2022-2023学年湖南省长沙市岳麓区雅礼洋湖实验中学九年级（上）入学数学试卷（Word解析版）

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2022-2023学年湖南省长沙市岳麓区雅礼洋湖实验中学九年级（上）入学数学试卷

副标题

考试范围：xxx；考试时间：100分钟；命题人：xxx

注意事项:
1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效。
3.考试结束后，本试卷和答题卡一并交回。

第I卷（选择题）

一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1. 的相反数是(    )

A.  B.  C.  D.

2. 年，新冠肺炎疫情席卷全球，截至年月日，累计确诊人数超过人，抗击疫情成为全人类共同的战役，寒假要继续做好疫情防控将“”用科学记数法可表示为(    )

A.  B.  C.  D.

3. 下列运算正确的是(    )

A.  B.
C.  D.

4. 义务教育课程标准年版首次把学生学会炒菜纳入劳动教育课程，并做出明确规定．某班有名学生已经学会炒的菜品的种数依次为：，，，，，，则这组数据的众数和中位数分别是(    )

A. ， B. ， C. ， D. ，

5. 如图，菱形的周长为，对角线，交于点，为的中点，则的长等于(    )

A.
B.
C.
D.

6. 如图，已知矩形沿着直线折叠，使点落在处，交于，，，则的长为(    )

A.
B.
C.
D.

7. 如图，函数和的图象相交于点，则不等式的解集为(    )

A.  B.  C.  D.

8. 某种药品经过两次降价由原来的每盒元降到每盒元，如果次降价的百分率相同，设每次降价的百分率为，可列出的方程为(    )

A.  B.
C.  D.

9. 对于任意的实数，代数式的值是一个(    )

A. 正数 B. 负数 C. 非负数 D. 无法确定

10. 如图是二次函数图象的一部分，对称轴为且经过点下列说法：
    ；；；若，是抛物线上的两点，则；其中其中说法正确的是(    )

A.  B.  C.  D.

第II卷（非选择题）

二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）

11. 函数中，自变量的取值范围是______．
12. 甲、乙两名男同学练习投掷实心球，每人投了次，平均成绩均为米，方差分别为，，成绩比较稳定的是______填“甲”或“乙”
13. 已知关于的一元二次方程的一个根为，则它的另一个根为______．
14. 抛物线过，，三点，则，，大小关系是______．
15. 点在函数的图象上，则代数式的值等于______．
16. 如图，在矩形中，动点从点出发，沿方向运动至点处停止．设点运动的路程为，的面积为，如果关于的函数图象如图所示，则当时，的值为______．

三、解答题（本大题共9小题，共72.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17. 本小题分
    计算：．
18. 本小题分
    解方程：
    ．
    ．
19. 本小题分
    如图，已知一次函数的图象经过点和，图象与轴，轴的交点分别为，两点．
    求这个一次函数的解析式；
    求的面积．

20. 本小题分
    枣庄某中学为调查本校学生周末平均每天做作业所用时间的情况，随机调查了名同学，如图是根据调查所得数据绘制的统计图的一部分，请根据以上信息，解答下列问题．
    请你补全条形统计图：
    在这次调查的数据中，做作业所用时间的中位数是______ 小时，平均数是______ 小时；
    若该校共有名学生，根据以上调查结果估计该校全体学生每天做作业时间在小时内含小时的同学共有多少人？

21. 本小题分
    已知，是一元二次方程的两个实数根．
    求的取值范围．
    是否存在实数，使得等式成立？如果存在，请求出的值；如果不存在，请说明理由．
22. 本小题分
    如图，点是菱形对角线的交点，过点作，过点作，与相交于点．
    求证：四边形是矩形．
    若，，求矩形的面积．

23. 本小题分
    某网店经营一种热销商品，每件进价为元，出于营销考虑，要求每件商品的售价不低于元且不高于元，在销售过程中发现该商品每周的销售量件与销售单价元之间满足一次函数关系；当销售单价为元时，销售量为件；当销售单价为元时，销售量为件．
    请求出与的函数关系式；
    设该网店每周销售这种商品所获得的利润为元，
    写出与的函数关系式；
    将该商品销售单价定为多少元时，才能使网店每周销售该商品所获利润最大？最大利润是多少？
24. 本小题分
    我们定义：对角线垂直的凸四边形叫做“准筝形”如图，四边形中，，则四边形是“准筝形”．
    “三条边相等的准筝形是菱形”是______命题；填“真”或“假”
    如图，在准筝形中，，，，求的长．
    如图，在准筝形中，与交于点，点在线段上，，且，，在上存在移动的线段，在的左侧，且，使四边形周长最小，求此时的长度．
     

25. 本小题分
    如图，抛物线经过、两点，与轴交于点，点是抛物线上一动点，设点的横坐标为，连结、、、．
    求抛物线的函数表达式．
    当的面积等于的面积的时，求的值．
    当时，若点是轴上一动点，点是抛物线上一动点，试判断是否存在这样的点，使得以点、、、为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点的的坐标；若不存在，请说明理由．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：的相反数是，
故选：．
根据相反数的意义，即可解答．
本题考查了相反数，熟练掌握相反数的意义是解题的关键．
 

2.【答案】 

【解析】解：．
故选：．
科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，是正整数数；当原数的绝对值时，是负整数数．
此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数，表示时关键要正确确定的值以及的值．
 

3.【答案】 

【解析】解：、同类项相加，把系数相加字母部分不变，故A错误；
B、同底的指数幂相除，底数不变指数相减，故B错误；
C、底数不变指数相乘，故C正确；
D、和的平方等于平方和加积的二倍，故D错误；
故选：．
根据合并同类项，可判断；
根据同底数幂的除法，可判断；
根据幂的乘方，可判断；
根据完全平方公式，可判断．
本题考查了同底数幂的除法，同底数幂的除法底数不变指数相减．
 

4.【答案】 

【解析】解：这个数据中出现次数最多的数据是，
这组数据的众数是．
把这组数据按从小到大顺序排为：
，，，，，，，
位于中间的数据为，
这组数据的中位数为，
故选：．
这个数据中出现次数最多的数据为众数是，中位数是把这组数据按从小到大的顺序排，位于中间的数据是．
本题主要考查众数的定义：一组数据中出现次数最多的数据就是这组数据的众数，中位数是指将一组数据按照由小到大或由大到小的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则称中间位置的数为这组数据的中位数；如果数据的个数是偶数，则称中间两个数据的平均数这这组数据的中位数．
 

5.【答案】 

【解析】解：四边形是菱形，且周长为，
，，，
点中点，，

故选：．
由菱形的性质可得，，，由三角形中位线定理可求的长．
本题考查了菱形的性质，三角形中位线定理，熟练运用菱形的性质是本题的关键．
 

6.【答案】 

【解析】解：由翻折而成，
，，
设，则，
，，
，
在与中，
，
≌，
，
在中，，
，
解得：，
的长为．
故选：．
先根据翻折变换的性质得出，，再设，则，由全等三角形的判定定理得出≌，可得出，在中利用勾股定理即可求出的值，进而得出的长．
本题考查的是翻折变换的性质及勾股定理，熟知折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等的知识是解答此题的关键．
 

7.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查了一次函数与一元一次不等式，此类题目，利用数形结合的思想求解是解题的关键．
写出直线在直线上方部分的的取值范围即可．
【解答】
解：由图可知，不等式的解集为；
故选C．  

8.【答案】 

【解析】解：根据题意得：．
故选：．
设该药品平均每次降价的百分率为，根据降价后的价格降价前的价格降价的百分率，则第一次降价后的价格是，第二次后的价格是，据此即可列方程求解．
此题主要考查了一元二次方程应用，关键是根据题意找到等式两边的平衡条件，这种价格问题主要解决价格变化前后的平衡关系，列出方程即可．
 

9.【答案】 

【解析】解：，
，
．
故选：．
原式配方后，利用非负数的性质判断即可．
此题考查了配方法的应用，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．
 

10.【答案】 

【解析】解：抛物线开口向下，
，
抛物线对称轴为直线，
，
抛物线与轴的交点在轴上方，
，
，所以正确；
抛物线经过点，
时，，
，所以错误；
对称轴为，且经过点，
抛物线与轴的另一个交点为，
，
，
，所以正确；
点离对称轴要比点离对称轴要远，
，所以正确．
抛物线的对称轴为直线，
当时，有最大值，
其中，
其中，
，
，
，所以正确；
故选：．
根据抛物线开口方向得到，根据抛物线的对称轴得，则，根据抛物线与轴的交点在轴上方得到，则，于是可对进行判断；由于经过点，则得到，则可对进行判断；根据对称轴和一个与轴的交点，求得另一个交点，由根与系数的关系即可得出，则得到，于是可对进行判断；通过点和点离对称轴的远近对进行判断；根据抛物线的对称轴为直线，开口向下，得到当时，有最大值，所以其中，由代入则可对进行判断．
本题考查了二次函数图象与系数的关系：二次函数，二次项系数决定抛物线的开口方向和大小，当时，抛物线向上开口；当时，抛物线向下开口；一次项系数和二次项系数共同决定对称轴的位置：当与同号时即，对称轴在轴左；当与异号时即，对称轴在轴右．抛物线与轴交于抛物线与轴交点个数：时，抛物线与轴有个交点；时，抛物线与轴有个交点；时，抛物线与轴没有交点．
 

11.【答案】 

【解析】解：根据题意，得．
故答案为：．
根据二次根式的意义，被开方数不能为负数，据此求解．
函数自变量的范围一般从三个方面考虑：
当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；
当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为；
当函数表达式是二次根式时，被开方数为非负数．
 

12.【答案】乙 

【解析】解：，，
，
成绩比较稳定的是乙；
故答案为：乙．
根据方差的定义，方差越小数据越稳定即可得出答案．
本题考查了方差的意义．方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越大，表明这组数据偏离平均数越大，即波动越大，数据越不稳定；反之，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定．
 

13.【答案】 

【解析】解：设方程的两根为、，
则有：，
，
．
故答案为．
设方程的两根为、，由根与系数的关系可得出，结合即可求出值．
本题考查了根与系数的关系，解题的关键是根据根与系数的关系得出本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，根据方程的系数结合根与系数的关系得出两根之和与两根之积是关键．
 

14.【答案】 

【解析】解：在二次函数，对称轴，
在图象上的三点，，，
，
，
故答案为：．
对二次函数，对称轴，在对称轴两侧时，则三点的横坐标离对称轴越近，则纵坐标越小，由此判断、、的大小．
本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，由点的横坐标到对称轴的距离判断点的纵坐标的大小．
 

15.【答案】 

【解析】解：点在函数的图象上，
，
，
．
故答案为：．
将点坐标代入一次函数解析式中，得到，的关系，整体代入所求的式子中即可．
本题考查一次函数图像上点的坐标特征，解题的关键是求出和的关系，属于中考必考题型．
 

16.【答案】 

【解析】解：时，及从到达点时，面积开始不变，
，
同理可得，
当时，点运动到点处，
．
故答案是：．
易得当在上运动时，面积不断在增大，当到达点时，面积开始不变，到达后面积不断减小，得到和的长度，从而可得出答案．
此题主要考查了动点问题的函数的有关计算；根据所给图形得到矩形的边长是解决本题的关键．
 

17.【答案】解：

． 

【解析】先化简各式，然后再进行计算即可解答．
本题考查了零指数幂，负整数指数幂，绝对值，实数的运算，准确熟练地化简各式是解题的关键．
 

18.【答案】解：，
，
，
所以，；
，
，
或，
所以，． 

【解析】先变形为，然后利用直接开平方法解方程；
利用因式分解法解方程．
本题考查了解一元二次方程因式分解法：因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法．也考查了直接开平方法解一元二次方程．
 

19.【答案】解：根据题意得：，
解得：，
则函数的解析式是：；
在中，令，解得：，则与轴的交点是；
令，则，解得：，即函数与轴的交点是；
所以的面积是：． 

【解析】利用待定系数法即可求解；
求得直线与坐标轴的交点坐标，然后利用三角形的面积公式即可直接求解．
本题主要考查了用待定系数法求函数的解析式，一次函数图象上点的坐标特征，三角形的面积，熟练掌握待定系数法是解题的关键．
 

20.【答案】每天作业用时是小时的人数是：人，补全条形统计图如图所示：


人，
答：估计该校全体学生每天组作业时间在小时内含小时的同学共有人． 

【解析】

【分析】
本题考查条形统计图、平均数、中位数的意义和计算方法，掌握平均数、中位数的计算方法是正确计算的前提，样本估计总体是统计中常用的方法．
求出每天作业用时为小时的学生数，即可补全条形统计图；
根据中位数、平均数的计算进行计算即可；
样本中每天做作业时间在小时内含小时的占调查人数的，估计总体名学生的是每天做作业时间在小时内含小时的人数．
【解答】
解：见解析
从小到大排列后排在第和第位的都是每天作业用时是小时的人，
中位数是小时；
平均数是小时，
故答案为：；；
见解析  

21.【答案】解：一元二次方程有两个实数根，
，
解得：．
，是一元二次方程的两个实数根，
，．
，
，
，
解得：，．
又，
．
存在这样的值，使得等式成立，值为． 

【解析】本题考查了根与系数的关系以及根的判别式，
根据方程的系数结合，即可得出关于的一元一次不等式，解之即可得出的取值范围；
根据根与系数的关系可得出，，结合，即可得出关于的方程，解之即可得出值，再结合即可得出结论．
 

22.【答案】证明：，，
四边形是平行四边形．
又四边形是菱形，
，即，
四边形是矩形．

解：在菱形中，，
．
又，
是等边三角形，
，
，
，
矩形的面积是． 

【解析】由条件可证得四边形为平行四边形，再由菱形的性质可求得，则可证得四边形为矩形；
首先推知是等边三角形，所以，则，根据勾股定理知，结合矩形的面积公式解答即可．
本题主要考查矩形、菱形的判定和性质，掌握矩形的判定方法及菱形的对角线互相垂直平分是解题的关键．
 

23.【答案】解：设与的函数关系式为，
把，和，分别代入得，，
解得，．
与的函数关系式为；
由题意可得：，
与的函数关系式为．
，
，有最大．且对称轴为直线，
在对称轴左侧，即时，随的增大而增大，
又售价不低于元且不高于元，即，
当时，元，
答：该商品销售单价定为元时，才能使网店销售该该商品所获利润最大，最大利润是元． 

【解析】利用待定系数法即可解决问题．
根据题意列出函数解析式即可．
根据二次函数解析式，配方法得到顶点式，利用二次函数的性质即可解决问题．
本题考查二次函数的应用、二元一次方程的应用、待定系数法等知识，解题的关键是灵活应用这些知识解决问题，学会构建二次函数解决最值问题，属于中考常考题型．
 

24.【答案】真 

【解析】解：“三条边相等的准筝形是菱形”是真命题，
故答案为：真；
如图，设与交于点，

四边形是准筝形，
，
，，，，
，
，
；

四边形是准筝形，
，
，
，，
，，
，
如图，作点关于的对称点，作，且，连接，

，，四边形是平行四边形，
，
四边形周长，
点，点，点三点共线时，有最小值为，即四边形周长有最小值，
如图，以点为原点，为轴，为轴建立平面直角坐标系，过点作于，

，，
，
，，
，，
，
点，
，，
点，
直线解析式为：，
当时，，
点，
，
．
由菱形的判定可证三条边相等的准筝形是菱形；
由勾股定理可得，将，，代入，可求的长；
作点关于的对称点，作，且，连接，可得四边形周长，则点，点，点三点共线时，有最小值为，即四边形周长有最小值，以点为原点，为轴，为轴建立平面直角坐标系，过点作于，求出解析式，可得点坐标，即可求解．
本题是四边形综合题，考查了菱形的性质，平行四边形的判定和性质，轴对称的性质，勾股定理，利用代数方法解决几何问题是本题的关键．
 

25.【答案】解：由抛物线交点式表达式得：，
即，解得：，
故抛物线的表达式为：；

由抛物线的表达式知，点，
由点、的坐标，得直线的表达式为：，
如图所示，过点作轴的平行线交直线于点，

设点，则点，
则，
，
即：，
解得：或舍去，
故；

当时，点，
设点，点，则，
当是边时，
点向左平移个单位向上平移个单位得到点，同样点向左平移个单位向上平移个单位得到点，
故或，
联立并解得：不合题意的值已舍去；
故点的坐标为或或；
当是对角线时，
由中点公式得：，
联立并解得，
故点的坐标为；
综上，点的坐标为或或或． 

【解析】用待定系数法即可求解；
，则，即可求解；
分是边、是对角线两种情况，利用图象平移的性质和中点公式即可求解．
本题是二次函数综合题，主要考查了一次函数的性质、平行四边形的性质、图形的平移、面积的计算等，其中，要注意分类求解，避免遗漏．