浙教版八年级上册第2章 特殊三角形2.5 逆命题和逆定理学案

这是一份浙教版八年级上册第2章 特殊三角形2.5 逆命题和逆定理学案，共4页。
A组


1．下列说法中，正确的是(A)


A． 每一个命题都有逆命题


B． 假命题的逆命题一定是假命题


C． 每一个定理都有逆定理


D． 假命题没有逆命题


2．下列命题的逆命题为真命题的是(C)


A． 直角都相等


B． 钝角都小于180°


C． 若x2＋y2＝0，则x＝y＝0


D． 同位角相等


3．下列定理中，有逆定理的是(D)


A． 对顶角相等


B． 同角的余角相等


C． 全等三角形的对应角相等


D． 在一个三角形中，等边对等角





(第4题)





4．如图，AC＝AD，BC＝BD，则有(A)


A． AB垂直平分CD


B． CD垂直平分AB


C． AB与CD互相垂直平分


D． CD平分∠ACB


5．写出下列命题的逆命题，并判断逆命题的真假，若是假命题，请举出反例．


(1)若x＝y＝0，则x＋y＝0．


(2)等腰三角形的两个底角相等．


【解】 (1)逆命题：若x＋y＝0，则x＝y＝0．这个逆命题是假命题．反例：当x＝－1，y＝1时，x＋y＝0，但x≠0，y≠0．


(2)逆命题：有两个角相等的三角形是等腰三角形．这个逆命题是真命题．


6．写出下列各命题的逆命题，并判断原命题和逆命题是不是互逆定理．


(1)相等的角是内错角．


(2)两直线平行， 同旁内角互补．


【解】 (1)“相等的角是内错角”的逆命题为“内错角相等”，原命题与逆命题都是假命题，不是互逆定理．


(2)“两直线平行，同旁内角互补”的逆命题为“同旁内角互补，两直线平行”，原命题和逆命题是互逆定理．





(第7题)


7．利用线段垂直平分线性质定理及其逆定理证明以下命题．


已知：如图，AB＝AC，DB＝DC，点E在AD上．求证：EB＝EC．


【解】 连结BC．


∵AB＝AC，∴点A在线段BC的垂直平分线上．


∵DB＝DC，∴点D在线段BC的垂直平分线上．


∴AD是线段BC的垂直平分线(两点确定一条直线)．


又∵点E在AD上，∴EB＝EC．


B组








8．写出命题“如果一个角的两边与另一个角的两边分别垂直，那么这两个角相等”的逆命题，并判断原命题和逆命题的真假．若是假命题，请举出反例．


【解】 逆命题：如果两个角相等，那么其中一个角的两边与另一个角的两边分别垂直．


原命题是假命题．


反例：如解图①，∠CAD的两边与∠EBF的两边分别垂直，但∠CAD＝45°，∠EBF＝135°，即∠CAD≠∠EBF．





(第8题解)


逆命题是假命题．


反例：如解图②，∠CAD＝∠EBF，但显然AC与BE，BF都不垂直．


9．写出命题“等腰三角形底边上的中点到两腰的距离相等”的逆命题，并证明该逆命题是真命题．


【解】 逆命题：如果一个三角形一边上的中点到另两边的距离相等，那么这个三角形是等腰三角形．


已知：如解图，在△ABC中，D是BC的中点，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，且DE＝DF．





(第9题解)


求证：△ABC为等腰三角形．


证明：连结AD．


∵D是BC的中点，


∴S△ABD＝S△ACD．


∵DE⊥AB，DF⊥AC，


∴S△ABD＝eq \f(1,2)AB·DE，


S△ACD＝eq \f(1,2)AC·DF．


又∵DE＝DF，∴AB＝AC，


∴△ABC为等腰三角形．


10．举反例说明定理“全等三角形的面积相等”没有逆定理．


【解】 逆命题：如果两个三角形的面积相等，那么这两个三角形全等．


反例：如解图所示，l1∥l2，△ABC和△BCD同底等高，


∴△ABC的面积等于△BCD的面积，但△ABC和△BCD不全等．


故该定理没有逆定理．





(第10题解)








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11．已知命题“等腰三角形底边上的中线与顶角的平分线重合”，写出它的逆命题，判断该逆命题的真假，并证明．


【解】 逆命题：一边上的中线与它所对角的平分线重合的三角形是等腰三角形．是真命题．





(第11题解)


已知：如解图，在△ABC中，BD＝CD，AD平分∠BAC．


求证：△ABC是等腰三角形．


证明：延长AD至点E，使DE＝AD，连结BE，CE．


∵BD＝CD，DE＝DA，∠BDE＝∠CDA，


∴△BDE≌△CDA(SAS)．


∴BE＝CA，∠BED＝∠CAD．


∵AD平分∠BAC，∴∠CAD＝∠BAD．


∴∠BAD＝∠BED．∴AB＝BE．∴AB＝AC．


∴△ABC是等腰三角形．