初中数学北师大版九年级上册7 相似三角形的性质第1课时课时作业

这是一份初中数学北师大版九年级上册7 相似三角形的性质第1课时课时作业，共10页。

知识点 对应高、对应角平分线、对应中线的比


1．已知△ABC∽△DEF，若△ABC与△DEF的相似比为eq \f(3,4)，则△ABC与△DEF对应角平分线的比为( )


A.eq \f(3,4) B.eq \f(4,3) C.eq \f(9,16) D.eq \f(16,9)


2．如图4－7－1，△ABC∽△A′B′C′，AD，BE分别是△ABC的高和中线，A′D′，B′E′分别是△A′B′C′的高和中线，且AD＝4，A′D′＝3，BE＝6，则B′E′的长为( )





图4－7－1


A.eq \f(3,2) B.eq \f(5,2) C.eq \f(7,2) D.eq \f(9,2)


3．已知△ABC∽△A′B′C′，AD和A′D′是它们的对应角平分线，已知AD＝8 cm，A′D′＝3 cm，则△ABC与△A′B′C′的对应高的比为________．


4．已知△ABC∽△A′B′C′，BD和B′D′是它们的对应中线，已知eq \f(AC,A′C′)＝eq \f(3,2)，B′D′＝4，则BD的长是________．


5．如图4－7－2是一个照相机成像的示意图，如果底片AB宽40 mm，焦距是60 mm，求所拍摄的2 m外景物的宽CD.





图4－7－2




















6．已知△ABC∽△A′B′C′且相似比为eq \f(1,3)，△A′B′C′∽△A″B″C″且相似比为eq \f(4,3)，则△ABC与△A″B″C″的相似比为( )


A.eq \f(1,4) B.eq \f(9,4) C.eq \f(4,9) D.eq \f(9,4)或eq \f(4,9)


7．如图4－7－3所示，某校宣传栏后面2 m处种了一排树，每隔2 m一棵，共种了6棵，小勇站在距宣传栏中间位置的垂直距离3 m处，正好看到这排树两端的树干，其余的4棵树均被挡住，那么宣传栏的长为________m．(不计宣传栏的厚度)


图4－7－3 图4－7－4


8．[2016·安顺] 如图4－7－4，矩形EFGH内接于△ABC，且边FG落在BC上，若AD⊥BC，BC＝3，AD＝2，EF＝eq \f(2,3)EH，则EH的长为________．


9．某高中学校为高一新生设计的学生板凳的正面示意图如图4－7－5所示．其中BA＝CD，BC＝20 cm，BC，EF平行于地面AD且到地面AD的距离分别为40 cm，8 cm，为使板凳两腿底端A，D之间的距离为50 cm，那么横梁EF应为多长？(材质及其厚度等暂忽略不计)





图4－7－5














10．如图4－7－6，△ABC是一张锐角三角形的硬纸片，AD是边BC上的高，BC＝40 cm，AD＝30 cm，从这张硬纸片上剪下一个长HG是宽HE的2倍的矩形EFGH，使它的一边EF在BC上，顶点G，H分别在AC，AB上，AD与HG的交点为M.


(1)求证：eq \f(AM,AD)＝eq \f(HG,BC)；


(2)求矩形EFGH的周长．





图4－7－6

















11．如图4－7－7所示，有一侦察员在距敌方200 m的A处发现敌人的一座建筑物DE，但不知其高度，又不能靠近建筑物测量，机灵的侦察员将食指竖直举在右眼前，闭上左眼，并将食指前后移动，使食指恰好能将建筑物遮住．若此时眼睛到食指的距离约为40 cm，食指的长约为8 cm，你能根据上述条件计算出敌方建筑物DE的高度吗？请写出你的推理过程．








图4－7－7








12．一块三角板的一条直角边AB的长为1.5 m，面积为1.5 m2，要把它加工成一个面积尽可能大的正方形桌面，甲、乙两名同学的加工方法如图4－7－8①②所示，请你用学过的知识说明哪名同学的加工方法更好．(加工损耗忽略不计，计算结果中的分数可保留)





图4－7－8











13．从三角形(不是等腰三角形)一个顶点引出一条射线与对边相交，顶点与交点之间的线段把这个三角形分割成两个小三角形，如果分得的两个小三角形中一个为等腰三角形，另一个与原三角形相似，我们把这条线段叫做这个三角形的完美分割线．


(1)如图4－7－9①，在△ABC中，CD为角平分线，∠A＝40°，∠B＝60°，求证：CD是△ABC的完美分割线；


(2)如图②，在△ABC中，AC＝2，BC＝eq \r(2)，CD是△ABC的完美分割线，且△ACD是以CD为底边的等腰三角形，求完美分割线CD的长．





图4－7－9











详解


1．A


2．D [解析] ∵△ABC∽△A′B′C′，AD，BE分别是△ABC的高和中线，A′D′，B′E′分别是△A′B′C′的高和中线，∴eq \f(AD,A′D′)＝eq \f(BE,B′E′).∵AD＝4，A′D′＝3，BE＝6，∴eq \f(4,3)＝eq \f(6,B′E′)，解得B′E′＝eq \f(9,2).


3.eq \f(8,3) 4.6


5．解：由题意，可知△ABE∽△DCE，


∴eq \f(0.04,CD)＝eq \f(0.06,2)，解得CD＝eq \f(4,3).


答：所拍摄的2 m外景物的宽CD为eq \f(4,3) m.


6．C [解析] 设△ABC，△A′B′C′，△A″B″C″的一组对应边的长分别为x，y，z.


∵△ABC∽△A′B′C′且相似比为eq \f(1,3)，


△A′B′C′∽△A″B″C″且相似比为eq \f(4,3)，


∴eq \f(x,y)＝eq \f(1,3)，eq \f(y,z)＝eq \f(4,3)，即x＝eq \f(y,3)，z＝eq \f(3y,4)，


∴eq \f(x,z)＝eq \f(4,9)，即△ABC与△A″B″C″的相似比为eq \f(4,9).故选C.


7．6


8．eq \f(3,2)





9．解：如图，过点C作CM∥BA，分别交EF，AD于点N，M，过点C作CP⊥AD，分别交EF，AD于点Q，P.


由题意，得四边形ABCM是平行四边形，


∴EN＝AM＝BC＝20 cm，


∴MD＝AD－AM＝50－20＝30(cm)．


由题意知CP＝40 cm，PQ＝8 cm，


∴CQ＝32 cm.


∵EF∥AD，∴△CNF∽△CMD，


∴eq \f(NF,MD)＝eq \f(CQ,CP)，即eq \f(NF,30)＝eq \f(32,40)，


解得NF＝24(cm)．


∴EF＝EN＋NF＝20＋24＝44(cm)．


答：横梁EF应为44 cm.


10．解：(1)证明：(证法一)∵四边形EFGH为矩形，∴EF∥GH，∴△AHG∽△ABC.


∵AD⊥BC，EF∥GH，∴AM⊥HG，


∴eq \f(AM,AD)＝eq \f(HG,BC)；


(证法二)∵四边形EFGH为矩形，


∴EF∥GH，


∴△AHG∽△ABC，△AHM∽△ABD，


∴eq \f(HG,BC)＝eq \f(AH,AB)，eq \f(AM,AD)＝eq \f(AH,AB)，∴eq \f(AM,AD)＝eq \f(HG,BC).


(2)由(1)得eq \f(AM,AD)＝eq \f(HG,BC).


设HE＝x cm，则HG＝2x cm，


∵AD⊥BC，∴DM＝HE，


∴AM＝AD－DM＝AD－HE＝(30－x)cm.


可得eq \f(30－x,30)＝eq \f(2x,40)，解得x＝12，2x＝24.


故矩形EFGH的周长为2×(12＋24)＝72(cm)．


11．解：如图，过点A作AG⊥BC于点G，并延长交DE于点F.





∵BC∥DE，


∴AF⊥DE，∠D＝∠ABC，∠AED＝∠ACB，


∴△ADE∽△ABC，∴eq \f(DE,BC)＝eq \f(AF,AG)，


∴DE＝eq \f(AF·BC,AG)＝eq \f(200×0.08,0.4)＝40(m)．


答：敌方建筑物DE的高度为40 m.


12．解：由AB＝1.5 m，S△ABC＝1.5 m2，得BC＝2 m.


在题图①中，设甲同学加工的正方形桌面的边长为x m.


∵DE∥AB，∴Rt△CDE∽Rt△CBA，


∴eq \f(CD,CB)＝eq \f(DE,BA)，


即eq \f(2－x,2)＝eq \f(x,1.5)，解得x＝eq \f(6,7)；


如图，在题图②中，过点B作BH⊥AC，交AC于点H，交DE于点P.


AC＝eq \r(AB2＋BC2)＝eq \r(1.52＋22)＝2.5(m)，


BH＝eq \f(AB·BC,AC)＝eq \f(1.5×2,2.5)＝1.2(m)．


设乙同学加工的正方形桌面的边长为y m.





∵DE∥AC，


∴△BDE∽△BAC，


∴eq \f(DE,AC)＝eq \f(BP,BH)，


即eq \f(y,2.5)＝eq \f(1.2－y,1.2)，解得y＝eq \f(30,37).


∵eq \f(6,7)＝eq \f(30,35)>eq \f(30,37)，即x>y，


∴x2>y2，


∴甲同学的加工方法更好．


13．解：(1)证明：∵∠A＝40°，∠B＝60°，


∴∠ACB＝80°，∴△ABC不是等腰三角形．


∵CD平分∠ACB，


∴∠ACD＝∠BCD＝eq \f(1,2)∠ACB＝40°，


∴∠ACD＝∠A＝40°，


∴△ACD是等腰三角形．


∵∠BCD＝∠A＝40°，∠CBD＝∠ABC，


∴△BCD∽△BAC，


∴CD是△ABC的完美分割线．


(2)由题意得△BCD∽△BAC，


∴eq \f(BC,BA)＝eq \f(BD,BC).


∵AC＝AD＝2，BC＝eq \r(2)，


设BD＝x，则AB＝x＋2，


∴eq \f(\r(2),x＋2)＝eq \f(x,\r(2))，


解得x＝－1±eq \r(3)，


∵x＞0，∴BD＝x＝eq \r(3)－1.


∵△BCD∽△BAC，∴eq \f(CD,AC)＝eq \f(BD,BC).


∵AC＝2，BC＝eq \r(2)，BD＝eq \r(3)－1，


∴CD＝eq \f(BD·AC,BC)＝eq \f(\r(3)－1,\r(2))×2＝eq \r(6)－eq \r(2).