2020-2021学年北京四中九年级（上）开学数学试卷

2020-2021学年北京四中九年级（上）开学数学试卷
一、选择题（每题3分，共30分）
1．（3分）下列各式中，化简后能与合并的是（　　）
A． B． C． D．
2．（3分）用配方法解方程x2﹣4x﹣1＝0，方程应变形为（　　）
A．（x+2）2＝3 B．（x+2）2＝5 C．（x﹣2）2＝3 D．（x﹣2）2＝5
3．（3分）下面的图形是用数学家名字命名的，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　）
A．科克曲线 B．笛卡尔心形线
C．赵爽弦图 D．斐波那契螺旋线
4．（3分）方程x（x﹣1）＝x的解是（　　）
A．x＝0 B．x＝2 C．x1＝0，x2＝1 D．x1＝0，x2＝2
5．（3分）如图，在菱形ABCD中，E，F分别是AB，AC的中点，若EF＝2，则菱形ABCD的周长为（　　）

A．16 B．8 C． D．4
6．（3分）矩形、菱形、正方形都具有的性质是（　　）
A．对角线相等 B．对角线互相垂直
C．对角线互相平分 D．对角线平分对角
7．（3分）一组数据中，改动一个数据，下列统计量一定变化的是（　　）
A．平均数 B．众数 C．中位数 D．方差
8．（3分）如图，将△ABC绕点C顺时针旋转得到△DEC，使点A的对应点D恰好落在边AB上，点B的对应点为E，连接BE，下列四个结论：
①AC＝AD；②AB⊥EB；③BC＝EC；④∠A＝∠EBC；
其中一定正确的是（　　）

A．①② B．②③ C．③④ D．②③④
9．（3分）将4张长为a、宽为b（a＞b）的长方形纸片按如图的方式拼成一个边长为（a+b）的正方形，图中空白部分的面积之和为S1，阴影部分的面积之和为S2．若S1＝S2，则a，b满足（　　）

A．2a＝5b B．2a＝3b C．a＝3b D．a＝2b
10．（3分）生活垃圾分类回收是实现垃圾减量化和资源化的重要途径和手段．为了解2019年某市第二季度日均可回收物回收量情况，随机抽取该市2019年第二季度的m天数据，整理后绘制成统计表进行分析．
日均可回收物回收量（千吨）
1≤x＜2
2≤x＜3
3≤x＜4
4≤x＜5
5≤x≤6
合计
频数
1
2

b
3
m
频率
0.05
0.10
a

0.15
1
表中3≤x＜4组的频率a满足0.20≤a≤0.30．
下面有四个推断：
①表中m的值为20；
②表中b的值可以为7；
③这m天的日均可回收物回收量的中位数在4≤x＜5组；
④这m天的日均可回收物回收量的平均数不低于3．
所有合理推断的序号是（　　）
A．①② B．①③ C．②③④ D．①③④
二、填空题（每题2分，共20分）
11．（2分）函数中，自变量x的取值范围是　 　．
12．（2分）如图，正方形ABCD的边长为2，点P为对角线AC上任意一点．PE⊥AD，PF⊥CD，垂足分别是E，F．则PE+PF＝　 　．

13．（2分）如图，菱形ABCD中，AB＝10，AC，BD交于点O，若E是边AD的中点，∠AEO＝32°，则OE的长等于　 　，∠ADO的度数为　 　．

14．（2分）若关于x的一元二次方程（a+4）x2+2x+a2﹣16＝0有一个根为0，则a的值为　 　．
15．（2分）如图所示的正方形网格中，每个小正方形的面积均为1，正方形ABCM，CDEN，MNPQ的顶点都在格点上，则正方形MNPQ的面积为　 　．

16．（2分）图1中菱形的两条对角线长分别为6和8，将其沿对角线裁分为四个三角形，将这四个三角形无重叠地拼成如图2所示的图形．则图1中菱形的面积等于　 　；图2中间的小四边形的面积等于　 　．

17．（2分）在矩形ABCD中，AD＞AB，对角线AC，BD相交于点O．E，F分别是边AD，BC的中点，过点O的动直线与AB，CD边分别交于点M，N．在①平行四边形；②矩形；③菱形；④正方形四个图形中，四边形EMFN可能是
　 　（只填序号）．
18．（2分）如图所示，在△ABC中，AD⊥BC于点D，E，F分别是AB，AC边的中点，连接DE，EF，FD，当△ABC满足条件　 　时，四边形AEDF是菱形．（填一个你认为恰当的条件即可）

19．（2分）如图所示，▱ABCD中，点E在边AD上，以BE为折痕，将△ABE向上翻折，点A正好落在CD上的点F，若△FDE的周长为8，△FCB的周长为22，则FC的长为　 　．

20．（2分）在一次生活垃圾分类知识竞赛中，某校七、八年级各有100名学生参加，已知七年级男生成绩的优秀率为40%，女生成绩的优秀率为60%；八年级男生成绩的优秀率为50%，女生成绩的优秀率为70%．对于此次竞赛的成绩，下面有三个推断：
①七年级成绩优秀的男生人数小于八年级成绩优秀的男生人数；
②七年级学生成绩的优秀率一定小于八年级学生成绩的优秀率；
③七、八年级所有男生成绩的优秀率不一定小于七、八年级所有女生成绩的优秀率．
所有合理推断的个数是　 　个．
三、解答题（本题共50分，第21题每小题10分共10分，22-25题每题5分，第26题6分，第27-28题每题7分）
21．（10分）计算：
（1）÷﹣；
（2）（+）（﹣）．
22．（5分）解方程． x2﹣+2＝0
23．（5分）如图，将一张矩形纸片ABCD沿对角线BD折叠，使点C落在点E处，BE与AD交于点F．
（1）求证：BF＝DF；
（2）若将折叠的图形恢复原状，点F与BC边上的点M正好重合，连接DM，试判断四边形BMDF的形状，并说明理由．

24．（5分）先进制造业城市发展指数是反映一个城市先进制造水平的综合指数．对2019年我国先进制造业城市发展指数得分排名位居前列的30个城市的有关数据进行收集、整理、描述和分析．下面给出了部分信息：
a．先进制造业城市发展指数得分的频数分布直方图（数据分成6组：30≤x＜40，40≤x＜50，50≤x＜60，60≤x＜70，70≤x＜80，80≤x≤90）：

b．先进制造业城市发展指数得分在70≤x＜80这一组的是：71.1，75.7，79.9．
c．30个城市的2019年快递业务量累计和先进制造业城市发展指数得分情况统计图：

d．北京的先进制造业城市发展指数得分为79.9．
根据以上信息，回答下列问题：
（1）在这30个城市中，北京的先进制造业城市发展指数排名第　 　；
（2）在30个城市的快递业务量累计和先进制造业城市发展指数得分情况统计图中，包括北京在内的少数几个城市所对应的点位于虚线l的上方．请在图中用“〇”圈出代表北京的点；
（3）在这30个城市中，先进制造业城市发展指数得分高于北京的城市的快递业务量累计的最小值约为　 　亿件．（结果保留整数）
25．（5分）综合与实践
问题情境：
如图①，点E为正方形ABCD内一点，∠AEB＝90°，将Rt△ABE绕点B按顺时针方向旋转90°，得到△CBE′（点A的对应点为点C）．延长AE交CE′于点F，连接DE．
猜想证明：
（1）试判断四边形BE'FE的形状，并说明理由；
（2）如图②，若DA＝DE，请猜想线段CF与FE'的数量关系并加以证明；
解决问题：
（3）如图①，若AB＝15，CF＝3，请直接写出DE的长．

26．（6分）如图，正方形ABCD的两条对角线把正方形ABCD分割成四个全等的等腰直角三角形，将它们分别沿正方形ABCD的边翻折，可得到一个面积是原正方形ABCD面积2倍的新正方形EFGH．
请你在图1，图2，图3中完成：将矩形分割成四个三角形，然后将其沿矩形的边翻折，分别得到面积是原矩形面积2倍的三个新的四边形：菱形、矩形、一般的平行四边形．

27．（7分）如图，在△ABC中，AB＝AC，D为BC上一点且∠ADC＝60°，CE⊥AD于点E，点A关于点E的对称点为点F，CF交AB于点G．
（1）依题意补全图形；
（2）求∠AGC的度数；
（3）写出AD、BD、CD之间的等量关系，并证明．

28．（7分）在△ABC中，点D在AB边上（不与点B重合），DE⊥BC，垂足为点E，如果以DE为对角线的正方形上的所有点都在△ABC的内部或边上，则称该正方形为△ABC的内正方形．
（1）如图，在△ABC中，AB＝4，∠B＝30°，点D是AB的中点，画出△ABC的内正方形，直接写出此时内正方形的面积；
（2）在平面直角坐标系xOy中，点A（t，2），B（0，0），C（t，0）．
①若t＝2，求△ABC的内正方形的顶点E的横坐标的取值范围；
②若对于任意的点D，△ABC的内正方形总是存在，直接写出t的取值范围．


2020-2021学年北京四中九年级（上）开学数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（每题3分，共30分）
1．（3分）下列各式中，化简后能与合并的是（　　）
A． B． C． D．
【分析】先化成最简二次根式，再根据同类二次根式的定义判断即可．
【解答】解：A、＝2，不能与合并；
B、＝2，能与合并；
C、＝，不能与合并；
D、＝，不能与合并；
故选：B．
2．（3分）用配方法解方程x2﹣4x﹣1＝0，方程应变形为（　　）
A．（x+2）2＝3 B．（x+2）2＝5 C．（x﹣2）2＝3 D．（x﹣2）2＝5
【分析】常数项移到方程的右边后，两边配上一次项系数一半的平方，写成完全平方式即可得．
【解答】解：∵x2﹣4x＝1，
∴x2﹣4x+4＝1+4，即（x﹣2）2＝5，
故选：D．
3．（3分）下面的图形是用数学家名字命名的，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　）
A．科克曲线 B．笛卡尔心形线
C．赵爽弦图 D．斐波那契螺旋线
【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．
【解答】解：A、既是轴对称图形，又是中心对称图形，故本选项符合题意；
B、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不合题意；
C、不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项不合题意；
D、不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项不合题意．
故选：A．
4．（3分）方程x（x﹣1）＝x的解是（　　）
A．x＝0 B．x＝2 C．x1＝0，x2＝1 D．x1＝0，x2＝2
【分析】移项后分解因式，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可．
【解答】解：x（x﹣1）＝x，
x（x﹣1）﹣x＝0，
x（x﹣1﹣1）＝0，
x＝0，x﹣1﹣1＝0，
x1＝0，x2＝2．
故选：D．
5．（3分）如图，在菱形ABCD中，E，F分别是AB，AC的中点，若EF＝2，则菱形ABCD的周长为（　　）

A．16 B．8 C． D．4
【分析】根据三角形的中位线定理求出BC，再根据菱形的四条边解答即可．
【解答】解：∵E、F分别是AB、AC的中点，
∴EF是△ABC的中位线，
∴BC＝2EF＝2×2＝4，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝BC＝CD＝AD＝4，
∴菱形ABCD的周长＝4×4＝16．
故选：A．
6．（3分）矩形、菱形、正方形都具有的性质是（　　）
A．对角线相等 B．对角线互相垂直
C．对角线互相平分 D．对角线平分对角
【分析】根据正方形的性质，菱形的性质及矩形的性质分别分析各个选项，从而得到答案．
【解答】解：A、对角线相等，菱形不具有此性质，故本选项错误；
B、对角线互相垂直，矩形不具有此性质，故本选项错误；
C、对角线互相平分，正方形、菱形、矩形都具有此性质，故本选项正确；
D、对角线平分对角，矩形不具有此性质，故本选项错误；
故选：C．
7．（3分）一组数据中，改动一个数据，下列统计量一定变化的是（　　）
A．平均数 B．众数 C．中位数 D．方差
【分析】根据平均数、中位数、众数和方差的特点即可得出答案．
【解答】解：一组数据中，改动一个数据，下列统计量一定变化的是平均数；
故选：A．
8．（3分）如图，将△ABC绕点C顺时针旋转得到△DEC，使点A的对应点D恰好落在边AB上，点B的对应点为E，连接BE，下列四个结论：
①AC＝AD；②AB⊥EB；③BC＝EC；④∠A＝∠EBC；
其中一定正确的是（　　）

A．①② B．②③ C．③④ D．②③④
【分析】根据旋转的性质得到AC＝CD，BC＝CE，AB＝DE，故①错误，③正确；得到∠ACD＝∠BCE，根据三角形的内角和得到∠A＝∠ADC＝，∠CBE＝，求得∠A＝∠EBC，故④正确；由于∠A+∠ABC不一定等于90°，于是得到∠ABC+∠CBE不一定等于90°，故②错误．
【解答】解：∵将△ABC绕点C顺时针旋转得到△DEC，
∴AC＝CD，BC＝CE，AB＝DE，故①错误，③正确；
∴∠ACD＝∠BCE，
∴∠A＝∠ADC＝，∠CBE＝，
∴∠A＝∠EBC，故④正确；
∵∠A+∠ABC不一定等于90°，
∴∠ABC+∠CBE不一定等于90°，故②错误．
故选：C．
9．（3分）将4张长为a、宽为b（a＞b）的长方形纸片按如图的方式拼成一个边长为（a+b）的正方形，图中空白部分的面积之和为S1，阴影部分的面积之和为S2．若S1＝S2，则a，b满足（　　）

A．2a＝5b B．2a＝3b C．a＝3b D．a＝2b
【分析】先用含有a、b的代数式分别表示出S1和S2，再根据S1＝S2得到关于a、b的等式，整理即可．
【解答】解：由题意得：
S2＝ab×4＝2ab，
S1＝（a+b）2﹣2ab＝a2+b2，
∵S1＝S2，
∴3S1＝5S2
∴3a2+3b2＝5×2ab，
∴3a2﹣10ab+3b2＝0，
∴（3a﹣b）（a﹣3b）＝0，
∴3a＝b（舍），或a＝3b．
故选：C．
10．（3分）生活垃圾分类回收是实现垃圾减量化和资源化的重要途径和手段．为了解2019年某市第二季度日均可回收物回收量情况，随机抽取该市2019年第二季度的m天数据，整理后绘制成统计表进行分析．
日均可回收物回收量（千吨）
1≤x＜2
2≤x＜3
3≤x＜4
4≤x＜5
5≤x≤6
合计
频数
1
2

b
3
m
频率
0.05
0.10
a

0.15
1
表中3≤x＜4组的频率a满足0.20≤a≤0.30．
下面有四个推断：
①表中m的值为20；
②表中b的值可以为7；
③这m天的日均可回收物回收量的中位数在4≤x＜5组；
④这m天的日均可回收物回收量的平均数不低于3．
所有合理推断的序号是（　　）
A．①② B．①③ C．②③④ D．①③④
【分析】①根据数据总和＝频数÷频率，列式计算可求m的值；
②根据3≤x＜4组的频率a满足0.20≤a≤0.30，可求该范围的频数，进一步得到b的值的范围，从而求解；
③根据中位数的定义即可求解；
④根据加权平均数的计算公式即可求解．
【解答】解：①1÷0.05＝20．
故表中m的值为20，是合理推断；
②20×0.2＝4，
20×0.3＝6，
1+2+6+3＝12，
故表中b的值可以为7，是不合理推断；
③1+2+6＝9，
故这m天的日均可回收物回收量的中位数在4≤x＜5组，是合理推断；
④（1+5）÷2＝3，
0.05+0.10＝0.15
故这m天的日均可回收物回收量的平均数不低于3，是合理推断．
故选：D．
二、填空题（每题2分，共20分）
11．（2分）函数中，自变量x的取值范围是　x≥﹣3　．
【分析】根据被开方数大于等于0列式计算即可得解．
【解答】解：由题意得，x+3≥0，
解得x≥﹣3．
故答案为：x≥﹣3．
12．（2分）如图，正方形ABCD的边长为2，点P为对角线AC上任意一点．PE⊥AD，PF⊥CD，垂足分别是E，F．则PE+PF＝　2　．

【分析】根据题意，先作辅助线，然后根据正方形的性质、矩形的性质和等腰三角形的性质，可以得到PE+PF的值，本题得以解决．
【解答】解：延长EP交BC于点G，
∵PE⊥AD，PF⊥CD，四边形ABCD是正方形，AC是对角线，
∴四边形EPFD是矩形，△PFC是等腰直角三角形，
∴EP＝DF，PF＝FC，
∴EP+PF＝DF+FC＝DC，
∵DC＝2，
∴PE+PF＝2，
故答案为：2．

13．（2分）如图，菱形ABCD中，AB＝10，AC，BD交于点O，若E是边AD的中点，∠AEO＝32°，则OE的长等于　5　，∠ADO的度数为　16°　．

【分析】根据菱形的性质得出BO＝DO，∠ADO＝∠ADC，AB∥CD，由三角形中位线定理得出OE∥AB，OE＝AB＝5，根据平行线的判定与性质以及角平分线定义即可求出∠ADO的度数．
【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，
∴BO＝DO，∠ADO＝∠ADC，AB∥CD，
∵E是边AD的中点，BO＝DO，
∴OE是△ABD的中位线，
∴OE∥AB，OE＝AB＝5，
∴OE∥CD，
∴∠ADC＝∠AEO＝32°，
∴∠ADO＝16°．
故答案为：5，16°．
14．（2分）若关于x的一元二次方程（a+4）x2+2x+a2﹣16＝0有一个根为0，则a的值为　4　．
【分析】把x＝0代入方程得出关于a的方程求得a的数值，且二次项系数不能为0，两者结合得出a的数值即可．
【解答】解：把x＝0代入关于x的一元二次方程（a+4）x2+2x+a2﹣16＝0，得
a2﹣16＝0，
解得：a＝4或﹣4，
∵a+4≠0，a≠﹣4，
∴a＝4．
故答案为：4．
15．（2分）如图所示的正方形网格中，每个小正方形的面积均为1，正方形ABCM，CDEN，MNPQ的顶点都在格点上，则正方形MNPQ的面积为　45　．

【分析】根据勾股定理即可得到结论．
【解答】解：∵CM＝3，CN＝6，∠MCN＝90°，
∴MN2＝CM2+CN2＝32+62＝45，
∴正方形MNPQ的面积＝MN2＝45，
故答案为：45．
16．（2分）图1中菱形的两条对角线长分别为6和8，将其沿对角线裁分为四个三角形，将这四个三角形无重叠地拼成如图2所示的图形．则图1中菱形的面积等于　24　；图2中间的小四边形的面积等于　1　．

【分析】根据菱形的面积等于对角线长乘积的一半，求出图1菱形的面积，再根据菱形的对角线长可得菱形边长为5，进而可得图2中间的小四边形的面积是边长为5的正方形的面积减去菱形的面积．
【解答】解：∵图1中菱形的两条对角线长分别为6和8，
∴菱形的面积等于6×8＝24，
菱形的边长等于＝5，
∴图2中间的小四边形的面积等于25﹣24＝1．
故答案为：24，1．
17．（2分）在矩形ABCD中，AD＞AB，对角线AC，BD相交于点O．E，F分别是边AD，BC的中点，过点O的动直线与AB，CD边分别交于点M，N．在①平行四边形；②矩形；③菱形；④正方形四个图形中，四边形EMFN可能是
　①　（只填序号）．
【分析】根据矩形的性质和全等三角形的判定和性质得出OM＝ON，OE＝OF，进而利用平行四边形的判定解答即可．
【解答】解：如图所示：

∵四边形ABCD是矩形，E，F分别是边AD，BC的中点，
∴OE＝OF，OA＝OC，AB∥CD，
∴∠MAO＝∠NCO，
在△AMO与△NCO中
，
∴△AMO≌△NCO（ASA），
∴OM＝ON，
∴四边形EMFN是平行四边形，
故答案为：①．
18．（2分）如图所示，在△ABC中，AD⊥BC于点D，E，F分别是AB，AC边的中点，连接DE，EF，FD，当△ABC满足条件　AB＝AC（或∠B＝∠C，或BD＝DC）　时，四边形AEDF是菱形．（填一个你认为恰当的条件即可）

【分析】可根据三角形的中位线定理、等腰三角形的性质、菱形的判定，分析得出当△ABC满足条件AB＝AC或∠B＝∠C时，四边形AEDF是菱形．
【解答】解：要使四边形AEDF是菱形，则应有DE＝DF＝AE＝AF，
∵E，F分别为AC，BC的中点
∴AE＝BE，AF＝FC，
应有DE＝BE，DF＝CF，则应有△BDE≌△CDF，应有BD＝CD，
∴当点D应是BC的中点，而AD⊥BC，
∴△ABC应是等腰三角形，
∴应添加条件：AB＝AC或∠B＝∠C．
则当△ABC满足条件AB＝AC或∠B＝∠C时，四边形AEDF是菱形．
故答案为：AB＝AC（或∠B＝∠C，或BD＝DC）．
19．（2分）如图所示，▱ABCD中，点E在边AD上，以BE为折痕，将△ABE向上翻折，点A正好落在CD上的点F，若△FDE的周长为8，△FCB的周长为22，则FC的长为　7　．

【分析】由平行四边形可得对边相等，由折叠，可得AE＝EF，AB＝BF，结合两个三角形的周长，通过列方程可求得FC的长，本题可解．
【解答】解：设DF＝x，FC＝y，
∵▱ABCD，
∴AD＝BC，CD＝AB，
∵BE为折痕，
∴AE＝EF，AB＝BF，
∵△FDE的周长为8，△FCB的周长为22，
∴BC＝AD＝8﹣x，AB＝CD＝x+y，
∴y+x+y+8﹣x＝22，
解得y＝7．
故答案为7．

20．（2分）在一次生活垃圾分类知识竞赛中，某校七、八年级各有100名学生参加，已知七年级男生成绩的优秀率为40%，女生成绩的优秀率为60%；八年级男生成绩的优秀率为50%，女生成绩的优秀率为70%．对于此次竞赛的成绩，下面有三个推断：
①七年级成绩优秀的男生人数小于八年级成绩优秀的男生人数；
②七年级学生成绩的优秀率一定小于八年级学生成绩的优秀率；
③七、八年级所有男生成绩的优秀率不一定小于七、八年级所有女生成绩的优秀率．
所有合理推断的个数是　0　个．
【分析】根据给出条件，利用统计学知识逐一加以判断．
【解答】解：∵七年级男生成绩的优秀率为40%，八年级男生成绩的优秀率为50%，
∴七年级男生成绩的优秀率小于八年级男生成绩的优秀率，但是由于两个年级的男生人数不确定，故两个年级的优秀人数无法确定；
故①错误，不合题意，
∵七年级学生成绩的优秀率在40%与60%之间，八年级学生成绩的优秀率在在50%与70%之间，
∴不能确定哪个年级的优秀率大，
故②错误，不合题意；
∵七、八年级所有男生成绩的优秀率在40%与50%之间，七、八年级所有女生成绩的优秀率在60%与70%之间．
∴七、八年级所有男生成绩的优秀率一定小于七、八年级所有女生成绩的优秀率．
故③错误，不合题意．
综上所述，合理推断的个数是0个．
故答案为：0．
三、解答题（本题共50分，第21题每小题10分共10分，22-25题每题5分，第26题6分，第27-28题每题7分）
21．（10分）计算：
（1）÷﹣；
（2）（+）（﹣）．
【分析】（1）先进行二次根式的除法运算，然后化减后合并即可；
（2）利用平方差公式计算．
【解答】解：（1）原式＝﹣3
＝2﹣3
＝﹣；
（2）原式＝（）2﹣（）2
＝8﹣
＝．
22．（5分）解方程． x2﹣+2＝0
【分析】把a＝1，b＝﹣2，c＝2代入求根公式计算即可．
【解答】解：∵a＝1，b＝﹣2，c＝2，
∴b2﹣4ac＝（﹣2）2﹣4×1×2＝0，
∴x＝＝＝，
∴x1＝x2＝．
23．（5分）如图，将一张矩形纸片ABCD沿对角线BD折叠，使点C落在点E处，BE与AD交于点F．
（1）求证：BF＝DF；
（2）若将折叠的图形恢复原状，点F与BC边上的点M正好重合，连接DM，试判断四边形BMDF的形状，并说明理由．

【分析】（1）因为△BCD关于BD折叠得到△BED，显然△BCD≌△BED，得出CD＝DE＝AB，∠E＝∠C＝∠A＝90°．再加上一对对顶角相等，可证出△ABF≌△EDF；
（2）利用折叠知识及菱形的判定可得出四边形BMDF是菱形．
【解答】（1）证明：由折叠可知，CD＝ED，∠E＝∠C．
在矩形ABCD中，AB＝CD，∠A＝∠C．
∴AB＝ED，∠A＝∠E．
在△AFB与△EFD中，
，
∴△AFB≌△EFD（AAS），
∴BF＝DF；

（2）解：四边形BMDF是菱形．
理由：由折叠可知：BF＝BM，DF＝DM．
由（1）知△AFB≌△EFD，
∴BF＝DF．
∴BM＝BF＝DF＝DM．
∴四边形BMDF是菱形．
24．（5分）先进制造业城市发展指数是反映一个城市先进制造水平的综合指数．对2019年我国先进制造业城市发展指数得分排名位居前列的30个城市的有关数据进行收集、整理、描述和分析．下面给出了部分信息：
a．先进制造业城市发展指数得分的频数分布直方图（数据分成6组：30≤x＜40，40≤x＜50，50≤x＜60，60≤x＜70，70≤x＜80，80≤x≤90）：

b．先进制造业城市发展指数得分在70≤x＜80这一组的是：71.1，75.7，79.9．
c．30个城市的2019年快递业务量累计和先进制造业城市发展指数得分情况统计图：

d．北京的先进制造业城市发展指数得分为79.9．
根据以上信息，回答下列问题：
（1）在这30个城市中，北京的先进制造业城市发展指数排名第　3　；
（2）在30个城市的快递业务量累计和先进制造业城市发展指数得分情况统计图中，包括北京在内的少数几个城市所对应的点位于虚线l的上方．请在图中用“〇”圈出代表北京的点；
（3）在这30个城市中，先进制造业城市发展指数得分高于北京的城市的快递业务量累计的最小值约为　31　亿件．（结果保留整数）
【分析】（1）由城市先进制造业创新指数得分为79.9以上（含79.9）的城市有2个，即可得出结果；
（2）根据北京在虚线l的上方，北京的先进制造业城市发展指数得分为79.9，找出该点即可；
（3）根据30个城市的先进制造业城市发展指数得分情况统计图，即可得出结果．
【解答】解：（1）∵在这30个城市中，先进制造业创新指数得分为79.9以上（含79.9）的城市有3个，
∴北京的先进制造业城市发展指数排名3，
故答案为：3；
（2）如图所示：
（3）由30个城市的先进制造业城市发展指数得分情况统计图可知，先进制造业城市发展指数得分高于北京的城市的快递业务量累计的最小值约为31万美元；
故答案为：31．

25．（5分）综合与实践
问题情境：
如图①，点E为正方形ABCD内一点，∠AEB＝90°，将Rt△ABE绕点B按顺时针方向旋转90°，得到△CBE′（点A的对应点为点C）．延长AE交CE′于点F，连接DE．
猜想证明：
（1）试判断四边形BE'FE的形状，并说明理由；
（2）如图②，若DA＝DE，请猜想线段CF与FE'的数量关系并加以证明；
解决问题：
（3）如图①，若AB＝15，CF＝3，请直接写出DE的长．

【分析】（1）由旋转的性质可得∠AEB＝∠CE'B＝90°，BE＝BE'，∠EBE'＝90°，由正方形的判定可证四边形BE'FE是正方形；
（2）过点D作DH⊥AE于H，由等腰三角形的性质可得AH＝AE，DH⊥AE，由“AAS”可得△ADH≌△BAE，可得AH＝BE＝AE，由旋转的性质可得AE＝CE'，可得结论；
（3）利用勾股定理可求BE＝BE'＝9，再利用勾股定理可求DE的长．
【解答】解：（1）四边形BE'FE是正方形，
理由如下：
∵将Rt△ABE绕点B按顺时针方向旋转90°，
∴∠AEB＝∠CE'B＝90°，BE＝BE'，∠EBE'＝90°，
又∵∠BEF＝90°，
∴四边形BE'FE是矩形，
又∵BE＝BE'，
∴四边形BE'FE是正方形；
（2）CF＝E'F；
理由如下：如图②，过点D作DH⊥AE于H，

∵DA＝DE，DH⊥AE，
∴AH＝AE，
∴∠ADH+∠DAH＝90°，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AD＝AB，∠DAB＝90°，
∴∠DAH+∠EAB＝90°，
∴∠ADH＝∠EAB，
又∵AD＝AB，∠AHD＝∠AEB＝90°，
∴△ADH≌△BAE（AAS），
∴AH＝BE＝AE，
∵将Rt△ABE绕点B按顺时针方向旋转90°，
∴AE＝CE'，
∵四边形BE'FE是正方形，
∴BE＝E'F，
∴E'F＝CE'，
∴CF＝E'F；
（3）如图①，过点D作DH⊥AE于H，

∵四边形BE'FE是正方形，
∴BE'＝E'F＝BE，
∵AB＝BC＝15，CF＝3，BC2＝E'B2+E'C2，
∴225＝E'B2+（E'B+3）2，
∴E'B＝9＝BE，
∴CE'＝CF+E'F＝12，
由（2）可知：BE＝AH＝9，DH＝AE＝CE'＝12，
∴HE＝3，
∴DE＝＝＝3．
26．（6分）如图，正方形ABCD的两条对角线把正方形ABCD分割成四个全等的等腰直角三角形，将它们分别沿正方形ABCD的边翻折，可得到一个面积是原正方形ABCD面积2倍的新正方形EFGH．
请你在图1，图2，图3中完成：将矩形分割成四个三角形，然后将其沿矩形的边翻折，分别得到面积是原矩形面积2倍的三个新的四边形：菱形、矩形、一般的平行四边形．

【分析】原矩形的对角线把矩形分割为四个腰相等的等腰三角形，然后将它们分别沿矩形的边翻折，可得到一个面积是原矩形ABCD面积2倍的菱形；
过原矩形的两顶点分别作另一对角线的垂线段，把原矩形分割为四个直角三角形，然后将它们分别沿矩形的边翻折，可得到一个面积是原矩形ABCD面积2倍的新矩形；
过原矩形的两顶点作平行线，分别与另一对角线相交，这样把原矩形分割为四个三角形，然后将它们分别沿矩形的边翻折，可得到一个面积是原矩形ABCD面积2倍的平行四边形．
【解答】解：如图所示，图1为得到的是菱形．
图2为得到的是矩形；
图3为得到的是一般的平行四边形．

27．（7分）如图，在△ABC中，AB＝AC，D为BC上一点且∠ADC＝60°，CE⊥AD于点E，点A关于点E的对称点为点F，CF交AB于点G．
（1）依题意补全图形；
（2）求∠AGC的度数；
（3）写出AD、BD、CD之间的等量关系，并证明．

【分析】（1）根据轴对称的特征补全图形；
（2）由三角形外角的性质及等腰三角形的性质得出答案；
（3）在CD是取点P，使FP＝FD，连接FP，证明△CPF≌△ADB（AAS），得出AD＝PC，BD＝PF，则可得出答案．
【解答】解：（1）根据题意画出图形如图1，

（2）∵AB＝AC，
∴∠B＝∠ACB，
∵点A关于点E的对称点为点F，CE⊥AD，
∴AC＝AF，∠ACE＝∠ECF，
∴∠AGC＝∠B+∠BCG＝∠B+∠ACB﹣∠ACF＝2∠B﹣2∠ECF，
∵∠ECF＝90°﹣∠EFC，∠EFC＝60°+∠BCG，
∴∠AGC＝2∠B﹣180°+120°+2∠BCG，
∴∠AGC＝60°；
（3）CD＝AD+BD．
证明：如图2，在CD是取点P，使FP＝FD，连接FP，

∵∠ADC＝60°，
∴△PDF为等边三角形，
∴∠DPF＝60°，
∴∠FPC＝120°，
∴∠ADB＝∠FPC，
又∵AC＝CF，AB＝AC，
∴AB＝CF，
∵∠BAD＝∠BCG，
∴△CPF≌△ADB（AAS），
∴AD＝PC，BD＝PF，
∴CD＝DP+PC＝AD+BD．
28．（7分）在△ABC中，点D在AB边上（不与点B重合），DE⊥BC，垂足为点E，如果以DE为对角线的正方形上的所有点都在△ABC的内部或边上，则称该正方形为△ABC的内正方形．
（1）如图，在△ABC中，AB＝4，∠B＝30°，点D是AB的中点，画出△ABC的内正方形，直接写出此时内正方形的面积；
（2）在平面直角坐标系xOy中，点A（t，2），B（0，0），C（t，0）．
①若t＝2，求△ABC的内正方形的顶点E的横坐标的取值范围；
②若对于任意的点D，△ABC的内正方形总是存在，直接写出t的取值范围．

【分析】（1）根据要求作出正方形DGEH即可，求出DE，根据正方形的面积等于对角线乘积的一半计算即可．
（2）①如图2中，设E（m，0）．用m表示出点G的坐标，求出直线AC的解析式，当点G落在AC上时，利用待定系数法求出m即可解决问题．
②观察图2可知，当t＝4或﹣4时，点G落在AC上，由此可以得出结论．
【解答】解：（1）如图1中，正方形DGEH是△ABC的内正方形．

∵AB＝4，BD＝AD，
∴BD＝AB＝2，
∵DE⊥BC，
∴∠DEB＝90°，
∵∠B＝30°，
∴DE＝BD＝1，
∴S正方形DGEH＝•DE2＝．

（2）①如图2中，设E（m，0）．

∵A（2，2），C（3，0），
∴∠AOC＝45°，直线AC的解析式为y＝﹣2x+6，
∵DE⊥BC，∠DBE＝45°，
∴∠DEB＝90°，∠EDB＝∠EBD＝45°，
∴BE＝DE＝m，
∵四边形DGEH是正方形，
∴∠EDH＝45°，
∴点H在AB上，可得H（m，m），G（m，m），
当点G落在AC上时，把点G（m，m）代入直线AC的解析式得到：m＝﹣2×m+6，
解得m＝，
观察图象可知满足条件的点E的横坐标m的取值范围为0＜m≤．

②观察图2可知，当t＝4时，点G落在AC上，故t≥4时，△ABC的内正方形总是存在，
根据对称性，t≤﹣4时，也满足条件．
综上所述，满足条件的t的值为t≤﹣4或t≥4．