2021届山东高考数学一轮创新教学案：第8章　第6讲　双曲线


第6讲　双曲线
[考纲解读]　1.掌握双曲线的定义、几何图形和标准方程，知道其简单的几何性质(范围、对称性、顶点、离心率、渐近线)．(重点)
2．掌握直线与双曲线位置关系的判断，并能求解与双曲线有关的简单问题，理解数形结合思想在解决问题中的应用．(难点)
[考向预测]　从近三年高考情况来看，本讲是高考中的热点．预测2021年高考会考查：①双曲线定义的应用与标准方程的求解；②渐近线方程与离心率的求解．试题以客观题的形式呈现，难度不大，以中档题为主．

1.双曲线的定义
平面内与两个定点F1，F2(|F1F2|＝2c>0)的距离的差的绝对值为常数(小于|F1F2|且不等于零)的点的轨迹叫做双曲线．这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做双曲线的焦距．
集合P＝{M|||MF1|－|MF2||＝2a}，|F1F2|＝2c，其中a，c为常数且a>0，c>0：
(1)当ac时，P点不存在．
2.双曲线的标准方程和几何性质
标准方程
－＝1
(a>0，b>0)
－＝1
(a>0，b>0)
图形


标准方程
－＝1
(a>0，b>0)
－＝1
(a>0，b>0)
性质
范围
x≥a或x≤－a，y∈R
x∈R，y≤－a或y≥a
对称性
对称轴：坐标轴　对称中心：原点
顶点
A1(－a,0)，A2(a,0)
A1(0，－a)，
A2(0，a)
焦点
F1(－c,0)，F2(c,0)
F1(0，－c)，
F2(0，c)
渐近线
y＝±x
y＝±x
离心率
e＝，e∈(1，＋∞)，其中c＝
实虚轴
实轴：|A1A2|＝2a；虚轴：|B1B2|＝2b
a，b，c的关系
c2＝a2＋b2(c>a>0，c>b>0)
3.必记结论
(1)焦点到渐近线的距离为b.
(2)等轴双曲线：实轴长和虚轴长相等的双曲线叫等轴双曲线，其方程可写作：x2－y2＝λ(λ≠0)．
(3)等轴双曲线⇔离心率e＝⇔两条渐近线y＝±x相互垂直．

1.概念辨析
(1)平面内到点F1(0,4)，F2(0，－4)距离之差等于6的点的轨迹是双曲线．(　　)
(2)双曲线方程－＝λ(m>0，n>0，λ≠0)的渐近线方程是－＝0，即±＝0.(　　)
(3)方程－＝1(mn>0)表示焦点在x轴上的双曲线．(　　)
(4)若双曲线－＝1(a>0，b>0)与－＝1(a>0，b>0)的离心率分别是e1，e2，则＋＝1(此结论中两条双曲线为共轭双曲线)．(　　)
答案　(1)×　(2)√　(3)×　(4)√
2.小题热身
(1)设双曲线C的两个焦点分别为(－2,0)，(2,0)，一个顶点是(，0)，则C的方程为________．
答案　－＝1
解析　由题意，得双曲线C的焦点在x轴上，设其方程为－＝1(a>0，b>0)，由已知得a＝，c＝2，所以b2＝c2－a2＝2，b＝，所以C的方程为－＝1.
(2)设P是双曲线－＝1上一点，F1，F2分别是双曲线左、右两个焦点，若|PF1|＝9，则|PF2|＝________.
答案　17
解析　由题意知|PF1|＝90)的离心率为，则a＝________.
答案　4
解析　由已知，b2＝4，e＝＝，即＝2＝，又因为a2＋b2＝c2，所以＝，a2＝16，a＝4.
(4)设双曲线－＝1(a>0，b>0)的虚轴长为2，焦距为2，则双曲线的渐近线方程为________．
答案　y＝±x
解析　由已知，得2b＝2,2c＝2，所以b＝1，c＝，所以a＝＝，所以双曲线－＝1的渐近线方程为y＝±x，即y＝±x.

题型一　双曲线的定义及应用　

1.若双曲线－＝1的左焦点为F，点P是双曲线右支上的动点，A(1,4)，则|PF|＋|PA|的最小值是(　　)
A.8 B．9
C．10 D．12
答案　B
解析　由题意知，双曲线－＝1的左焦点F的坐标为(－4,0)，设双曲线的右焦点为B，则B(4,0)，由双曲线的定义知|PF|＋|PA|＝4＋|PB|＋|PA|≥4＋|AB|＝4＋＝4＋5＝9，当且仅当A，P，B三点共线且P在A，B之间时取等号．
∴|PF|＋|PA|的最小值为9.故选B.
2.已知F1，F2为双曲线C：x2－y2＝2的左、右焦点，点P在C上，|PF1|＝2|PF2|，则cos∠F1PF2＝________.
答案　
解析　由已知条件及双曲线的定义得|PF1|－|PF2|＝|PF2|＝2a＝2，∴|PF1|＝2|PF2|＝4，
则cos∠F1PF2＝
＝＝.
条件探究　将本例中的条件“|PF1|＝2|PF2|”改为“∠F1PF2＝60°”，则△F1PF2的面积为________．
答案　2
解析　不妨设点P在双曲线的右支上，则|PF1|－|PF2|＝2a＝2，在△F1PF2中，由余弦定理，得|F1F2|2＝|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1||PF2|cos∠F1PF2＝(|PF1|－|PF2|)2＋|PF1||PF2|，所以42＝(2)2＋|PF1||PF2|.∴|PF1||PF2|＝8，
∴S△F1PF2＝|PF1||PF2|sin60°＝2.

1.利用双曲线的定义需注意的问题
在双曲线的定义中，要注意双曲线上的点(动点)具备的几何条件，即“到两定点(焦点)的距离之差的绝对值为一常数，且该常数必须小于两定点间的距离”．若定义中的“绝对值”去掉，点的轨迹是双曲线的一支．同时需注意定义的转化应用.
2.利用焦点三角形需注意的问题
在焦点三角形中，注意定义、余弦定理的活用，常将||PF1|－|PF2||＝2a两边平方，建立与|PF1|·|PF2|有关的方程．见举例说明2及条件探究.

1.设P为双曲线x2－＝1右支上一点，M，N分别是圆(x＋4)2＋y2＝4和(x－4)2＋y2＝1上的点，设|PM|－|PN|的最大值和最小值分别为m，n，则|m－n|＝(　　)
A.4 B．5
C．6 D．7
答案　C
解析　易知双曲线的两焦点为F1(－4,0)，F2(4,0)，恰为两个圆的圆心，两个圆的半径分别为2,1，所以|PM|max＝|PF1|＋2，|PN|min＝|PF2|－1，所以|PM|－|PN|的最大值为(|PF1|＋2)－(|PF2|－1)＝(|PF1|－|PF2|)＋3＝5，同理|PM|－|PN|的最小值为(|PF1|－2)－(|PF2|＋1)＝(|PF1|－|PF2|)－3＝－1，所以|m－n|＝6.
2.(2020·广东普宁市华侨中学月考)过双曲线x2－＝1的左焦点F1作一条直线l交双曲线左支于P，Q两点，若|PQ|＝4，F2是双曲线的右焦点，则△PF2Q的周长是________．
答案　12
解析　由双曲线的定义知，|PF2|－|PF1|＝2a＝2，|QF2|－|QF1|＝2a＝2，所以|PF2|＋|QF2|－(|PF1|＋|QF1|)＝4，又|PQ|＝4，所以|PF2|＋|QF2|－4＝4，|PF2|＋|QF2|＝8，所以△PF2Q的周长是|PF2|＋|QF2|＋|PQ|＝12.
题型二　双曲线的标准方程及应用

1.已知动圆M与圆C1：(x＋4)2＋y2＝2外切，与圆C2：(x－4)2＋y2＝2内切，则动圆圆心M的轨迹方程为(　　)
A.－＝1(x≥ ) B.－＝1(x≤－)
C.＋＝1(x≥ ) D.＋＝1(x≤－)
答案　A
解析　设动圆的半径为r，由题意可得|MC1|＝r＋，|MC2|＝r－，所以|MC1|－|MC2|＝2＝2a，故由双曲线的定义可知动点M在以C1(－4,0)，C2(4,0)为焦点，实轴长为2a＝2的双曲线的右支上，即a＝，c＝4⇒b2＝16－2＝14，
故其标准方程为－＝1(x≥).
2.根据下列条件，求双曲线的标准方程：
(1)虚轴长为12，离心率为；
(2)与已知双曲线x2－4y2＝4有共同渐近线且经过点(2,2)；
(3)经过两点P(－3,2)和Q(－6，－7)．
解　(1)设双曲线的标准方程为
－＝1或－＝1(a>0，b>0)．
由题意知，2b＝12，e＝＝，∴b＝6，c＝10，a＝8.
∴双曲线的标准方程为－＝1或－＝1.
(2)由已知，可设双曲线方程为x2－4y2＝λ(λ≠0)，
因为此双曲线经过点(2,2)，所以22－4×22＝λ，
解得λ＝－12，
所以双曲线方程为x2－4y2＝－12，即－＝1.
(3)设双曲线方程为mx2－ny2＝1(mn>0)．
∴解得
∴双曲线的标准方程为－＝1.

求双曲线标准方程的两种方法
(1)定义法：依定义得出距离之差的等量关系式，求出a的值，由定点位置确定c的值．见举例说明1.
(2)待定系数法：设出双曲线方程的标准形式，根据已知条件，列出参数a，b，c的方程并求出a，b，c的值．见举例说明2(1)．与双曲线－＝1有相同渐近线时，可设所求双曲线方程为－＝λ(λ≠0)．见举例说明2(2)．
注意：求双曲线的标准方程时，若焦点位置不确定，要注意分类讨论．也可以设双曲线方程为mx2－ny2＝1(mn>0)求解．见举例说明2(3)．

1.(2019·昆明模拟)已知双曲线C的一个焦点坐标为(，0)，渐近线方程为y＝±x，则C的方程是(　　)
A.x2－＝1 B.－y2＝1
C.－x2＝1 D．y2－＝1
答案　B
解析　因为双曲线C的一个焦点坐标为(，0)，所以c＝，又因为双曲线C的渐近线方程为y＝±x，所以有＝⇒a＝b，c＝，而c＝，所以解得a＝，b＝1，因此双曲线C的方程为－y2＝1.
2.设F1和F2分别为双曲线－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点，若F1，F2，P(0,2b)为等边三角形的三个顶点，且双曲线经过点Q(，)，则该双曲线的方程为(　　)
A.x2－＝1 B.－＝1
C.－＝1 D.－＝1
答案　D
解析　F1和F2分别为双曲线－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点，

∵F1，F2，P(0,2b)构成正三角形，
∴2b＝c，即有3c2＝4b2＝3(a2＋b2)，∴b2＝3a2.∵双曲线－＝1过点Q(，)，
∴－＝1，解得a2＝4，∴b2＝12，
∴双曲线的方程为－＝1.故选D.
题型三　双曲线的几何性质　

角度1　双曲线的焦点、焦距、实轴、虚轴、顶点及范围问题
1.已知M(x0，y0)是双曲线C：－y2＝1上的一点，F1，F2是C的两个焦点．若·0)的实轴长是虚轴长的倍，则双曲线C的渐近线方程为(　　)
A.y＝±2x B．y＝±x
C.y＝±x D．y＝±x
答案　B
解析　∵双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的实轴长是虚轴长的倍，∴b＝a，∴双曲线C的渐近线方程为y＝±x，故选B.
4.(2019·长沙模拟)已知F1，F2是双曲线C：y2－x2＝1的上、下焦点，点P是其一条渐近线上一点，且以F1F2为直径的圆经过点P，则△PF1F2的面积为(　　)
A. B．1
C. D．2
答案　C
解析　不妨设点P(x0，x0)在渐近线y＝x上．因为点P(x0，x0)在圆x2＋y2＝2上，所以|x0|＝1，所以S△PF1F2＝×2×1＝.故选C.
角度3　与双曲线离心率有关的问题
5.(2019·全国卷Ⅰ)双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的一条渐近线的倾斜角为130°，则C的离心率为(　　)
A.2sin40° B．2cos40°
C. D.
答案　D
解析　由题意，得－＝tan130°，所以e＝ ＝＝ ＝＝.故选D.

1.与双曲线有关的范围问题的解题思路
(1)若条件中存在不等关系，则借助此关系直接转化求解．见举例说明1.
(2)若条件中没有不等关系，要善于发现隐含的不等关系，如借助双曲线上点的坐标范围，方程中Δ≥0等来解决．
2.与双曲线离心率、渐近线有关问题的解题策略
(1)双曲线的离心率e＝是一个比值，故只需根据条件得到关于a，b，c的一个关系式，利用b2＝c2－a2消去b，然后变形成关于e的关系式，并且需注意e>1.
(2)双曲线－＝1(a>0，b>0)的渐近线是令－＝0，即得两渐近线方程±＝0.
(3)渐近线的斜率也是一个比值，可类比离心率的求法解答．

1.(2020·潍坊高三月考)双曲线C：－＝λ(λ≠0)，当λ变化时，以下说法正确的是(　　)
A.焦点坐标不变 B．顶点坐标不变
C.渐近线不变 D．离心率不变
答案　C
解析　当λ>0时，双曲线的焦点和顶点在x轴上，当λ0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，过F2且与渐近线垂直的直线分别与该渐近线和y轴相交于A，B两点，O为坐标原点，若＝2，则双曲线的离心率为(　　)
A. B.
C．2 D.
答案　B
解析　由题意，知|F2A|＝＝b，又＝2，则|AB|＝，|OA|＝＝＝a，所以a2＝，得2a2＝c2－a2，即3a2＝c2，e2＝＝3，从而e＝.故选B.
3.已知双曲线－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，点P在双曲线的右支上，且|PF1|＝4|PF2|，则双曲线离心率的取值范围是(　　)
A.(，2] B．(1，]
C.(1,2] D.[，＋∞)
答案　B
解析　由双曲线定义，知|PF1|－|PF2|＝2a，结合|PF1|＝4|PF2|，得|PF2|＝，从而≥c－a，得≥c，所以e＝≤，又双曲线的离心率大于1，所以双曲线离心率的取值范围为(1，].
题型四　直线与双曲线的综合问题

1.过双曲线M：x2－＝1的左焦点F作圆C：x2＋(y－3)2＝的切线，此切线与M的左支、右支分别交于A，B两点，则线段AB的中点到x轴的距离为(　　)
A.2 B．3
C．4 D．5
答案　B
解析　由题意知，切线过双曲线的左焦点F(－2,0)，且切线斜率存在，不妨设切线方程为y－0＝k(x＋2)，易知＝，解得k＝1或k＝.当k＝时，切线不与双曲线M的右支相交，故舍去，所以切线方程为y＝x＋2，与双曲线方程联立，消元得2y2－12y＋9＝0，所以y1＋y2＝6，即线段AB中点的纵坐标为3，所以线段AB的中点到x轴的距离为3.
2.已知双曲线C：x2－y2＝1及直线l：y＝kx－1.
(1)若l与C有两个不同的交点，求实数k的取值范围；
(2)若l与C交于A，B两点，O是坐标原点，且△AOB的面积为，求实数k的值．
解　(1)若双曲线C与直线l有两个不同的交点，
则方程组有两个不同的实数根，
整理得(1－k2)x2＋2kx－2＝0，
所以
解得－x2时，S△OAB＝S△ODA＋S△OBD＝(|x1|＋|x2|)＝|x1－x2|.
所以S△OAB＝|x1－x2|＝，
所以(x1－x2)2＝(x1＋x2)2－4x1x2＝(2)2，
即2＋＝8，解得k＝0或k＝±.
又因为－0)的右焦点F的坐标为(c,0)．由圆的对称性及条件|PQ|＝|OF|可知，PQ是以OF为直径的圆的直径，且PQ⊥OF.设垂足为M，连接OP，如图，则|OP|＝a，|OM|＝|MP|＝.由|OM|2＋|MP|2＝|OP|2得2＋2＝a2，故＝，即e＝.故选A.

7.已知双曲线C：x2－＝1，经过点M(2,1)的直线l交双曲线C于A，B两点，且M为AB的中点，则直线l的方程为(　　)
A.8x－y－15＝0 B．8x＋y－17＝0
C.4x＋y－9＝0 D．4x－y－7＝0
答案　A
解析　设A，B的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，则两式相减得4(x1＋x2)(x1－x2)－(y1＋y2)(y1－y2)＝0.
因为M(2,1)是线段AB的中点，所以x1＋x2＝4，y1＋y2＝2.所以16(x1－x2)－2(y1－y2)＝0，所以kAB＝＝＝8，故直线l的方程为y－1＝8(x－2)，即8x－y－15＝0.
8.(2019·华中师大第一附中模拟)若过双曲线－＝1(a>0，b>0)的右焦点F且斜率为1的直线与双曲线有且只有一个交点，则该双曲线的离心率为________．
答案　
解析　因为过点F且斜率为1的直线与双曲线有且只有一个交点，所以该直线与双曲线的渐近线y＝x平行，即＝1，所以离心率e＝＝.
9.(2020·武汉摸底)已知双曲线x2－＝1的左顶点为A1，右焦点为F2，P为双曲线右支上一点，则·的最小值为________．
答案　－2
解析　由题意可知A1(－1,0)，F2(2,0)．设P(x，y)(x≥1)，
则＝(－1－x，－y)，＝(2－x，－y)，·＝x2－x－2＋y2＝x2－x－2＋3(x2－1)＝4x2－x－5.因为x≥1，函数f(x)＝4x2－x－5的图象的对称轴为x＝，所以当x＝1时，·取得最小值－2.
10.P是双曲线－＝1右支上一点，F1，F2分别为左、右焦点，且焦距为2c，则△PF1F2的内切圆圆心的横坐标是________．
答案　a
解析　∵点P是双曲线右支上一点，
∴由双曲线的定义，得|PF1|－|PF2|＝2a，
若设△PF1F2的内切圆圆心在x轴上的投影为A(x,0)，则该点也是内切圆与x轴的切点．
设B，C分别为内切圆与PF1，PF2的切点．
由切线长定理，则有|PF1|－|PF2|＝(|PB|＋|BF1|)－(|PC|＋|CF2|)＝|BF1|－|CF2|＝|AF1|－|F2A|＝(c＋x)－(c－x)＝2x＝2a，所以x＝a.所以内切圆圆心的横坐标为a.
　组　能力关
1.(2019·厦门一模)已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的一个焦点为F，点A，B是C的一条渐近线上关于原点对称的两点，以AB为直径的圆过F且交C的左支于M，N两点，若|MN|＝2，△ABF的面积为8，则C的渐近线方程为(　　)
A.y＝±x B．y＝±x
C.y＝±2x D．y＝±x
答案　B
解析　设双曲线的另一个焦点为F′，由OA＝OB＝OF＝OF′＝c，知圆的方程为x2＋y2＝c2，点F(－c,0)到直线y＝－x(即bx＋ay＝0)的距离为＝b，所以S△ABF＝·2c·b＝8，即bc＝8.
由得y＝±，所以|MN|＝＝2，所以b2＝c，所以b＝2，c＝4，所以a＝2，所以C的渐近线方程为y＝±x.
2.(2019·绵阳第三次诊断性考式)已知双曲线E：－＝1(a>b>0)的两个焦点分别为F1，F2，以原点O为圆心，|OF1|为半径作圆，与双曲线E相交．若顺次连接这些交点和F1，F2恰好构成一个正六边形，则双曲线E的离心率为(　　)
A. B．2
C.＋1 D．3
答案　C
解析　解法一：如图1，点P为圆与双曲线的交点，则△POF1是等边三角形，易知点P的坐标为c，c.将其代入双曲线的方程，得×－×＝1，即×－×＝1，即×e2－×＝1，解得e2＝4＋2(e2＝4－20，b>0)的斜率为正的渐近线交于点A，双曲线的左、右焦点分别为F1，F2，若tan∠AF2F1＝，则双曲线的离心率为(　　)
A. B．2
C．4或 D．4
答案　D
解析　由得点A(2a,2b)，所以tan∠AF2F1＝＝.所以4b2＝15(4a2－4ac＋c2)，即4(c2－a2)＝15(4a2－4ac＋c2)，即64a2－60ac＋11c2＝0，所以11e2－60e＋64＝0.解得e＝4或e＝.经检验，当e＝时，tan∠AF2F1＝－，不符合题意，所以双曲线的离心率为4.
4.过双曲线x2－＝1的右焦点F作直线l交双曲线于A，B两点，若|AB|＝4，则这样的直线l有(　　)
A.1条 B．2条
C．3条 D．4条
答案　C
解析　设A(x1，y1)，B(x2，y2)，当直线l的斜率不存在时，其方程为x＝，由得y＝±2，∴|AB|＝|y1－y2|＝4满足题意．当直线l的斜率存在时，其方程为y＝k(x－)，由得(2－k2)x2＋2k2x－3k2－2＝0.当2－k2＝0时，不符合题意．
当2－k2≠0时，x1＋x2＝，x1x2＝，
|AB|＝·
＝·
＝·
＝＝4，解得k＝±.
综上可知，这样的直线有3条.
5.已知等腰三角形ABC的底边端点A，B在双曲线－＝1的右支上，顶点C在x轴上，且AB不垂直于x轴，则顶点C的横坐标t的取值范围是________．
答案　，＋∞
解析　设A(x1，y1)，B(x2，y2)，AB的中点为M(x0，y0)，则x0>.根据题意，得两式相减得(x1＋x2)(x1－x2)－2(y1＋y2)(y1－y2)＝0，于是x0(x1－x2)－2y0(y1－y2)＝0，即kAB＝＝.又kMC＝，由kMC·kAB＝·＝－1，得x0＋2(x0－t)＝0，即t＝>.
6.已知F是双曲线C：x2－＝1的右焦点，P是C的左支上一点，A(0,6)．当△APF的周长最小时，该三角形的面积为________．
答案　12
解析　如图，设双曲线的左焦点为F1，由双曲线方程x2－＝1，可知a＝1，c＝3，故F(3,0)，F1(－3,0)．
当点P在双曲线左支上运动时，由双曲线的定义知|PF|－|PF1|＝2，所以|PF|＝|PF1|＋2，从而△APF的周长为|AP|＋|PF|＋|AF|＝|AP|＋|PF1|＋2＋|AF|.
因为|AF|＝＝15为定值，
所以当|AP|＋|PF1|最小时，
△APF的周长最小，由图象可知，此时点P在线段AF1与双曲线的交点处(如图所示)．

由题意可知直线AF1的方程为
y＝2x＋6，
由
得y2＋6y－96＝0，
解得y＝2或y＝－8(舍去)，
所以S△APF＝S△AF1F－S△PF1F＝×6×6－×6×2＝12.
7.(2020·济南摸底)已知双曲线E：－＝1(a>0，b>0)的一条渐近线的方程是2x－y＝0，则双曲线E的离心率e＝________；若双曲线E的实轴长为2，过双曲线E的右焦点F可作两条直线与圆C：x2＋y2－2x＋4y＋m＝0相切，则实数m的取值范围是________．
答案　3　(－3,5)
解析　因为双曲线E的一条渐近线的方程是2x－y＝0，所以＝2，所以e＝＝ ＝ ＝＝3.又因为双曲线E的实轴长为2，所以2a＝2，即a＝1，所以c＝3，F(3，0)．由题意得右焦点F在圆C外，所以需满足条件

解得－30)，则由题意得解得
故双曲线的方程是3x2－y2＝1.
(2)联立得(3－k2)x2－2kx－2＝0，
由Δ>0且3－k2≠0，得－0)的左、右顶点，双曲线的实轴长为4，焦点到渐近线的距离为.
(1)求双曲线的方程；
(2)已知直线y＝x－2与双曲线的右支交于M，N两点，且在双曲线的右支上存在点D，使＋＝t，求t的值及点D的坐标．
解　(1)由题意，知a＝2，
∴一条渐近线为y＝x，即bx－2y＝0，
∴＝.
∴b2＝3，∴双曲线的方程为－＝1.
(2)设M(x1，y1)，N(x2，y2)，D(x0，y0)，
则x1＋x2＝tx0，y1＋y2＝ty0.
将直线方程代入双曲线方程得x2－16x＋84＝0，
则x1＋x2＝16，y1＋y2＝12.
∴∴
由＋＝t，得(16，12)＝(4t,3t)，
∴t＝4，点D的坐标为(4，3).