－(＋)＋＝－.
题型 三　共线向量定理的应用　

角度1　证明向量共线或三点共线
1.已知平面内一点P及△ABC，若＋＋＝，则点P与△ABC的位置关系是(　　)
A.点P在线段AB上 B．点P在线段BC上
C.点P在线段AC上 D．点P在△ABC外部
答案　C
解析　因为＋＋＝＝－，所以＝－2，所以A，P，C三点共线，且P是线段AC的三等分点(靠近A).
角度2　由向量共线求参数的值
2．(2019·安徽合肥一中高考模拟)如图，在平行四边形ABCD中，M，N分别为AB，AD上的点，且＝，连接AC，MN交于点P，若＝，则点N在AD上的位置为(　　)

A.AD中点
B.AD上靠近点D的三等分点
C.AD上靠近点D的四等分点
D.AD上靠近点D的五等分点
答案　B
解析　设＝λ，因为＝＝(＋)＝＝＋，又M，N，P三点共线，所以＋＝1，解得λ＝，所以＝，所以点N在AD上靠近点D的三等分点.

求解向量共线问题的注意事项
(1)向量共线的充要条件中，当两向量共线时，通常只有非零向量才能表示与之共线的其他向量，注意待定系数法和方程思想的运用．如举例说明2.
(2)证明三点共线问题，可用向量共线来解决，但应注意向量共线与三点共线的区别与联系，当两向量共线且有公共点时，才能得到三点共线．
(3)若a与b不共线且λa＝μb，则λ＝μ＝0.
(4)直线的向量式参数方程，A，P，B三点共线⇔＝(1－t)＋t(O为平面内任一点，t∈R)．
＝λ＋μ(λ，μ为实数)，若A，B，C三点共线，则λ＋μ＝1.

1.在四边形ABCD中，＝a＋2b，＝－4a－b，＝－5a－3b，则四边形ABCD的形状是(　　)
A.矩形 B．平行四边形
C.梯形 D．以上都不对
答案　C
解析　＝＋＋＝(a＋2b)＋(－4a－b)＋(－5a－3b)＝－8a－2b＝2(－4a－b)＝2，所以AD∥BC，且AD≠BC，所以四边形ABCD是梯形.
2.设e1，e2是两个不共线的向量，已知＝2e1－8e2，＝e1＋3e2，＝2e1－e2.
(1)求证：A，B，D三点共线；
(2)若＝3e1－ke2，且B，D，F三点共线，求k的值．
解　(1)证明：由已知得
＝－＝(2e1－e2)－(e1＋3e2)＝e1－4e2，
∵＝2e1－8e2，
∴＝2.
又A与B有公共点B，
∴A，B，D三点共线．
(2)由(1)可知＝e1－4e2，
∵＝3e1－ke2，且B，D，F三点共线，
∴＝λ(λ∈R)，
即3e1－ke2＝λe1－4λe2，
∴解得k＝12.

　组　基础关
1.设a，b都是非零向量，下列四个条件中，一定能使＋＝0成立的是(　　)
A.a＝2b B．a∥b
C.a＝－b D．a·b＝0
答案　C
解析　使＋＝0成立，需向量a与b反向．故选C.
2.已知向量a，b不共线，且c＝λa＋b，d＝a＋(2λ－1)b，若c与d反向共线，则实数λ的值为(　　)
A.1 B．－
C.1或－ D．－1或－
答案　B
解析　由于c与d反向共线，则存在实数k使c＝kd(k<0)，于是λa＋b＝k[a＋(2λ－1)b]．整理得λa＋b＝ka＋(2λk－k)b.由于a，b不共线，所以有整理得2λ2－λ－1＝0，解得λ＝1或λ＝－.又k<0，所以λ<0，故λ＝－.
3.已知点O，A，B不在同一条直线上，点P为该平面上一点，且2＝2＋，则(　　)
A.点P在线段AB上
B.点P在线段AB的反向延长线上
C.点P在线段AB的延长线上
D.点P不在直线AB上
答案　B
解析　因为2＝2＋，所以2＝，所以点P在线段AB的反向延长线上，故选B.
4.已知四边形ABCD是菱形，点P在对角线AC上(不包括端点A，C)，则＝(　　)
A.λ(＋)，λ∈(0,1)
B.λ(＋)，λ∈
C.λ(－)，λ∈(0,1)
D.λ(－)，λ∈
答案　A
解析　根据向量的平行四边形法则，得＝＋.因为点P在对角线AC上(不包括端点A，C)，所以与共线，所以＝λ＝λ(＋)，λ∈(0,1)，故选A.
5.(2019·湖北省“四地七市”联考)向量a，b，c在正方形网格中的位置如图所示．若向量λa＋b与c共线，则实数λ＝(　　)

A.－2 B．－1
C.1 D．2
答案　D
解析　由图可知2a＋b＝c，若向量λa＋b与c共线，则λ＝2.故选D.
6．如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝，AC＝2AB，∠BAC的平分线交△ABC的外接圆于点D.设＝a，＝b，则向量＝(　　)

A.a＋b B.a＋b
C.a＋b D．a＋b
答案　C
解析　由题意知，AC为△ABC的外接圆的直径．设△ABC的外接圆圆心为O，如图，连接OD，BD，则AB＝OA＝OD.又易得AB∥OD，所以四边形ABDO是平行四边形，所以＝＋＝＋＝a＋b.故选C.

7．如图，在直角梯形ABCD中，AB＝2AD＝2DC，E为BC边上一点，＝3，F为AE的中点，则＝(　　)

A.－ B.－
C.－＋ D．－＋
答案　C
解析　＝＋＝＋＝－＋＝－＋＝－＋＋＋(＋＋)＝－＋.
8.(2019·河南三市联考)若＝，＝(λ＋1)，则λ＝________.
答案　－
解析　∵＝，∴＋＝＝＝－.∴λ＋1＝－，λ＝－.
9.给出下列四个命题：
①若a＋b与a－b是共线向量，则a与b也是共线向量；
②若|a|－|b|＝|a－b|，则a与b是共线向量；
③若|a－b|＝|a|＋|b|，则a与b是共线向量；
④若||a|－|b||＝|a|＋|b|，则b与任何向量都共线．
其中是真命题的有________(填上序号)．
答案　①②③
解析　①由向量的平行四边形法则可知，若a＋b与a－b是共线向量，则必有a与b也是共线向量，所以①是真命题；②若|a|－|b|＝|a－b|，则a与b同向，或b是零向量，或a，b均为零向量，所以a与b是共线向量，所以②是真命题；③若|a－b|＝|a|＋|b|，则a与b方向相反，或a，b中至少有一个零向量，所以a与b是共线向量，所以③是真命题；④当a是零向量，b是非零向量时，||a|－|b||＝|a|＋|b|成立，而b不能与任何向量都共线，所以④是假命题.
10.(2019·青岛质检)已知D，E，F分别为△ABC的边BC，CA，AB的中点，且＝a，＝b，给出下列命题：
①＝a－b；②＝a＋b；③＝－a＋b；④＋＋＝0.
其中正确命题的序号为________．
答案　②③④
解析　＝－＝－－＝－a－b，所以①错误；＝＋＝＋＝a＋b，故②正确；＝(＋)＝(b－a)＝－a＋b，故③正确；综上知＋＋＝＋＋＝0，故④正确.
　组　能力关
1.已知点O为△ABC的外接圆的圆心，且＋－＝0，则△ABC的内角A等于(　　)
A.30° B．60°
C．90° D．120°
答案　A
解析　因为＋－＝0，所以＝＋.所以四边形OACB是平行四边形，又因为||＝||＝||，所以四边形OACB是菱形，△OAC是等边三角形．所以∠BAC＝∠OAC＝30°.

2.在△ABC中，点D在线段BC的延长线上，且＝3，点O在线段CD上(与点C，D不重合)，若＝x＋(1－x)，则x的取值范围是(　　)
A. B.
C. D.
答案　D
解析　设＝y，∵＝＋＝＋y＝＋y(－)＝－y＋(1＋y).∵＝3，点O在线段CD上(与点C，D不重合)，∴y∈，∵＝x＋(1－x)，∴x＝－y，∴x∈.
3.点O是△ABC内一点，满足条件＝2＋3，延长BO交AC于点D，则的值为(　　)
A. B.
C. D.
答案　B
解析　解法一：如图(1)，分别取BC，AC的中点为E，F，连接EF.∵＝2＋3，∴－＝2(＋)，即＋＝－2(＋)，∴2＝－2·2，∴＝－2.故O在△ABC的中位线EF上，且OF＝2OE.过点E作EH∥CD，交BD于点H，则H为BD的中点，EH＝CD＝DF，因此CD＝DF，CD∶AD＝1∶3，∴＝＝.故选B.

解法二：∵＋2＋3＝0，令2＝，3＝，∴＋＋＝0，∴O是△AB′C′的重心，如图(2)，延长B′O交AC′于点F，则AF＝FC′.过点C作CE∥AC′，交BF于点E，
∴＝＝＝＝，∴＝＝.故选B.
4．在平面向量中有如下定理：设点O，P，Q，R为同一平面内的点，则P，Q，R三点共线的充要条件是：存在实数t，使＝(1－t)＋t.试利用该定理解答下列问题：如图，在△ABC中，点E为AB边的中点，点F在AC边上，且CF＝2FA，BF交CE于点M，设＝x＋y，则x＋y＝________.

答案　
解析　因为B，M，F三点共线，所以存在实数t，使得＝(1－t)·＋t，又＝2，＝，所以＝2(1－t)＋t.又E，M，C三点共线，所以2(1－t)＋t＝1，得t＝.所以＝2(1－t)＋t＝＋，所以x＝，y＝，所以x＋y＝.