数学九年级上册7 相似三角形的性质第2课时测试题

这是一份数学九年级上册7 相似三角形的性质第2课时测试题，共12页。

知识点 1 有关周长的计算


1．已知△ABC∽△A1B1C1，且AB＝4，A1B1＝6，则△ABC的周长和△A1B1C1的周长之比是( )


A．9∶4 B．4∶9 C．2∶3 D．3∶2





图4－7－10


2．如图4－7－10，在▱ABCD中，E是AD边上的中点，连接BE，并延长BE交CD的延长线于点F，则△EDF与△BCF的周长之比是( )


A．1∶2 B．1∶3 C．1∶4 D．1∶5


3．2016·贵阳期末如果△ABC∽△DEF，其相似比为3∶1，且△ABC的周长为27，那么△DEF的周长为( )


A．9 B．18 C．27 D．81


4．如图4－7－11，在▱ABCD中，AB＝6，AD＝9，∠BAD的平分线交BC于点E，交DC的延长线于点F，BG⊥AE于点G，BG＝4 eq \r(2)，求△FCE的周长．





图4－7－11

















知识点 2 有关面积的计算


5．2017·重庆已知△ABC∽△DEF，且相似比为1∶2，则△ABC与△DEF的面积比为( )


A．1∶4 B．4∶1 C．1∶2 D．2∶1





图4－7－12


6．2017·永州如图4－7－12，在△ABC中，D是AB边上的一点，若∠ACD＝∠B，AD＝1，AC＝2，△ADC的面积为1，则△BCD的面积为( )


A．1 B．2 C．3 D．4


7．教材例2变式题如图4－7－13，把△ABC沿AB边平移到△A′B′C′的位置，它们重叠部分(即图中阴影部分)的面积是△ABC面积的eq \f(1,4)，若AB＝2，则△ABC平移的距离是________．


图4－7－13


图4－7－14


8．如图4－7－14，在△ABC中，点D，E分别在AB，AC上，∠AED＝∠B，若AE＝2，△ADE的面积为4，四边形BCED的面积为5，则AB的长为________．


9．如图4－7－15所示，在▱ABCD中，AE∶EB＝1∶2.


(1)求△AEF与△CDF的周长的比；


(2)若S△AEF＝6 cm2，求S△CDF.





图4－7－15

















10．若两个相似三角形的面积之比为1∶4，则它们的周长之比为( )


A．1∶2 B．1∶4 C．1∶5 D．1∶16


11．如图4－7－16，DE是△ABC的中位线，延长DE至点F，使EF＝DE，连接CF，则S△CEF∶S四边形BCED的值为( )


A．1∶3 B．2∶3 C．1∶4 D．2∶5


图4－7－16


图4－7－17








12．2017·贵阳期末(教材综合与实践——制作视力表的应用)我们在制作视力表时发现，每个“E”形图的长和宽相等(即每个“E”形图近似于正方形)，如图4－7－17，小明在制作视力表时，测得l1＝14 cm，l2＝7 cm，他选择了一张面积为4 cm2的正方形卡纸，刚好可以剪得第②个小“E”形图．那么下面四张正方形卡纸中，能够刚好剪得第①个大“E”形图的是( )


A．面积为8 cm2的卡纸


B．面积为16 cm2的卡纸


C．面积为32 cm2的卡纸


D．面积为64 cm2的卡纸


13．如图4－7－18，在△ABC中，BC>AC，点D在BC上，且DC＝AC，∠ACB的平分线CF交AD于点F，E是AB的中点，连接EF.


(1)求证：EF∥BC；


(2)若四边形BDFE的面积为6，求△ABD的面积．





图4－7－18














14．如图4－7－19所示，M是△ABC内一点，过点M分别作三条直线平行于△ABC的各边，所形成的三个小三角形△1，△2，△3(图中阴影部分)的面积分别是4，9和49，求△ABC的面积．





图4－7－19











15．某社区拟筹资金2000元，计划在一块上、下底长分别是10 m、20 m的梯形空地上种植花草．如图4－7－20，他们想在△AMD和△CMB地带种植单价为10元/m2的太阳花，当△AMD地带种满花后，已经花了500元，请你预算一下，若继续在△CMB地带种植同样的太阳花，资金是否够用，并说明理由．





图4－7－20








16．如图4－7－21，在△ABC中，AB＝5，BC＝3，CA＝4，PQ∥AB，点P在CA上(与点A，C不重合)，点Q在BC上．


(1)当△PQC的面积与四边形PABQ的面积相等时，求CP的长．


(2)当△PQC的周长与四边形PABQ的周长相等时，求CP的长．


(3)试问：在AB上是否存在一点M，使得△PQM为等腰直角三角形？若存在，请求出PQ的长；若不存在，请简要说明理由．





图4－7－21
































1．C 2.A


3．A [解析] ∵△ABC∽△DEF，其相似比为3∶1，∴eq \f(△ABC的周长,△DEF的周长)＝eq \f(3,1)，


∴△DEF的周长＝eq \f(1,3)×27＝9.


故选A.


4．解：∵四边形ABCD是平行四边形，


∴AB∥CD，AD∥BC，


∴∠BAE＝∠F，∠EAD＝∠AEB.


∵AE平分∠BAD，


∴∠BAE＝∠EAD，


∴∠BAE＝∠AEB，


∴BE＝AB＝6，


∴CE＝BC－BE＝3.


∵∠AEB＝∠FEC，∠BAE＝∠F，


∴△ABE∽△FCE，


∴eq \f(△ABE的周长,△FCE的周长)＝eq \f(BE,CE)＝2.


∵BG⊥AE，


∴AE＝2AG＝2 eq \r(AB2－BG2)＝4，


∴△ABE的周长＝AB＋BE＋AE＝16，


∴△FCE的周长＝eq \f(1,2)×△ABE的周长＝8.


5．A


6．C [解析] ∵∠ACD＝∠B，∠A＝∠A，


∴△ACD∽△ABC，∴eq \f(S△ACD,S△ABC)＝(eq \f(AD,AC))2＝eq \f(1,4).


∵S△ACD＝1，∴S△ABC＝4，∴S△BCD＝S△ABC－S△ACD＝3.





7．1 [解析] 如图，∵把△ABC沿AB边平移到△A′B′C′的位置，∴AC∥A′C′，∴△ABC∽△A′BD.∵S△ABC∶S△A′BD＝4，∴AB∶A′B＝2.


∵AB＝2，∴A′B＝1，∴AA′＝2－1＝1.


8．3 [解析] ∵∠AED＝∠B，∠A是公共角，


∴△ADE∽△ACB，∴eq \f(S△ADE,S△ACB)＝(eq \f(AE,AB))2.


∵△ADE的面积为4，四边形BCED的面积为5，∴△ABC的面积为9.


∵AE＝2，∴eq \f(4,9)＝(eq \f(2,AB))2，解得AB＝3.


9．解：(1)∵四边形ABCD是平行四边形，


∴AB＝CD，AB∥CD，


∴∠AEF＝∠CDF，∠FAE＝∠FCD，


∴△AEF∽△CDF.


∵AE∶EB＝1∶2，


∴AE∶AB＝AE∶CD＝1∶3，


∴△AEF与△CDF的周长的比为1∶3.


(2)由(1)知，△AEF∽△CDF，相似比为1∶3，


∴它们的面积比为1∶9.


∵S△AEF＝6 cm2，


∴S△CDF＝54 cm2.


10．A 11.A


12．B [解析] ∵每个“E”形图近似于正方形，


∴P2D2∥P1D1，


∴∠PP2D2＝∠PP1D1，∠P2D2P＝∠P1D1P，


∴△PP2D2∽△PP1D1.


∵l1＝14 cm，l2＝7 cm，


∴P2D2∶P1D1＝1∶2.


∵第②个小“E”形图是面积为4 cm2的正方形卡纸，


∴第①个大“E”形图的面积＝4×4＝16(cm2)．


故选B.


13．解：(1)证明：∵DC＝AC，CF是∠ACB的平分线，∴CF是△ACD的中线，


∴F是AD的中点．


又∵E是AB的中点，


∴EF∥BD，即EF∥BC.


(2)由(1)知，EF∥BD，


∴△AEF∽△ABD，


∴eq \f(S△AEF,S△ABD)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(AE,AB)))eq \s\up12(2).


又∵AE＝eq \f(1,2)AB，


S△AEF＝S△ABD－S四边形BDFE＝S△ABD－6，


∴eq \f(S△ABD－6,S△ABD)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))eq \s\up12(2)，


∴S△ABD＝8.


14．解：根据题意，容易得到△1∽△2∽△3∽△ABC.


因为△1、△2、△3的面积分别是4，9和49，所以它们之间的相似比为2∶3∶7，即BC边被分成的三段从左到右的比为2∶7∶3，则△1与△ABC的相似比为2∶12＝1∶6，所以它们的面积比为1∶36，求得△ABC的面积是144.


15．解：不够用．理由如下：


在梯形ABCD中，∵AD∥BC，


∴△AMD∽△CMB，


∴eq \f(S△AMD,S△CMB)＝(eq \f(AD,BC))2.


∵AD＝10 m，BC＝20 m，


∴eq \f(S△AMD,S△CMB)＝(eq \f(10,20))2＝eq \f(1,4).


∵S△AMD＝500÷10＝50(m2)．


∴S△CMB＝50×4＝200(m2)．


还需要资金200×10＝2000(元)，


而剩余资金为2000－500＝1500(元)<2000元，


∴资金不够用．


16．解：(1)∵PQ∥AB，∴△PQC∽△ABC.


∵S△PQC＝S四边形PABQ，


∴S△PQC∶S△ABC＝1∶2，


∴eq \f(CP,CA)＝eq \r(\f(1,2))＝eq \f(\r(2),2)，


∴CP＝eq \f(\r(2),2)·CA＝2 eq \r(2).


(2)∵△PQC∽△ABC，


∴eq \f(CP,CA)＝eq \f(CQ,CB)＝eq \f(PQ,AB)，即eq \f(CP,4)＝eq \f(CQ,3)，


∴CQ＝eq \f(3,4)CP.


同理：PQ＝eq \f(5,4)CP，


∴C△PQC＝CP＋PQ＋CQ＝CP＋eq \f(5,4)CP＋eq \f(3,4)CP＝3CP，


C四边形PABQ＝PA＋AB＋BQ＋PQ＝4－CP＋AB＋3－CQ＋PQ＝4－CP＋5＋3－eq \f(3,4)CP＋eq \f(5,4)CP＝12－eq \f(1,2)CP.


由C△PQC＝C四边形PABQ，得3CP＝12－eq \f(1,2)CP，


∴eq \f(7,2)CP＝12，∴CP＝eq \f(24,7).





(3)存在．∵CA＝4，AB＝5，BC＝3，


∴△ABC中AB边上的高为eq \f(12,5).


①如图(a)所示，当∠MPQ＝90°且PM＝PQ时，∵△CPQ∽△CAB，


∴eq \f(PQ,AB)＝eq \f(△CPQ中PQ上的高,△CAB中AB上的高)，


∴eq \f(PQ,5)＝eq \f(\f(12,5)－PQ,\f(12,5))，∴PQ＝eq \f(60,37)；


②当∠PQM＝90°时与①相同；





③如图(b)所示，当∠PMQ＝90°且PM＝MQ时，过点M作ME⊥PQ，则ME＝eq \f(1,2)PQ，


∴△CPQ中PQ上的高为eq \f(12,5)－ME＝eq \f(12,5)－eq \f(1,2)PQ.


∵eq \f(PQ,AB)＝eq \f(△CPQ中PQ上的高,△CAB中AB上的高)，


∴eq \f(PQ,5)＝eq \f(\f(12,5)－\f(1,2)PQ,\f(12,5))，∴PQ＝eq \f(120,49).


综上可知，存在点M，使得△PQM为等腰直角三角形，此时PQ的长为eq \f(60,37)或eq \f(120,49).