2020-2021学年北京市东城区九年级（上）期末数学试卷

这是一份2020-2021学年北京市东城区九年级（上）期末数学试卷，共30页。试卷主要包含了填空题，解答题解答应写出文字说明等内容，欢迎下载使用。
1．（3分）下列图形中，既是中心对称图形又是轴对称图形的是（ ）
A．直角三角形B．圆C．等边三角形D．四边形
2．（3分）在平面直角坐标系xOy中，下列函数的图象上存在点P（m，n）（m＞0，n＞0）的是（ ）
A．y＝B．y＝﹣x﹣1C．y＝﹣x2﹣1D．y＝﹣3x
3．（3分）若关于x的方程ax2﹣2ax+1＝0的一个根是﹣1，则a的值是（ ）
A．1B．﹣1C．﹣D．﹣3
4．（3分）若菱形的面积为定值，则它的一条对角线的长与另一条对角线的长满足的函数关系是（ ）
A．正比例函数关系B．反比例函数关系
C．一次函数关系D．二次函数关系
5．（3分）在平面直角坐标系xOy中，△ABC与△A'B'C'关于原点O成中心对称的是（ ）
A．B．
C．D．
6．（3分）不透明的袋子里有50张2022年北京冬奥会宣传卡片，卡片上印有会徽、吉祥物冰墩墩、吉祥物雪容融图案，每张卡片只有一种图案，除图案不同外其余均相同，其中印有冰墩墩的卡片共有n张．从中随机摸出1张卡片，若印有冰墩墩图案的概率是，则n的值是（ ）
A．250B．10C．5D．1
7．（3分）如图，在圆形花圃中有两条笔直的小径，两端都在花圃边界上，分别记为AC，BD，设交点为P，点C，D之间有一座假山，为了测量C，D之间的距离，小明已经测量了线段AP和PD的长度，只需再测量一条线段的长度，就可以计算C，D之间的距离．小明应该测量的是（ ）
A．线段BPB．线段CPC．线段ABD．线段AD
8．（3分）如图所示，在矩形纸片上剪下一个扇形和一个圆形，使之恰好能围成一个圆锥模型．若扇形的半径为R，圆的半径为r，则R与r满足的数量关系是（ ）
A．R＝rB．R＝2rC．R＝3rD．R＝4r
二、填空题（本题共24分，每小题3分）
9．（3分）写出一个二次函数，使其满足：①图象开口向下；②当x＞0时，y随着x的增大而减小，这个二次函数的解析式可以是 ．
10．（3分）如图，点A在⊙O上，弦BC垂直平分OA，垂足为D．若OA＝4，则BC的长为 ．
11．（3分）A盒中有2个黄球、1个白球，B盒中有1个黄球、1个白球，这些球除颜色外无其他差别，分别从每个盒中随机取出1个球，取出的2个球都是白球的概率是 ．
12．（3分）2017年生产1吨某种商品的成本是3000元，由于原料价格上涨，两年后，2019年生产1吨该商品的成本是5000元，求该种商品成本的年平均增长率．设年平均增长率为x，则所列的方程应为 （不增加其它未知数）．
13．（3分）在平面直角坐标系xOy中，将抛物线y＝x2沿着y轴平移2个单位长度，所得抛物线的解析式为 ．
14．（3分）如图，△ABC是等边三角形，若将AC绕点A逆时针旋转角α后得到AC'，连接BC'和CC'，则∠BC'C的度数为 ．
15．（3分）已知抛物线y＝x2﹣2x+c与直线y＝m相交于A，B两点，若点A的横坐标xA＝﹣1，则点B的横坐标xB的值为 ．
16．（3分）如图1，在△ABC中，AB＞AC，D是边BC上一动点，设B，D两点之间的距离为x，A，D两点之间的距离为y，表示y与x的函数关系的图象如图2所示．则线段AC的长为 ，线段AB的长为 ．
三、解答题（本题共52分，第17-21题，每小题5分，第22题6分，第23-25题每小题5分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程
17．（5分）已知：如图，线段AB．
求作：以AB为斜边的直角△ABC，使得一个内角等于30°．
作法：①作线段AB的垂直平分线交AB于点O；
②以点O为圆心，OA长为半径画圆；
③以点B为圆心，OB长为半径画弧，与⊙O相交，记其中一个交点为C；
④分别连接AC，BC．
△ABC就是所求作的直角三角形．
（1）使用直尺和圆规，依作法补全图形（保留作图痕迹）；
（2）完成下面的证明．
证明：连接OC，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB＝ °（ ）（填推理的依据）．
∴△ABC是以AB为斜边的直角三角形．
∵OC＝OB＝BC，
∴△OBC是等边三角形．
∴∠COB＝60°．
∴∠A＝ °．
18．（5分）在平面直角坐标系xOy中，二次函数的图象与y轴交于点A（0，﹣1），且过点B（1，4），C（﹣2，1）．
（1）求二次函数的解析式；
（2）当﹣1≤x≤0时，求y的取值范围．
19．（5分）如图，AM平分∠BAD，作BF∥AD交AM于点F，点C在BF的延长线上，CF＝BF，DC的延长线交AM于点E．
（1）求证：AB＝BF；
（2）若AB＝1，AD＝4，求S△EFC：S△EAD的值．
20．（5分）关于x的一元二次方程x2+mx+n＝0．
（1）若方程有两个相等的实数根，用含m的代数式表示n；
（2）若方程有两个不相等的实数根，且m＝﹣4．
①求n的取值范围；
②写出一个满足条件的n的值，并求此时方程的根．
21．（5分）在平面直角坐标系xOy中，已知双曲线y＝过点A（1，1），与直线y＝4x交于B，C两点（点B的横坐标小于点C的横坐标）．
（1）求k的值；
（2）求点B，C的坐标；
（3）若直线x＝t与双曲线y＝交于点D（t，y1），与直线y＝4x交于点E（t，y2），当y1＜y2时，写出t的取值范围．
22．（6分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC，交BC于点D，以点D为圆心，DC长为半径画⊙D．
（1）补全图形，判断直线AB与⊙D的位置关系，并证明；
（2）若BD＝5，AC＝2DC，求⊙D的半径．
23．（7分）在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y＝x2﹣2bx+1．
1）若此抛物线经过点（﹣2，﹣2），求b的值；
2）求抛物线的顶点坐标（用含b的式子表示）；
3）若抛物线上存在两点A（m，m）和B（n，n），且|m|＞2，|n|＜2，求b的取值范围．
24．（7分）在△ABC中，AB＝2，CD⊥AB于点D，CD＝．
（1）如图1，当点D是线段AB的中点时，
①AC的长为 ；
②延长AC至点E，使得CE＝AC，此时CE与CB的数量关系是 ，∠BCE与∠A的数量关系是 ；
（2）如图2，当点D不是线段AB的中点时，画∠BCE（点E与点D在直线BC的异侧），使∠BCE＝2∠A，CE＝CB，连接AE．
①按要求补全图形；
②求AE的长．
25．（7分）在平面直角坐标系xOy中，⊙O的半径为1．
给出如下定义：记线段AB的中点为M，当点M不在⊙O上时，平移线段AB，使点M落在⊙O上，得到线段A'B'（A'，B'分别为点A，B的对应点）线段AA'长度的最小值称为线段AB到⊙O的“平移距离”．
（1）已知点A的坐标为（﹣1，0），点B在x轴上．
①若点B与原点O重合，则线段AB到⊙O的“平移距离”为 ；
②若线段AB到⊙O的“平移距离”为2，则点B的坐标为 ；
（2）若点A，B都在直线y＝x+4上，且AB＝2，记线段AB到⊙O的“平移距离”为d1，求d1的最小值；
（3）若点A的坐标为（3，4），且AB＝2，记线段AB到⊙O的“平移距离”为d2，直接写出d2的取值范围．
2020-2021学年北京市东城区九年级（上）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本题共24分，每小题3分）第1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个
1．（3分）下列图形中，既是中心对称图形又是轴对称图形的是（ ）
A．直角三角形B．圆C．等边三角形D．四边形
【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的概念对各选项分析判断即可得解．
【解答】解：A、直角三角形不一定是轴对称图形，一定不是中心对称图形，故本选项不合题意；
B、圆既是轴对称图形，又是中心对称图形，故本选项符合题意；
C、等边三角形是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不合题意；
D、四边形不一定是轴对称图形，也不一定是中心对称图形，故本选项不合题意．
故选：B．
【点评】本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合．
2．（3分）在平面直角坐标系xOy中，下列函数的图象上存在点P（m，n）（m＞0，n＞0）的是（ ）
A．y＝B．y＝﹣x﹣1C．y＝﹣x2﹣1D．y＝﹣3x
【分析】由题意，图象经过第一象限的函数都是满足条件的，由此判断即可．
【解答】解：由题意，图象经过第一、三象限的函数是满足条件的，
A、函数y＝的图象在一、三象限，满足条件；
B、函数y＝﹣x﹣1的图象经过二、三、四象限，不经过第一象限，不满足条件；
C、函数y＝﹣x2﹣1的图象经过三、四象限，不经过第一象限，不满足条件；
D、函数y＝﹣3x的图象经过二、四象限，不经过第一象限，不满足条件；
故选：A．
【点评】本题考查了反比函数的性质，一次函数的性质，二次函数的性质．熟练掌握函数的性质是解题的关键．
3．（3分）若关于x的方程ax2﹣2ax+1＝0的一个根是﹣1，则a的值是（ ）
A．1B．﹣1C．﹣D．﹣3
【分析】根据关于x的方程ax2﹣2ax+1＝0的一个根是﹣1，可以得到a+2a+1＝0，然后即可得到a的值．
【解答】解：∵关于x的方程ax2﹣2ax+1＝0的一个根是﹣1，
∴a+2a+1＝0，
∴3a+1＝0，
解得a＝﹣，
故选：C．
【点评】本题考查一元二次方程的解，解答本题的关键是明确题意，求出a的值．
4．（3分）若菱形的面积为定值，则它的一条对角线的长与另一条对角线的长满足的函数关系是（ ）
A．正比例函数关系B．反比例函数关系
C．一次函数关系D．二次函数关系
【分析】构造菱形的对角线与面积之间的函数关系式，根据关系式进行判断即可．
【解答】解：设菱形的面积为S，两条对角线的长分别为x、y，则有，
xy＝S，
∴y＝，
而菱形的面积为定值，即2S为定值，是常数不变，
所以y是x的反比例函数，
故选：B．
【点评】本题考查反比例函数关系，理解反比例函数的意义是正确判断的前提．
5．（3分）在平面直角坐标系xOy中，△ABC与△A'B'C'关于原点O成中心对称的是（ ）
A．B．
C．D．
【分析】根据关于y轴对称的点的坐标特征对A进行判断；根据关于x轴对称的点的坐标特征对B进行判断；根据关于原点对称的点的坐标特征对C、D进行判断．
【解答】解：A、△ABC与△A'B'C'关于y轴对称，所以A选项不符合题意；
B、△ABC与△A'B'C'关于x轴对称，所以B选项不符合题意；
C、△ABC与△A'B'C'关于（﹣，0）对称，所以C选项不符合题意；
D、△ABC与△A'B'C'关于原点对称，所以D选项符合题意；
故选：D．
【点评】本题考查了中心对称：把一个图形绕着某个点旋转180°，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这个点对称或中心对称，这个点叫做对称中心，这两个图形中的对应点叫做关于中心的对称点．中心对称的性质：关于中心对称的两个图形能够完全重合；关于中心对称的两个图形，对应点的连线都经过对称中心，并且被对称中心平分．
6．（3分）不透明的袋子里有50张2022年北京冬奥会宣传卡片，卡片上印有会徽、吉祥物冰墩墩、吉祥物雪容融图案，每张卡片只有一种图案，除图案不同外其余均相同，其中印有冰墩墩的卡片共有n张．从中随机摸出1张卡片，若印有冰墩墩图案的概率是，则n的值是（ ）
A．250B．10C．5D．1
【分析】根据概率的意义列方程求解即可．
【解答】解：由题意得，
＝，
解得n＝10，
故选：B．
【点评】本题考查概率的意义及计算方法，理解概率的意义是正确求解的关键．
7．（3分）如图，在圆形花圃中有两条笔直的小径，两端都在花圃边界上，分别记为AC，BD，设交点为P，点C，D之间有一座假山，为了测量C，D之间的距离，小明已经测量了线段AP和PD的长度，只需再测量一条线段的长度，就可以计算C，D之间的距离．小明应该测量的是（ ）
A．线段BPB．线段CPC．线段ABD．线段AD
【分析】利用两角法证得△APB∽△DPC，由该相似三角形的对应边成比例求得线段CD的长度．
【解答】解：如图，连接AB．
∵∠DCP＝∠ABP，∠DPC＝∠APB，
∴△APB∽△DPC，
∴AP：DP＝AB：DC．
∴只需再测量AB线段的长度，就可以计算C，D之间的距离．
故选：C．
【点评】本题主要考查相似三角形的应用和圆周角定理，根据已知条件推知△APB∽△DPC是解题的难点．
8．（3分）如图所示，在矩形纸片上剪下一个扇形和一个圆形，使之恰好能围成一个圆锥模型．若扇形的半径为R，圆的半径为r，则R与r满足的数量关系是（ ）
A．R＝rB．R＝2rC．R＝3rD．R＝4r
【分析】利用圆锥的底面周长等于侧面展开图的扇形弧长，根据弧长公式计算．
【解答】解：扇形的弧长是：＝，
圆的半径为r，则底面圆的周长是2πr，
圆锥的底面周长等于侧面展开图的扇形弧长则得到：＝2πr，
即：R＝4r，
R与r之间的关系是R＝4r．
故选：D．
【点评】本题综合考查有关扇形和圆锥的相关计算．解题思路：解决此类问题时要紧紧抓住两者之间的两个对应关系：（1）圆锥的母线长等于侧面展开图的扇形半径；（2）圆锥的底面周长等于侧面展开图的扇形弧长．正确对这两个关系的记忆是解题的关键．
二、填空题（本题共24分，每小题3分）
9．（3分）写出一个二次函数，使其满足：①图象开口向下；②当x＞0时，y随着x的增大而减小，这个二次函数的解析式可以是 y＝﹣x2﹣2x﹣1 ．
【分析】首先由①得到a＜0；由②得到﹣≤0；只要举出满足以上两个条件的a、b、c的值即可得出所填答案．
【解答】解：二次函数y＝ax2+bx+c，
①开口向下，
∴a＜0；
②当x＞0时，y随着x的增大而减小，﹣≤0，即b＜0；
∴只要满足以上两个条件就行，
如a＝﹣1，b＝﹣2，c＝﹣1时，二次函数的解析式是y＝﹣x2﹣2x﹣1．
故答案为：y＝﹣x2﹣2x﹣1．
【点评】本题主要考查了二次函数的性质，熟练运用性质进行计算是解此题的关键．此题是一道开放型的题目．
10．（3分）如图，点A在⊙O上，弦BC垂直平分OA，垂足为D．若OA＝4，则BC的长为 4 ．
【分析】连接OC，根据垂径定理和勾股定理即可求出答案．
【解答】解：连接OC，
∵BC⊥OA，
∴∠ODC＝90°，BD＝CD，
∵OD＝AD，
∴OD＝OA＝＝2，
∴CD＝＝＝2，
∴BC＝2CD＝4，
故答案为4．
【点评】本题考查了垂径定理，勾股定理，关键是求出CD的长度，题目比较典型，难度适中．
11．（3分）A盒中有2个黄球、1个白球，B盒中有1个黄球、1个白球，这些球除颜色外无其他差别，分别从每个盒中随机取出1个球，取出的2个球都是白球的概率是 ．
【分析】画树状图展示所有6种等可能的结果数，找出2个球都是白球的结果数，然后根据概率公式求解即可．
【解答】解：根据题意画图如下：
共有6种等可能的结果数，其中取出的2个球都是白球的有1种，
则取出的2个球都是白球的概率是．
故答案为：．
【点评】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有可能的结果求出n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后根据概率公式计算事件A或事件B的概率．
12．（3分）2017年生产1吨某种商品的成本是3000元，由于原料价格上涨，两年后，2019年生产1吨该商品的成本是5000元，求该种商品成本的年平均增长率．设年平均增长率为x，则所列的方程应为 3000（1+x）2＝5000 （不增加其它未知数）．
【分析】若这种商品的年平均增长率为x，根据现在生产1吨某产品的成本是3000元，两年后生产1吨药品的成本是5000元可列方程．
【解答】解：设这种商品的年平均增长率为x，
3000（1+x）2＝5000．
故答案为：3000（1+x）2＝5000．
【点评】本题考查增长率问题，发生了两年变化，知道现在为3000，两年后为5000，设出增长率即可列出方程．
13．（3分）在平面直角坐标系xOy中，将抛物线y＝x2沿着y轴平移2个单位长度，所得抛物线的解析式为 y＝x2+2或y＝x2﹣2 ．
【分析】根据图象的平移规律，可得答案．
【解答】解：将抛物线y＝x2沿着y轴正方向平移2个单位长度，所得抛物线的解析式为y＝x2+2；将抛物线y＝x2沿着y轴负方向平移2个单位长度，所得抛物线的解析式为y＝x2﹣2；
故答案是：y＝x2+2或y＝x2﹣2．
【点评】本题主要考查了二次函数与几何变换问题，要求熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减．并用规律求函数解析式．
14．（3分）如图，△ABC是等边三角形，若将AC绕点A逆时针旋转角α后得到AC'，连接BC'和CC'，则∠BC'C的度数为 30° ．
【分析】由旋转的性质得出AC＝AC'，∠CAC'＝α，由三角形的内角和定理求出∠AC'C的度数，由等边三角形的性质得出AB＝AC'，由等腰三角形的性质求出∠AC'B的度数，则可得出答案．
【解答】解：∵将AC绕点A逆时针旋转角α后得到AC'，
∴AC＝AC'，∠CAC'＝α，
∴∠ACC'＝∠AC'C＝，
∵△ABC是等边三角形，
∴AB＝AC，∠BAC＝60°，
∴AB＝AC'，
∴∠AC'B＝＝60°﹣，
∴∠BC'C＝∠AC'C﹣∠AC'B＝＝30°．
故答案为：30°．
【点评】本题考查了等边三角形的性质，旋转的性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理，熟练掌握旋转的性质是解题的关键．
15．（3分）已知抛物线y＝x2﹣2x+c与直线y＝m相交于A，B两点，若点A的横坐标xA＝﹣1，则点B的横坐标xB的值为 3 ．
【分析】根据题意A、B的纵坐标相同，先根据A的横坐标求得纵坐标，把纵坐标代入解析式，解关于x的方程即可求得．
【解答】解：把xA＝﹣1代入y＝x2﹣2x+c得，y＝1+2+c＝3+c，
∴A（﹣1，3+c），
∵抛物线y＝x2﹣2x+c与直线y＝m相交于A，B两点，
∴B的纵坐标为3+c，
把y＝3+c代入y＝x2﹣2x+c得，3+c＝x2﹣2x+c，
解得x＝﹣1或x＝3，
∴点B的横坐标xB的值为3，
故答案为3．
【点评】本题考查了二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征，明确A、B的纵坐标相同是解题的关键．
16．（3分）如图1，在△ABC中，AB＞AC，D是边BC上一动点，设B，D两点之间的距离为x，A，D两点之间的距离为y，表示y与x的函数关系的图象如图2所示．则线段AC的长为 ，线段AB的长为 2 ．
【分析】从图象看，当x＝1时，y＝，即BD＝1时，AD＝，当x＝7时，y＝，即BD＝7时，C、D重合，此时y＝AD＝AC＝，则CD＝6，即当BD＝1时，△ADC为以点A为顶点腰长为的等腰三角形，进而求解．
【解答】解：从图象看，当x＝1时，y＝，即BD＝1时，AD＝，
当x＝7时，y＝，即BD＝7时，C、D重合，此时y＝AD＝AC＝，则CD＝6，
即当BD＝1时，△ADC为以点A为顶点腰长为的等腰三角形，如下图：
过点A作AH⊥BC于点H，
在Rt△ACH中，AC＝，CH＝DH＝CD＝3，则AH＝＝＝2，
在Rt△ABH中，AB＝＝＝2，
故答案为：，2．
【点评】本题考查的是动点问题的函数图象，此类问题关键是：弄清楚不同时间段，图象和图形的对应关系，进而求解．
三、解答题（本题共52分，第17-21题，每小题5分，第22题6分，第23-25题每小题5分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程
17．（5分）已知：如图，线段AB．
求作：以AB为斜边的直角△ABC，使得一个内角等于30°．
作法：①作线段AB的垂直平分线交AB于点O；
②以点O为圆心，OA长为半径画圆；
③以点B为圆心，OB长为半径画弧，与⊙O相交，记其中一个交点为C；
④分别连接AC，BC．
△ABC就是所求作的直角三角形．
（1）使用直尺和圆规，依作法补全图形（保留作图痕迹）；
（2）完成下面的证明．
证明：连接OC，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB＝ 90 °（ 直径所对的圆周角是直角 ）（填推理的依据）．
∴△ABC是以AB为斜边的直角三角形．
∵OC＝OB＝BC，
∴△OBC是等边三角形．
∴∠COB＝60°．
∴∠A＝ 30 °．
【分析】（1）根据要求作出图形即可．
（2）证明△BOC是等边三角形，∠ACB＝90°即可解决问题．
【解答】解：（1）如图，△ABC即为所求作．
（2）连接OC，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°（直径所对的圆周角是直角）（填推理的依据）．
∴△ABC是以AB为斜边的直角三角形．
∵OC＝OB＝BC，
∴△OBC是等边三角形．
∴∠COB＝60°．
∴∠A＝30°．
故答案为：90，直径所对的圆周角是直角，30．
【点评】本题考查作图﹣复杂作图，圆周角定理，等边三角形的判定和性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
18．（5分）在平面直角坐标系xOy中，二次函数的图象与y轴交于点A（0，﹣1），且过点B（1，4），C（﹣2，1）．
（1）求二次函数的解析式；
（2）当﹣1≤x≤0时，求y的取值范围．
【分析】（1）利用待定系数法求抛物线解析式；
（2）先利用配方法得到顶点式，根据二次函数的性质得到当x＝﹣时，y有最小值为﹣，再计算出自变量为﹣1和0对应的二次函数值，从而得到当﹣1≤x≤0时，y的取值范围．
【解答】解：（1）设二次函数的解析式为y＝ax2+bx+c，
把A（0，﹣1），B（1，4），C（﹣2，1）代入得，解得，
∴二次函数解析式为y＝2x2+3x﹣1；
（2）∵y＝2x2+3x﹣1＝2（x+）2﹣，
∴当x＝﹣时，y有最小值为﹣，
∵x＝﹣1时，y＝2x2+3x﹣1＝﹣2；x＝0时，y＝﹣1，
∴当﹣1≤x≤0时，y的取值范围为﹣≤y≤﹣1．
【点评】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式：在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解．也考查了二次函数的性质．
19．（5分）如图，AM平分∠BAD，作BF∥AD交AM于点F，点C在BF的延长线上，CF＝BF，DC的延长线交AM于点E．
（1）求证：AB＝BF；
（2）若AB＝1，AD＝4，求S△EFC：S△EAD的值．
【分析】（1）由平行线的性质和角平分线的性质可得∠BAM＝∠BFA，可得AB＝BF；
（2）通过证明△CEF∽△DEA，由相似三角形的性质可求解．
【解答】证明：（1）∵AM平分∠BAD，
∴∠BAM＝∠DAM，
∵BF∥AD，
∴∠BFA＝∠DAM，
∴∠BAM＝∠BFA，
∴AB＝BF；
（2）∵AB＝1，
∴AB＝BF＝CF＝1，
∵BF∥AD，
∴△CEF∽△DEA，
∴＝（）2＝．
【点评】本题考查了相似三角形的判定和性质，平行线的性质，掌握相似三角形的性质是本题的关键．
20．（5分）关于x的一元二次方程x2+mx+n＝0．
（1）若方程有两个相等的实数根，用含m的代数式表示n；
（2）若方程有两个不相等的实数根，且m＝﹣4．
①求n的取值范围；
②写出一个满足条件的n的值，并求此时方程的根．
【分析】（1）根据方程得出Δ＝m2﹣4n＝0，变形即可；
（2）①根据方程得到Δ＝（﹣4）2﹣4n＞0，解得即可；
②在n的取值范围内取n＝3，然后解方程即可．
【解答】解：（1）∵关于x的一元二次方程x2+mx+n＝0有两个相等的实数根，
∴Δ＝m2﹣4n＝0，
∴n＝m2；
（2）①∵方程有两个不相等的实数根，且m＝﹣4．
∴Δ＝（﹣4）2﹣4n＞0，
解得n＜4；
②∵n＜4，
∴n可以是3，
此时方程为x2﹣4x+3＝0，
（x﹣3）（x﹣1）＝0，
解得x1＝3，x2＝1．
【点评】此题主要考查了根的判别式以及解一元二次方程，一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与Δ＝b2﹣4ac有如下关系：当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ＝0时，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0时，方程无实数根．
21．（5分）在平面直角坐标系xOy中，已知双曲线y＝过点A（1，1），与直线y＝4x交于B，C两点（点B的横坐标小于点C的横坐标）．
（1）求k的值；
（2）求点B，C的坐标；
（3）若直线x＝t与双曲线y＝交于点D（t，y1），与直线y＝4x交于点E（t，y2），当y1＜y2时，写出t的取值范围．
【分析】（1）根据待定系数法即可求得；
（2）解析式联立，组成方程组，解方程组即可求得；
（3）根据图象即可求得．
【解答】解：（1）∵双曲线y＝过点A（1，1），
∴k＝1×1＝1；
（2）解得或，
∴B（﹣，﹣2），C（，2）；
（3）观察函数的图象，当y1＜y2时，t的取值范围为﹣＜t＜0或t＞．
【点评】本题是反比例函数与一次函数的交点问题，主要考查了待定系数法求反比例函数的解析式，图象上点的坐标特征，数形结合是解题的关键．
22．（6分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC，交BC于点D，以点D为圆心，DC长为半径画⊙D．
（1）补全图形，判断直线AB与⊙D的位置关系，并证明；
（2）若BD＝5，AC＝2DC，求⊙D的半径．
【分析】（1）根据要求画出图形，结论AB与⊙D相切．过点D作DE⊥AB于E．证明DE＝DC即可．
（2）设DE＝DC＝r，BE＝x．利用勾股定理构建方程组求解即可．
【解答】解：（1）图形如图所示，结论AB与⊙D相切．
理由：过点D作DE⊥AB于E．
∵AD平分∠BAC，DC⊥AC，DE⊥AB，
∴DE＝DC，
∴⊙D与AB相切．
（2）设DE＝DC＝r，BE＝x．
∵AB，AC是⊙D的切线，
∴AC＝AE＝2CD＝2r，
∵∠ACB＝∠BED＝90°，
则有，
解得，
∴⊙D的半径为3．
【点评】本题考查作图﹣复杂作图，角平分线的性质，直线与圆的位置关系等知识，解题的关键是，学会利用参数构建方程组解决问题，属于中考常考题型．
23．（7分）在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y＝x2﹣2bx+1．
1）若此抛物线经过点（﹣2，﹣2），求b的值；
2）求抛物线的顶点坐标（用含b的式子表示）；
3）若抛物线上存在两点A（m，m）和B（n，n），且|m|＞2，|n|＜2，求b的取值范围．
【分析】1）把点（﹣2，﹣2）代入抛物线的解析式即可求解：
2）抛物线解析式化成顶点式即可求得；
3）根据题意A（m，m）和B（n，n）是抛物线与直线y＝x的交点坐标，解析式联立消去y得到关于x的一元二次方程，根据根与系数的关系即可求得．
【解答】解：1）∵抛物线经过点（﹣2，﹣2），
∴4+4b+1＝﹣2，
解得b＝﹣；
2）∵y＝x2﹣2bx+1＝（x﹣b）2﹣b2+1，
∴抛物线的顶点坐标为（b，﹣b2+1）；
3）∵点A（m，m）和B（n，n），
∴点A（m，m）和B（n，n）在直线y＝x上，
由，消去y得x2﹣2bx+1＝x，
整理得x2﹣（2b+1）x+1＝0，
∴△＝（2b+1）2﹣4＞0，即（2b+3）（2b﹣1）＞0，
∴或，
解得b＞或b＜﹣，
由x2﹣（2b+1）x+1＝0可知m•n＝1，
∴m、n同号，
∵|m|＞2，|n|＜2，
∴当m＞n＞0时，m+n＞，
∴2b+1＞，解得b＞
当0＞n＞m时，m+n＜﹣，
∴2b+1＜﹣，解得b＜﹣，
综上，b的取值范围为b＞或b＜﹣．
【点评】本题考查了二次函数图象与系数的关系，二次函数图象上点的坐标特征，以及一元二次方程的根与系数的关系，明确A（m，m）和B（n，n）是抛物线与直线y＝x的交点坐标是解题的关键．
24．（7分）在△ABC中，AB＝2，CD⊥AB于点D，CD＝．
（1）如图1，当点D是线段AB的中点时，
①AC的长为 ；
②延长AC至点E，使得CE＝AC，此时CE与CB的数量关系是 CE＝CB ，∠BCE与∠A的数量关系是 ∠BCE＝2∠A ；
（2）如图2，当点D不是线段AB的中点时，画∠BCE（点E与点D在直线BC的异侧），使∠BCE＝2∠A，CE＝CB，连接AE．
①按要求补全图形；
②求AE的长．
【分析】（1）①利用勾股定理求解即可．
②利用线段的垂直平分线的性质以及三角形的外角的性质解决问题即可．
（2）①根据要求作出图形即可．
②如图2中，在AC的上方作△ACT，使得CT＝CA，∠ACT＝∠BCE，过点C作CH⊥AT于H．证明△ACE≌△TCB（SAS），推出AE＝BT，可得结论．
【解答】解：（1）①如图1中，
∵AD＝DB＝AB＝，CD⊥AB，
∴CA＝CB，∠ADC＝90°，
∵CD＝，
∴AC＝＝＝．
故答案为：．
②连接BE．∵CA＝CE，CA＝CB，
∴CE＝CB，
∵CA＝CB，
∴∠A＝∠CBA，
∴∠ECB＝∠A+∠CBA＝2∠A，
故答案为：CE＝CB，∠BCE＝2∠A．
（2）①图形如图2所示：
②如图2中，在AC的上方作△ACT，使得CT＝CA，∠ACT＝∠BCE，过点C作CH⊥AT于H．
∵CA＝CT，CH⊥AT，
∴AH＝HT，∠ACH＝∠TCH，
∵∠BCE＝2∠CAB，∠ECB＝∠ACT，
∴∠ACH＝∠CAB，
∴CH∥AB，
∴∠CHA＝∠HAB＝90°，
∵CD⊥AB，
∴∠ADC＝90°，
∴四边形ADCH是矩形，
∴CD＝AH＝HT＝，
∴AT＝2AH＝2，
∵∠ACT＝∠ECB，
∴∠ACE＝∠TCB，
∵CA＝CT，CE＝CB，
∴△ACE≌△TCB（SAS），
∴AE＝BT，
∵BT＝＝＝2，
∴AE＝BT＝2．
【点评】本题属于几何变换综合题，考查了等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，线段的垂直平分线的性质，勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考常常考题型．
25．（7分）在平面直角坐标系xOy中，⊙O的半径为1．
给出如下定义：记线段AB的中点为M，当点M不在⊙O上时，平移线段AB，使点M落在⊙O上，得到线段A'B'（A'，B'分别为点A，B的对应点）线段AA'长度的最小值称为线段AB到⊙O的“平移距离”．
（1）已知点A的坐标为（﹣1，0），点B在x轴上．
①若点B与原点O重合，则线段AB到⊙O的“平移距离”为 ；
②若线段AB到⊙O的“平移距离”为2，则点B的坐标为 B（﹣5，0）或（7，0） ；
（2）若点A，B都在直线y＝x+4上，且AB＝2，记线段AB到⊙O的“平移距离”为d1，求d1的最小值；
（3）若点A的坐标为（3，4），且AB＝2，记线段AB到⊙O的“平移距离”为d2，直接写出d2的取值范围．
【分析】（1）①求出点M的坐标，即可得出结论．
②因为线段AB到⊙O的“平移距离”为2，所以M（﹣3，0）或（3，0），由此即可解决问题．
（2）如图1中，设直线y＝x+4交x轴于F，交y轴于E，则E（0，4），F（﹣3，0）．过点O作OH⊥EF于H，交⊙O于K．利用面积法求出OH的长，可得结论．
（3）求出d2的最大值与最小值，可得结论．
【解答】解：（1）①∵A（﹣1，0），B（0，0），AM＝BM，
∴M（﹣，0），
∴线段AB到⊙O的“平移距离”＝线段AM的长＝，
故答案为：．
②∵线段AB到⊙O的“平移距离”为2，
∴M（﹣3，0）或（3，0），
∵MA＝MB，
∴B（﹣5，0）或（7，0）．
故答案为：B（﹣5，0）或（7，0）．
（2）如图1中，设直线y＝x+4交x轴于F，交y轴于E，则E（0，4），F（﹣3，0）．过点O作OH⊥EF于H，交⊙O于K．
∵OE＝4，OF＝3，
∴EF＝＝＝5，
∵S△OEF＝×OE×OF＝×EF×OH，
∴OH＝，
观察图像可知，当AB的中点M与H重合时，线段AB到⊙O的“平移距离”最小，
最小值＝OH﹣OK＝．即d1＝．
（3）如图2中，由题意，AB的中点M的运动轨迹是A为圆心1为半径是圆，
d2的最小值＝PQ＝5﹣2＝3，d2的最大值＝PR＝5，
∴3≤d2≤5．
【点评】本题属于圆综合题，考查了线段AB到⊙O的“平移距离”的定义，一次函数的性质，三角形的面积，轨迹等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，属于中考压轴题．