2021届山东高考数学一轮创新教学案：第3章　第5讲　第1课时两角和、差及倍角公式

第5讲　简单的三角恒等变换

第1课时　两角和、差及倍角公式

1.两角和与差的正弦、余弦、正切公式

(1)C(α－β)：cos(α－β)＝cosαcosβ＋sinαsinβ.

C(α＋β)：cos(α＋β)＝cosαcosβ－sinαsinβ.

(2)S(α＋β)：sin(α＋β)＝sinαcosβ＋cosαsinβ.

S(α－β)：sin(α－β)＝sinαcosβ－cosαsinβ.

(3)T(α＋β)：tan(α＋β)＝.

T(α－β)：tan(α－β)＝.

2．二倍角的正弦、余弦、正切公式

(1)S2α：sin2α＝2sinαcosα.

(2)C2α：cos2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α.

(3)T2α：tan2α＝.

3．公式的常用变形

(1)tanα±tanβ＝tan(α±β)(1∓tanαtanβ)．

(2)cos2α＝，sin2α＝.

(3)1±sin2α＝(sinα±cosα)2，sinα±cosα＝sin.

(4)asinα＋bcosα＝sin(α＋φ)，其中cosφ＝，sinφ＝，tanφ＝(a≠0)．

1．概念辨析

(1)公式C(α±β)，S(α±β)，S2α，C2α中的角α，β是任意的．(　　)

(2)存在实数α，β，使等式sin(α＋β)＝sinα＋sinβ成立．(　　)

(3)在锐角△ABC中，sinAsinB和cosAcosB大小关系不确定．(　　)

(4)公式tan(α＋β)＝可以变形为tanα＋tanβ＝tan(α＋β)(1－tanαtanβ)，且对任意角α，β都成立．(　　)

(5)对任意角α都有1＋sin＝2.(　　)

答案　(1)√　(2)√　(3)×　(4)×　(5)√

2．小题热身

(1)若cosα＝－，α是第三象限的角，则sin＝(　　)

A．－   B.

C．－   D.

答案　C

解析　因为cosα＝－，α是第三象限的角，

所以sinα＝－＝－，

所以sin＝sinαcos＋cosαsin

＝×＋×＝－.

(2)计算：cos(α＋β)cosβ＋sin(α＋β)sinβ＝(　　)

A．sin(α＋2β)  B．sinα

C．cos(α＋2β)  D．cosα

答案　D

解析　cos(α＋β)cosβ＋sin(α＋β)sinβ＝cos[(α＋β)－β]＝cosα.

(3)已知cosx＝，则cos2x＝(　　)

A．－   B.

C．－   D.

答案　D

解析　cos2x＝2cos2x－1＝2×2－1＝.

(4)在平面直角坐标系xOy中，角α与角β均以Ox为始边，它们的终边关于y轴对称．若tanα＝，则tan(α－β)的值为(　　)

A．0   B. 

C.   D.

答案　D

解析　由角α与角β的始边相同，终边关于y轴对称可知tanα＝－tanβ.又tanα＝，所以tanβ＝－，

所以tan(α－β)＝＝＝，故选D.

题型 一　两角和、差及倍角公式的直接应用

1．(2019·全国卷Ⅰ)tan255°＝(　　)

A．－2－  B．－2＋

C．2－  D．2＋

答案　D

解析　tan255°＝tan(180°＋75°)＝tan75°＝tan(45°＋30°)＝＝＝2＋.故选D.

2．(2019·长沙模拟)在平面直角坐标系xOy中，角θ的顶点在原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边过点，则cos＝________.

答案　－1

解析　由已知条件，得cosθ＝，sinθ＝，所以cos2θ＝cos2θ－sin2θ＝－，sin2θ＝2sinθcosθ＝，

所以cos＝cos2θcos－sin2θsin＝－×－×＝－1.

3．已知α∈，sinα＝，则sin的值为________．

答案　

解析　因为α∈，sinα＝.

所以cosα＝－＝－.

所以sin2α＝2sinαcosα＝－，

cos2α＝cos2α－sin2α＝，

所以sin＝sincos2α－cossin2α

＝×－×＝.

应用三角公式化简求值的策略

(1)使用两角和、差及倍角公式，首先要记住公式的结构特征和符号变化规律．例如两角差的余弦公式可简记为：“同名相乘，符号反”．如举例说明2.

(2)使用公式求值，应注意与同角三角函数基本关系、诱导公式的综合应用．如举例说明1,3.

(3)使用公式求值，应注意配方法、因式分解和整体代换思想的应用.

1.(2019·石家庄质检)若sin(π－α)＝，且≤α≤π，则sin2α的值为(　　)

A.－  B．－ 

C.   D.

答案　A

解析　∵sin(π－α)＝，∴sinα＝，又≤α≤π，

∴cosα＝－＝－，

∴sin2α＝2sinαcosα＝2××＝－.

2.(2019·武威模拟)已知角α在第二象限，若sinα＝，则tan2α＝(　　)

A.   B.

C．－  D．－

答案　C

解析　因为α是第二象限角，且sinα＝，

所以cosα＝－＝－.

所以tanα＝＝－.

所以tan2α＝＝＝－.

3.若sin(α＋β)＝，sin(α－β)＝，则等于(　　)

A.5  B．－1

C．6   D.

答案　A

解析　由题意可得sinαcosβ＋cosαsinβ＝，

sinαcosβ－cosαsinβ＝，解得sinαcosβ＝，

cosαsinβ＝，∴＝5.

题型 二　两角和、差及倍角公式的逆用和变形用

1.计算－sin133°cos197°－cos47°cos73°的结果为(　　)

A.   B. 

C.   D.

答案　A

解析　－sin133°cos197°－cos47°cos73°

＝－sin47°(－cos17°)－cos47°sin17°

＝sin(47°－17°)＝sin30°＝.

2.(1＋tan18°)(1＋tan27°)的值是(　　)

A.  B．1＋

C.2  D．2(tan18°＋tan27°)

答案　C

解析　(1＋tan18°)(1＋tan27°)

＝1＋tan18°＋tan27°＋tan18°tan27°

＝1＋tan45°(1－tan18°tan27°)＋tan18°tan27°＝2.

3.已知sinα＋cosα＝，则cos4α＝________.

答案　

解析　由sinα＋cosα＝，得sin2α＋cos2α＋2sinαcosα＝1＋sin2α＝，所以sin2α＝，从而cos4α＝1－2sin22α＝1－2×2＝.

1.注意三角函数公式逆用和变形用的两个问题

(1)公式逆用时一定要注意公式成立的条件和角之间的关系．

(2)注意特殊角的应用，当式子中出现，1，，等这些数值时，一定要考虑引入特殊角，把“值变角”构造适合公式的形式．

2.熟记三角函数公式的两类变式

(1)和差角公式变形

sinαsinβ＋cos(α＋β)＝cosαcosβ，

cosαsinβ＋sin(α－β)＝sinαcosβ，

tanα±tanβ＝tan(α±β)·(1∓tanαtanβ)．如举例说明2.

(2)倍角公式变形

降幂公式cos2α＝，sin2α＝，

配方变形：1±sinα＝2,1＋cosα＝2cos2，1－cosα＝2sin2.

1.若x∈[0，π]，sinsin＝coscos，则x的值是(　　)

A.   B. 

C.   D.

答案　D

解析　由已知得，coscos－sinsin＝cosx＝0.∵x∈[0，π]，∴x＝.

2.已知α，β，γ∈，且sinα＋sinγ＝sinβ，cosβ＋cosγ＝cosα，那么β－α＝(　　)

A.  B．－ 

C.  D．±

答案　C

解析　由已知得sinα－sinβ＝－sinγ，①

cosα－cosβ＝cosγ，②

由①2＋②2得2－2(sinαsinβ＋cosαcosβ)＝1，

所以cos(β－α)＝.

因为α，β∈，所以β－α∈，

因为γ∈，所以sinα－sinβ＝－sinγ<0，

所以α<β，所以β－α∈，所以β－α＝.

3.已知atanα＋b＝(a－btanα)tanβ，且α＋与β的终边相同，则的值为(　　)

A.   B. 

C.   D.

答案　B

解析　已知等式可化为atanα＋b＝atanβ－btanαtanβ，

即b(1＋tanαtanβ)＝a(tanβ－tanα)，

∴＝＝tan(β－α)，

又α＋与β的终边相同，

即β＝2kπ＋α＋(k∈Z)，

∴tan(β－α)＝tan＝tan＝，

即＝，故选B.

题型 三　两角和、差及倍角公式的灵活应用 

角度1　角的变换

1.(2019·南开区模拟)已知0<α＜<β<π，cos＝，sin(α＋β)＝.

(1)求sin2β的值；

(2)求cos的值．

解　(1)sin2β＝cos＝2cos2－1＝－.

(2)因为0<α<<β<π，所以<α＋β<，

所以sin>0，cos(α＋β)<0，

因为cos＝，sin(α＋β)＝，

所以sin＝，cos(α＋β)＝－，

所以cos＝cos＝cos(α＋β)·cos＋sin(α＋β)sin＝×＋×＝.

角度2　函数名称的变换

2.求值：(1)＝________；

(2)－sin10°＝________.

答案　(1)　(2)

解析　(1)＝

＝＝＝.

(2)原式＝－sin10°·

＝－sin10°·

＝－sin10°·

＝－2cos10°＝

＝

＝＝＝.

三角公式应用中变“角”与变“名”问题的解题思路

(1)角的变换：明确各个角之间的关系(包括非特殊角与特殊角、已知角与未知角)，熟悉角的变换技巧，及半角与倍角的相互转化，如：2α＝(α＋β)＋(α－β)，α＝(α＋β)－β＝(α－β)＋β，40°＝60°－20°，＋＝，＝2×等．如举例说明1.

(2)名的变换：明确各个三角函数名称之间的联系，常常用到同角关系、诱导公式，把正弦、余弦化为正切，或者把正切化为正弦、余弦．如举例说明2.

1.已知α是第四象限角，且sin＝，则sin＝________.

答案　－

解析　因为α是第四象限角，sin＝>0，

所以α＋是第一象限角，所以cos＝＝，所以sin＝sin＝sin－cos＝×－×＝－.

2.(2019·吉林第三次调研)若sin＝，则cos2＝________.

答案　

解析　因为sin＝sin＝cos＝，

所以cos2＝＝＝.

3.(2018·江苏高考)已知α，β为锐角，tanα＝，cos(α＋β)＝－.

(1)求cos2α的值；

(2)求tan(α－β)的值．

解　(1)因为tanα＝，tanα＝，所以sinα＝cosα.

因为sin2α＋cos2α＝1，所以cos2α＝，

因此，cos2α＝2cos2α－1＝－.

(2)因为α，β为锐角，所以α＋β∈(0，π)．

又因为cos(α＋β)＝－，

所以sin(α＋β)＝＝，

因此tan(α＋β)＝－2.

因为tanα＝，所以tan2α＝＝－，

因此，tan(α－β)＝tan[2α－(α＋β)]

＝＝－.

思想方法　三角恒等变换中的拆角、凑角思想

[典例1]　(2019·濮阳模拟)设0°<α<90°，若sin(75°＋2α)＝－，则sin(15°＋α)sin(75°－α)＝(　　)

A.   B.

C．－  D．－

答案　B

解析　因为0°<α<90°，所以75°<75°＋2α＜255°，

又因为sin(75°＋2α)＝－<0，

所以180°<75°＋2α<255°，角75°＋2α为第三象限角，所以cos(75°＋2α)＝－.

所以sin(15°＋α)sin(75°－α)＝sin(15°＋α)cos(15°＋α)＝sin(30°＋2α)＝sin[(75°＋2α)－45°]＝[sin(75°＋2α)cos45°－cos(75°＋2α)sin45°]＝×＝，故选B.

[典例2]　若tanα＝，tan(α＋β)＝，则tanβ＝________.

答案　

解析　因为tanα＝，tan(α＋β)＝，

所以tanβ＝tan[(α＋β)－α]

＝

＝＝.

方法指导　三角变换的关键是找到条件和结论中的角和式子结构之间的联系．变换中可以通过适当地拆角、凑角或对式子整体变形达到目的.

　组　基础关

1.(2019·潍坊模拟)若cos＝－，则cos2α＝(　　)

A.－  B．－ 

C.  D.

答案　C

解析　因为cos＝－sinα＝－，所以sinα＝，所以cos2α＝1－2sin2α＝1－2×＝.

2.(2020·武威摸底)已知角α的终边经过点P(－1，)，则sin2α的值为(　　)

A.  B．－

C．－  D．－

答案　B

解析　因为角α的终边经过点P(－1，)，所以由任意角三角函数的定义知，sinα＝，cosα＝－，所以sin2α＝2sinαcosα＝－.

3.sin(65°－x)cos(x－20°)＋cos(65°－x)cos(110°－x)的值为(　　)

A.   B. 

C.   D.

答案　B

解析　原式＝sin(65°－x)cos(x－20°)＋cos(65°－x)cos[90°－(x－20°)]＝sin(65°－x)cos(x－20°)＋cos(65°－x)sin(x－20°)＝sin[(65°－x)＋(x－20°)]＝sin45°＝.

4.(2019·全国卷Ⅲ)函数f(x)＝2sinx－sin2x在[0,2π]的零点个数为(　　)

A.2  B．3

C．4  D．5

答案　B

解析　令f(x)＝0，得2sinx－sin2x＝0，即2sinx－2sinxcosx＝0，∴2sinx(1－cosx)＝0，∴sinx＝0或cosx＝1.又x∈[0,2π]，∴由sinx＝0得x＝0，π或2π，由cosx＝1得x＝0或2π.故函数f(x)的零点为0，π，2π，共3个．故选B.

5.的值为(　　)

A.2＋  B．2－

C．2   D.

答案　B

解析　原式＝＝＝＝＝＝2－.

6.(2019·六安模拟)已知sinα－2cosα＝，则tan2α＝(　　)

A.－   B.

C.－   D.或－

答案　B

解析　因为sinα－2cosα＝，所以(sinα－2cosα)2＝，即sin2α－4sinαcosα＋4cos2α＝.

可得＝，

所以＝，解得tanα＝－3或tanα＝.当tanα＝－3时，tan2α＝＝＝.当tanα＝时，tan2α＝＝＝.

7.已知cos＝，则cosx＋cos＝(　　)

A.   B. 

C.   D.

答案　D

解析　cosx＋cos＝cos＋cos＝2coscos＝，故选D.

8.(2019·河南六市联考)已知tan＝2，x是第三象限角，则cosx＝________.

答案　－

解析　因为tan＝2，所以＝2，解得tanx＝，即sinx＝cosx，又sin2x＋cos2x＝1，所以cos2x＝，又x是第三象限角，所以cosx＝－.

9.化简：·＝________.

答案　

解析　原式＝tan(90°－2α)·＝·＝·＝.

10.定义运算＝ad－bc.若cosα＝，＝，0<β<α<，则β＝________.

答案　

解析　依题意有sinαcosβ－cosαsinβ＝sin(α－β)＝.又0<β<α<，∴0<α－β<，故cos(α－β)＝＝，而cosα＝，∴sinα＝，于是sinβ＝sin[α－(α－β)]＝sinαcos(α－β)－cosαsin(α－β)＝×－×＝，故β＝.

　组　能力关

1.(2019·辽宁五校协作体模拟)若sin＝，则cos＝(　　)

A.   B.

C．－  D．－

答案　D

解析　∵sin＝，∴cos＝，

∴cos＝cos＝2cos2－1＝－.

2.(2019·银川一中模拟)在数学解题中，常会碰到形如“”的结构，这时可类比正切的和角公式．如：设a，b是非零实数，且满足＝tan，则＝(　　)

A.4   B.

C．2   D.

答案　D

解析　∵tan＝＝tan，且tanθ＝，∴＋θ＝kπ＋，∴θ＝kπ＋，k∈Z，∴tanθ＝tan＝.∴＝.

3.已知α为第二象限角，且tanα＋tan＝2tanαtan－2，则sin等于(　　)

A.－   B.

C．－   D.

答案　C

解析　tanα＋tan＝2tanαtan－2⇒＝－2⇒tan＝－2，∵α是第二象限角，∴sin＝，cos＝－，则sin＝－sin＝－sin＝cos·sin－sin·cos＝－.

4.(2018·浙江高考)已知角α的顶点与原点O重合，始边与x轴的非负半轴重合，它的终边过点P.

(1)求sin(α＋π)的值；

(2)若角β满足sin(α＋β)＝，求cosβ的值．

解　(1)由角α的终边过点P，得

sinα＝－，所以sin(α＋π)＝－sinα＝.

(2)由角α的终边过点P，得cosα＝－，

由sin(α＋β)＝得cos(α＋β)＝±.

由β＝(α＋β)－α得

cosβ＝cos(α＋β)cosα＋sin(α＋β)sinα，

所以cosβ＝－或cosβ＝.

5.已知coscos＝－，α∈.

(1)求sin2α的值；

(2)求tanα－的值．

解　(1)coscos

＝cossin

＝sin＝－，即sin＝－.

∵α∈，∴2α＋∈，

∴cos＝－，

∴sin2α＝sin＝sincos－cossin＝－×－×＝.

(2)∵α∈，∴2α∈，

又由(1)知sin2α＝，∴cos2α＝－.

∴tanα－＝－＝＝＝－2×＝2.